北京市通州區(qū)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

北京市通州區(qū)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則角為A. B.C. D.2．已知向量，，且，，，則一定共線的三點是（）A.A，B，D B.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D3．已知x＞0、y＞0，且1，若恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（）A.(1,9) B.(9,1)C.[9,1] D.(∞,1)∪(9,+∞)4．若圓C：上有到的距離為1的點，則實數(shù)m的取值范圍為（）A. B.C. D.5．圓的圓心坐標與半徑分別是（）A. B.C. D.6．已知空間直角坐標系中的點，，，則點P到直線AB的距離為（）A. B.C. D.7．已知f(x)為R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且對于任意的x∈R，均有，則（）A.e－2021f(－2021)>f(0)，e2021f(2021)<f(0) B.e－2021f(－2021)<f(0)，e2021f(2021)<f(0)C.e－2021f(－2021)>f(0)，e2021f(2021)>f(0) D.e－2021f(－2021)<f(0)，e2021f(2021)>f(0)8．已知圓和圓恰有三條公共切線，則的最小值為（）A.6 B.36C.10 D.9．已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于兩點，若，則（）A. B.C. D.10．設(shè)，，，…，，，則（）A. B.C. D.11．已知中，內(nèi)角所對的邊分別，若，，，則（）A. B.C. D.12．已知直線，，，則m值為（）A. B.C.3 D.10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．數(shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決．例如：與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點與點之間的距離的幾何問題．結(jié)合上述觀點：對于函數(shù)，的最小值為______14．已知O為坐標原點，拋物線C：的焦點為F，P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且，若，則______.15．隨機投擲一枚均勻的硬幣兩次，則兩次都正面朝上的概率為______16．某古典概型的樣本空間，事件，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面于點M連接.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值.18．（12分）已知直線恒過拋物線的焦點F（1）求拋物線的方程；（2）若直線與拋物線交于A，B兩點，且，求直線的方程19．（12分）已知圓心為的圓經(jīng)過，兩點，且圓心在直線上，求此圓的標準方程.20．（12分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點與橢圓M：＝1的右焦點重合.（1）求拋物線C的方程；（2）直線y＝x+m與拋物線C交于A，B兩點，O為坐標原點，當m為何值時，＝0.21．（12分）如圖，四邊形是一塊邊長為4km正方形地域，地域內(nèi)有一條河流，其經(jīng)過的路線是以中點為頂點且開口向右的拋物線的一部分（河流寬度忽略不計），某公司準備投資一個大型矩形游樂場.（1）設(shè)，矩形游樂園的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系；（2）試求游樂園面積的最大值.22．（10分）已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知直線與橢圓交于、兩點，、是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點，且直線的斜率為，求四邊形面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】因為，那么結(jié)合，所以cosA==，所以A=，故答案為A考點：正弦定理與余弦定理點評：本題主要考查正弦定理與余弦定理的基本應(yīng)用，屬于中等題.2、A【解析】由已知，分別表示出選項對應(yīng)的向量，然后利用平面向量共線定理進行判斷即可完成求解.【詳解】因，，，選項A，，，若A，B，D三點共線，則，即，解得，故該選項正確；選項B，，，若A，B，C三點共線，則，即，解得不存，故該選項錯誤；選項C，，，若B，C，D三點共線，則，即，解得不存在，故該選項錯誤；選項D，，，若A，C，D三點共線，則，即，解得不存在，故該選項錯誤；故選：A.3、B【解析】應(yīng)用基本不等式“1”的代換求的最小值，注意等號成立條件，再根據(jù)題設(shè)不等式恒成立有，解一元二次不等式求解集即可.【詳解】由題設(shè)，，當且僅當時等號成立，∴要使恒成立，只需，故，∴.故選：B.4、C【解析】利用圓與圓的位置關(guān)系進行求解即可.【詳解】將圓C的方程化為標準方程得，所以．因為圓C上有到的距離為1的點，所以圓C與圓：有公共點，所以因為，所以，解得，故選：C5、C【解析】將圓的一般方程化為標準方程，即可得答案.【詳解】由題可知，圓的標準方程為，所以圓心為，半徑為3，故選.6、D【解析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.【詳解】，0，，，1，，，，，，在上的投影為，則點到直線的距離為.故選：D7、D【解析】通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定正確答案.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，所以在上遞增，所以，即.故選：D8、B【解析】由公切線條數(shù)得兩圓外切，由此可得的關(guān)系，從而點在以原點為圓心，4為半徑的圓上，記，由求得的最小值，平方后即得結(jié)論【詳解】圓標準方程為，，半徑為，圓標準方程為，，半徑為，兩圓有三條公切線，則兩圓外切，所以，即，點在以原點為圓心，4為半徑的圓上，記，，所以，所以的最小值為故選：B9、C【解析】根據(jù)橢圓的定義可得，由即可求解.【詳解】由，可得根據(jù)橢圓的定義，所以.故選：C10、B【解析】根據(jù)已知條件求得的規(guī)律，從而確定正確選項.【詳解】，，，，，……，以此類推，，所以.故選：B11、B【解析】利用正弦定理可直接求得結(jié)果.【詳解】在中，由正弦定理得：.故選：B.12、C【解析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件得到方程，解得即可；【詳解】解：因為，且，所以，解得；故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題意得，表示點與點與距離之和的最小值，再找對稱點求解即可.【詳解】函數(shù)，表示點與點與距離之和的最小值，則點在軸上，點關(guān)于軸的對稱點，所以，所以的最小值為：.故答案為：.14、3【解析】先求點坐標，再由已知得Q點坐標，由列方程得解.【詳解】拋物線：()的焦點，∵P為上一點，與軸垂直，所以P的橫坐標為，代入拋物線方程求得P的縱坐標為，不妨設(shè)，因為Q為軸上一點，且，所以Q在F的右側(cè)，又，，，因為，所以，，所以3故答案為：3.15、##【解析】列舉出所有情況，利用古典概型的概率公式求解即可【詳解】隨機投擲一枚均勻的硬幣兩次，共有：正正，正反，反正，反反共4種情況，兩次都是正面朝上的有：正正1種情況，所以兩次都正面朝上的概率為，故答案為：16、##0.5【解析】根據(jù)定義直接計算得到答案.【詳解】.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見詳解（2）【解析】（1）連接，交于點，則為中點，再由等腰三角形三線合一可知為中點，連接，利用中位線可知，根據(jù)直線與平面平行的判定定理即可證明；（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，利用向量法即可求出兩平面所成角的余弦值.【小問1詳解】連接，交于點，則為中點，因為，于，則為中點，連接，則，又因為平面，平面,所以平面；【小問2詳解】如圖所示，以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，，設(shè)平面的一個法向量為，由可得，令，得，即，易知平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面所成角為，，則平面與平面所成角的余弦值為.18、（1）（2）或【解析】（1）把直線化為，得到拋物線的焦點為，求得，即可求得拋物線的方程；（2）聯(lián)立方程組，得到，，結(jié)合，列出方程求得的值，即可求得直線的方程【小問1詳解】解：將直線化為，可得直線恒過點，即拋物線的焦點為，所以，解得，所以拋物線的方程為【小問2詳解】解：由題意顯然,聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，，則，，因為，所以，解得，所以或，所以直線的方程為或19、【解析】設(shè)圓心坐標為，根據(jù)兩點在圓上利用兩點的距離公式建立關(guān)于的方程，解出值．從而求出圓的圓心和半徑，可得圓的方程【詳解】解：∵圓心在直線，∴設(shè)圓心坐標為，根據(jù)點和在圓上，可得解之得.∴圓心坐標為，半徑.因此，此圓的標準方程是20、（1）y2＝4x（2）m＝﹣4或m＝0【解析】（1）由橢圓的右焦點得出的值，進而得出拋物線C的方程；（2）聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達定理結(jié)合數(shù)量積公式證明即可【小問1詳解】由題意，橢圓＝1的右焦點為（1，0），拋物線y2＝2px的焦點為（，0），所以，解得p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x；【小問2詳解】因為直線y＝x+m與拋物線C交于A，B兩點，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立方程組，可得x2+2（m﹣2）x+m2＝0，由Δ＝4（m﹣2）2﹣4m2＞0，解得m＜1，所以x1+x2＝﹣2m+4，x1x2＝m2，又因為，又＝（x1，y1），＝（x2，y2），可得x1x2+y1y2＝x1x2+（x1+m）（x2+m）＝2x1x2+m（x1+x2）+m2＝m2+4m＝0，解得m＝﹣4＜1或m＝0＜1，故m＝﹣4或m＝0.21、（1）（2）【解析】（1）首先建立直角坐標系，求出拋物線的方程，利用，求出點的坐標，表示出的面積為即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可.【小問1詳解】以為原點，所在直線為軸，垂直于的直線為軸建立直角坐標系，則，設(shè)拋物線的方程為，將點代入方程可得，解得，則拋物線方程為，由已知得，則點的縱坐標為，點的橫坐標為，則，【小問2詳解】，令，解得，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)時，有最大值，22、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)離心率的定義以及橢圓與拋物線焦點的關(guān)系，可以求出橢圓方程；（2）根據(jù)題意，可以利用鉛錘底水平高的方法求四邊形A