2024高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)專項(xiàng)突破基本不等式含解析_第1頁
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文檔簡介

基本不等式多選題1、(2024·浙江溫州中學(xué)高三3月月考)若,下列等式不行能成立有()個(gè).(1)(2)(3)A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】對于:當(dāng)a,b異號時(shí),,當(dāng)a,b同號時(shí),,故不行能成立.對于:若,,則,當(dāng)時(shí),;化為:,看作是點(diǎn)到直線的距離為1,可能成立;對于:,,令,,所以,不行能成立.故選:C.2、(2024年高考浙江卷)若,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,則當(dāng)時(shí),有,解得,充分性成立;當(dāng)時(shí),滿意,但此時(shí),必要性不成立,綜上所述,“”是“”的充分不必要條件.3、(2024·浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高三3月模擬)設(shè),則“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由得,,所以是充分條件;由可得,所以是必要條件,故“”是“”的充要條件.答案選C.4、(2025屆山東省泰安市高三上期末)若,則的最小值為()A.6 B. C.3 D.【答案】C【解析】∵,∴,∴,且,,∴,∴,當(dāng)且僅當(dāng)且即時(shí),等號成立;故選:C.5、(2025屆浙江省寧波市余姚中學(xué)高考模擬)若正實(shí)數(shù),滿意,則取最小值時(shí),()A.5 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】∵;∴,且,;∴;∴,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號.故選:B.6、(2025屆山東省濟(jì)寧市高三上期末)已知奇函數(shù)在R上單調(diào),若正實(shí)數(shù)滿意則的最小值是()A.1 B. C.9 D.18【答案】A【解析】奇函數(shù)在R上單調(diào),則故即當(dāng)即時(shí)等號成立故選:7、(2025屆浙江省中學(xué)發(fā)展共同體高三上期末)設(shè)實(shí)數(shù)、滿意,且.則的最小值是()A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知,.當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)且,即,時(shí)取等號,當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號,綜上可得,的最小值.故選:C.8、(2025屆山東省棗莊市高三上學(xué)期統(tǒng)考)如圖,在△中,點(diǎn)是線段上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且,則的最小值為()A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖可知x,y均為正,設(shè),共線,,,則,,則的最小值為,故選D.9、(2025屆山東省濱州市三校高三上學(xué)期聯(lián)考)已知,,若不等式恒成立,則m的最大值為()A.10 B.12 C.16 D.9【答案】D【解析】由已知,,若不等式恒成立,所以恒成立,轉(zhuǎn)化成求的最小值,

,所以.

故選:D.多選題10、(2010南京金陵中學(xué)期末)下列說法中正確的有()A..不等式a+b≥2ab恒成立B.存在a,使得不等式a+1aC..若a,b∈(0,+∞),則baD.若正實(shí)數(shù)x,y滿意x+2y=1,則2【答案】BCD.【解析】:不等式a+b≥2ab恒成立的條件是a≥0,b≥0,故A當(dāng)a為負(fù)數(shù)時(shí),不等式a+1a≤2由基本不等式可知C正確;對于2x當(dāng)且僅當(dāng)4yx=xy,即x=1故選:BCD.11、(2024秋?萊州市校級月考)若正實(shí)數(shù)a,b滿意a+b=1,則下列選項(xiàng)中正確的是()A.a(chǎn)b有最大值14 B.a(chǎn)+bC.1a+1b有最小值4 D.a(chǎn)2+【答案】.AC【解析】:∵a>0,b>0,且a+b=1;∴1+a+b≥1ab;∴ab≤∴ab有最大值14,∴選項(xiàng)Aa+b≥2ab,2ab≤1,∴a1a+1b=a+baba2+b2≥2ab,2ab≤12,∴a2+b2的最小值不是22,故選:AC.12、(2010薛城區(qū)校級期中)設(shè)a>1,b>1,且ab﹣(a+b)=1,那么()A.a(chǎn)+b有最小值2(2+1) B.a(chǎn)+b有最大值(2+1)C.a(chǎn)b有最大值3+22. D.a(chǎn)b有最小值3+22.【答案】.AD【解析】:∵a>1,b>1,∴a+b≥2ab,當(dāng)a=b∴1=ab-(a+b)≤ab-2ab,解得ab∴ab≥(2∴ab有最小值3+22∵ab≤(a+b2)2,當(dāng)∴1=ab-(a+b)≤(a+b∴(a+b)2﹣4(a+b)≥4,∴[(a+b)﹣2]2≥8,解得a+b-2≥22,即a+b≥2(∴a+b有最小值2(2故選:AD.13、(2024秋?嶗山區(qū)校級期末)《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是以幾何方法探討代數(shù)問題,這種方法是后西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù),通過這一原理,許多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明,也稱之為無字證明.現(xiàn)有圖形如圖所示,C為線段AB上的點(diǎn),且AC=a,BC=b,O為AB的中點(diǎn),以AB為直徑作半圓.過點(diǎn)C作AB的垂線交半圓于D,連結(jié)OD,AD,BD,過點(diǎn)C作OD的垂線,垂足為E.則該圖形可以完成的全部的無字證明為()A.a(chǎn)+b2≥ab(a>0,B.a(chǎn)2+b2≥2ab(a>0,b>0) C.a(chǎn)b≥21a+1D.a(chǎn)2+b22【答案】.AC【解析】:依據(jù)圖形,利用射影定理得:CD2=DE?OD,由于:OD≥CD,所以:a+b2≥ab(a由于CD2=AC?CB=ab,所以DE=所以由于CD≥DE,整理得:ab≥2aba+b=2故選:AC.三、填空題14、(2024年高考天津卷理數(shù))已知,且,則的最小值為.【答案】1【解析】由a-3b+6=0可知a-3b=-6,且2a因?yàn)閷τ陔S意x,2x>0恒成立,結(jié)合基本不等式的結(jié)論可得:2a+2-3b≥2×綜上可得2a+115、(江蘇省南通市通州區(qū)2024-2025學(xué)年高三第一次調(diào)研抽測)設(shè)x>0,y>0,x+2y=4,則的最小值為_________.【答案】9【解析】又x+2y=4即,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ试焦侍?16、(2025屆山東省棗莊市高三上學(xué)期統(tǒng)考)函數(shù)的最小值是__________.【答案】【解析】由于,故,故,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),函數(shù)取得最小值為.故填:.17、(2024年高考江蘇)已知,則的最小值是.【答案】【解析】∵∴且∴,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號.∴的最小值為.故答案為:.18、(2024·全國高三專題練習(xí)(理))已知圓關(guān)于直線對稱,則的最小值為__________.【答案】【解析】由題意可知直線過圓心,即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),又即時(shí)等號成立,故的最小值為9.故答案為:919、(2024年高考江蘇卷)在中,角所對的邊分別為,,的平分線交于點(diǎn)D,且,則的最小值為___________.【答案】9【解析】由題意可知,S△ABC=S△ABD+S因此4a+c=當(dāng)且僅當(dāng)c=2a=3時(shí)取等號,則4a+c的最小值為9.20、(2024年高考天津)已知,且,則的最小值為_________.【答案】4【解析】,,,當(dāng)且僅當(dāng)=4時(shí)取等號,結(jié)合,解得,或時(shí),等號成立.故答案為:21、(江蘇省南通市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期初)已知a,b,c均為正數(shù),且abc=4(a+b),則a+b+c的最小值為_______.【答案】8【解析】,22、(2025屆江蘇省南通市四校聯(lián)盟高三數(shù)學(xué)模擬)已知,則的最小值________.【答案】【解析】,,,由基本不等式得.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),等號成立,因此,函數(shù)的最小值為.故答案為:.23、(江蘇省南通市西亭高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期學(xué)情調(diào)研)已知,,且,則的最大值為______.【答案】【解析】∵,,且∴∵∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.令,原不等式轉(zhuǎn)化為,解得.∴故答案為:.四、解答題24、(1)已知x>1,求f(x)=x+eq\f(1,x-1)的最小值;(2)已知0<x<eq\f(2,5),求y=2x-5x2的最大值.【解析】.(1)因?yàn)閤>1,所以x-1>0,所以f(x)=x+eq\f(1,x-1)=x-1+eq\f(1,x-1)+1≥2+1=3,當(dāng)且僅當(dāng)x-1=eq\f(1,x-1),即x=2時(shí),等號成立.所以f(x)的最小值為3.(2)y=2x-5x2=x(2-5x)=eq\f(1,5)·5x·(2-5x),因?yàn)?<x<eq\f(2,5),所以5x<2,2-5x>0,所以5x(2-5x)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5x+2-5x,2)))eq\s\up12(2)=1,所以y≤eq\f(1,5),當(dāng)且僅當(dāng)5x=2-5x,即x=eq\f(1,5)時(shí),y=2x-5x2取得最大值eq\f(1,5).25、(2024·深圳試驗(yàn)學(xué)校中學(xué)部高一期末)已知正實(shí)數(shù),滿意等式.(1)求的最大值;(2)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)?,,由基本不等式,?又因?yàn)椋?,,?dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號成立,此時(shí)的最大值為10.所以.所以當(dāng),時(shí),的最大值為1;(2)因?yàn)?,,所以,?dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號成立,所以的最小值為.不等式恒成立,只要,解得.所以的取值范圍是.26、(2024年11月北京市清華高校中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)實(shí)力診斷性測試測試數(shù)學(xué))已知a,b,c為正實(shí)數(shù),且滿意a+b+c=3.證明:(1)ab+bc+ac≤3;(2).【解析】(1)證明:正實(shí)數(shù),,滿意,,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立(2),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立27、(2024年1月中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)實(shí)力診斷性測試診斷性測試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷)已知正數(shù),,滿意.(1)求證:;(2)求的最小值.【解析】(1)因?yàn)椋?,,所以由柯西不等式?又因?yàn)?所以(2)由均值不等式,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立∵.∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”∴,當(dāng)且僅當(dāng),時(shí)等號成立,所以的最小值為6.28、(2025屆山東省濰坊市高三上期中)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,函數(shù)的邊際函數(shù)定義為.某醫(yī)療設(shè)備公司生產(chǎn)某醫(yī)療器材,已知每月生產(chǎn)臺的收益函數(shù)為(單位:萬元),成本函數(shù)(單位:萬元),該公司每月最多生產(chǎn)臺該醫(yī)療器材.(利潤函數(shù)=收益函數(shù)-成本函數(shù))(1)求利潤函數(shù)及邊際利潤函數(shù);(2)此公司每月生產(chǎn)多少臺該醫(yī)療器材時(shí)每臺的平均利潤最大,最大值為多少?(精確到)(3)求為何值時(shí)利潤函數(shù)取得最大值,并說明邊際利潤函數(shù)的實(shí)際意義.【答案】(1);;(2)臺,萬元;(3)或;反映了

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