2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第4章對(duì)數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)3.3對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的圖象和性質(zhì)課后訓(xùn)練鞏固提升含解析北師大版必修第一冊(cè)

3.3對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的圖象和性質(zhì)課后訓(xùn)練·鞏固提升一、A組1.函數(shù)f(x)=loga(x+1)+1(a>0,且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)P,則點(diǎn)P在函數(shù)()的圖象上.A.y=3x+2 B.y=4-x2C.y=2x D.y=log2x解析:令x+1=1,得x=0.又f(0)=loga1+1=1.所以P(0,1),將P(0,1)代入各選項(xiàng),可知只有選項(xiàng)C符合,故選C.答案:C2.函數(shù)y=log12(A.[1,+∞) B.(0,+∞) C.[0,1] D.(0,1]解析:要使函數(shù)有意義,只需log12(2x-1)≥0=log∴0<2x-1≤1,解得0<x≤1.故所求函數(shù)的定義域?yàn)?0,1].答案:D3.若loga12>1(a>0,且a≠1),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.12,1C.0,12∪12,+解析:由loga12>1得loga12>loga則有a>1,a<答案:A4.已知a<b,函數(shù)f(x)=(x-a)·(x-b)的圖象如圖所示,則函數(shù)g(x)=logb(x+a)的圖象可能為()解析:由題圖可知0<a<1<b,故函數(shù)g(x)為增函數(shù),解除A,D.又0<a<1,結(jié)合選項(xiàng)可知選B.答案:B5.設(shè)a=log54,b=(log53)2,c=log45,則()A.b>c>a B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b解析:因?yàn)閘og45>log44=1,1=log55>log54>log53>(log53)2,所以c>a>b.答案:D6.若指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(x∈R)的部分對(duì)應(yīng)值如下表:x-202f(x)410.25則不等式loga(x-1)>0的解集為.

解析:因?yàn)閒(-2)=4,所以a-2=4,故a=12故loga(x-1)>0,即log12(x-1)>所以x-1>0,x故不等式loga(x-1)>0的解集為(1,2).答案:(1,2)7.已知函數(shù)f(x)=loga(2-ax)(a>0,且a≠1),若存在實(shí)數(shù)a,使函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上是關(guān)于x的減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析:令u=2-ax,∵a>0,且a≠1,∴u=2-ax在區(qū)間[0,1]上是關(guān)于x的減函數(shù).又f(x)=loga(2-ax)在區(qū)間[0,1]上是關(guān)于x的減函數(shù),∴函數(shù)y=logau是關(guān)于u的增函數(shù),∴a>1.∵x∈[0,1]時(shí),u=2-ax恒為正數(shù),∴2-a>0.∴a>1,2-a>0,答案:(1,2)8.已知函數(shù)f(x)=loga(1-x)+loga(x+3),其中0<a<1.(1)求函數(shù)f(x)的定義域.(2)若函數(shù)f(x)的最小值為-4,求a的值.解:(1)要使函數(shù)有意義,只需1解得-3<x<1,所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-3,1).(2)函數(shù)f(x)可化為f(x)=loga[(1-x)(x+3)]=loga(-x2-2x+3)=loga[-(x+1)2+4],因?yàn)?3<x<1,所以0<-(x+1)2+4≤4,因?yàn)?<a<1,所以loga[-(x+1)2+4]≥loga4,即f(x)min=loga4,故loga4=-4,得a-4=4,所以a=4-9.已知函數(shù)f(x)=loga(x2-2),且f(2)=1.(1)求a的值;(2)求f(32)的值;(3)解不等式f(x)<f(x+2).解:(1)因?yàn)閒(2)=1,所以loga(22-2)=1,即loga2=1,解得a=2.(2)由(1)得函數(shù)f(x)=log2(x2-2),則f(32)=log2[(32)2-2]=log216=4.(3)不等式f(x)<f(x+2),即log2(x2-2)<log2[(x+2)2-2],即log2(x2-2)<log2(x2+4x+2).因?yàn)楹瘮?shù)y=log2x在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù),所以x2-2>0所以原不等式的解集為(2,+∞).10.已知函數(shù)f(x)=ln1-mx(1)求m的值.(2)推斷f(x)在區(qū)間(1,+∞)上的單調(diào)性,并加以證明.解:(1)f(-x)=ln1+mx-x--f(x)=-ln1-mxx-因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),即ln-1-mx1+所以-1-mx1+x=當(dāng)m=1時(shí),1-mxx-1=-1,函數(shù)無意義(2)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上是減函數(shù),證明如下:由(1)知f(x)=lnx+1x-1任取x1,x2且x2>x1>1,則1+2由x2>x1>1知,x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0,所以2(x即1+2x所以1+2x1-1>1所以ln1+2x1-即f(x1)>f(x2).所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上為減函數(shù).二、B組1.不等式log0.5(2x)<log0.5(x-1)的解集為()A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.(0,+∞) D.(-∞,0)解析:原不等式等價(jià)于2x>0,故原不等式的解集為(1,+∞).答案:A2.已知函數(shù)f(x)是函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的反函數(shù),則函數(shù)y=f(x)+2的圖象恒過點(diǎn)()A.(1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(0,3)解析:因?yàn)閥=logax(a>0,且a≠1)的圖象過定點(diǎn)(1,0),且f(x)是函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的反函數(shù),所以函數(shù)f(x)的圖象過定點(diǎn)(0,1),從而函數(shù)y=f(x)+2的圖象過點(diǎn)(0,3).答案:D3.函數(shù)f(x)=log2(3x+3-x)是()A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D.非奇非偶函數(shù)解析:因?yàn)?x+3-x>0恒成立,所以f(x)的定義域?yàn)镽.又因?yàn)閒(-x)=log2(3-x+3x)=f(x),所以f(x)為偶函數(shù).答案:B4.已知log13b<log13a<log13A.3b>3a>3c B.3a>3b>3cC.3c>3b>3a D.3c>3a>3b解析:由已知得b>a>c,因?yàn)閥=3x在定義域內(nèi)是增函數(shù),所以3b>3a>3c.答案:A5.若對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=log(a2-1)x在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù)解析:由題意得a2-1>1,解得a>2,或a<-2.答案:a>2,或a<-26.函數(shù)f(x)=ax+b,x≤0,lo解析:由題中圖象可知,x≤0時(shí),函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(-1,0),(0,2),則有-a+b=0又由題圖可知,函數(shù)y=logcx+1則有l(wèi)ogc19=2,解得c=1所以a+b+c=2+2+13答案:137.已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值,及y取最大值時(shí)x的值.解:∵f(x)=2+log3x,x∈[1,9],∴y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+(2+log3x2)=(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3.∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇1,9],∴要使函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)有意義,必需滿意1≤x2≤9,1≤x≤9令u=log3x,則0≤u≤1.又∵函數(shù)y=(u+3)2-3在區(qū)間[-3,+∞)上單調(diào)遞增,∴當(dāng)u=1,即x=3時(shí),函數(shù)y=(u+3)2-3取得最大值13.故當(dāng)x=3時(shí),函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)取得最大值13.8.我們知道對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=logax,對(duì)隨意x,y>0,都有f(xy)=f(x)+f(y)成立,若a>1,則當(dāng)x>1時(shí),f(x)>0.參照對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),探討下面的問題:定義在區(qū)間(0,+∞)上的函數(shù)f(x)對(duì)隨意x,y∈(0,+∞),都有f(xy)=f(x)+f(y),并且當(dāng)且僅當(dāng)x>1時(shí),f(x)>0成立.(1)設(shè)x,y∈(0,+∞),求證:fyx=f(y)-f(x(2)設(shè)x1,x2∈(0,+∞),若f(x1)>f(x2),比較x1與x2的大小.(1)證明:對(duì)隨意x,y∈(0,+∞),都有f(xy)=f(x)+f(y),把x用yx代替,把y用x代替可得f(y)=fyx+f(x即fyx=f(y)-f(x)(2)解:先推斷函數(shù)f(x)在x∈(0,+∞)上的單調(diào)性,設(shè)x3,x4∈(0,+∞),且