【整合學(xué)案】11.3.2　直線與平面平行

高中數(shù)學(xué)精選資源2/211.3.2學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.掌握直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，并能利用這兩個定理解決空間中的平行關(guān)系問題．(重點(diǎn))2.利用直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明空間平行問題．(難點(diǎn))1.通過空間直線與平面位置關(guān)系的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).2.借助直線與平面平行的判定與性質(zhì)的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).1．直線與平面的平行位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點(diǎn)有無數(shù)個公共點(diǎn)有且只有一個公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)符號表示aαa∩α＝Aa∥α圖形表示2.直線與平面平行的判定定理及性質(zhì)定理定理?xiàng)l件結(jié)論圖形語言符號語言判定定理平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行這條直線與這個平面平行________leq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(lα，,m?α，,l∥m))?l∥α性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，且經(jīng)過這條直線的平面與這個平面相交這條直線與兩平面的交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α，,l?β，,α∩β＝m))?l∥m1．下列條件中能確定直線a與平面α平行的是()A．a(chǎn)α，bα，a∥bB．bα，a∥bC．bα，cα，a∥b，a∥cD．bα，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BDA[由直線與平面平行的判定定理知選A．]2．下列說法正確的是()A．若直線a∥平面α，直線b∥平面α，則直線a∥直線bB．若直線a∥平面α，直線a與直線b相交，則直線b與平面α相交C．若直線a∥平面α，直線a∥直線b，則直線b∥平面αD．若直線a∥平面α，則直線a與平面α內(nèi)任意一條直線都無公共點(diǎn)D[A中直線a與直線b也可能異面、相交，所以不正確；B中，直線b也可能與平面α平行，所以不正確；C中，直線b也可能在平面α內(nèi)，所以不正確；根據(jù)直線與平面平行的定義知D正確．]3．若a，b是異面直線，a∥α，則b與α的關(guān)系()A．b∥α或bα B．b與α相交或bα或b∥αC．b與α相交或b∥α D．b與α相交或bαB[如圖，長方體ABCD-A′B′C′D′中，①A′D′與AB異面，A′D′∥平面BC′，而AB與平面BC′相交；②A′D′與BB′異面，A′D′∥平面BC′，而BB′在平面BC′內(nèi)；③分別取AB，A′B′中點(diǎn)E，F(xiàn)，EF與A′D′異面，A′D′∥平面BC′，而EF與平面BC′平行．]4．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，則MN與平面BDC的位置關(guān)系是________．平行[因?yàn)樵凇鰽BD中eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，所以MN∥BD，又因?yàn)镸N平面BCD，BD平面BCD，所以MN∥平面BCD.]直線與平面平行的判定定理【例1】如圖，在三棱臺DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分別為AC，BC的中點(diǎn)．求證：BD∥平面FGH.[思路探究]要證明BD∥平面FGH，需在平面FGH內(nèi)找到一條直線平行于BD，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線平行的證明．[證明]在三棱臺DEF-ABC中，AB＝2DE，G為AC的中點(diǎn)，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四邊形DFCG為平行四邊形，連接CD、FG.設(shè)CD∩FG＝O，則O為CD的中點(diǎn)．又H為BC的中點(diǎn)，所以O(shè)H∥BD.又OH平面FGH，BD平面FGH，所以BD∥平面FGH.應(yīng)用判定定理證明線面平行的步驟上面的第一步“找”是證題的關(guān)鍵，其常用方法有：①空間直線平行關(guān)系的傳遞性法；②三角形中位線法；③平行四邊形法；④成比例線段法．提醒：線面平行判定定理應(yīng)用的誤區(qū)(1)條件羅列不全，最易忘記的條件是“直線在平面外”．(2)不能利用題目條件順利地找到兩平行直線．1．如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()A[A項(xiàng)，作如圖①所示的輔助線，其中D為BC的中點(diǎn)，則QD∥AB.因?yàn)镼D∩平面MNQ＝Q，所以QD與平面MNQ相交，所以直線AB與平面MNQ相交．B項(xiàng)，作如圖②所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.C項(xiàng)，作如圖③所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，所以AB∥MQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.D項(xiàng)，作如圖④所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥NQ，所以AB∥NQ.又AB平面MNQ，NQ平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.故選A．]直線與平面平行的性質(zhì)定理【例2】如圖，AB，CD為異面直線，且AB∥α，CD∥α，AC，BD分別交α于M，N兩點(diǎn)．求證：AM∶MC＝BN∶ND.[證明]連接AD交平面α于點(diǎn)E，連接ME和NE.如圖所示，因?yàn)槠矫鍭CD∩α＝ME，CD∥α，所以CD∥ME，所以eq\f(AM,MC)＝eq\f(AE,ED).同理可得EN∥AB，所以eq\f(AE,ED)＝eq\f(BN,ND).所以eq\f(AM,MC)＝eq\f(BN,ND)，即AM∶MC＝BN∶ND.利用線面平行的性質(zhì)定理證明線線平行的四個步驟(1)在已知圖形中確定(或?qū)ふ?一條直線平行于一個平面．(2)作出(或?qū)ふ?過這條直線且與這個平面相交的平面．(3)得出交線．(4)根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得出結(jié)論．2．求證：如果一條直線和兩個相交平面都平行，那么這條直線和它們的交線平行．[解]已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β，求證：a∥l.證明：如圖，過a作平面γ交α于b.∵a∥α，∴a∥b.過a作平面ε交平面β于c.∵a∥β，∴a∥c，∴b∥c.又bβ且cβ，∴b∥β.又平面α過b交β于l，∴b∥l.∵a∥b，∴a∥l.線面平行判定定理與性質(zhì)定理的綜合運(yùn)用[探究問題]1．如圖，一塊矩形木板ABCD的一邊AB在平面α內(nèi)，把這塊木板繞AB轉(zhuǎn)動，在轉(zhuǎn)動過程中，AB的對邊CD(不落在α內(nèi))是否都和平面α平行？[提示]平行．2．若直線l∥平面α，則l平行于平面α內(nèi)的所有直線嗎？[提示]不是．3．若a∥α，過a與α相交的平面有多少個？這些平面與α的交線與直線a有什么關(guān)系？[提示]若a∥α，則過a且與α相交的平面有無數(shù)個．這些平面與α的交線與直線a之間相互平行．【例3】如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P∈BB1(P不與B，B1重合)，PA∩A1B＝M，PC∩BC1＝N.求證：MN∥平面ABCD[證明]連接AC，A1C1在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四邊形ACC1A1是平行四邊形，所以AC∥A1C1，因?yàn)锳C平面A1BC1，A1C1平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1，因?yàn)锳C平面PAC，平面A1BC1∩平面PAC＝MN，所以AC∥MN.因?yàn)镸N平面ABCD，AC平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.利用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理的關(guān)鍵及思考方向關(guān)鍵：是過直線作平面與已知平面相交．思考方向：若條件中含有線線平行，可考慮線面平行的判定定理的條件；若條件中含有線面平行，可考慮線面平行的性質(zhì)定理得線線平行．3．如圖，已知A，B，C，D四點(diǎn)不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，則四邊形EFHG的形狀是________．平行四邊形[因?yàn)槠矫鍭DC∩α＝EF，且CD∥α，所以EF∥CD；同理可證GH∥CD，EG∥AB，F(xiàn)H∥AB.所以GH∥EF，EG∥FH.所以四邊形EFHG是平行四邊形．]1．直線與平面平行的判定定理的理解判定直線l和平面α平行時，必須具備三個條件①直線l在平面α外，即lα；②直線m在平面α內(nèi)，即mα；③兩直線l，m平行，即l∥m.這三個條件缺一不可．2．直線與平面平行的性質(zhì)定理的理解應(yīng)用性質(zhì)定理時，必須具備的三個條件①直線l平行于平面α，即l∥α，②直線l在平面β內(nèi)，即lβ，③兩平面α與β相交，即α∩β＝m，這三個條件缺一不可．3．證明線與線、線與面的平行關(guān)系的一般規(guī)律是：“由已知想性質(zhì)，由求證想判定”，是分析和解決問題的一般思維方法，而作輔助線和輔助面往往是溝通已知和未知的有效手段．1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若直線與平面不相交，則直線與平面平行． ()(2)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行． ()(3)直線l上有無數(shù)多個點(diǎn)在平面α外，則l∥α. ()(4)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與該平面平行． ()[解析](1)錯誤．若直線與平面不相交，則直線在平面內(nèi)或直線與平面平行．(2)錯誤．當(dāng)點(diǎn)在已知直線上時，不存在過該點(diǎn)的直線與已知直線平行，故(2)錯．(3)錯誤．直線l也可能與平面α相交．(4)錯誤．在棱柱的上底面內(nèi)，過一點(diǎn)任意作一條直線都與棱柱的下底面平行，所以過平面外一點(diǎn)與已知平面平行的直線有無數(shù)條，故(4)錯．[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．M∈l，N∈l，Nα，M∈α，則有()A．l∥α B．lαC．l與α相交 D．以上都有可能C[由符號語言知，直線l上有一點(diǎn)在平面α內(nèi)，另一點(diǎn)在α外，故l與α相交．]3．正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則BD1與過A，C，E平行[如圖所