一元二次函數(shù)課件

北師大版（2019）必修第一冊1.4.1一元二次函數(shù)探索新知02定義：函數(shù)y＝ax2+bx+c(a≠0)叫作一元二次函數(shù)，它的定義域是R.通常把一元二次函數(shù)的圖象叫作拋物線.知識點1

一元二次函數(shù)的定義形式一般式頂點式交點式解析式適用情況說明

已知拋物線上三點的坐標(biāo)時，常設(shè)一般式

已知拋物線的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程時，常設(shè)頂點式已知拋物線與x軸的交點情況時，常設(shè)交點式解題時需根據(jù)題目條件靈活選擇解析式形式.探索新知02動手實踐

在同一坐標(biāo)系中做出下列函數(shù)的圖象：y＝x2；y＝2x2；y＝－2x2．（1）對y＝x2，y＝2x2，拋物線開口向上，在區(qū)間（－∞，0]上，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減??；在區(qū)間[0，＋∞]上，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；函數(shù)在x＝0處有最小值，記作ymin＝0．y＝－2x2，拋物線開口向下；在區(qū)間（－∞，0]上，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；函數(shù)在x＝0處有最大值，記作：ymax＝0．在區(qū)間上[0，＋∞]上，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小；知識點2

一元二次函數(shù)的圖象探索新知02動手實踐

在同一坐標(biāo)系中做出下列函數(shù)的圖象：y＝x2；y＝2x2；y＝－2x2．（2）y＝2x2與y＝－2x2關(guān)于x軸對稱．（3）三個圖象都關(guān)于y軸對稱．（4）y＝x2開口大小偏小，y＝2x2，y＝－2x2開口大小偏大．（5）二次函數(shù)y＝x2圖象上各點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)?/p>

原來的2倍，得到y(tǒng)＝2x2；二次函數(shù)y＝x2圖象上各點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模?倍，得到y(tǒng)＝－2x2．知識點2

一元二次函數(shù)的圖象探索新知02函數(shù)y＝x2與函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖象間的關(guān)系圖象關(guān)系：函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖象是由函數(shù)y＝x2的圖象上各點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶倍，橫坐標(biāo)不變得到的.參數(shù)a對函數(shù)圖象的影響：a決定了一元二次函數(shù)圖象的開口方向和開口大小.①當(dāng)a＞0時，一元二次函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖象開口向上；當(dāng)a＜0時，一元二次函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖象開口向下.②|a|越大，拋物線開口越??；|a|越小，拋物線的開口越大.知識點2

一元二次函數(shù)的圖象探索新知02函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖象性質(zhì)知識點2

一元二次函數(shù)的圖象當(dāng)a＞0時，拋物線開口向上，在區(qū)間（－∞，0]上，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減?。辉趨^(qū)間[0，＋∞]上，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；函數(shù)在x＝0處有最小值，記作ymin＝0．當(dāng)a＜0時，拋物線開口向下；在區(qū)間（－∞，0]上，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；在區(qū)間上[0，＋∞]，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減?。缓瘮?shù)在x＝0處有最大值，記作：ymax＝0探索新知02思考

y＝ax2（a≠0）的圖象與y＝－ax2（a≠0）的圖象有什么內(nèi)在關(guān)系？知識點2

一元二次函數(shù)的圖象一般地，所以，y＝ax2（a≠0）與y＝－ax2（a≠0）關(guān)于x軸對稱．y＝ax2（a＞0）的圖象沿x軸翻折y＝－ax2（a＞0）的圖象探索新知02動手實踐

在同一坐標(biāo)系中做出下列函數(shù)的圖象：y＝2x2；y＝2(x＋1)2＋3；y＝2(x－1)2－3．知識點2

一元二次函數(shù)的圖象y＝2x2向左平移1個單位得到y(tǒng)＝2(x＋1)2，再向上平移3個單位得到y(tǒng)＝2(x＋1)2＋3；y＝2x2向右平移一個單位得到y(tǒng)＝2(x－1)2，再向下平移3個單位得到y(tǒng)＝2(x－1)2－3．探索新知02函數(shù)y＝ax2(a≠0)與函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)的圖象間的關(guān)系圖象關(guān)系：①函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖象與函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)的圖象形狀相同，位置不同；②函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)的圖象是由函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖象向左(h＜0)或向右(h＞0)平移|h|個單位長度，再向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|個單位長度得到的.參數(shù)h，k對函數(shù)圖象的影響：函數(shù)中，h決定了圖象的左右平移(h正右移，h負(fù)左移)k決定了圖象的上下平移(k正上移，k負(fù)下移)知識點2

一元二次函數(shù)的圖象特別提醒：在對圖象進行左右平移變換時，平移的單位量與方向是相對于自變量x

而言的.例如，將函數(shù)y＝(2x)2的圖象像左平移2個單位長度后，得到的是函數(shù)y＝[2(x+2)]2，即y＝(2x+4)2的圖象.探索新知02一元二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)有哪些性質(zhì)？知識點2

一元二次函數(shù)的圖象（1）函數(shù)y＝a（x－h(huán)）2＋k（a≠0）的圖象是一條拋物線，頂點坐標(biāo)是（h，k）對稱軸是直線x＝h；（2）當(dāng)a＞0時，拋物線開口向上，區(qū)間（－∞，h）上，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減?。辉趨^(qū)間[h，＋∞]上，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；函數(shù)在x＝h處有最小值，記作ymin＝k．當(dāng)a＜0時，拋物線開口向下；在區(qū)間（－∞，h）上，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；在區(qū)間上[h，＋∞]，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減??；函數(shù)在x＝h處有最大值，記作：ymax＝k．探索新知02思考交流

知識點2

一元二次函數(shù)的圖象函數(shù)y＝ax2(a≠0)與函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象間的關(guān)系將y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通過配方化為y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)的形式，然后通過將函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖象左右、上下平移得到函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象.一般地，一元二次函數(shù)的一般形式化成頂點式的方法——配方法：y＝ax2＋bx＋c＝

一元二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的頂點為

探索新知02如何作出二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象？(1)列表描點作圖法：①先確定圖象的頂點坐標(biāo)和對稱軸；②列表，在對稱軸兩側(cè)對稱地取自變量的值，并計算相應(yīng)的函數(shù)值；③描點并連線，把上述各點按從左到右的順序用平滑的曲線連接起來.(2)平移變化法：任意拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可以通過配方化為的形式，都可通過配方化為y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)的形式，都可由拋物線y＝ax2(a≠0)經(jīng)過適當(dāng)?shù)钠揭频玫?，具體的平移方法如下圖知識點3

一元二次函數(shù)圖象的畫法探索新知02y＝ax2的圖象向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|個單位長度y＝ax2+k的圖象知識點3

一元二次函數(shù)圖象的畫法y＝a(x－h(huán))2的圖象向左或向右平移|h|個單位長度y＝a(x－h(huán))2+k的圖象向左或向右平移|h|個單位長度向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|個單位長度向左(h＜0)或向右(h＞0)平移|h|個單位長度，再向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|個單位長度探索新知02一元二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性質(zhì)知識點4

一元二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)一元二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，且a≠0)圖象性質(zhì)開口方向?qū)ΨQ軸方程頂點坐標(biāo)

a＞0a＜0向上向下

探索新知02一元二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性質(zhì)知識點4

一元二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)一元二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，且a≠0)性質(zhì)變化趨勢最值

探索新知02二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的參數(shù)a，b，c對函數(shù)圖象有怎樣的影響？1.二次項系數(shù)a決定了函數(shù)圖象的開口方向及開口大小.知識點4

一元二次函數(shù)的性質(zhì)

3.c的值決定了拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與y軸交點的位置.當(dāng)x＝0時，y＝c，所以拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與y軸有且只有一個交點(0,c)，故(1)c＝0時，拋物線經(jīng)過原點；(2)c＞0時，拋物線與y軸交于正半軸；(3)c＜0時，拋物線與y軸交于負(fù)半軸.探索新知02例1已知一元二次函數(shù)y＝

x2＋2x＋5．解答：（1）由配方法（1）指出它的圖象可以由函數(shù)y＝

x2的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到；

（2）指出它的圖象的對稱軸，試述函數(shù)的變化趨勢及最大值或最小值．

函數(shù)y＝

x2的圖象

向左平移2個單位

向上平移3個單位

即探索新知02例1已知一元二次函數(shù)y＝

x2＋2x＋5．（1）指出它的圖象可以由函數(shù)y＝

x2的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到；

（2）指出它的圖象的對稱軸，試述函數(shù)的變化趨勢及最大值或最小值．（2）函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為x＝－2；在區(qū)間（－∞，－2）上，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，在區(qū)間[－2，＋∞]上，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，當(dāng)x＝－2時，函數(shù)取得最小值3，即ymin＝3題型突破03題型1一元二次函數(shù)的圖象識別題型突破03題型1一元二次函數(shù)的圖象識別題型突破03題型1一元二次函數(shù)的圖象識別題型突破03題型1一元二次函數(shù)的圖象識別題型突破03題型1一元二次函數(shù)的圖象識別題型突破03題型1一元二次函數(shù)的圖象識別題型突破03題型1一元二次函數(shù)的圖象識別題型突破03解題通法有關(guān)一元二次函數(shù)圖象識別問題的解題思路(1)對于一元二次函數(shù)的圖象判斷問題可以采用排除法，即抓住函數(shù)圖象的特征或特殊點，如圖象的開口方向，頂點位置，對稱軸及兩坐標(biāo)軸的交點所處的位置等作出判斷.(2)對于同一直角坐標(biāo)系中兩個含變量的函數(shù)圖象問題(一般為選擇題)，當(dāng)函數(shù)中含有一個變量時，常通過對變量的討論對函數(shù)圖象作出判斷；當(dāng)函數(shù)中含有兩個或以上的變量時，先在各選項中假設(shè)其中一個函數(shù)的圖象正確，由此確定變量的取值范圍，再由變量的取值范圍確定另一個函數(shù)圖象的位置，從而判斷圖象的正誤.題型1一元二次函數(shù)的圖象識別題型突破03題型2一元二次函數(shù)的解析式題型突破