高考真題與模擬訓(xùn)練專題練習(xí)專題10等差數(shù)列(原卷版+解析)

專題10等差數(shù)列第一部分真題部分一、選擇題1．（2021·北京高考真題）和是兩個(gè)等差數(shù)列，其中為常值，，，，則（）A． B． C． D．2．（2021·北京高考真題）數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，且，，則的最大值為（）A．9 B．10 C．11 D．123．（2020·浙江高考真題）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（）A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．4．（2019·全國(guó)高考真題（理））記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知，則A． B． C． D．二、填空題5．（2021·江蘇高考真題）已知等比數(shù)列的公比為，且，，成等差數(shù)列，則的值是___________.6．（2020·海南高考真題）將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為________．7．（2020·全國(guó)高考真題（文））記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則__________．8．（2019·江蘇高考真題）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和.若，則的值是_____.9．（2019·全國(guó)高考真題（理））記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，，則___________.三、解答題10．（2021·天津高考真題）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．（I）求和的通項(xiàng)公式；（II）記，（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明11．（2021·全國(guó)高考真題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值．12．（2021·全國(guó)高考真題）已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的前20項(xiàng)和.13．（2021·全國(guó)高考真題（理））已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．14．（2021·全國(guó)高考真題（理））記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項(xiàng)公式．15．（2019·江蘇高考真題）定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M－數(shù)列”.（1）已知等比數(shù)列{an}滿足：，求證:數(shù)列{an}為“M－數(shù)列”；（2）已知數(shù)列{bn}滿足:，其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；②設(shè)m為正整數(shù)，若存在“M－數(shù)列”{cn}，對(duì)任意正整數(shù)k，當(dāng)k≤m時(shí)，都有成立，求m的最大值．16．（2019·北京高考真題（文））設(shè){an}是等差數(shù)列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比數(shù)列．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn的最小值．第二部分模擬訓(xùn)練1．若數(shù)列為等差數(shù)列，且，，則（）A． B． C． D．2．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知點(diǎn)在直線上，若有且只有兩個(gè)正整數(shù)n滿足，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A． B．C． D．3．已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則下列數(shù)值中最大的是（）A． B．C． D．4．在正項(xiàng)等比數(shù)列中...滿足=.則（）A．4 B．3 C．5 D．85．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和______.6．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列滿足，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為______．7．設(shè)公差不為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若數(shù)列滿足：存在三個(gè)不同的正整數(shù)，使得成等比數(shù)列，也成等比數(shù)列，則的最小值為___________.8．已知定義在上的函數(shù)滿足.設(shè)在上的最大值記作，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則的最大值為___________.9．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，首項(xiàng)，且.數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.10．已知數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．11．已知數(shù)列滿足恒成立.（1）若且，當(dāng)成等差數(shù)列時(shí)，求的值；（2）若且，當(dāng)、時(shí)，求以及的通項(xiàng)公式；（3）若，，，，設(shè)是的前項(xiàng)之和，求的最大值.專題10等差數(shù)列第一部分真題部分一、選擇題1．（2021·北京高考真題）和是兩個(gè)等差數(shù)列，其中為常值，，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知條件可得，則，因此，.故選：B.2．（2021·北京高考真題）數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，且，，則的最大值為（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】若要使n盡可能的大，則，遞增幅度要盡可能小，不妨設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，則，，，所以n的最大值為11.故選：C.3．（2020·浙江高考真題）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（）A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得，，A正確；對(duì)于B，由題意可知，，，∴，，，．∴，．根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，，C正確；對(duì)于D，，，．當(dāng)時(shí)，，∴即；當(dāng)時(shí)，，∴即，所以，D不正確．故選：D.4．（2019·全國(guó)高考真題（理））記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知，則A． B． C． D．【答案】A【解析】由題知，，解得，∴，故選A．二、填空題5．（2021·江蘇高考真題）已知等比數(shù)列的公比為，且，，成等差數(shù)列，則的值是___________.【答案】4【解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，且公比為，所以，且，.因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，有，，解得.故答案為：.6．（2020·海南高考真題）將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為________．【答案】【解析】因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，所以的前項(xiàng)和為，故答案為：.7．（2020·全國(guó)高考真題（文））記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則__________．【答案】【解析】是等差數(shù)列，且，設(shè)等差數(shù)列的公差根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：可得即：整理可得：解得：根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式：可得：.故答案為：.8．（2019·江蘇高考真題）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和.若，則的值是_____.【答案】16.【解析】由題意可得：，解得：，則.9．（2019·全國(guó)高考真題（理））記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，，則___________.【答案】4.【解析】因，所以，即，所以．三、解答題10．（2021·天津高考真題）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．（I）求和的通項(xiàng)公式；（II）記，（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明【答案】（I），；（II）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.【解析】（I）因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．所以，所以，所以；設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，解得（負(fù)值舍去），所以；（II）（i）由題意，，所以，所以，且，所以數(shù)列是等比數(shù)列；（ii）由題意知，，所以，所以，設(shè)，則，兩式相減得，所以，所以.11．（2021·全國(guó)高考真題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值．【答案】(1)；(2)7.【解析】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，，從而：，由于公差不為零，故：，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，則：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為.12．（2021·全國(guó)高考真題）已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的前20項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題設(shè)可得又，，故，即，即所以為等差數(shù)列，故.（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，則，因?yàn)?，所?13．（2021·全國(guó)高考真題（理））已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】答案見解析【解析】選①②作條件證明③：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因?yàn)橐彩堑炔顢?shù)列，所以，解得；所以，所以.選①③作條件證明②：因?yàn)?，是等差?shù)列，所以公差，所以，即，因?yàn)椋允堑炔顢?shù)列.選②③作條件證明①：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因?yàn)?，所以，解得或；?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足等差數(shù)列的定義，此時(shí)為等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去.綜上可知為等差數(shù)列.14．（2021·全國(guó)高考真題（理））記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項(xiàng)公式．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由已知得,且，,取,由得,由于為數(shù)列的前n項(xiàng)積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差等差數(shù)列;（2）由（1）可得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，,,當(dāng)n=1時(shí)，,當(dāng)n≥2時(shí),,顯然對(duì)于n=1不成立,∴.15．（2019·江蘇高考真題）定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M－數(shù)列”.（1）已知等比數(shù)列{an}滿足：，求證:數(shù)列{an}為“M－數(shù)列”；（2）已知數(shù)列{bn}滿足:，其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；②設(shè)m為正整數(shù)，若存在“M－數(shù)列”{cn}，對(duì)任意正整數(shù)k，當(dāng)k≤m時(shí)，都有成立，求m的最大值．【答案】（1）見解析；（2）①bn=n；②5.【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，所以a1≠0，q≠0.由，得，解得．因此數(shù)列為“M—數(shù)列”.（2）①因?yàn)?，所以．由得，則.由，得，當(dāng)時(shí)，由，得，整理得．所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.因此，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=n.②由①知，bk=k，.因?yàn)閿?shù)列{cn}為“M–數(shù)列”，設(shè)公比為q，所以c1=1，q>0.因?yàn)閏k≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m.當(dāng)k=1時(shí)，有q≥1；當(dāng)k=2，3，…，m時(shí)，有．設(shè)f（x）=，則．令，得x=e.列表如下：xe(e，+∞)+0–f（x）極大值因?yàn)?，所以．取，?dāng)k=1，2，3，4，5時(shí)，，即，經(jīng)檢驗(yàn)知也成立．因此所求m的最大值不小于5．若m≥6，分別取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，從而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.綜上，所求m的最大值為5．16．（2019·北京高考真題（文））設(shè){an}是等差數(shù)列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比數(shù)列．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，解得，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知,所以；當(dāng)或者時(shí)，取到最小值.第二部分模擬訓(xùn)練1．若數(shù)列為等差數(shù)列，且，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】故選：C2．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知點(diǎn)在直線上，若有且只有兩個(gè)正整數(shù)n滿足，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：由已知可得，由，所以數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為8，公差為-2，所以，當(dāng)n=4或5時(shí)，取得最大值為20，因?yàn)橛星抑挥袃蓚€(gè)正整數(shù)n滿足，所以滿足條件的和，因?yàn)椋詫?shí)數(shù)k的取值范圍是．故選：C．3．已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則下列數(shù)值中最大的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，，解得，，，，可得是單調(diào)遞增數(shù)列，所以在，，，中，最大的為．故選：D.4．在正項(xiàng)等比數(shù)列中...滿足=.則（）A．4 B．3 C．5 D．8【答案】A【解析】由題意得公比，首項(xiàng)，∴，由，可得，解得,故選：A.5．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和______.【答案】【解析】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，.故答案為：6．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列滿足，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為______．【答案】65【解析】由知：，則，得，∴，而，∴，故數(shù)列的前10項(xiàng)和為，故答案為：65.7．設(shè)公差不為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若數(shù)列滿足：存在三個(gè)不同的正整數(shù)，使得成等比數(shù)列，也成等比數(shù)列，則的最小值為___________.【答案】【解析】設(shè)，，由題意成等比數(shù)列，，所以，也成等比數(shù)列，，所以，所以，所以，，所以，．，，設(shè)，由勾形函數(shù)性質(zhì)知在上遞減，在上遞增，又，，，所以的最小值為45．即的最小值為45．故答案為：45．8．已知定義在上的函數(shù)滿足.設(shè)在上的最大值記作，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則的最大值為___________.【答案】【解析】由題意，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)函數(shù)在上的最大值為，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)，所以，此時(shí)函數(shù)在上的最大值為，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的最大值為，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為.