微積分-經(jīng)管類(lèi)-上冊(cè)4.7 習(xí)題課

第4章習(xí)題課一、基本概念

二、多元函數(shù)微分法三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用多元函數(shù)微分法一、基本概念連續(xù)性

偏導(dǎo)數(shù)存在

方向?qū)?shù)存在可微性1.多元函數(shù)的定義、極限、連續(xù)

定義域及對(duì)應(yīng)規(guī)律

判斷極限不存在及求極限的方法

函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì)2.幾個(gè)基本概念的關(guān)系思考與練習(xí)1.

討論二重極限解法1解法2

令解法3

令時(shí),下列算法是否正確?分析:解法1解法2令此法第一步排除了沿坐標(biāo)軸趨于原點(diǎn)的情況,此法排除了沿曲線趨于原點(diǎn)的情況.此時(shí)極限為1.第二步未考慮分母變化的所有情況,解法3

令此法忽略了

的任意性,極限不存在!由以上分析可見(jiàn),三種解法都不對(duì),因?yàn)槎疾荒鼙ＷC自變量在定義域內(nèi)以任意方式趨于原點(diǎn).特別要注意,在某些情況下可以利用極坐標(biāo)求極限,但要注意在定義域內(nèi)r,

的變化應(yīng)該是任意的.同時(shí)還可看到,本題極限實(shí)際上不存在.提示:

利用故f

在(0,0)連續(xù);知在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,但不可微.2.證明:而所以f

在點(diǎn)(0,0)不可微!例1.

已知求出的表達(dá)式.解法1

令即解法2

以下與解法1相同.則且二、多元函數(shù)微分法顯示結(jié)構(gòu)隱式結(jié)構(gòu)1.分析復(fù)合結(jié)構(gòu)(畫(huà)變量關(guān)系圖)自變量個(gè)數(shù)=變量總個(gè)數(shù)–方程總個(gè)數(shù)自變量與因變量由所求對(duì)象判定2.正確使用求導(dǎo)法則“分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)”注意正確使用求導(dǎo)符號(hào)3.利用一階微分形式不變性例2.

設(shè)其中f與F分別具解法1

方程兩邊對(duì)x

求導(dǎo),得有一階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù),

求(1999考研)解法2方程兩邊求微分,得化簡(jiǎn)消去即可得例3.設(shè)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且求解:三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用1.在幾何中的應(yīng)用求曲線在切線及法平面(關(guān)鍵:抓住切向量)

求曲面的切平面及法線(關(guān)鍵:抓住法向量)

2.極值與最值問(wèn)題

極值的必要條件與充分條件

求條件極值的方法(消元法,拉格朗日乘數(shù)法)

求解最值問(wèn)題3.在微分方程變形等中的應(yīng)用

最小二乘法例4.在第一卦限作橢球面的切平面,使其在三坐標(biāo)軸上的截距的平方和最小,并求切點(diǎn).解:

設(shè)切點(diǎn)為則切平面的法向量為即切平面方程問(wèn)題歸結(jié)為求在條件下的條件極值問(wèn)題.設(shè)拉格朗日函數(shù)切平面在三坐標(biāo)軸上的截距為令由實(shí)際意義可知為所求切點(diǎn).唯一駐點(diǎn)例5.求旋轉(zhuǎn)拋物面與平面之間的最短距離.解:設(shè)為拋物面上任一點(diǎn)，則