2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)中關(guān)村中學(xué)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)中關(guān)村中學(xué)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A=xx2?3x<0，B=xA.0,+∞ B.2,+∞ C.2,3 D.0,32.若|a|=1,|b|=2,(a?b)⊥A.30° B.60° C.120°3.已知?ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若acosA=bcosBA.鈍角三角形 B.等邊三角形

C.等腰直角三角形 D.直角三角形，但不是等腰三角形4.已知a<b<0<c，則下列不等式正確的是(

)A.ba>ab B.a2>5.如圖，在?ABC中，BC=6，D，E是BC的三等分點，且AD?AE=4，則錯誤的是(

)

A.AD=12AB+12AE 6.已知函數(shù)fx=aex?xA.0<a<2e B.0<a<ln2 C.7.已知無窮數(shù)列{an}滿足an+1=an+t(t為常數(shù))，Sn為{an}的前n項和，則“t≥0”是“{an}和{Sn}都有最小項”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知Ax1,0，Bx2,0兩點是函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,φ∈(0,π))與x軸的兩個交點，且滿足x1?x2A.π6 B.π3 C.2π39.若函數(shù)fx=x+3x,x≤0A.a<163 B.a≤163 C.10.設(shè)函數(shù)fx=cosx+A.函數(shù)fx的一個周期為π；

B.函數(shù)fx的值域是?22,2；

C.函數(shù)fx的圖象上存在點Px,y，使得其到點1,0的距離為22二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.函數(shù)f(x)=x+1x2的定義域為12.若i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足z1?i=3?4i，則z的虛部為

13.已知數(shù)列an滿足a1=2，且an+1=Sn+1n∈N?14.已知雙曲線x2?y23=1的左頂點為A1，右焦點為F2，P為雙曲線右支上一動點，則雙曲線的漸近線為15.已知函數(shù)fx=①若fx有最小值，則a的取值范圍是?②當(dāng)a>0時，若fx=t無實根，則t的取值范圍是③當(dāng)a≤?12時，不等式fx④當(dāng)a≥1時，若存在x1<x2，滿足其中，所有正確結(jié)論的序號為

．三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題12分)已知等差數(shù)列an的公差為d，前n項和為Sn，滿足a1=1，d>0，且a1(1)求數(shù)列an(2)記bn=an+2an17.(本小題12分)如圖，?ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且3(1)求角B的大小；(2)若a=3，S△ABC(i)求sinA(ii)求∠ABC的角平分線BD的長．18.(本小題12分)某公園有一塊如圖所示的區(qū)域OACB，該場地由線段OA、OB、AC及曲線段BC圍成.經(jīng)測量，∠AOB=90°，OA=OB=100米，曲線BC是以O(shè)B為對稱軸的拋物線的一部分，點C到OA、OB的距離都是50米.現(xiàn)擬在該區(qū)域建設(shè)一個矩形游樂場OEDF，其中點D在曲線段BC上，點E、F分別在線段OA、OB上，且該游樂場最短邊長不低于30米.設(shè)DF=x米，游樂場的面積為

(1)試建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線段BC的方程；(2)求面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式S=fx(3)試確定點D的位置，使得游樂場的面積S最大．19.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=asinωxcos(1)求fx(2)設(shè)g(x)=f(x)?2cos2ωx+1，求函數(shù)g條件①：fπ條件②：fx條件③：fx的最大值為1條件④：fx圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為π220.(本小題12分)已知函數(shù)fx(1)若a=0，求f(x)在點0,f0(2)若f(x)在?1,1上恰有一個極小值點，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若對于任意x∈0,π2,f21.(本小題12分)已知S=1,2,…,n，A?S，T=t1,t2?S(I)若n=5，A=1,2,5，A1∩(II)若n=7，A=4，則對于任意的A，是否都存在T，使得A(III)若A=5，對于任意的A，都存在T，使得A1∩A2參考答案1.C

2.B

3.B

4.D

5.B

6.A

7.B

8.A

9.C

10.D

11.?1,0∪12.5213.243?

14.y=±?2

15.②③④

16.解：(Ⅰ)由題意，可知a2=1+d，S3=3×1+3×22d=3+3d，

∵a1，a2，S3成等比數(shù)列，

∴a22=a1?S3，即(1+d)2=1?(3+3d)，

化簡整理，得d2?d?2=0，

解得d=?1(舍去)，或d=2，

∴17.(1)解：=所以，sinB=?3又因為0<B<π，故B=2π(2)解：(i)因為S△ABC=1由余弦定理可得b2=a由正弦定理可得asinA=(ii)因為S△ABC=S因此，BD=15

18.(1)以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA、OB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A100,0，B0,100，

設(shè)曲線BC所在的拋物線方程為y=ax2+c，a<0，點B則c=1002500a+c=50，解得a=?150所以曲線段BC所在的拋物線方程為y=?1(2)因為點D在曲線段BC上，DF=x，30≤x≤50，所以DE∴S=fx=x?(3)∵f′x=?3令?350x當(dāng)x∈30,5063時，f所以x∈30,5063時，函數(shù)f因此，當(dāng)x=506即當(dāng)點D在曲線段BC上且到OB的距離為50

19.解：(1)因為fx=asinωxcosωxa>0,ω>0，所以fx=12asin2ωx，

顯然當(dāng)a≠0時fx為奇函數(shù)，故②不能選，

若選擇①③，即fx=12asin2ωx最大值為1，所以12a=1，解得a=2，

所以fx=sin2ωx，又fπ4=1，

所以fπ4=sin2ω×π4=1，即π2ω=π2+2kπ，k∈Z，

解得ω=1+4k，k∈Z，故fx不能唯一確定，故舍去；

若選擇①④，即fx圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為π2，所以2π2ω=π，解得ω=1，

所以fx=12asin2x，又fπ4=12asin2×π4=1，所以12a=1，解得20.解：(Ⅰ)若a=0時，f(x)=ex(x2+1)，則f′(x)=ex(x2+2x+1)，

∴f′(0)=1，f(0)=1，

∴f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y?1=x，即y=x+1．

(Ⅱ)函數(shù)f(x)=ex(x2+ax+1)，則f′(x)=ex[x2+(a+2)x+a+1]，

令f′(0)=0得x1=?a?1，x2=?1，

x

(?∞,?1)?1

(?1,?a?1)?a?1

(?a?1,+∞)

f′(x)+

0?

0+

f(x)

單調(diào)遞增

極大值

單調(diào)遞減

極小值單調(diào)遞增若f(x)在(?1,1)上恰有一個極小值點，則需滿足?1<?a?1<1，

∴?2<a<0，

即實數(shù)a的取值范圍為(?2,0)．

(Ⅲ)∵ex>0，∴f(x)=ex(x2+ax+1)>ex(x2cosx+1)可化為x2+ax>x2cosx，

又∵x>0，∴x+a>xcosx，

即對于任意x∈(0?,??π2?],a>xcosx?x恒成立，

令g(x)=xcosx?x，則g′(x)=cosx?xsinx?1=(cosx?1)?xsinx，

∵x∈(0,21.(I)若A1∩A2=?，則t又n=5，A=1,2,5，2?1=1,5?2=3,5?1=4，則t1,所以T=1,3，或T=2,4，或(II)不一定存在，當(dāng)A=1,2,5,7時，2