2024-2025學(xué)年湖南師大附中大聯(lián)考高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（一）（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年湖南師大附中大聯(lián)考高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（一）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知A={x|x2+x?6≤0}，B={x|lg(x?1)<0}A.{x|?3≤x≤2} B.{x|?3≤x<2} C.{x|1<x≤2} D.{x|1<x<2}2.若復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=?3+i(i是虛數(shù)單位)，則|z|等于(

)A.102 B.54 C.3.已知平面向量a=(5,0),b=(2,?1)，則向量a+b在向量A.(6,?3) B.(4,?2) C.(2,?1) D.(5,0)4.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a3+aA.21 B.19 C.12 D.425.某校高二年級(jí)下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷滿分為150分，90分以上為及格.閱卷結(jié)果顯示，全年級(jí)1200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布，試卷的難度系數(shù)(難度系數(shù)=平均分/滿分)為0.49，標(biāo)準(zhǔn)差為22，則該次數(shù)學(xué)考試及格的人數(shù)約為(????)附：若X～N(μ,σ2)，記p(k)=P(μ?kσ≤X≤μ+kσ)，則p(0.75)≈0.547，p(1)≈0.683A.136人 B.272人 C.328人 D.820人6.已知α,β∈(0,π2),cos(α?β)=A.π6 B.π4 C.π37.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線x2a2?y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，以F2A.(1,263) B.(1，38.已知函數(shù)f(x)=a·2x,x≤0,log2x,x>0,若關(guān)于xA.(0,1) B.(?∞,0)∪(0,1) C.[1,+∞) D.(0,1)∪(1,+∞)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D中，E,F,M,N分別為棱AA.E,F,M,P四點(diǎn)共面

B.平面PEF被正方體截得的截面是等腰梯形

C.EF//平面PMN

D.平面MEF⊥平面PMN10.已知函數(shù)f(x)=2cos2x+A.f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心為38π,0

B.f(x)的圖象向右平移3π8個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的是奇函數(shù)的圖象

C.f(x)在區(qū)間5π8,7π8上單調(diào)遞增

D.若y=f(x)在區(qū)間11.已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(2+x)+g(?x)=1，則(

)A.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱 B.f(x)是以8為周期的周期函數(shù)

C.g(2?024)=0 D.k=1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(x+3y?1)6的展開(kāi)式中x2y的系數(shù)為13.已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f′(?x)>2f(x)，且f(1)=0，則不等式f(x)>0的解集為

．14.已知點(diǎn)C為扇形AOB的弧AB上任意一點(diǎn)，且∠AOB=60°，若OC=λOA+μO(píng)B(λ,μ∈R)，則λ+μ四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知2a+b=2ccos(1)求角C；(2)若角C的平分線CD交AB于點(diǎn)D，AD=313，DB=1316.(本小題12分)已知x=1e為函數(shù)(1)求a的值；(2)設(shè)函數(shù)g(x)=kxex，若對(duì)?x1∈(0,+∞)，?17.(本小題12分)已知四棱錐P?ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，AD?//?BC，AB⊥BC，PA=PB=22AB，AB=BC=2AD，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱PC上異于(1)證明：BD⊥EF；(2)試確定點(diǎn)F的位置，使EF與平面PCD所成角的余弦值為701418.(本小題12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C1：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于橢圓C2：x2+16y2=1的短軸長(zhǎng)，點(diǎn)P(1)若r=12，Q為圓E上的動(dòng)點(diǎn)，求線段(2)設(shè)D(1,t)是拋物線C1上位于第一象限的一點(diǎn)，過(guò)D作圓E的兩條切線，分別交拋物線C1于點(diǎn)M，N.證明：直線MN19.(本小題12分)

入冬以來(lái)，東北成為全國(guó)旅游話題的“頂流”.南方游客紛紛北上，體驗(yàn)東北最美的冬天.某景區(qū)為給顧客更好的體驗(yàn)，推出了A和B兩個(gè)套餐服務(wù)，并在購(gòu)票平臺(tái)上推出了優(yōu)惠券活動(dòng)，顧客可自由選擇A和B兩個(gè)套餐之一，下表是該景區(qū)在購(gòu)票平臺(tái)10天銷售優(yōu)惠券情況．日期t12345678910銷售量y(千張)1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4經(jīng)計(jì)算可得：y?=110i=110yi=2.2，i=110tiyi=118.73，i=110ti2=385．

(1)由于同時(shí)在線人數(shù)過(guò)多，購(gòu)票平臺(tái)在第10天出現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)擁堵，導(dǎo)致當(dāng)天顧客購(gòu)買(mǎi)的優(yōu)惠券數(shù)量大幅減少，現(xiàn)剔除第10天數(shù)據(jù)，求y關(guān)于t的回歸方程(精確到0.01)，并估計(jì)第10天的正常銷量；

(2)假設(shè)每位顧客選擇A套餐的概率為25，選擇B套餐的概率為35，其中A套餐包含一張優(yōu)惠券，B套餐包含兩張優(yōu)惠券，截止某一時(shí)刻，該平臺(tái)恰好銷售了n張優(yōu)惠券，設(shè)其概率為Pn，求Pn；

(3)記(2)中所得概率Pn的值構(gòu)成數(shù)列{Pn}(n∈N?)．

①求數(shù)列{Pn}的最值；參考答案1.D

2.C

3.A

4.A

5.B

6.D

7.B

8.C

9.BD

10.BD

11.ABC

12.?180

13.(?1,0)∪(1,+∞)

14.1,215.解：(1)由2a+b=2ccos根據(jù)正弦定理可得2sinA+sin則2sin(B+C)+sin所以2sinBcosC+2cosBsinC+sinB=2sinCcosB，整理得因?yàn)锽,C均為三角形內(nèi)角，所以B,C∈(0,π)，sinB≠0因此cosC=?12(2)因?yàn)镃D是角C的平分線，AD=313，所以在△ACD和△BCD中，由正弦定理可得，ADsin?π因此sin?Bsin?A=AD又由余弦定理可得c2=a解得a=4，所以b=12，又S△ABC=S△ACD+即48=16CD，所以CD=3．

16.解：(1)f′x=axa?1lnx+xa·1x=xa?1alnx+1，x>0，

由f′(1e)=(1e)a?1(aln1e+1)=0，得a=1，

當(dāng)a=1時(shí)，f′(x)=lnx+1，

當(dāng)x∈(0,1e)時(shí)，f′(x)<0，

當(dāng)x∈(1e,+∞)時(shí)，f′(x)>0，

所以函數(shù)f(x)在(0,1e)上單調(diào)遞減，在(1e,+∞)上單調(diào)遞增，

所以x=1e為函數(shù)f(x)=xalnx的極小值點(diǎn)，

所以a=1；

(2)由(1)知f(x)min=f(1e)=?1e，

函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g′(x)=k(1?x)e?x，

①若k>0，當(dāng)x<1時(shí)，g′(x)>0，g(x)在(?∞,1)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x>1時(shí)，g′(x)<0，g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，

對(duì)?x1∈(0,+∞)，?x2=?117.解：(1)如圖，連接PE，EC，EC交BD于點(diǎn)G．因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，PA=PB，所以PE⊥AB．因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE?平面PAB，所以PE⊥平面ABCD，因?yàn)锽D?平面ABCD，所以PE⊥BD．

直角三角形ABD中，AB=2AD，直角三角形BCE中，BC=2BE，

且AD=BE，AB=BC，所以△ABD≌△BCE，

所以∠CEB=∠BDA，所以∠CEB+∠ABD=90°，所以BD⊥EC，因?yàn)镻E∩EC=E，PE，EC?平面PEC，所以BD⊥平面PEC．因?yàn)镋F?平面PEC，所以BD⊥EF．(2)如圖，取DC的中點(diǎn)H，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EB，EH，EP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AB=2，則BC=2，AD=1，PA=PB=則P(0,0,1)，C(1,2,0)，D(?1,1,0)，E(0,0,0)，設(shè)F(x,y,z)，PF=λ所以(x,y,z?1)=λ(1,2,?1)，所以x=λ，y=2λ，z=1?λ，即F(λ,2λ,1?λ)．則DC=(2,1,0)，PC=(1,2,?1)，設(shè)平面PCD的法向量為m=(a,b,c)DC·m=0PC·設(shè)EF與平面PCD所成的角為θ，由cos?θ=70所以sin?θ=|cosm整理得6λ因?yàn)?<λ<1，所以λ=13，即故當(dāng)F位于棱PC靠近P的三等分點(diǎn)時(shí)，EF與平面PCD所成角的余弦值為70

18.解：(1)由題意得橢圓的方程：x2+y所以p=2b=2×14=12設(shè)點(diǎn)P(t2,t)，則|PQ|≥|PE|?所以當(dāng)t2=32時(shí)，線段(2)∵D(1,t)是拋物線C1∴t2=1，且t>0設(shè)M(a2,a)則直線MN：y?a=b?ab2?a2(x?直線DM：y?1=a?1a2由直線DM與圓相切得|a+2|1+(a+1)2=r同理，由直線DN與圓相切得(r所以a，b是方程(r∴a+b=4?2r2代入方程x?(a+b)y+ab=0得(x+2y+2)r∴x+2y+2=0x+4y+4=0，解得∴直線MN恒過(guò)定點(diǎn)(0,?1)．

19.解：(1)剔除第10天數(shù)據(jù)后的(y?)新=19i=19yi=2.2×10?0.49=2.4，(t?)新=1+2+???+99=5，(i=19tiyi)新=118.73?1