江西省南昌市高三第二次模擬測試數(shù)學試題

江西省南昌市2024屆高三第二次模擬測試數(shù)學試題一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量，則（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標運算，代入計算即可.【詳解】由題意得，.故選：B.2.設(shè)復數(shù)滿足，則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】借助復數(shù)的四則運算與模長定義計算即可得.【詳解】由題意可得，所以．

故選：B.3.已知集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】解集合中的不等式，得到這兩個集合，由集合的包含關(guān)系，判斷條件的充分性和必要性.【詳解】不等式解得，則；不等式解得，則.，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A4.已知，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別在條件下化簡不等式求其解可得結(jié)論.【詳解】當時，不等式可化為，所以，可得；當時，不等式可化為，所以，且，所以，所以不等式的解集是，故選：B.5.在三棱錐中，平面，，，，分別為，的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A.，是異面直線， B.，是相交直線，C.，是異面直線，與不垂直 D.，是相交直線，與不垂直【答案】A【解析】【分析】先用定理判斷，是異面直線，再證明與垂直，連接，即可得到平面，取的中點，連接，，從而得到、，即可證明平面，從而得解．【詳解】顯然根據(jù)異面直線判定方法：經(jīng)過平面外一點與平面內(nèi)一點直線與平面內(nèi)不經(jīng)過點的直線是異面直線．下面證明與垂直：證明：因為平面，平面，所以，因為，分別為的中點，連接，所以，因為，平面，所以平面，如圖：取的中點，連接，，因為平面，所以，又因為，所以，因為，所以，又因為為的中點，所以，因為，平面，所以平面，又因為平面，所以．故選：A．6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦的和角公式化簡得，再根據(jù)二倍角公式及誘導公式計算即可.【詳解】由已知知：，化簡得，令，則，，所以.故選：D7.已知雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線的右支上有一點與雙曲線的左支交于，線段的中點為，且滿足，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)、雙曲線的定義結(jié)合余弦定理計算即可.【詳解】由題意可知線段的中點為，且滿足，則,故為等腰三角形，又，則為正三角形，根據(jù)雙曲線定義知，設(shè)，則，在中，由余弦定理知，故選：D8.校足球社團為學校足球比賽設(shè)計了一個獎杯，如圖，獎杯的設(shè)計思路是將側(cè)棱長為6的正三棱錐的三個側(cè)面沿AB，BC，AC展開得到面，使得平面均與平面ABC垂直，再將球放到上面使得三個點在球的表面上，若獎杯的總高度為，且，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由獎杯的總高度為，結(jié)合題意，可將其拆解為多段，得到，結(jié)合題目所給條件，運用勾股定理計算即可得球的半徑，結(jié)合球的表面積公式即可得解.【詳解】如圖：連接、、，取、、中點、、，連接、、，由已知側(cè)棱長為的正三棱錐，即，又因為，所以，因為平面，，均與平面垂直，設(shè)，，三點所在的圓為圓，底面的中心為，則，又因為獎杯總高度為，設(shè)球半徑為，球心到圓面的距離為，則，即，如圖，易知≌，因為，所以是邊長為的等邊三角形，設(shè)的外接圓半徑為，則，則直角中，，即，解得，所以．故選：C．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于借助獎杯的總高度為，得到，從而可由題目所給條件逐步計算出球的半徑，即可得解.二、選擇題:本題共3小題，每題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.為了解中學生喜愛足球運動與性別是否有關(guān)，甲、乙兩校課題組分別隨機抽取了本校部分學生進行調(diào)查，得到如下兩個表格:喜愛足球運動不喜愛足球運動合計男性15520女性81220合計231740甲校樣本喜愛足球運動不喜愛足球運動合計男性7030100女性4555100合計11585200乙校樣本（參考公式及數(shù)據(jù):）.0.10.010.0012.7066.63510.828則下列判斷中正確的是（）A.樣本中，甲校男學生喜愛足球運動的比例高于乙校男學生喜愛足球運動的比例B.樣本中，甲校女學生喜愛足球運動的比例高于乙校女學生喜愛足球運動的比例C.根據(jù)甲校樣本有的把握認為中學生喜愛足球運動與性別有關(guān)D.根據(jù)乙校樣本有的把握認為中學生喜愛足球運動與性別有關(guān)【答案】AD【解析】【分析】對AB，根據(jù)甲乙兩校男女學生喜愛足球運動的比例大小判斷即可；對CD，根據(jù)獨立性檢驗的性質(zhì)判斷即可.【詳解】對A，甲校男學生喜愛足球運動的比例，乙校男學生喜愛足球運動的比例，即甲校男學生喜愛足球運動的比例高于乙校男學生喜愛足球運動的比例，故A正確；對B，甲校女學生喜愛足球運動的比例，乙校女學生喜愛足球運動的比例，即甲校女學生喜愛足球運動的比例低于乙校女學生喜愛足球運動的比例，故B錯誤；對C，甲校中，所以根據(jù)甲校樣本沒有的把握認為中學生喜愛足球運動與性別有關(guān)，故C錯誤；對D，乙校中，所以根據(jù)乙校樣本有的把握認為中學生喜愛足球運動與性別有關(guān)，故D正確；故選：AD10.已知，則下列說法中正確的是（）A.在上可能單調(diào)遞減B.若在上單調(diào)遞增，則C.是的一個對稱中心D.所有的對稱中心在同一條直線上【答案】BCD【解析】【分析】對A：計算導數(shù)，可得當或時，不恒成立；對B：計算導數(shù)，令計算即可得；對C：驗證是否成立即可得；對D：可得關(guān)于，對稱，即可得解.【詳解】，則，對A：當時，恒成立，單調(diào)遞增，當或時，不恒成立，不可能單調(diào)遞減，綜上，在上不可能單調(diào)遞減，故A錯誤；對B：若在上單調(diào)遞增，則恒成立，所以，故B正確；對C：因為，所以關(guān)于對稱，故C正確；因為，，所以關(guān)于，對稱，所以所有的對稱中心在直線上，故D正確．故選：BCD．11.已知，為上一點，且滿足.動點滿足，為線段上一點，滿足，則下列說法中正確的是（）A.若，則為線段BC的中點B.當時，的面積為C.點到的距離之和的最大值為5D.的正切值的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】對A，利用等腰三角形的兩底角相等，以及直角三角形的性質(zhì)即可判斷；對B，根據(jù)余弦定理可得，進而可得，結(jié)合三角形面積公式求解即可；對C，先證明，然后根據(jù)兩點之間線段最短可證明，再給出取等的例子即可；對D，用余弦定理證明，再得到，最后給出一個取等的例子即可.【詳解】對A，若，則，從而.再由知.故，這得到所以，從而為線段BC的中點，故A正確；對B，當時，，則，又，故，故，故B錯誤；對C，由于，故，從而，故.而，故.這表明，即，化簡即為.所以，故.由于，故，從而.再由，知.當點在同一條直線上順次排列，且，，，時，驗證知點滿足全部條件，且此時有.所以點到的距離之和的最大值為，故C正確；對D，一方面由于，，故，從而.所以，即.所以，所以.由，及，可知.另一方面，如上圖所示，考慮一個邊長為的正三角形，分別設(shè)的中點為，再分別設(shè)的中點為.則，，，，，.所以滿足全部條件，且此時.綜上，的最大值是，故D正確.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點在于，在D選項中，需要先用余弦定理考慮的下界，再相應(yīng)地推出的上界，進而得到的最大值.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在中，角A，B，C所對的邊分別為，若，則_____________.【答案】2【解析】【分析】先由條件說明存在，再結(jié)合正弦定理即可求出.【詳解】由知，故存在.再由正弦定理，即可得到.故答案為：.13.一次知識競賽中，共有五個題，參賽人每次從中抽出一個題回答（抽后不放回）.已知參賽人甲A題答對的概率為，B題答對的概率為，題答對的概率均為，則甲前3個題全答對的概率為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可知，甲抽中的前三題按題型概率不同有四種組合，可用組合數(shù)依次計算每種組合的概率，然后根據(jù)每種組合中每題是否答對為獨立事件，,可依次計算每種組合下全部答對的概率，最后相加即可.【詳解】甲抽中前三題按題型概率不同有四種組合：抽中，剩余一題為三題中的任意一題，且全部答對，則概率為：；抽中，且全部答對，則概率為：；抽中A，剩余兩題為中的任意兩題，且全部答對，則概率為：；抽中B，剩余兩題為中的任意兩題，且全部答對，則概率為：.所以甲前3個題全答對的概率為.故答案為：.14.如圖，有一張較大的矩形紙片分別為AB，CD的中點，點在上，.將矩形按圖示方式折疊，使直線AB（被折起的部分）經(jīng)過P點，記AB上與點重合的點為，折痕為.過點再折一條與BC平行的折痕，并與折痕交于點，按上述方法多次折疊，點的軌跡形成曲線.曲線在點處的切線與AB交于點，則的面積的最小值為_________________.【答案】##【解析】【分析】先根據(jù)題意得出Q的軌跡是以P為焦點、直線AB為準線的拋物線，進而得出曲線E的方程，然后建立坐標系求出點Q處的切線方程進而求出點N，從而求出，再利用導數(shù)工具研究其最值問題即可求解.【詳解】連接PQ，由題PQ與MQ關(guān)于對稱，，所以Q在以P為焦點、直線AB為準線的拋物線上，如圖，以PO中點G為原點，過G與AB平行的直線為軸，與AB垂直的直線為軸建立平面直角坐標系，則，直線AB：，所以拋物線方程為：，即，則，由上可設(shè)，則拋物線在Q點處切線斜率為，所以拋物線在Q點處切線方程為，則令，，所以由題意，且，所以，故對恒成立，所以時單調(diào)遞減，又當時，，故時，；時，，所以時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減，所以，則，所以的面積的最小值為，故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：將求面積轉(zhuǎn)化成求面積是解決面積最值的關(guān)鍵.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）當時，求;（2）若，設(shè)，求的通項公式.【答案】（1）100（2）【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列定義得出為等差數(shù)列，由已知求出公差，結(jié)合等差數(shù)列求和公式即可得解；（2）由定義證明數(shù)列是等比數(shù)列，由此即可得解.【小問1詳解】當時，有，即，所以為等差數(shù)列，因為，所以，所以.【小問2詳解】由已知，，所以，即，且，所以是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.16.一條生產(chǎn)電阻的生產(chǎn)線，生產(chǎn)正常時，生產(chǎn)的電阻阻值（單位:）服從正態(tài)分布.（1）生產(chǎn)正常時，從這條生產(chǎn)線生產(chǎn)電阻中抽取2只，求這兩只電阻的阻值在區(qū)間和內(nèi)各一只的概率;（精確到）（2）根據(jù)統(tǒng)計學的知識，從服從正態(tài)分布的總體中抽取容量為的樣本，則這個樣本的平均數(shù)服從正態(tài)分布.某時刻，質(zhì)檢員從生產(chǎn)線上抽取5只電阻，測得阻值分別為：1000，1007，1012，1013，1013（單位：Ω）.你認為這時生產(chǎn)線生產(chǎn)正常嗎？說明理由．（參考數(shù)據(jù)：若，則，，.）【答案】（1）0.093（2）不正常，理由見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)分別求電阻阻值在和在的概率，再結(jié)合概率公式求結(jié)論，（2）根據(jù)原則判斷即可.【小問1詳解】電阻阻值服從正態(tài)分布.所以，.所以生產(chǎn)正常時，從這條生產(chǎn)線生產(chǎn)的電阻中抽取1只，則這只電阻阻值在和在的概率分別為，.因此這兩只電阻的阻值在區(qū)間和內(nèi)各一只的概率；【小問2詳解】生產(chǎn)正常時，這5個樣本的平均數(shù)服從正態(tài)分布，即，記，計算可得，而，即，因為在一次實驗中，小概率事件發(fā)生了，因此認為這時生產(chǎn)線生產(chǎn)不正常.17.已知橢圓經(jīng)過點為橢圓的右頂點，為坐標原點，的面積為.（1）求橢圓的標準方程;（2）過點作直線與橢圓交于A，B，A關(guān)于原點的對稱點為，若，求直線AB的斜率.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）由的面積為，求出，又因為在橢圓上，求解橢圓的方程即可；（2）畫圖分析，因為為AC的中點，所以，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立方程組，利用韋達定理求解即可.【小問1詳解】因為的面積為，則有，解得，又因為在橢圓上，則，解得，所以橢圓的標準方程為;【小問2詳解】如圖：因為為AC的中點，所以，設(shè)，設(shè)直線的方程，并與橢圓的方程進行聯(lián)立，可得，消去得，則有，因為，則有，則，即，，即，解得，所以直線AB的斜率為.18.已知且.（1）當時，求證：在上單調(diào)遞增;（2）設(shè)，已知，有不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，通過構(gòu)造函數(shù)求最值的方法證明.（2）不等式恒成立，即，通過構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性求最值的方法，求不等式恒成立時實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當時，，則，令，則，兩邊取對數(shù)得.設(shè)，則，所以在單調(diào)遞增，所以時，即時，，所以時恒成立，即，所以在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】法一:，即，兩邊取對數(shù)得:，即.設(shè)，則問題即為：當時，恒成立.只需時，.，令得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.又因為，則，所以時，單調(diào)遞減，所以時，，所以即.設(shè)，則，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以，當時，，時，，所以的圖象與軸有1個交點，設(shè)這個交點為，因為，所以；所以當時，，即當時，不等式，所以當不等式在恒成立時，.即實數(shù)的取值范圍為.法二：，即，兩邊取對數(shù)得：，即設(shè)，令得，當時，，單調(diào)遞減.又因為，所以，在單調(diào)遞減，由，則在恒成立，即，上式等價于，即，由在單調(diào)遞減，所以.即實數(shù)的取值范圍為.【點睛】方法點睛：導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}，注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．證明不等式，構(gòu)造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.19.如圖所示，用一個不平行于圓柱底面的平面，截該圓柱所得的截面為橢圓面，得到的幾何體稱之為“斜截圓柱”.圖一與圖二是完全相同的“斜截圓柱”，AB是底面圓的直徑，，橢圓所在平面垂直于平面ABCD，且與底面所成二面角為，圖一中，點是橢圓上的動點，點在底面上的投影為點，圖二中，橢圓上的點在底面上的投影分別為，且均在直徑AB的同一側(cè).（1）當時，求的長度；（2）（i）當時，若圖二中，點將半圓均分成7等份，求；（ii）證明:.【答案】（1）；（2）（i）；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）過中點作與該斜截圓柱的底面平行的平面圓，利用二面角得到，在俯視圖中求出，即得，代入，即得；（2）（i）利用（1