21等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（七大題型）（講義）

2．1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 2【知識(shí)點(diǎn)梳理】 2【典型例題】 4題型一：用不等式（組）表示不等關(guān)系 4題型二：作差法比較兩數(shù)（式）的大小 5題型三：作商法比較兩數(shù)（式）的大小 8題型四：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假 11題型五：利用不等式的性質(zhì)證明不等式 13題型六：利用不等式的性質(zhì)比較大小 15題型七：利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍 18

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、符號(hào)法則與比較大小實(shí)數(shù)的符號(hào)：任意，則（為正數(shù)）、或（為負(fù)數(shù)）三種情況有且只有一種成立．兩實(shí)數(shù)的加、乘運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)具有以下符號(hào)性質(zhì)：①兩個(gè)同號(hào)實(shí)數(shù)相加，和的符號(hào)不變符號(hào)語(yǔ)言：；②兩個(gè)同號(hào)實(shí)數(shù)相乘，積是正數(shù)符號(hào)語(yǔ)言：； ③兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)相乘，積是負(fù)數(shù)符號(hào)語(yǔ)言：④任何實(shí)數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)，0的平方為0符號(hào)語(yǔ)言：，．比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的法則：對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)、①；②；③．對(duì)于任意實(shí)數(shù)、，，，三種關(guān)系有且只有一種成立．知識(shí)點(diǎn)詮釋：這三個(gè)式子實(shí)質(zhì)是運(yùn)用實(shí)數(shù)運(yùn)算來(lái)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系．它是本章的基礎(chǔ)，也是證明不等式與解不等式的主要依據(jù)．知識(shí)點(diǎn)二、不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)可分為基本性質(zhì)和運(yùn)算性質(zhì)兩部分基本性質(zhì)有：（1）對(duì)稱性：（2）傳遞性：（3）可加性：（c∈R）（4）可乘性：a>b，運(yùn)算性質(zhì)有：（1）可加法則：（2）可乘法則：（3）可乘方性：知識(shí)點(diǎn)詮釋：不等式的性質(zhì)是不等式同解變形的依據(jù)．知識(shí)點(diǎn)三、比較兩代數(shù)式大小的方法作差法：任意兩個(gè)代數(shù)式、，可以作差后比較與0的關(guān)系，進(jìn)一步比較與的大?。?；②；③．作商法：任意兩個(gè)值為正的代數(shù)式、，可以作商后比較與1的關(guān)系，進(jìn)一步比較與的大小．①；②；③．中間量法：若且，則（實(shí)質(zhì)是不等式的傳遞性）．一般選擇0或1為中間量．【典型例題】題型一：用不等式（組）表示不等關(guān)系【典例11】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）下面能表示“a與b的和是非正數(shù)”的不等式為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榉钦龜?shù)小于等于0，則能表示“a與b的和是非正數(shù)”的不等式為.故選：C.【典例12】（2024·高一·廣東深圳·階段練習(xí)）公司運(yùn)輸一批木材，總重600噸，車隊(duì)有兩種貨車，A型貨車載重量30噸，型貨車載重量24噸，設(shè)派出A型貨車輛，型貨車輛，則運(yùn)輸方案應(yīng)滿足的關(guān)系式是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由已知可得，，所以有.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】將不等關(guān)系表示成不等式（組）的思路（1）讀懂題意，找準(zhǔn)不等式所聯(lián)系的量．（2）用適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)連接．（3）多個(gè)不等關(guān)系用不等式組表示．【變式11】（2024·高二·陜西渭南·期末）某體育器材公司投資一項(xiàng)新產(chǎn)品，先投資本金a（）元，得到的利潤(rùn)為b（）元，收益率為（%），假設(shè)在該投資的基礎(chǔ)上，此公司再追加投資x（）元，得到的利潤(rùn)也增加了x元，若使得該項(xiàng)投資的總收益率是增加的，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若使得該項(xiàng)投資的總收益率是增加的，則，，得.故選：C【變式12】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）完成一項(xiàng)裝修工程，請(qǐng)木工需付工資每人50元，請(qǐng)瓦工需付工資每人40元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算2000元，設(shè)木工x人，瓦工人，則請(qǐng)工人滿足的關(guān)系式是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依題意，請(qǐng)工人滿足的關(guān)系式是，即.故選：D【變式13】（2024·高一·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）在開(kāi)山工程爆破時(shí)，已知導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.5厘米，人跑開(kāi)的速度為每秒4米，距離爆破點(diǎn)150米以外（含150米）為安全區(qū)．為了使導(dǎo)火索燃盡時(shí)人能夠跑到安全區(qū)，導(dǎo)火索的長(zhǎng)度（單位：厘米）應(yīng)滿足的不等式為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知導(dǎo)火索的長(zhǎng)度（單位：厘米），故導(dǎo)火索燃燒的時(shí)間為秒，人在此時(shí)間內(nèi)跑的路程為米，由題意可得.故選：B.題型二：作差法比較兩數(shù)（式）的大小【典例21】（2024·高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）若，設(shè)，，則M，N的大小關(guān)系是．【答案】【解析】因?yàn)?，，則，且，則，可得，即.故答案為：.【典例22】（2024·高一·上海·隨堂練習(xí)）比較大?。海敬鸢浮浚尽窘馕觥恳?yàn)?，所?故答案為：>.【方法技巧與總結(jié)】作差法比較大小的步驟【變式21】（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）已知，，記，，則M與N的大小關(guān)系是．【答案】【解析】因?yàn)?，且，，所以．故答案為?【變式22】（2024·高一·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）（1）;

（2）;（3）;

（4）,;（5）【答案】<<<>>【解析】（1）因?yàn)?所以;（2）因?yàn)?所以;（3）因?yàn)?所以;（4）,因?yàn)?所以,則;（5）,因?yàn)?所以,則.故答案為:（1）;（2）;（3）;（4）;（5）.【變式23】（2024·高一·上?！ふn后作業(yè)）設(shè)，，，則，，，的大小順序是．【答案】【解析】方法一：特殊值法

取，，，，則，，，，則．方法二：作差法因?yàn)?，，，所以，所以，所以．因?yàn)?，，，所以，，所以，，所以．或，所以．，所以．所以．故答案為：【變?4】（2024·高一·上?！ふn堂例題）設(shè)x是實(shí)數(shù)，比較與的值的大小.【解析】，，因?yàn)?，所以，?【變式25】（2024·高一·上?！ふn堂例題）已知是實(shí)數(shù)，(1)求證：，并指出等號(hào)成立的條件；(2)求證：如果，那么.【解析】（1）因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；（2）因?yàn)?，則，又（等號(hào)不成立），所以，故.題型三：作商法比較兩數(shù)（式）的大小【典例31】（2024·高一·江蘇·假期作業(yè)）已知，試比較和的大小.【解析】（方法1）因?yàn)?，所?所以.因?yàn)?，所以，即；（方?）所以，又，所以,所以.【典例32】（2024·高一·黑龍江鶴崗·期末）設(shè)，比較與的大小【解析】，，，.【方法技巧與總結(jié)】作商法：任意兩個(gè)值為正的代數(shù)式、，可以作商后比較與1的關(guān)系，進(jìn)一步比較與的大?。?；②；③．【變式31】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）若，求證：．【解析】證明：∵a>b>0，∴，且．∴作商得：．∴．【變式32】（2024·高一·上?！ｎ}練習(xí)）已知，比較與的大小【解析】,同理，,從而，即>.【變式33】（2024·高一·貴州六盤水·期中）從下列三組式子中選擇一組比較大?。孩僭O(shè)，比較的大小；②設(shè)，比較的大小；③設(shè)，比較的大小.注：如果選擇多組分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【解析】①，因?yàn)?，所以，即?②，.③方法一（作差法），因?yàn)椋?，所以，所?..方法二（作商法）因?yàn)?，所以，所以，所?.題型四：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假【典例41】（2024·高一·湖北·期中）若，且，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A，若，則，但、（因?yàn)闊o(wú)意義）、不成立，故ABD錯(cuò)誤；由易得C項(xiàng)正確.故選：C.【典例42】（2024·高一·山西朔州·階段練習(xí)）如果，，那么下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如果，，對(duì)于A，，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，即，故C正確；對(duì)于D，，即，故D錯(cuò)誤.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】運(yùn)用不等式的性質(zhì)判斷真假的技巧（1）首先要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不憑想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì)．（2）解決有關(guān)不等式選擇題時(shí)，也可采用特值法進(jìn)行排除，注意取值一定要遵循以下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算．【變式41】（2024·高二·云南昭通·階段練習(xí)）已知，且，，則下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對(duì)A，取，則滿足，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，根據(jù)不等式性質(zhì)，故B正確；對(duì)C，取，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，取，則，故D錯(cuò)誤.故選：B.【變式42】（2024·高一·上?！卧獪y(cè)試）若，，則下列不等式中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對(duì)A：由，，則，故A正確；對(duì)B：取，，則有，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：取，，則有，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：取，，則有，故D錯(cuò)誤.故選：A.【變式43】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】A【解析】對(duì)于A，取，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，故B正確；對(duì)于C，，由，得，所以，故C正確；對(duì)于D，由，得，又，所以，故D正確．故選：A．【變式44】（2024·高一·北京·期末）已知、、，則下列選項(xiàng)可能成立的是（

）A．、、、 B．、、、C．、、、 D．、、，【答案】C【解析】因?yàn)椤ⅲ?，排除BD；因?yàn)椋裕?，又，所以，故A錯(cuò)誤，C正確.故選：C題型五：利用不等式的性質(zhì)證明不等式【典例51】（2024·高一·上?！ふn堂例題）（1）已知，，求證：；（2）已知，，求證：．【解析】證明：（1）因?yàn)椋裕郑?，所以．又因?yàn)?，所以．?）因?yàn)?，要證，只需證明，展開(kāi)得，即，因?yàn)槌闪?，所以成立．【典?2】（2024·高一·上?！ふn堂例題）已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足，且.求證：且.【解析】由于實(shí)數(shù)a、b、c滿足，且，所以，即，，即，綜上，且【方法技巧與總結(jié)】對(duì)利用不等式的性質(zhì)證明不等式的說(shuō)明（1）不等式的性質(zhì)是證明不等式的基礎(chǔ)，對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b有ab>0?a>b；ab=0?a=b；ab<0?a<b．這是比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的依據(jù)，也是證明不等式的基礎(chǔ)．（2）利用不等式的性質(zhì)證明不等式，關(guān)鍵要對(duì)性質(zhì)正確理解和運(yùn)用，要弄清楚每一條性質(zhì)的條件和結(jié)論，注意條件的加強(qiáng)和減弱、條件和結(jié)論之間的相互聯(lián)系．（3）比較法是證明不等式的基本方法之一，是實(shí)數(shù)大小比較和實(shí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用．【變式51】（2024·高一·上?！ふn堂例題）（1）已知，求證：；（2）已知，，，求證：．【解析】（1）由，得，則，又，則，即，不等式兩邊同乘，得，而，所以．（2）由，，得，即，又，所以．【變式52】（2024·高一·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）（1）已知，，求證：；（2）已知，求證：，其中為正整數(shù).【解析】（1），，由不等式的傳遞性，得.（2）將（1）結(jié)論中的換成，換成，就得到結(jié)合，再次利用（1）的結(jié)論，可得，反復(fù)運(yùn)用（1）的結(jié)論，最終就得到.【變式53】（2024·高一·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）已知，證明：若，則或.【解析】假設(shè)且，則，與已知矛盾，所以假設(shè)不成立，故x>1或.【變式54】（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知為正實(shí)數(shù)．求證：.【解析】證明：因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以.【變式55】（2024·高一·河北保定·階段練習(xí)）設(shè)，，.(1)證明：；(2)若，證明.【解析】（1）證明:∵，∴.a，b，c不同時(shí)為，則，∴；（2）.∵，取等號(hào)的條件為，而，∴等號(hào)無(wú)法取得，即，又，∴，∴.【變式56】（2024·高一·安徽·階段練習(xí)）（1），其中x，y均為正實(shí)數(shù)，比較a，b的大??；（2）證明：已知，且，求證：【解析】（1）因?yàn)?，作差得，因?yàn)?，，所以，，所以，即；?）因?yàn)?，且，，，所以，所以所以，所以，所以，?題型六：利用不等式的性質(zhì)比較大小【典例61】（多選題）（2024·高一·廣西·開(kāi)學(xué)考試）已知，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】對(duì)于A，由，得，所以，所以，則A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，則B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，所以，則C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則D錯(cuò)誤.故選：AC【典例62】（多選題）（2024·高一·河南鄭州·階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】A選項(xiàng)，不妨令，，此時(shí)，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)椋?，B正確．C選項(xiàng)，由不等式的性質(zhì)得，C正確．D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，D錯(cuò)誤．故選：BC【方法技巧與總結(jié)】注意點(diǎn)：①記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用；②應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則【變式61】（多選題）（2024·高一·福建福州·期中）下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A，若，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，可知，不等式兩側(cè)同乘以，有，故B正確；對(duì)于C，利用作差法知，由，，知，即，故C正確；對(duì)于D，由，知，由不等式同向可加性的性質(zhì)知D正確.故選：BCD【變式62】（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則下列結(jié)論中正確的有（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】因?yàn)?，所以，故A項(xiàng)錯(cuò)誤，C項(xiàng)正確；，則B項(xiàng)正確；，則D項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：BC【變式63】（多選題）（2024·高一·江蘇常州·期中）在下列四個(gè)命題中，正確的是（

）A．若，則B．若，則C．已知，則D．為互不相等的正數(shù)，且，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由，知，由不等式的性質(zhì)可得，，因此A正確；對(duì)于B，令，則，，顯然，因此B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，又，，則，即，因此C正確；對(duì)于D，由為互不相等的正數(shù)，則，又，，即，，即，，又，，即，因此D正確；故選：ACD.【變式64】（多選題）（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）給出下列命題，其中正確的命題是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ABC【解析】對(duì)于A，若，則，否則，矛盾，所以，所以，故A正確；對(duì)于B，若，則，即，故B正確；對(duì)于C，若，則，因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，所以顯然不可能（因?yàn)椋?，所以，所以，即，故C正確；對(duì)于D，若，則，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.題型七：利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍【典例71】（2024·高三·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知，，則的范圍是.【答案】【解析】設(shè)，其中、，則，解得，所以，，因?yàn)?，，則，，由不等式的基本性質(zhì)可得，即.故答案為：.【典例72】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的范圍是（

）A．－3<a－|b|≤3 B．－3<a－|b|<5C．－