第二章第二節(jié)基本不等式

第二節(jié)基本不等式課程標準1.掌握基本不等式ab≤a+b2(a,b>0)2.結合具體實例,能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題.考情分析考點考法:利用基本不等式求最值是高考的重點,通常與函數、數列、解析幾何、導數等內容相結合,題型以選擇題、填空題為主,中低檔難度.核心素養(yǎng):數學抽象、數學運算、邏輯推理【必備知識·逐點夯實】【知識梳理·歸納】1.基本不等式公式

ab≤成立的條件__a>0,b>0__等號成立的條件__a=b__算術平均數

幾何平均數

ab

2.利用基本不等式求最值(1)已知x,y都是正數,如果積xy等于定值P,那么當x=y時,和x+y有最小值2P.(2)已知x,y都是正數,如果和x+y等于定值S,那么當x=y時,積xy有最大值14S2【微點撥】利用基本不等式求最值應滿足三個條件“一正、二定、三相等”.【基礎小題·自測】類型辨析改編易錯高考題號14231.(多維辨析)(多選題)下列結論正確的是 ()A.兩個不等式a2+b2≥2ab與a+b2B.函數y=x+1x(x>0)的最小值是C.函數f(x)=sinx+4sinxD.x>0且y>0是xy+yx【解析】選BD.A.不等式a2+b2≥2ab成立的條件是a,b∈R;不等式a+b2≥ab成立的條件是a>0,b>0,故B.由基本不等式可知y=x+1x≥2,當且僅當x=1時等號成立,故B正確C.函數f(x)=sinx+4sinx沒有最小值,故CD.由x>0且y>0可以得到xy+yx≥2,反之不成立,所以x>0且y>0是xy+yx≥2的充分不必要條件,2.(忽視等號成立的條件)函數y=x2+4x22(1<x<0)的值域為 (A.{y|y>2} B.{y|y≥2}C.yy≥3【解析】選D.令t=x2,0<t<1,所以y=x2+4x22=t+4t2,因為對勾函數y=t+4t在0<t<1上單調遞減,且沒有最大值,所以y=t+4t>1+41=5,所以y=x3.(多選題)(2022·新高考Ⅱ卷)若x,y滿足x2+y2xy=1,則 ()A.x+y≤1 B.x+y≥2C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1【解析】選BC.因為ab≤a+b22≤a2+b22(a,b∈R),由x2+y2xy=1可變形為(x+y)21=3xy≤3x+y22,解得2≤x+y≤2,當且僅當x=y=1時,x+y=2,當且僅當x=y由x2+y2xy=1可變形為(x2+y2)1=xy≤x2+y22,解得x2+y2≤2,當且僅當x=y=±1時取等號因為x2+y2xy=1變形可得x-y22+34y2=1,設xy2=cosθ,32y=sinθ,13sinθ,y=23sinθ,因此x2+y2=cos2θ+53sin2θ+23sinθcosθ=1+13sin2θ13cos2θ+13=43+23sin2θ-π6∈234.(人A必修第一冊P48習題2.2T1(2)變條件)函數y=x(32x)(0≤x≤1)的最大值是________.

【解析】因為0≤x≤1,所以32x>0,所以y=12·2x·(32x)≤12[2x+(3-2x)2]2=98,當且僅當2x答案:9【核心考點·分類突破】考點一利用基本不等式求最值【考情提示】利用基本不等式求最值時應注意基本不等式成立的條件.高考時,一般不會直接應用基本不等式求最值,常常需要對題目進行“添加項”“換元”或“常數代換”后再利用基本不等式求最值.角度1直接法[例1](1)(2024·濱州模擬)若x>0,則fx=4x+9x的最小值為 (A.4 B.9 C.12 D.21【解析】選C.因為x>0,由基本不等式得:fx=4x+9x≥24x·9x=12,當且僅當4x=9x,即x=3(2)已知a,b∈R,且2ab2=0,則9a+13b的最小值為 (A.2 B.4 C.6 D.8【解析】選C.因為2ab2=0,所以2ab=2,因為32a>0,3b>0,所以9a+13b=32a+3b≥232a×當且僅當32a=3-b2a-b=2,即a=【解題技法】利用基本不等式求最值的條件必須滿足的三個條件為“一正、二定、三相等”.(1)“一正”:各項必須為正數.(2)“二定”:要求和的最小值,必須把構成和的兩項之積轉化成定值;要求積的最大值,則必須把構成積的因式的和轉化成定值.(3)“三相等”:利用基本不等式求最值時,必須驗證等號成立的條件,若不能取等號,則這個定值就不是所求的最值.角度2配湊法[例2](1)若x<23,則f(x)=3x+1+93x-A.最大值0 B.最小值9C.最大值3 D.最小值3【解析】選C.因為x<23,所以3xf(x)=3x2+93x-2+3=[(23x)+92-當且僅當23x=92-3x,即x=13(2)當x>0時,函數y=3+x+x2A.23B.231C.23+1D.4【解析】選B.因為x>0,所以y=3+x+x21+x=31+x1=231,當且僅當31+x=x+1,即x=31時,【解題技法】配湊法求最值的解題策略1.配湊法就是將相關代數式進行適當的變形,通過添項、拆項等方法湊成和為定值或積為定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法;2.對于一次二次或二次一次的分式型代數式需要先化簡,再配湊,提醒:注意驗證等號取得的條件.角度3常數代換法[例3](1)(2024·昆明模擬)已知實數x>0,y>0,x+3y=2,則1x+1y的最小值為 (A.3 B.1+C.2+32 D.【解析】選D.因為x>0,y>0,且x+3y=2,所以1x+1y=121x+1當且僅當3yx=xy,即y=3-33(2)已知b滿足a+b=ab1,求a+b的最小值.【解析】因為a+b=ab1,所以a=b+1所以b>1.所以a+b=b+1b-1+b=b-1+2b-1+b=1+2b-2+2(b-1)·2b-1=2+22(當且僅當b=1+【解題技法】1.常數代換法求最值的步驟(1)根據已知條件或其變形確定定值(常數).(2)把確定的定值(常數)變形為1.(3)把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除,進而構造和或積的形式.(4)利用基本不等式求解最值.2.常數代換法求最值適用的題型及解題通法當式子中含有兩個變量,且條件和所求的式子分別為整式和分式時,常構造出(ax+by)(mx+ny)(a,b,m,n為常數且大于0)的形式,利用(ax+by)(mx+ny)=am+bn≥am+bn+2abmn(當且僅當bmyx=anxy時,等號成立)角度4消元法[例4](2024·煙臺模擬)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,則x+3y的最小值為__________.

【解析】方法一(換元消元法):由已知得9(x+3y)=xy=13·x·3y≤13·(x+3y2)2,當且僅當x=3y,即x=3,y=1時取等號.即(x+3y)2+12(令x+3y=t,則t>0且t2+12t108≥0,得t≥6,即x+3y的最小值為6.方法二(代入消元法):由x+3y+xy=9,得x=9-所以x+3y=9-3y1+=9+3y2=3(1+y)+121+y6≥2=126=6,當且僅當3(1+y)=121+y,即y=1,x=3時取等號,所以x+3y的最小值為答案:6【解題技法】利用消元法、換元法求最值的方法(1)消元法,即根據條件建立兩個量之間的函數關系,然后代入代數式轉化為函數的最值求解.有時會出現多元的問題,解決方法是消元后利用基本不等式求解.(2)換元法,求較復雜的式子的最值時,通常利用換元法將式子恰當變形,簡化式子,再利用基本不等式求解.角度5由條件等式求a+b或ab的取值范圍或最值教考銜接教材情境·研習·典題類[例5](必修第一冊P58T5變形式)若a,b>0,且ab=a+b+3,則ab的取值范圍為________.

【解題導思】看問題雙變量求范圍問題提信息a,b>0,ab=a+b+3定思路[思路①]從結構特征上看,聯想到基本不等式法.利用a+b≥2ab與ab=a+b+3建立關于ab的不等式,求解ab的取值范圍.[思路②]從方程角度上分析,聯想到換元法.令ab=t(t>0),與ab=a+b+3聯立建立關于b(或a)的一元二次方程,根據方程有正根,建立關于t的不等式求解t的范圍,從而求出ab的取值范圍.【解析】解法一(基本不等式法):由已知得a+b=ab3,又a,b>0時,a+b≥2ab,所以ab3≥2ab,所以(ab)2則(ab3)(ab+1)≥0,所以ab≥3或ab≤1(舍去),所以ab≥3,則ab≥9,當且僅當a=b=3時,等號成立,所以ab的取值范圍為[9,+∞).解法二(換元法):令ab=t(t>0),則a=tb(t>0),代入ab=a+b整理得b2+(3t)b+t=0,因為該方程有正根,所以Δ即t≥9或t≤1所以ab的取值范圍為[9,+∞).答案:[9,+∞)【高考鏈接】(2023·全國乙卷)已知實數x,y滿足x2+y24x2y4=0,則xy的最大值是 ()A.1+322 BC.1+32 D.7【解析】選C.解法一(換元法):令xy=t,則x=t+y,代入x2+y24x2y4=0,整理得2y2+(2t6)y+t24t4=0,因為存在實數y,則Δ≥0,即(2t6)24×2(t24t4)≥0,化簡得t22t17≤0,解得132≤t≤1+32.所以xy的最大值為1+32.解法二(基本不等式法):由a2+b2≥2ab(a,b∈R)得a2+b由已知得(x2)2+(y1)2=9,所以92=(x-2)當且僅當x2=1y,即x=4+32y=2-322或x=4-322即92≥x-y-122,則|xy1|≤32,所以132≤xy≤1+32,故xy的最大值為1+32.[溯源點評]從命題情境角度上,高考真題與教材題目“形似”,都考查了二元二次方程相關的知識.從解題方法上看“法同”,通過構造變形采用基本不等式法和換元法求解.體現了高考試題對于同一考點可以變換角度與變換題型進行考查.【對點訓練】1.(2024·曲靖模擬)已知0<x<5,則x5-xA.1 B.2 C.52 D.【解析】選C.因為0<x<5所以x5-x2=x當且僅當x2=5x2,即x=102時,所以x5-x2.若正數x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是 ()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】選D.方法一:由條件得y=x5由x>0,y>0知x>35從而3x+4y=3x+4x5x-3=3x+4x-35+12當且僅當3x-35=1225x-35,故3x+4y的最小值為5.方法二:對原條件式轉化得3x+1則3x+4y=153x+1當且僅當12yx=3xy,x+3y=5xy,即x=1,y=12時取等號.故3x3.(2024·吉林模擬)已知關于x的不等式(2a+3m)x2(b3m)x1>0(a>0,b>0)的解集為(∞,1)∪(12,+∞),則下列結論錯誤的是(A.2a+b=1B.ab的最大值為1C.1a+2bD.1a+1b的最小值為【解析】選C.由題意,不等式(2a+3m)x2(b3m)x1>0的解集為(∞,1)∪12,+∞,可得2a+3m>0,且方程(2a+3m)x2(b3m)x1=0的兩根分別為所以-1+所以2a+3m=2,b3m=1,所以2a+b=1,所以A正確,不符合題意;因為a>0,b>0,所以2a+b=1≥22ab,可得ab≤當且僅當2a=b=12時取等號,所以ab的最大值為18,所以B正確,由1a+2b=(1a+2b)(2a+b)=4+ba當且僅當ba=4ab時,即2a=b=12時取等號,所以1a+2b的最小值為8,由1a+1b=(1a+1b)(2a+b)=3+ba+2當且僅當ba=2ab時,即b=2a=21所以1a+1b的最小值為3+22,所以D正確4.已知ab>0,a+b=1,則a+4bab【解析】因為ab>0,a+b=1,所以a+4bab=a+b1b+4a=ab+4ba+5≥2ab·4ba+5=9,當且僅當ab答案:9考點二基本不等式的綜合應用[例6](1)對任意m,n∈(0,+∞),都有m2amn+2n2≥0,則實數a的最大值為 ()A.2 B.22 C.4 D【解析】選B.因為對任意m,n∈(0,+∞),都有m2amn+2n2≥0,所以m2+2n2≥amn,即a≤m2+2n2mn=因為mn+2nm≥2當且僅當mn=2nm,即m=2n所以a≤22,故實數a的最大值為2(2)已知正數x,y滿足4x+9y=xy且x+y<m224m有解,則實數m的取值范圍是________.

【解析】由已知,得4y+9x=1,x+y=(x+y)·(4y+9x)=4x當且僅當4xy=9yx,即x=15,y=10由題意得,(x+y)min<m224m,即m224m>25,解得m<1或m>25.答案:(∞,1)∪(25,+∞)【解題技法】利用基本不等式求解綜合問題的求解策略(1)當基本不等式與其他知識相結合時,往往是提供一個應用基本不等式的條件,然后利用常數代換法求最值.(2)求參數的值或取值范圍時,一般需要結合題目特征,分離參數,利用基本不等式確定等號成立的條件,從而得到參數的值或取值范圍.【對點訓練】1.(多選題)實數x,y滿足xy+3x=30<x<12,若3x+1y-3<m22mA.3 B.2 C.4 D.5【解析】選AD.因為實數x,y滿足xy+3x=3(0<x<12),則x=3y+3,由0<3y+3所以3x+1y-3=y+3+1y-3當且僅當y=4時,等號成立,所以m22m>8,即m22m8>0,解得m<2或m>4.2.(2024·潮州模擬)正實數x,y滿足1x+4y=2,且不等式x+y4≥m2m恒成立,則實數m【解析】因為不等式x+y4≥m2m恒成立所以(x+y4)因為x>0,y>0,且1x+4所以x+y4=12(x+y4)(1x+4y)=2當且僅當2xy=y8x,即x=1,y=4時,等號成立,所以(x+即(m+1)(m2)≤0,解得1≤m≤2.答案:-【加練備選】若?x∈12,2,使得2x2λx+1<0成立是假命題,則實數λ的可能取值是A.22 B.23 C.4 D.5【解析】選A.因為原命題為假命題,所以其否定:?x∈12,2,2x2λx即?x∈12,2,λ≤2x又2x+1x≥22x·1x=22(當且僅當2x=1x,即x=22時取等號),所以λ的取值范圍為-∞,考點三基本不等式的實際應用[例7](2024·長沙模擬)民族要復興,鄉(xiāng)村要振興,合作社助力鄉(xiāng)村產業(yè)振興,農民專業(yè)合作社已成為新型農業(yè)經營主體和現代農業(yè)建設的中堅力量,為實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略作出了巨大的貢獻,某農民專業(yè)合作社為某品牌服裝進行代加工,已知代加工該品牌服裝每年需投入固定成本30萬元,每代加工x萬件該品牌服裝,需另投入fx萬元,且fx=12x2+2x,0<x(1)求該農民專業(yè)合作社為這一品牌服裝代加工費的年利潤y(單位:萬元)關于年代加工量x(單位:萬件)的函數解析式.(2)當年代加工量為多少萬件時,該農民專業(yè)合作社為這一品牌服裝代加工費的年利潤最大?并求出年利潤的最大值.【解析】(1)當0<x≤10時,y=12x12x2+2x30=12當10<x≤50時,y=12x14x+450x-11530=故y=-【解析】(2)當0<x≤10時,函數y=12x2+10x30為開口向下的二次函數,且對稱軸為直線x所以y=12x2+10x30在0,故ymax=12×102+10×1030=20(萬元當10<x≤50時,y=2x450x+85=2x+450x當且僅當2x=450x,即x=15時,等號成立即當x=15時,ymax=25(萬元).因為20<25,所以當年代加工量為15萬件時,該農民專業(yè)合作社為這一品牌服裝代加工費的年利潤最大,最大值為25萬元.【解題技法】有關函數最值的實際問題的解題技巧(1)根據實際問題建立函數的解析式,再利用基本不等式求得函數的最值.(2)設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數.(3)解應用題時,一定要注意變量的實際意義及其取值范圍.(4)在應用基本不等式求函數最值時,若等號取不到,可利用函數的單調性求解.【對點訓練】如圖,某房地產開發(fā)公司計劃在一棟樓區(qū)內建造一個矩形公園ABCD,公園由矩形的休閑區(qū)(陰影部分)A1B1C1D1和環(huán)公園人行道組成,已知休閑區(qū)A1B1C1D1的面積為1000m2,人行道的寬分別為5m和8m,設休閑區(qū)的長為xm.(1)求矩形ABCD所占面積S(單位:m2)關于x的函數解析式;(2)要使公園所占面積最小,問:休閑區(qū)A1B1C1D1的長和寬應分別為多少?【解析】(1)因為休閑區(qū)的長為xm,休閑區(qū)A1B1C1D1的面積為1000m2,所以休閑區(qū)的寬為1000xm,從而矩形ABCD的長與寬分別為(x+16)m,(1000x+10)m,因此矩形ABCD所占面積S=(x+16)(1(2)S=(x+16)(1000x+10)=10(x+1600x)+1160≥10×2x·1600x+1160=1960,當且僅當x=1600x,即x=40時,取等號,則休閑區(qū)的寬為1【加練備選】一家貨物公司計劃租地建造倉庫儲存貨物,經過市場調查了解到下列信息:每月土地占地費y1(單位:萬元)與倉庫到車站的距離x(單位:km)成反比,每月庫存貨物費y2(單位:萬元)與x成正比;若在距離車站10km處建倉庫,則y1和y2分別為2萬元和8萬元,這家公司應該把倉庫建在距離車站多少千米處,才能使兩項費用之和最小?并求出該值.【解析】設y1=kx,y2=tx,當x=10時,k10=2,10t=8,所以k=20,t=0.8,所以y1=20x,y2=0.所以兩項費用之和為z=y1+y2=20x+0.8x≥220x當且僅當20x=0.8x,即當x=5時等號成立即應將倉庫建在距離車站5km處,才能使兩項費用之和最小,且最小費用為8萬元.【重難突破】柯西不等式柯西不等式是數學中一個非常重要的不等式,除了用柯西不等式來證明一些不等式成立外,柯西不等式還常用于選擇、填空求最值的問題中,借助柯西不等式的技巧可以達到事半功倍的效果.1.柯西不等式的代數形式設a,b,c,d均為實數,則(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,當且僅當ad=bc時,等號成立.推廣:設a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈R,則(a12+a22+…+an2)(b1(a1b1+a2b2+…+anbn)2,當且僅當bi=0(i=1,2,…,n)或存在一個實數k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)時,等號成立.2.柯西不等式的向量形式設α,β為平面上的兩個向量,則|α||β|≥|α·β|,當且僅當β是零向量,或存在實數k,使α=kβ時,等號成立.3.柯西不等式的三角不等式設x1,y1,x2,y2,x3,y3為任意實數,則(x1-x2類型一利用柯西不等式求最值[例1](1)(2023·浙江統(tǒng)考模擬)若sinx+cosy+sin(x+y)=2,則sinx的最小值是()A.0 B.23 C.37 D.1【解析】選C.由已知sinx+cosy+sinxcosy+cosxsiny=2整理得2sinx=(sinx+1)cosy+cosxsiny,由柯西不等式得(sinx+1)cosy+cosxsiny≤(sinx=2+2sinx當且僅當(sinx+1)siny=cosycosx時取等號,所以(2sinx)2≤2+2sinx,即sin2x6sinx+2≤0,解得37≤sinx≤1,所以sinx的最小值為37.(2)函數f(x)=25-x+x-4的最大值及取得最大值時xA.5,215 B.3,C.13,6113 D.29,【解析】選A.由柯西不等式可知,(25-x+x-4)2≤(22+12)[(5-x)所以25-x+x-4≤5,當且僅當2x-4=5-故函數f(x)=25-x+x-4的最大值及取得最大值時x的值分別為【解題技法】柯西不等式求解最值的策略關鍵是構建條件與結論之間的聯系,通過合理的恒等變形與配湊轉化,使之符合柯西不等式的結構,利用柯西不等式來轉化所求的代數關系式,聯系條件來確定對應的最值問題.【對點訓練】1.已知x>0,y>0,x24+y2=1,則22x+2y【解析】由柯西不等式得(x24+y2)(12+12)≥(x2×1+y×1)2=(x2+y)2,所以1×2≥(x2當且僅當x2=y,即x=2,y=22所以x2+y≤2,即22x+2y的最大值是答案:22.函數y=22-x+2x【解析】因為y=22-x+2x-3=2-x(2-x當且僅當2-x=2x-3,即所以函數y的最大值為3.答案:3類型二利用柯西不等式證明不等式[例2](1)若直線xa+yb=1過點M(cosα,sinα),則 (A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1C.1a2+1b2≤1 D.【解析】選D.由柯西不等式,得[(1a)2+(1b)2](cos2α+sin2α)≥(cosαa+sinαb)2,當且僅當sin又因為點M在直線xa+yb=1上,即cosαa+sinαb=1,代入上式,(2)已知a1,a2,b1,b2為正實數,求證:(a1b1+a2b2)·(a1b1+a2b2)≥(a1【證明】(a1b1+a2b2)(a1b1+a2b2)=[(a1b1)2+(a2b2)2≥(a1b1·a1b1+a2b2·a2b當且僅當b1=b2時,等號成立.【解題技法】柯西不等式證明不等式成立的策略(1)結合所要證明的不等式,引入一次線性關系式進行配湊,利用