高考數(shù)學（理）創(chuàng)新北師版第四章三角函數(shù)解三角形第6節(jié)

第6節(jié)正弦定理和余弦定理最新考綱掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.知識梳理1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理公式eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__C常見變形(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計算R，r.3.在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的個數(shù)一解兩解一解一解無解[常用結(jié)論與微點提醒]1.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).2.三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.3.利用正、余弦定理解三角形時，要注意三角形內(nèi)角和定理對角的范圍的限制.診斷自測1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)三角形中三邊之比等于相應的三個內(nèi)角之比.()(2)在△ABC中，若sinA>sinB，則A>B.()(3)在△ABC的六個元素中，已知任意三個元素可求其他元素.()(4)當b2＋c2－a2>0時，△ABC為銳角三角形；當b2＋c2－a2＝0時，△ABC為直角三角形；當b2＋c2－a2<0時，△ABC為鈍角三角形.()解析(1)三角形中三邊之比等于相應的三個內(nèi)角的正弦值之比.(3)已知三角時，不可求三邊.(4)當b2＋c2－a2>0時，三角形ABC不一定為銳角三角形.答案(1)×(2)√(3)×(4)×2.(2016·全國Ⅰ卷)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知a＝eq\r(5)，c＝2，cosA＝eq\f(2,3)，則b＝()A.eq\r(2) B.eq\r(3) C.2 D.3解析由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×eq\f(2,3)，解得b＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＝－\f(1,3)舍去)).答案D3.(一題多解)(2018·鄭州調(diào)研)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知b＝2，c＝2eq\r(2)，且C＝eq\f(π,4)，則△ABC的面積為()A.eq\r(3)＋1 B.eq\r(3)－1C.4 D.2解析法一由余弦定理可得(2eq\r(2))2＝22＋a2－2×2×acoseq\f(π,4)，即a2－2eq\r(2)a－4＝0，解得a＝eq\r(2)＋eq\r(6)或a＝eq\r(2)－eq\r(6)(舍去)，△ABC的面積S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×2×(eq\r(2)＋eq\r(6))sineq\f(π,4)＝eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(2),2)×(eq\r(6)＋eq\r(2))＝eq\r(3)＋1，選A.法二由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(1,2)，又c>b，且B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,6)，所以A＝eq\f(7π,12)，所以△ABC的面積S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)sineq\f(7π,12)＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq\r(3)＋1.答案A4.(2017·全國Ⅲ卷)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知C＝60°，b＝eq\r(6)，c＝3，則A＝________.解析由正弦定理，得sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(\r(6)×\f(\r(3),2),3)＝eq\f(\r(2),2)，結(jié)合b<c得B＝45°，則A＝180°－B－C＝75°.答案75°5.(教材習題改編)在△ABC中，acosA＝bcosB，則這個三角形的形狀為________.解析由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，所以這個三角形為等腰三角形或直角三角形.答案等腰三角形或直角三角形考點一利用正、余弦定理解三角形【例1】(1)(2017·全國Ⅰ卷)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝eq\r(2)，則C＝()A.eq\f(π,12) B.eq\f(π,6) C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,3)(2)在△ABC中，已知a＝2，b＝eq\r(6)，A＝45°，則滿足條件的三角形有()A.1個 B.2個 C.0個 D.無法確定(3)(2018·西安質(zhì)檢)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a2－b2＝eq\r(3)bc，且sinC＝2eq\r(3)sinB，則角A的大小為________.解析(1)由題意得sin(A＋C)＋sinA(sinC－cosC)＝0，∴sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝0，則sinC(sinA＋cosA)＝eq\r(2)sinCsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))＝0，因為sinC≠0，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))＝0，又因為A∈(0，π)，所以A＋eq\f(π,4)＝π，所以A＝eq\f(3π,4).由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得eq\f(2,sin\f(3π,4))＝eq\f(\r(2),sinC)，則sinC＝eq\f(1,2)，得C＝eq\f(π,6).(2)∵bsinA＝eq\r(6)×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(3)，∴bsinA<a<b.∴滿足條件的三角形有2個.(3)由sinC＝2eq\r(3)sinB，根據(jù)正弦定理得，c＝2eq\r(3)b，代入a2－b2＝eq\r(3)bc得，a2－b2＝6b2，即a2＝7b2，由余弦定理得：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(b2＋12b2－7b2,4\r(3)b2)＝eq\f(\r(3),2)，∴A＝eq\f(π,6).答案(1)B(2)B(3)eq\f(π,6)規(guī)律方法1.判斷三角形解的個數(shù)的兩種方法(1)代數(shù)法：根據(jù)大邊對大角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和公式、正弦函數(shù)值判斷.(2)幾何圖形法：根據(jù)條件畫出圖形，通過圖形直觀判斷解的個數(shù).2.已知三角形的兩邊和其中一邊的對角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理時，需判斷其解的個數(shù)，用余弦定理時，可根據(jù)一元二次方程根的情況判斷解的個數(shù).【訓練1】(2017·河北名校聯(lián)盟質(zhì)檢)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2acosC－c＝2b.(1)求角A的大?。?2)若c＝eq\r(2)，角B的平分線BD＝eq\r(3)，求a.解(1)2acosC－c＝2b，由正弦定理得2sinAcosC－sinC＝2sinB，2sinAcosC－sinC＝2sin(A＋C)＝2sinAcosC＋2cosAsinC，∴－sinC＝2cosAsinC，sinC≠0，∴cosA＝－eq\f(1,2)，又A∈(0，π)，∴A＝eq\f(2π,3).(2)在△ABD中，由正弦定理得，eq\f(AB,sin∠ADB)＝eq\f(BD,sinA)，∴sin∠ADB＝eq\f(ABsinA,BD)＝eq\f(\r(2),2).又∠ADB∈(0，π)，A＝eq\f(2π,3)，∴∠ADB＝eq\f(π,4)，∴∠ABC＝eq\f(π,6)，∠ACB＝eq\f(π,6)，AC＝AB＝eq\r(2)，由余弦定理，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝(eq\r(2))2＋(eq\r(2))2－2×eq\r(2)×eq\r(2)coseq\f(2π,3)＝6，∴a＝eq\r(6).考點二利用正弦、余弦定理判定三角形的形狀【例2】(1)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若eq\f(c,b)<cosA，則△ABC為()A.鈍角三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.等邊三角形(2)設△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不確定解析(1)由eq\f(c,b)<cosA，得eq\f(sinC,sinB)<cosA，所以sinC<sinBcosA，即sin(A＋B)<sinBcosA，所以sinAcosB<0，因為在三角形中sinA>0，所以cosB<0，即B為鈍角，所以△ABC為鈍角三角形.(2)由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sinA>0，∴sinA＝1，即A＝eq\f(π,2)，∴△ABC為直角三角形.答案(1)A(2)B規(guī)律方法1.判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關(guān)系；(2)化角為邊，通過代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁.2.無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項提取公因式，否則會有漏掉一種形狀的可能.注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對三角函數(shù)值的限制.【訓練2】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，則△ABC的形狀為()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形解析∵c－acosB＝(2a－b)cosA，C＝π－(A＋B)，∴由正弦定理得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，∴sinAcosB＋cosAsinB－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，∴cosA(sinB－sinA)＝0，∴cosA＝0或sinB＝sinA，∴A＝eq\f(π,2)或B＝A或B＝π－A(舍去)，∴△ABC為等腰或直角三角形.答案D考點三和三角形面積有關(guān)的問題【例3】(2017·全國Ⅲ卷)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA＋eq\r(3)cosA＝0，a＝2eq\r(7)，b＝2.(1)求c；(2)設D為BC邊上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積.解(1)由sinA＋eq\r(3)cosA＝0及cosA≠0，得tanA＝－eq\r(3)，又0<A<π，所以A＝eq\f(2π,3).由余弦定理，得28＝4＋c2－4c·coseq\f(2π,3).即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由題設可得∠CAD＝eq\f(π,2)，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝eq\f(π,6).故△ABD與△ACD面積的比值為eq\f(\f(1,2)AB·ADsin\f(π,6),\f(1,2)AC·AD)＝1.又△ABC的面積為eq\f(1,2)×4×2sin∠BAC＝2eq\r(3)，所以△ABD的面積為eq\r(3).規(guī)律方法三角形面積公式的應用原則(1)對于面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式.(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉(zhuǎn)化.【訓練3】(2017·山東卷)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝3，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－6，S△ABC＝3，求A和a.解因為eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－6，所以bccosA＝－6，又因為S△ABC＝3，所以bcsinA＝6，因此tanA＝－1，又0<A<π，所以A＝eq\f(3π,4).又因為b＝3，所以c＝2eq\r(2).由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a2＝9＋8－2×3×2eq\r(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝29，所以a＝eq\r(29).

基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1.(2018·上饒質(zhì)檢)已知△ABC中，A＝eq\f(π,6)，B＝eq\f(π,4)，a＝1，則b等于()A.2 B.1 C.eq\r(3) D.eq\r(2)解析由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(1,sin\f(π,6))＝eq\f(b,sin\f(π,4))，∴eq\f(1,\f(1,2))＝eq\f(b,\f(\r(2),2))，∴b＝eq\r(2).答案D2.在△ABC中，角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，若A＝eq\f(2π,3)，a＝2，b＝eq\f(2\r(3),3)，則B等于()A.eq\f(π,3) B.eq\f(5π,6) C.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6) D.eq\f(π,6)解析∵A＝eq\f(2π,3)，a＝2，b＝eq\f(2\r(3),3)，由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得，sinB＝eq\f(b,a)sinA＝eq\f(\f(2\r(3),3),2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2).∵A＝eq\f(2π,3)，∴B＝eq\f(π,6).答案D3.在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面積為eq\f(\r(3),2)，則BC的長為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\r(3) C.2eq\r(3) D.2解析因為S＝eq\f(1,2)×AB×ACsinA＝eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(3),2)AC＝eq\f(\r(3),2)，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，BC＝eq\r(3).答案B4.(2017·石家莊檢測)在△ABC中，cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)(a，b，c分別為角A，B，C的對邊)，則△ABC的形狀為()A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析因為cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)，所以2cos2eq\f(B,2)－1＝eq\f(a＋c,c)－1，所以cosB＝eq\f(a,c)，所以eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a,c)，所以c2＝a2＋b2.所以△ABC為直角三角形.答案B5.(2018·安徽江南十校聯(lián)考)設△ABC的面積為S1，它的外接圓面積為S2，若△ABC的三個內(nèi)角大小滿足A∶B∶C＝3∶4∶5，則eq\f(S1,S2)的值為()A.eq\f(25,12π) B.eq\f(25,24π) C.eq\f(3＋\r(3),2π) D.eq\f(3＋\r(3),4π)解析∵A∶B∶C＝3∶4∶5，∴A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(π,3)，C＝eq\f(5π,12)，由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，∴a＝2RsinA＝eq\r(2)R，b＝2RsinB＝eq\r(3)R，則sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4)，∴S1＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(3)×eq\f(\r(2)＋\r(6),4)R2＝eq\f(3＋\r(3),4)R2，S2＝πR2，∴eq\f(S1,S2)＝eq\f(3＋\r(3),4π).答案D二、填空題6.(2017·煙臺模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若角A，B，C依次成等差數(shù)列，且a＝1，b＝eq\r(3)，則S△ABC＝________.解析因為角A，B，C依次成等差數(shù)列，所以B＝60°.由正弦定理，得eq\f(1,sinA)＝eq\f(\r(3),sin60°)，解得sinA＝eq\f(1,2)，因為0°＜A＜180°，所以A＝30°，此時C＝90°，所以S△ABC＝eq\f(1,2)ab＝eq\f(\r(3),2).答案eq\f(\r(3),2)7.(2018·漢中質(zhì)檢改編)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosC＝eq\f(2\r(2),3)，bcosA＋acosB＝2，則△ABC的外接圓面積為________.解析bcosA＋acosB＝2RsinBcosA＋2RsinAcosB＝2Rsin(A＋B)＝2RsinC＝c＝2，由cosC＝eq\f(2\r(2),3)得sinC＝eq\f(1,3)，由正弦定理可得2R＝eq\f(c,sinC)＝6，所以△ABC的外接圓面積為πR2＝9π.答案9π8.(2016·北京卷)在△ABC中，A＝eq\f(2π,3)，a＝eq\r(3)c，則eq\f(b,c)＝________.解析在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc·cosA，將A＝eq\f(2π,3)，a＝eq\r(3)c代入，可得(eq\r(3)c)2＝b2＋c2－2bc·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，整理得2c2＝b2＋bc.∵c≠0，∴等式兩邊除以c2，得2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))eq\s\up12(2)＋eq\f(b,c)，解得eq\f(b,c)＝1.答案1三、解答題9.(2018·安徽江南十校聯(lián)考)已知a，b，c分別是△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，函數(shù)f(x)＝3＋2eq\r(3)sinxcosx＋2cos2x，且f(A)＝5.(1)求角A的大??；(2)若a＝2，求△ABC面積的最大值.解(1)由題意可得：f(A)＝3＋2eq\r(3)sinAcosA＋2cos2A＝5，∴2eq\r(3)sinAcosA＝2(1－cos2A)，∴sinA(eq\r(3)cosA－sinA)＝0，∵A∈(0，π)，∴sinA≠0，∴sinA＝eq\r(3)cosA，即tanA＝eq\r(3)，A＝eq\f(π,3).(2)由余弦定理可得：4＝b2＋c2－2bccoseq\f(π,3)，4＝b2＋c2－bc≥bc(當且僅當b＝c＝2時“＝”成立)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(\r(3),4)bc≤eq\f(\r(3),4)×4＝eq\r(3)，故△ABC面積的最大值是eq\r(3).10.(2018·云南11?？鐓^(qū)調(diào)研)如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝eq\f(π,3)，AD∶AB＝2∶3，BD＝eq\r(7)，AB⊥BC.(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD＝eq\f(2π,3)，求CD的長.解(1)∵AD∶AB＝2∶3，∴可設AD＝2k，AB＝3k.又BD＝eq\r(7)，∠DAB＝eq\f(π,3)，∴由余弦定理，得(eq\r(7))2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcoseq\f(π,3)，解得k＝1，∴AD＝2，AB＝3，sin∠ABD＝eq\f(ADsin∠DAB,BD)＝eq\f(2×\f(\r(3),2),\r(7))＝eq\f(\r(21),7).(2)∵AB⊥BC，∴cos∠DBC＝sin∠ABD＝eq\f(\r(21),7)，∴sin∠DBC＝eq\f(2\r(7),7)，∴eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sin∠DBC)，∴CD＝eq\f(\r(7)×\f(2\r(7),7),\f(\r(3),2))＝eq\f(4\r(3),3).能力提升題組(建議用時：20分鐘)11.(2017·長沙模擬)在△ABC中，C＝eq\f(2π,3)，AB＝3，則△ABC的周長為()A.6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＋3 B.6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))＋3C.2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＋3 D.2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\a