第十章第二節(jié)　用樣本估計(jì)總體

第二節(jié)用樣本估計(jì)總體【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.能根據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn),選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表對數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化描述,體會合理使用統(tǒng)計(jì)圖表的重要性.2.結(jié)合實(shí)例,能用樣本估計(jì)總體的集中趨勢參數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)),理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.3.結(jié)合實(shí)例,能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差),理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.4.結(jié)合實(shí)例,能用樣本估計(jì)總體的取值規(guī)律.5.結(jié)合實(shí)例,能用樣本估計(jì)百分位數(shù),理解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.【考情分析】考點(diǎn)考法:高考命題常以頻率分布直方圖為載體,考查用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體數(shù)字特征;數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差、百分位數(shù)是高考熱點(diǎn),常以選擇題或解答題的形式出現(xiàn).核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析【必備知識·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識梳理·歸納】1.總體取值規(guī)律的估計(jì)(1)常見的統(tǒng)計(jì)圖表有條形圖、扇形圖、折線圖、頻率分布直方圖等.(2)作頻率分布直方圖的步驟①求極差;②決定組距與組數(shù);③將數(shù)據(jù)分組;④列頻率分布表;⑤畫頻率分布直方圖.2.第p百分位數(shù)一般地,一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值,它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值,且至少有(100p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.【微點(diǎn)撥】第25百分位數(shù),第50百分位數(shù),第75百分位數(shù),這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份,因此稱為四分位數(shù).其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù),第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù).3.總體集中趨勢的估計(jì)(1)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的應(yīng)用數(shù)值型數(shù)據(jù)(如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等)集中趨勢多用平均數(shù)、中位數(shù)描述;分類型數(shù)據(jù)(如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級等)集中趨勢多用眾數(shù)描述.(2)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的求法數(shù)字特征樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖眾數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)取最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)中位數(shù)將數(shù)據(jù)按大小依次排列,處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))劃分頻率分布直方圖為左右兩個(gè)面積相等的分界線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和4.總體離散程度的估計(jì)(1)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義:假設(shè)一組數(shù)據(jù)為x1,x2,…,xn,其平均數(shù)為x,則方差:s2=或;標(biāo)準(zhǔn)差:s=s2.(2)總體(樣本)方差①一般式:如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為Y1,Y2,…,YN,總體平均數(shù)為Y,則總體方差S2=.②加權(quán)式:如果總體的N個(gè)變量值中,不同的值共有k(k≤N)個(gè),不妨記為Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i=1,2,…,k),則總體方差為S2=.【基礎(chǔ)小題·自測】類型辨析改編易錯(cuò)題號12,341.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論正確的為 ()A.對一組數(shù)據(jù)來說,平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近B.方差與標(biāo)準(zhǔn)差具有相同的單位C.如果一組數(shù)中每個(gè)數(shù)減去同一個(gè)非零常數(shù),則這組數(shù)的平均數(shù)改變,方差不變D.在頻率分布直方圖中,最高的小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是眾數(shù)【解析】選CD.因?yàn)橐唤M數(shù)據(jù)如果出現(xiàn)極端值,其平均數(shù)與中位數(shù)不會接近,例如:1000,0,0,0,0,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤;因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根,其單位不一樣,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤;因?yàn)橐唤M數(shù)中每個(gè)數(shù)減去同一個(gè)非零常數(shù),則這組數(shù)的平均數(shù)改變,每個(gè)數(shù)與平均數(shù)的差值不變,所以方差不變,所以選項(xiàng)C正確;因?yàn)樵陬l率分布直方圖中,最高的小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為眾數(shù),所以選項(xiàng)D正確.2.(必修第二冊P215練習(xí)T2)若數(shù)據(jù)x1,x2,…,x9的方差為2,則數(shù)據(jù)2x1,2x2,…,2x9的方差為 ()A.2 B.4 C.6 D.8【解析】選D.根據(jù)方差的性質(zhì)可知,數(shù)據(jù)x1,x2,…,x9的方差s2=2,那么數(shù)據(jù)2x1,2x2,…,2x9的方差為22s2=8.3.(必修第二冊P203例2)某射擊運(yùn)動員7次的訓(xùn)練成績分別為86,88,90,89,88,87,85,則這7次成績的第80百分位數(shù)為 ()A.88.5 B.89 C.91 D.89.5【解析】選B.7次的訓(xùn)練成績從小到大排列為85,86,87,88,88,89,90,7×80%=5.6,所以第80百分位數(shù)為從小到大排列的數(shù)據(jù)中的第6個(gè)數(shù)據(jù),即89.4.(統(tǒng)計(jì)圖識別錯(cuò)誤)某中學(xué)初中部共有120名教師,高中部共有150名教師,其性別比例如圖所示,則該校女教師的人數(shù)為__________.

【解析】因?yàn)槌踔胁颗處熣?0%,高中部女教師占40%,所以該校女教師的人數(shù)為120×0.7+150×0.4=84+60=144.答案:144【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一統(tǒng)計(jì)圖表的識別[例1](多選題)新式茶飲是指以上等茶葉通過萃取濃縮液,再根據(jù)消費(fèi)者偏好,添加牛奶、堅(jiān)果、檸檬等小料調(diào)制而成的飲料.如圖為我國2022年消費(fèi)者購買新式茶飲的頻次扇形圖及月均消費(fèi)新式茶飲金額的條形圖.根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)圖,下列結(jié)論中正確的是 ()A.每周都消費(fèi)新式茶飲的消費(fèi)者占比不到90%B.每天都消費(fèi)新式茶飲的消費(fèi)者占比超過20%C.月均消費(fèi)新式茶飲50~200元的消費(fèi)者占比超過50%D.月均消費(fèi)新式茶飲超過100元的消費(fèi)者占比超過60%【解析】選BC.每周都消費(fèi)新式茶飲的消費(fèi)者占比19.1%>90%,A錯(cuò)誤;每天都消費(fèi)新式茶飲的消費(fèi)者占比5.4%+16.4%>20%,B正確;月均消費(fèi)新式茶飲50~200元的消費(fèi)者占比30.5%+25.6%>50%,C正確;月均消費(fèi)新式茶飲超過100元的消費(fèi)者占比114.5%30.5%<60%,D錯(cuò)誤.【解題技法】統(tǒng)計(jì)圖表的主要應(yīng)用(1)扇形圖:直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例;(2)折線圖:描述數(shù)據(jù)隨時(shí)間的變化趨勢;(3)條形圖和直方圖:直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率.【對點(diǎn)訓(xùn)練】1.已知某地區(qū)中小學(xué)生的人數(shù)比例和近視情況分別如圖甲和圖乙所示,為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因,用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取1%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,其中被抽取的小學(xué)生有80人,則樣本量和該地區(qū)的高中生近視人數(shù)分別為 ()A.200,25 B.200,2500C.8000,25 D.8000,2500【解析】選B.由扇形分布圖并結(jié)合比例分配的分層隨機(jī)抽樣知識易知樣本量為8040%=200,則樣本中高中生的人數(shù)為200×25%=50,易知該地區(qū)高中生人數(shù)為5000,結(jié)合近視率條形圖得該地區(qū)高中生近視的人數(shù)為5000×50%=2500.2.走路是“最簡單、最優(yōu)良的鍛煉方式”,它不僅可以幫助減肥,還可以增強(qiáng)心肺功能、血管彈性、肌肉力量等.如圖為甲、乙兩名同學(xué)在同一星期內(nèi)日步數(shù)的折線統(tǒng)計(jì)圖,則下列結(jié)論中不正確的是 ()A.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的中位數(shù)為11600B.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的均值大于乙C.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的方差大于乙D.這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的30%分位數(shù)是7030【解析】選D.對于A,這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)從小到大為2435,7965,9500,11600,12700,16000,16800,所以中位數(shù)為11600,選項(xiàng)A正確;對于B,計(jì)算甲的平均數(shù)為x甲=1716800)=11000,乙的平均數(shù)為x乙=17×(14200+12300+7030+12970+5340+11600+10060)=10500,所以甲的日步數(shù)的均值大于乙,選項(xiàng)B對于C,甲有極端值,對方差的影響大,所以甲的日步數(shù)的方差大于乙,選項(xiàng)C正確;對于D,因?yàn)?×30%=2.1,所以乙的日步數(shù)的30%分位數(shù)是從小到大的第3個(gè)數(shù),為10060,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【加練備選】(2023·麗水模擬)某校高一年級1000名學(xué)生的血型統(tǒng)計(jì)情況如圖所示.某課外興趣小組為了研究血型與飲食之間的關(guān)系,決定采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為100的樣本,則從高一年級A型血的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)是 ()A.11 B.22 C.110 D.220【解析】選B.由題圖中數(shù)據(jù)可知高一年級A型血的學(xué)生人數(shù)占高一年級學(xué)生總?cè)藬?shù)的22%,所以抽取一個(gè)容量為100的樣本,從A型血的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)是100×22%=22.考點(diǎn)二離散型數(shù)據(jù)的數(shù)字特征[例2](多選題)為宣傳杭州亞運(yùn)精神,紅星實(shí)驗(yàn)學(xué)校組織了甲、乙兩個(gè)社團(tuán),利用一周的時(shí)間對外進(jìn)行宣傳,將每天宣傳的次數(shù)繪制成如圖所示的頻數(shù)分布折線圖,則 ()A.甲社團(tuán)宣傳次數(shù)的眾數(shù)小于乙社團(tuán)宣傳次數(shù)的眾數(shù)B.甲社團(tuán)宣傳次數(shù)的極差大于乙社團(tuán)宣傳次數(shù)的極差C.甲社團(tuán)宣傳次數(shù)的平均數(shù)大于乙社團(tuán)宣傳次數(shù)的平均數(shù)D.甲社團(tuán)宣傳次數(shù)的方差大于乙社團(tuán)宣傳次數(shù)的方差【解析】選ABD.觀察甲、乙社團(tuán)每天宣傳次數(shù)的頻數(shù)分布折線圖,甲社團(tuán)宣傳次數(shù)的眾數(shù)、乙社團(tuán)宣傳次數(shù)的眾數(shù)分別為2,3,A正確;甲社團(tuán)宣傳次數(shù)的極差、乙社團(tuán)宣傳次數(shù)的極差分別為3,2,B正確;甲社團(tuán)宣傳次數(shù)的平均數(shù)x1=2+2+3+2+5+4+37=3,乙社團(tuán)宣傳次數(shù)的平均數(shù)x2=2+2+3+4+3+3+4甲社團(tuán)宣傳次數(shù)的方差s12=17×[3×(23)2+2×(33)2+(53)2+(43)2乙社團(tuán)宣傳次數(shù)的方差s22=17×[2×(23)2+3×(33)2+2×(43)2]=4【解題技法】樣本數(shù)字特征的求法(1)眾數(shù)是樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù).(2)將樣本數(shù)據(jù)按大小順序排列,處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的均值)即為中位數(shù).(3)平均數(shù)是樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).(4)極差是樣本數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.【對點(diǎn)訓(xùn)練】1.從某中學(xué)抽取10名同學(xué),他們的數(shù)學(xué)成績?nèi)缦?82,85,88,90,92,92,92,96,96,98(單位:分),則這10名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)、第25百分位數(shù)分別為()A.92,85 B.92,88 C.95,88 D.96,85【解析】選B.數(shù)據(jù)92出現(xiàn)了3次,出現(xiàn)的次數(shù)最多,所以眾數(shù)是92;這組數(shù)據(jù)已經(jīng)按照由小到大的順序排列,10×25%=2.5,取第三個(gè)數(shù),所以第25百分位數(shù)是88.2.(多選題)(2023·哈爾濱模擬)下面是某城市某日在不同觀測點(diǎn)對細(xì)顆粒物(PM2.5)的觀測值:396275268225168166176173188168141157若在此組數(shù)據(jù)中增加一個(gè)比現(xiàn)有的最大值大25的數(shù)據(jù),下列數(shù)字特征發(fā)生改變的是 ()A.極差 B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.平均數(shù)【解析】選ABD.根據(jù)題意,若在此組數(shù)據(jù)中增加一個(gè)比現(xiàn)有的最大值大25的數(shù)據(jù),即最大值變?yōu)?96+25=421,極差為最大值與最小值的差,發(fā)生改變;加入數(shù)據(jù)前,中位數(shù)為12×(173+176)=174.5,加入數(shù)據(jù)后,中位數(shù)為176,發(fā)生改變眾數(shù)為數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù),不會改變;若加入數(shù)據(jù)前,平均數(shù)為x,加入數(shù)據(jù)后,平均數(shù)為12x+42113>x【加練備選】某中學(xué)高一年級8名學(xué)生某次考試的數(shù)學(xué)成績(滿分150分)分別為85,90,93,99,101,103,116,130,則這8名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的第75百分位數(shù)為 ()A.102 B.103 C.109.5 D.116【解析】選C.這組數(shù)據(jù)已經(jīng)按照由小到大的順序排列,8×75%=6,則這8名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的第75百分位數(shù)為第6個(gè)數(shù)與第7個(gè)數(shù)的平均數(shù),即為103+1162=109.5考點(diǎn)三頻率分布直方圖的數(shù)字特征[例3](多選題)在某次單元測試中,4000名考生的考試成績統(tǒng)計(jì)如圖所示,60分以下視為不及格,若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)作代表,則下列說法中正確的有 ()A.成績在[70,80)分的考生人數(shù)最多B.考生考試成績的第80百分位數(shù)為83.3C.考生考試成績的平均分約為70.5分D.考生考試成績的中位數(shù)為75分【解析】選ABC.根據(jù)題圖得,成績出現(xiàn)在[70,80)的頻率最大,故A正確;考生考試成績的第80百分位數(shù)為80+0.050.15×10≈83.根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)考試的平均分為45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5,故C正確;0.1+0.15+0.2=0.45<0.5,0.1+0.15+0.2+0.3=0.75>0.5,所以考生考試成績的中位數(shù)為70+0.5-0.450【解題技法】頻率分布直方圖中的數(shù)字特征(1)眾數(shù):最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).(2)中位數(shù):中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和應(yīng)該相等.(3)平均數(shù):平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于各組區(qū)間的中點(diǎn)值與對應(yīng)頻率之積的和.(4)第p百分位數(shù):①確定第p百分位數(shù)所在的區(qū)間[a,b],②確定小于a和小于b的數(shù)據(jù)所占的百分比fa%,fb%,則第p百分位數(shù)為a+p%-fa%f【對點(diǎn)訓(xùn)練】治理沙漠化離不開優(yōu)質(zhì)的樹苗,現(xiàn)從苗圃中隨機(jī)地抽測了200株樹苗的高度(單位:cm),得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求直方圖中a的值及眾數(shù)、中位數(shù);(2)若樹苗高度在185cm及以上是可以移栽的合格樹苗.從樣本中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取20株樹苗作進(jìn)一步研究,不合格樹苗、合格樹苗分別應(yīng)抽取多少株?【解析】(1)因?yàn)?0.0015+0.0110+0.0225+0.0300+a+0.0080+0.0020)×10=1,所以a=0.0250,眾數(shù)為185+1952=190,設(shè)中位數(shù)為x,因?yàn)?0.0015+0.0110+0.0.35<0.5,(0.0015+0.0110+0.0225+0.0300)×10=0.65>0.5,則185<x<195,0.35+0.0300×(x185)=0.5,所以x=190.故a=0.0250,眾數(shù)為190,中位數(shù)為190.(2)由題意可知,合格樹苗所占頻率為(0.0300+0.0250+0.0080+0.0020)×10=0.65,不合格樹苗所占頻率為10.65=0.35,所以不合格樹苗抽取20×0.35=7(株),合格樹苗抽取20×0.65=13(株),故不合格樹苗、合格樹苗應(yīng)分別抽取7株和13株.【加練備選】某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的效果,進(jìn)行了一次摸底考試,從中選取60名學(xué)生的成績,分成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六組后,得到不完整的頻率分布直方圖如圖所示,觀察圖形,回答下列問題:(1)求分?jǐn)?shù)在區(qū)間[70,80)內(nèi)的頻率,并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖;(2)根據(jù)評獎(jiǎng)規(guī)則,排名在前10%的學(xué)生可以獲獎(jiǎng),請你估計(jì)獲獎(jiǎng)的學(xué)生至少需要多少分.【解析】(1)設(shè)分?jǐn)?shù)在[70,80)內(nèi)的頻率為x,根據(jù)頻率分布直方圖,可得(0.01+0.015+0.02+0.025+0.005)×10+x=1,解得x=0.25,所以分?jǐn)?shù)在[70,80)內(nèi)的頻率為0.25,補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖,如圖所示.(2)因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)在區(qū)間[80,90)內(nèi)的頻率為0.25,在區(qū)間[90,100]內(nèi)的頻率為0.05,而0.05<10%<0.25+0.05,所以設(shè)排名前10%的分界點(diǎn)為90a,則0.025a+0.005×10=10%,解得a=2,所以排名前10%的分界點(diǎn)為88分,即獲獎(jiǎng)的學(xué)生至少需要88分.考點(diǎn)四總體離散趨勢的估計(jì)[例4](2021·全國乙卷)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備,為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高,用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品,得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如表:舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為x和y,樣本方差分別記為s12和(1)求x,y,s12,(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果yx≥2s12+s22【解析】(1)由題表中的數(shù)據(jù)可得,x=110×(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.y=110×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.s12=110×[(9.710.0)2+2×(9.810.0)2+(9.910.0)2+2×(10.010.0)2+(10.110.2×(10.210.0)2+(10.310.0)2]=0.036,s22=110×[(10.010.3)2+3×(10.110.3)2+(10.310.3)2+2×(10.410.3)2+2×(10.510+(10.610.3)2]=0.04.(2)由(1)中數(shù)據(jù)得yx=0.3,2s12+顯然yx>2s12+【解題技法】計(jì)算方差、標(biāo)準(zhǔn)差的步驟(1)求出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)x;(2)計(jì)算每個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差xix(i=1,2,…,n),并求對應(yīng)的平方值;(3)求出上述n個(gè)平方值的平均數(shù),即為樣本方差;求出上述n個(gè)平方值平均數(shù)的算術(shù)平方根,即為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.【對點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2023·成都模擬)一次數(shù)學(xué)考試后,某班級平均分為110分,方差為s12.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)有兩名同學(xué)的成績計(jì)算有誤,甲同學(xué)成績被誤判為113分,實(shí)際得分為118分;乙同學(xué)成績誤判為120分,實(shí)際得分為115分.更正后重新計(jì)算,得到方差為s22,則s12A.s12=s22 B.s12>s22【解析】選B.設(shè)班級人數(shù)為n,因?yàn)?13+120=118+115,所以更正前后平均分不變,且(113110)2+(120110)2>(118110)2+