清單08勾股定理的實際應用（12種題型解讀（30題））

清單08勾股定理的實際應用（12種題型解讀（30題））【知識導圖】【知識清單】【考試題型1】求梯子滑落高度1．如圖，某火車站內(nèi)部墻面MN上有破損處（看作點A），現(xiàn)維修師傅需借助梯子DE完成維修工作．梯子的長度為5m，將其斜靠在這面墻上，測得梯子底部E離墻角N處3m，維修師傅爬到梯子頂部使用儀器測量，此時梯子頂部D距離墻面破損處(1)該火車站墻面破損處A距離地面有多高？(2)如果維修師傅要使梯子頂部到地面的距離為4.8m．那么梯子底部需要向墻角方向移動多少米？【答案】(1)該火車站墻面破損處A距離地面的高度為5(2)梯子底部需要向墻角方向移動8【分析】（1）利用勾股定理求出DN的長度，則AN=AD+DN；（2）設BC是梯子移動后的位置，利用勾股定理求出BN，則BE=EN-BN．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得在Rt△DEN中，DE=5m，由勾股定理，得DN=D∵AD=1m∴AN=AD+DN=1+4=5m答：該火車站墻面破損處A距離地面的高度為5m（2）解：如圖，此時BC是梯子移動后的位置．∵在Rt△BCN中，BC=5m，∴由勾股定理，得BN=B∴BE=EN-BN=3-7答：梯子底部需要向墻角方向移動85【點睛】本題考查勾股定理的應用，解題的關鍵是掌握勾股定理，即直角三角形兩角直角邊長平方的和等于斜邊長的平方．2．一梯子AC長2.5m，如圖那樣斜靠在一面墻上，梯子底端離墻0.7m．(1)這架梯子的頂端離地面有多高？(2)設梯子頂端到水平地面的距離為m，底端到垂直墻面的距離為n，若mn=a，根據(jù)經(jīng)驗可知：當2.7<a<5.6【答案】(1)這架梯子的頂端離地面2.4m；(2)此時使用不安全【分析】（1）利用勾股定理求解；（2）由勾股定理求出BC'，利用公式mn【詳解】（1）解：由題意可知在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=2.5，BC=0.7∴由勾股定理可得，AB即AB=A∴AB=2.4(m)，即這架梯子的頂端離地面2.4（2）解：如圖所示，AA'=0.4，則在△A'∴由勾股定理可得，BC∴可得mn∴此時使用不安全．．【點睛】此題考查了勾股定理的實際應用，正確掌握勾股定理的計算公式及正確理解題意是解題的關鍵．3．如圖，滑桿在機械槽內(nèi)運動，∠ACB為直角，已知滑桿AB長2.5米，頂端A在AC上運動，滑桿下端B距C點的距離為1.5米，當端點B向右移動0.5米（D處）時，求滑桿頂端A下滑多少米（E處）.【答案】梯子下滑0.5米.【分析】由題意可知滑桿AB與AC、CB正好構成直角三角形，同理DE與CE、CD正好構成直角三角形，故可用勾股定理進行計算．【詳解】解：設AE的長為x米，依題意得CE=ACx，∵AB=DE=2.5米，BC=1.5米，∠C=90°，∴AC∴AC=2米，∵BD=0.5米，∴在Rt△ECD中，C∴2-x=1.5，x=0.5，即AE=0.5米，答：梯子下滑0.5米.【點睛】本題考查正確運用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學好數(shù)學的關鍵．【考試題型2】求旗桿高度4．《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學名著，作者是我國明代數(shù)學家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾．”(注：1步＝5尺)譯文：“有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推送10尺(水平距離)時，秋千的踏板就和人一樣高，這個人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直，問繩索有多長．”【答案】292【分析】設秋千的繩索長為x尺，根據(jù)題意可得AB=（x4）尺，利用勾股定理可得x2=102+（x4）2，解之即可．【詳解】解：設秋千的繩索長為x尺，根據(jù)題意可列方程為：x2=102+（x4）2，解得：x=292∴秋千的繩索長為292【點睛】此題主要考查了勾股定理的應用，關鍵是正確理解題意，表示出AB、AC的長，掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．5．學過《勾股定理》后，某班興趣小組來到操場上測量旗桿AB的高度，得到如下信息：①測得從旗桿頂端垂直掛下來的升旗用的繩子比旗桿長1米（如圖1）；②當將繩子拉直時，測得此時拉繩子的手到地面的距離CD為1米，到旗桿的距離CE為6米（如圖2）．根據(jù)以上信息，求旗桿AB的高度．【答案】9米【分析】設AB=x，則AC=x+1，AE=x-1，再根據(jù)勾股定理可列出關于x的等式，解出x即得出答案．【詳解】解：設AB=x依題意可知：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，AC=x+1，AE=x-1，CE=6根據(jù)勾股定理得：AC2=A解得：x=9答：旗桿AB的高度是9米．【點睛】本題考查勾股定理的實際應用．結合題意，利用勾股定理列出含未知數(shù)的等式是解題關鍵．【考試題型3】求小鳥飛行距離6．如圖，有兩棵樹，一棵樹高AC是10米，另一棵樹高BD是4米，兩樹相距8米（即CD=8米），一只小鳥從一棵樹的樹梢A點處飛到另一棵樹的樹梢B點處，則小鳥至少要飛行多少米？【答案】小鳥至少飛行了10米【分析】根據(jù)“兩點之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進行直線飛行，所行的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出．【詳解】解：如圖，大樹高為AC=10米，小樹高為BD=4米，過點B作BE⊥AC于E，則四邊形EBDC是矩形，連接AB，∴EC=BD=4（米），EB=CD=8（米），∴AE=ACEC=104=6（米），在Rt△AEB中，AB=A答：小鳥至少飛行了10米．【點睛】本題考查勾股定理的應用，善于觀察題目的信息是解題的關鍵．7．如圖，有兩棵樹，大樹AC高為10米，小樹BD高為5米，兩樹相距12米．若一只小鳥從一棵樹的樹梢A飛到另一棵樹的樹梢B，求小鳥飛行的最短路程．【答案】小鳥飛行的最短路程為13米．【分析】根據(jù)“兩點之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的頂端進行直線飛行，所行的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出．【詳解】解：如圖，過B點作BE⊥AC于點E，則四邊形EBDC是長方形，連接AB．∵AC=10米，BD=5米，∴EC=5米，EB=12米，AE=AC-EC=10-5=5米，在Rt△AEB中，AB=AE2故小鳥飛行的最短路程為13米．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是將現(xiàn)實問題建立數(shù)學模型，運用數(shù)學知識進行求解．【考試題型4】求大數(shù)折斷前高度8．如圖，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度為16米的大樹被折斷，樹的頂部落在離樹根8米處，即BC=8，求這棵樹在離地面多高處被折斷（即求AC的長度）？【答案】這棵樹在離地面6米處被折斷【分析】設AC=x，利用勾股定理列方程求解即可.【詳解】解：設AC=x，∵在Rt△ABC中，A∴x2∴x=6．答：這棵樹在離地面6米處被折斷【點睛】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解答本題的關鍵．直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．當題目中出現(xiàn)直角三角形，且該直角三角形的一邊為待求量時，常使用勾股定理進行求解．有時也可以利用勾股定理列方程求解．9．我國古代的數(shù)學名著《九章算術》中記載“今有竹高一丈八，末折抵地，去本6尺.問：折者高幾何？”譯文：一根竹子，原高一丈八，蟲傷有病，一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好著地，著地處離原竹子根部6尺遠．問：折處離地還有多高的竹子？（1丈=10尺）【答案】8尺【分析】設原處還有x尺高的竹子，由題意得到折后竹子豎直高度+斜倒部分的長度=18尺，再運用勾股定理列方程即可求解．【詳解】解：設折處離地還有x尺高的竹子,如圖，在Rt△ABC中，AC=x尺，則AB=一丈八AC=(18x)尺由勾股定理得AC所以x2解得：x=8．答：折處離地還有8尺高的竹子．【點睛】此題考查勾股定理解決實際問題．此題中的直角三角形只知道一直角邊，另兩邊未知往往要列方程求解．【考試題型5】解決水杯中筷子高度10．如圖，將一根25㎝長的細木棒放入長、寬、高分別為8㎝、6㎝和103㎝的長方體無蓋盒子中，求細木棒露在盒外面的最短長度是多少？【答案】5cm【分析】利用勾股定理求出盒子的對角線長即可.【詳解】盒子底面的對角線長為62+∴盒子的對角線長為102+則細木棒露在盒外面的最短長度是25﹣20=5cm.【點睛】本題考點：勾股定理的應用.11．如圖，水池中離岸邊D點4米的C處，直立長著一根蘆葦，出水部分BC的長是2米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點，則水池的深度AC為多少米．【答案】水池的深度AC為3米．【分析】首先設水池中水的深度AC為x米，則AB=AD=x+2米，然后再利用勾股定理可得方程x【詳解】解：設水池中水的深度AC為x米，則AB=AD=x+2在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理，得A即x2解得x=3．所以水池的深度AC為3米．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法．12．如圖，一個無蓋長方體小杯子放置在桌面上，AB=BC=6cm，CD=16

(1)一只螞蟻從A點出發(fā)，沿小杯子外表面爬到D點，求螞蟻怎樣走最短，最短路程是多少？(2)為了怕杯子落入灰塵又方便使用，現(xiàn)在需要給杯子蓋上蓋子，并把一雙筷子放進杯子里，請問，筷子的最大長度是多少？【答案】(1)最短路程是20cm(2)筷子的最大長度是282【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）求得長方體盒子的體對角線即可求解?！驹斀狻浚?）解：如圖1所示：

圖1由題意得：AB=BC=6cm，CD=16∴AC=AB+BC=12cm在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=∴最短路程是20cm；（2）將筷子斜著放，

∵AB=BC=6cm，CD=16∴AC=6∴AD=A即筷子的最大長度是282cm【點睛】此題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是理解題意，靈活利用勾股定理進行求解?！究荚囶}型6】解決航海問題13．如圖，甲乙兩船從港口A同時出發(fā)，甲船以16海里/時速度沿北偏東40°方向航行，乙船沿南偏東50°方向航行，3小時后，甲船到達C島，乙船到達B島．若C、B兩島相距60海里，問：乙船的航速是多少？【答案】乙船的航速是12海里/時．【分析】根據(jù)甲船和乙船航行的角度，可知∠CAB＝90°，用勾股定理即可求出AB的長度，最后求出乙船的速度即可．【詳解】解：∵甲船沿北偏東40°方向航行，乙船沿南偏東50°方向航行，∴∠CAB＝90°，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∵AC＝16×3＝48，BC＝60，∴AB=BC∴乙船的航速是36÷3＝12海里/時，答：乙船的航速是36÷3＝12海里/時．【點睛】本題主要考查了勾股定理的實際應用，熟練的掌握“在直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊大的平方”是解題的關鍵．14．臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強的破壞力，有一臺風中心沿東西方向AB由點A行駛向點B，已知點C為一海港，且點C與直線AB上兩點A、B的距離分別為300km和400km，又AB＝500km，以臺風中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域．

(1)海港C會受臺風影響嗎？為什么？(2)若臺風的速度為20km/h，臺風影響該海港持續(xù)的時間有多長？【答案】(1)會，理由見解析(2)7h【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進而利用三角形面積得出CD的長，從而判斷出海港C是否受臺風影響；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的長，進而得出臺風影響該海港持續(xù)的時間．【詳解】（1）解：如圖所示，過點C作CD⊥AB于D點，∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，∴AC∴△ABC為直角三角形，∴12∴300×400=500CD，∴CD=240km∵以臺風中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域，∴海港C會受到臺風影響；（2）由（1）得CD=240km，如圖所示，當EC=FC=250km時，即臺風經(jīng)過EF段時，正好影響到海港C，此時△ECF為等腰三角形，∵ED=E∴EF=140km，∵臺風的速度為20km/h，∴140÷20=7h，∴臺風影響該海港持續(xù)的時間有7h．

【點睛】本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用，解答此類題目的關鍵是構造出直角三角形，再利用勾股定理解答．15．在海平面上有A，B，C三個標記點，其中A在C的北偏西54°方向上，與C的距離是800海里，B在C的南偏西36°方向上，與C的距離是600海里．

(1)求點A與點B之間的距離；(2)若在點C處有一燈塔，燈塔的信號有效覆蓋半徑為500海里，每隔半小時會發(fā)射一次信號，此時在點B處有一艘輪船準備沿直線向點A處航行，輪船航行的速度為每小時20海里．輪船在駛向A處的過程中，最多能收到多少次信號？（信號傳播的時間忽略不計）．【答案】(1)AB=1000海里(2)最多能收到14次信號【分析】（1）由題意易得∠ACB是直角，由勾股定理即可求得點A與點B之間的距離；（2）過點C作CH⊥AB交AB于點H，在AB上取點M，N，使得CN＝CM＝500海里，分別求得【詳解】（1）由題意，得：∠NCA＝∴∠ACB＝∵AC＝∴AB=A（2）過點C作CH⊥AB交AB于點H，在AB上取點M，N，使得CN＝

∵CH⊥AB；∴∠CHB＝∵S△ABC∴CH＝∵CN＝∴NH=MH=C則信號次數(shù)為140×2÷20＝答：最多能收到14次信號．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，直角三角形的判定等知識，涉及路程、速度、時間的關系，熟練掌握勾股定理是關鍵．【考試題型7】求河寬問題16．如圖，某人從點A劃船橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點C離欲到達點B有45m，已知他在水中實際劃了75m，求該河流的寬度AB．【答案】60m【分析】從實際問題中找出直角三角形，利用勾股定理進行計算即可得到該河流的寬度．【詳解】解：根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，由勾股定理可得：AB＝AC2-B∴該河流的寬度為60m．【點睛】此題考查了勾股定理的應用，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．17．如圖，某渡船從點B處沿著與河岸垂直的路線AB橫渡，由于受水流的影響，實際沿著BC航行，上岸地點C與欲到達地點A相距70米，結果發(fā)現(xiàn)BC比河寬AB多10米．(1)求該河的寬度AB；（兩岸可近似看作平行）(2)設實際航行時，速度為每秒5米，從C回到A時，速度為每秒4米，求航行總時間．【答案】(1)AB=240米(2)航行總時間為67.5秒【分析】（1）根據(jù)題意可知△ABC為直角三角形，根據(jù)勾股定理就可求出直角邊AB的距離．（2）根據(jù)時間=路程÷速度，求出行駛的時間即可．【詳解】（1）解：設AB=x米，則BC=(x+10)米，在Rt△ABCx2解得：x=240，答：河寬240米．（2）解：240+10÷5=5070÷4=17.5（秒），50+17.5=67.5（秒），答：航行總時間為67.5秒．【點睛】本題考查勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理，列出方程是解題的關鍵．18．如圖，在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船，河岸上一男孩拽著繩子另一端向右走，繩端從點C移動到點E，同時小船從點A移動到點B，且繩長始終保持不變，回答下列問題：(1)根據(jù)題意，可知AC________BC+CE（填“>”“<”“=”）；(2)若CF=5米，AF=12米，AB=4米，求男孩需向右移動的距離CE（結果保留根號）．【答案】(1)=(2)男孩需向右移動的距離為13-89【分析】（1）由繩長始終保持不變即可求解；（2）由勾股定理求出AC、BC的長，然后根據(jù)CE=AC-BC即可求解．【詳解】（1）解：∵AC的長度是男孩未拽之前的繩子長，(BC+CE)的長度是男孩拽之后的繩子長，繩長始終保持不變，∴AC=BC+CE，（2）解：連接AB，則點A、B、F三點共線，在Rt△CAF中，AC=AF∵BF=AF-AB=12-4=8（米)，在Rt△CBF中，BC=CF∵AC=BC+CE，∴CE=AC-BC=13-89（米∴男孩需向右移動的距離為13-89【點睛】本題考查了勾股定理的應用，根據(jù)勾股定理求出AC、BC的長是解題的關鍵．【考試題型8】求臺階上地毯長度19．如圖有一個四級臺階，它的每一級的長、寬分別為18分米、4分米．(1)如果給臺階表面8個矩形區(qū)域鋪上定制紅毯，需要定制紅毯的面積為432平方分米，那么每一級臺階的高為多少分米？(2)A和C是這個臺階上兩個相對的端點，臺階角落點A處有一只螞蟻，想到臺階頂端點C處去吃美味的食物，則螞蟻沿著臺階面從點A爬行到點C的最短路程為多少分米？【答案】(1)每一級臺階的高為2分米．(2)螞蟻沿著臺階面從點A爬行到點C的最短路程為30分米．【分析】（1）設每一級臺階的高為x分米，根據(jù)題意列方程即可得到結論；（2）先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點之間線段最短進行解答．【詳解】（1）解：設每一級臺階的高為x分米，根據(jù)題意得，18×（4＋x）×4＝432，解得x＝2，答：每一級臺階的高為2分米；（2）四級臺階平面展開圖為長方形，長為18分米，寬為（2＋4）×4＝24分米，則螞蟻沿臺階面從點A爬行到C點最短路程是此長方形的對角線長．由勾股定理得：AC＝182答：螞蟻沿著臺階面從點A爬行到點C的最短路程為30分米．【點睛】本題考查了平面展開?最短路徑問題，用到臺階的平面展開圖，只要根據(jù)題意判斷出長方形的長和寬即可解答．20．若圖是一個高為3米，長為5米的樓梯表面鋪地毯．（1）求地毯的長是多少米？（2）如果地毯的寬是2米，地毯每平方售價是10元，鋪這個樓梯一共需要多少元？【答案】（1）7米；（2）140元【分析】（1）首先利用勾股定理求出AC的長度，然后利用平移的知識即可得出地毯的長；（2）首先計算出地毯的面積，然后用面積乘以10即可得出答案．【詳解】（1）∵BC=3m,AB=5m,∠ACB=90°，∴AC=AB∴AC+BC=7m，∴地毯的長為7m；（2）地毯的面積為7×2=14m2∴鋪這個樓梯所需的花費為14×10=140（元）．【點睛】本題主要考查勾股定理及平移的相關知識，根據(jù)勾股定理求出AC的長度是關鍵．【考試題型9】判斷汽車是否超速21．《中華人民共和國道路交通管理條例》規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過70km/h．如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A處的正前方30m的C處，過了2s【答案】這輛小汽車超速行駛【分析】本題求小汽車是否超速，其實就是求BC的距離，直角三角形ABC中，有斜邊AB的長，有直角邊AC的長．那么利用勾股定理可求得BC的長，根據(jù)小汽車2s行駛的路程為BC，那么可求出小汽車的速度，然后再判斷是否超速．【詳解】解：根據(jù)題意AC⊥BC，AC=30m，AB=50∴在Rt△ABC中，BC=A∴小汽車的速度為v=40∵72km∴這輛小汽車超速行駛．【點睛】本題考查勾股定理的應用，可把條件和問題放到直角三角形中，進行解決，要注意題目中單位的統(tǒng)一．理解題意，將實際問題轉化為數(shù)學問題是解題的關鍵．22．超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同學在幸福大道段，嘗試用自己所學的知識檢測車速，觀測點設在到公路l的距離為100m的P處．這時，一輛紅旗轎車由西向東勻速駛來，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為3s，并測得∠APO=60°，(1)求AP的長？(2)試判斷此車是否超過了80km/h的限制速度？（3≈1.732【答案】(1)AP的長為200m(2)此車超過了80km/h的限制速度【分析】（1）根據(jù)含30度角直角三角形的性質，即可求解；（2）根據(jù)勾股定理可得AO=1003m，再由等腰直角三角形的判定可得BO【詳解】（1）解：在Rt∴∠∴AP（2）解：在RtΔAPO中，

∴AO在RtΔBOP中，∠∴∠BPO∴BO=∴V∴此車超過80km/h的限制速度．【點睛】本題主要考查了勾股定理，含30度角直角三角形的性質，等腰直角三角形的判定，熟練掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性質是解題的關鍵．【考試題型10】受否受臺風影響23．今年第6號臺風“煙花”登錄我國沿海地區(qū)，風力強，累計降雨量大，影響范圍大，有極強的破壞力．如圖，臺風“煙花”中心沿東西方向AB由A向B移動，已知點C為一海港，在A處測得C港在北偏東45°方向上，在B處測得C港在北偏西60°方向上，且AB=400+4003千米，以臺風中心為圓心，周圍600(1)海港C受臺風影響嗎？為什么？(2)若臺風中心的移動速度為20千米/時，則臺風影響該海港持續(xù)的時間有多長？（結果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)2≈1.41，3≈1.73，【答案】(1)海港C受臺風影響，理由見解析．(2)臺風影響該海港持續(xù)的時間有45小時．【分析】（1）判斷海港C是否受影響，只需要求得臺風距離海港C的最近距離是否在臺風的影響范圍即可，轉換成數(shù)學知識就是點到直線之間的最短距離，也就是垂線段最短，通過勾股定理的知識解題即可．（2）當臺風中心距離海港C的距離為600千米時，開始受到影響，如圖當臺風在PQ段海港C受影響，構建三角形，根據(jù)勾股定理即可求出PQ的長度，根據(jù)速度即可解出受影響的時間．【詳解】（1）過點C作CH⊥AB交AB于點H設CH=x在Rt△ACH中，∠A=45°，在Rt△BCH中，∠B=30°，∴AB=(∴x=400，∴CH=400∵400<600，海港C受臺風影響（2）設臺風在P點，海港開始受到影響，Q點時停止受影響，在Rt△PCH中，CP=600，∴PH=∴PQ=2PH=400則時間：t=400答：臺風影響該海港持續(xù)的時間有45小時．【點睛】本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用，解答此類題目的關鍵是構建出直角三角形，再利用勾股定理解答．24．如圖，A市氣象站測得臺風中心在A市正東方向300千米的B處，以107千米/時的速度向北偏西60°的BF方向移動，距臺風中心200千米范圍內(nèi)是受臺風影響的區(qū)域．(1)A市是否會受到臺風的影響？寫出你的結論并給予說明；(2)如果A市受這次臺風影響，那么受臺風影響的時間有多長？【答案】(1)會，說明見解析(2)10小時【分析】（1）過點A作AD⊥BF于點D，根據(jù)直角三角形的性質可得AD=12AB（2）設臺風到達點C時，A市開始受到臺風的影響，到達點E時，A市開始不受到臺風的影響，則AE=AC=200千米，根據(jù)等腰三角形的性質可得CE=DE，再由勾股定理求出CD，即可求解．【詳解】（1）解：A市會受到臺風的影響，理由如下∶如圖，過點A作AD⊥BF于點D，在RtΔABD中，∠ABD=30°，AB∴AD=1∵AD=150千米＜200千米，∴A市會受到臺風的影響；（2）解∶設臺風到達點C時，A市開始受到臺風的影響，到達點E時，A市開始不受到臺風的影響，則AE=AC=200千米，∵AD⊥BF，∴CD=DE，∴DC=A∴CE=1007∴A市受臺風影響的時間為1007107=10【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質，等腰三角形的性質，勾股定理，根據(jù)題意，準確構造直角三角形是解題的關鍵．25．新冠疫情期間，為了提高人民群眾防疫意識，很多地方的宣講車開起來了，大喇叭響起來了，宣傳橫幅掛起來了，電子屏亮起來了，電視、廣播、微信、短信齊上陣，防疫標語、宣傳金句頻出，這傳遞著打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)的堅定決心．如圖，在一條筆直公路MN的一側點A處有一村莊，村莊A到公路MN的距離AB為800米，若宣講車周圍1000米以內(nèi)能聽到廣播宣傳，宣講車在公路MN上沿MN方向行駛．(1)請問村莊A能否聽到宣傳？請說明理由；(2)如果能聽到，已知宣講車的速度是300米/分鐘，那么村莊A總共能聽到多長時間的宣傳？【答案】(1)村莊能聽到宣傳，理由詳見解析(2)村莊總共能聽到4分鐘的宣傳【分析】（1）根據(jù)村莊A到公路MN的距離為800米＜1000米，于是得到結論；（2）根據(jù)勾股定理得到BP=BQ=600米，求得PQ=1200米，于是得到結論．【詳解】（1）解：村莊能聽到宣傳，理由：∵村莊A到公路MN的距離為800米＜1000米，∴村莊能聽到宣傳；（2）解：如圖：假設當宣講車行駛到P點開始影響村莊，行駛Q點結束對村莊的影響，則AP=AQ=1000米，AB=800米，∴BP=BQ=AP2∴PQ=1200米，∴影響村莊的時間為：1200÷300=4（分鐘），∴村莊總共能聽到4分鐘的宣傳．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，解題時結合生活實際，便于更好的理解題意．【考試題型11】選址到兩地距離相等26．如圖，在筆直的鐵路上A、B兩點相距25km，C、D為兩村莊，DA=10km，CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，現(xiàn)要在AB上建一個中轉站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，求E應建在距【答案】E應建在距A點15km處【分析】設AE=x，則BE=25-x，根據(jù)勾股定理求得DE2和CE【詳解】設AE=x，則BE=25-x，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE在Rt△BCE中，CE由題意可知：DE=CE，所以：102解得：x=15km．所以，E應建在距A點15km處．【點睛】本題主要考查了勾股定理的實際應用，準確計算是解題的關鍵．27．“三農(nóng)”問題是關系國計民生的根本問題，實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略是建設美麗中國的關鍵舉措．如圖，公路上A、B兩點相距50km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=30km，CB=20km，現(xiàn)在要在公路AB上建一個土特產(chǎn)品市場E，使得C、D兩村莊到市場E的距離相等，則市場E【答案】市場E應建在距A的20千米處；ΔDEC【分析】可以設AE=x，則BE=50-x，在直角△ADE中根據(jù)勾股定理可以求得DE，在直角△BCE中根據(jù)勾股定理可以求得CE，根據(jù)CE=DE可以求得x的值，即可求得AE的值．【詳解】解：設AE=x，則BE=50-x，在直角△ADE中，DE在直角△BCE中，CE∴302解得：x=20，即AE=20km∴市場E應建在距A的20千米處；∵AE=BC=20km，BE=50-20=30在△DAE和△EBC中，AE=BC∠DAE=∠EBC可得△DAE≌△EBCSAS∴∠AED=∠BCE，又∵∠BEC+∠BCE=90°，∴∠BEC+∠AED=90°，∴∠DEC=又∵DE=EC，∴△DEC是等腰直角三角形．【點睛】本題考查了勾股定理在直角三角形中的應用，本題中根據(jù)DE2=302【考試題型12】求最短距離28．如圖，圓柱形容器的高為120cm，底面周長為100cm，在容器內(nèi)壁離容器底部40cm的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外