新高考數(shù)學題型全歸納之排列組合專題09間接法模型(原卷版+解析)

專題9間接法模型例1．為抗擊新冠病毒，某部門安排甲、乙、丙、丁、戊五名專家到三地指導防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名專家，其中甲、乙兩名專家必須安排在同一地工作，丙、丁兩名專家不能安排在同一地工作，則不同的分配方法總數(shù)為（）A．18 B．24 C．30 D．36【解析】因為甲、乙兩名專家必須安排在同一地工作，此時甲、乙兩名專家看成一個整體即相當于一個人，所以相當于只有四名專家，先計算四名專家中有兩名在同一地工作的排列數(shù)，即從四個中選二個和其余二個看成三個元素的全排列共有：種；又因為丙、丁兩名專家不能安排在同一地工作，所以再去掉丙、丁兩名專家在同一地工作的排列數(shù)有種，所以不同的分配方法種數(shù)有：故選：C例2．某校從8名教師中選派4名同時去4個邊遠地區(qū)支教（每地1名教師），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，則不同的選派方案有（）A．900種 B．600種 C．300種 D．150種【解析】第一類，甲去，則丙一定去，乙一定不去，再從剩余的5名教師中選2名，有（種）不同選法，第二類，甲不去，則丙一定不去，乙可能去也可能不去，從6名教師中選4名，有（種）不同選法，所以不同的選派方案共有(10+15)（種）.故選B.例3．某市政府決定派遣名干部（男女）分成兩個小組，到該市甲、乙兩個縣去檢查扶貧工作，若要求每組至少人，且女干部不能單獨成組，則不同的派遣方案共有（）種A． B． C． D．【解析】兩組至少都是人，則分組中兩組的人數(shù)分別為、或、，

又因為名女干部不能單獨成一組，則不同的派遣方案種數(shù)為.故選：C.例4．某校高一開設(shè)4門選修課，有4名同學選修，每人只選1門，恰有2門課程沒有同學選修，則不同的選課方案有（）A．96種 B．84種 C．78種 D．16種【解析】先確定選的兩門:,再確定學生選:,所以不同的選課方案有選B.例5．從5名男生和5名女生中選3人組隊參加某集體項目的比賽，其中至少有一名女生入選的組隊方案數(shù)為A．100 B．110 C．120 D．180【解析】試題分析：10人中任選3人的組隊方案有，沒有女生的方案有，所以符合要求的組隊方案數(shù)為110種例6．某教師一天上3個班級的課，每班上1節(jié)，如果一天共9節(jié)課，上午5節(jié)，下午4節(jié)，并且教師不能連上3節(jié)課（第5節(jié)和第6節(jié)不算連上），那么這位教師一天的課表的所有不同排法有（）A．474種 B．77種 C．462種 D．79種【解析】試題分析：根據(jù)題意，由于某教師一天上3個班級的課，每班一節(jié)，如果一天共9節(jié)課，上午5節(jié)、下午4節(jié)，并且教師不能連上3節(jié)課（第5和第6節(jié)不算連上），所有的上課方法有，那么連著上3節(jié)課的情況有5種，則利用間接法可知所求的方法有-5=474，故答案為A.例7．從甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中選派三人分別從事翻譯、導游、禮儀三項不同工作，若其中乙和丙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這三項工作，則不同的選派方案共有()A．36種 B．12種 C．18種 D．24種【解析】利用分類加法原理，對所選的3人中分三種情況：乙和丙有2人，對兩個人進行排列，第三項工作再從乘下的3人中選1人，即；乙和丙有1人，則有2種情況，這個人可以從兩項工作中任取一項有2種情況，則乘下的兩項工作由3個人來排列，即；乙和丙都沒有，三項工作就由其他3個人來進行排列，即；∴.故選：A例8．某教育局公開招聘了4名數(shù)學老師，其中2名是剛畢業(yè)的“新教師”，另2名是有了一段教學時間的“老教師”，現(xiàn)隨機分配到A、B兩個學校任教，每個學校2名，其中分配給學校A恰有1名“新教師”和1名“老教師”的概率是（）A． B． C． D．【解析】分配給學校A兩個“新教師”與兩個“老教師”的概率之和為.故分配給學校A恰有1名“新教師”和1名“老教師”的概率是.故選：D例9．某校教師迎春晚會由個節(jié)目組成，為考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下要求，節(jié)目甲不排在第一位和最后一位，節(jié)目丙、丁必須排在一起，則該校迎春晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有（）A．種 B．種 C．種 D．種【解析】利用間接法求解，先考慮將丙、丁排在一起，將這兩個節(jié)目進行捆綁，形成一個大元素，共有種.若甲排在第一位和最后一位，且丙、丁排在一起，將這兩個節(jié)目進行捆綁，形成一個大元素，此時，排法種數(shù)為.綜上所述，符合條件的排法種數(shù)為（種）.故選：C.例10．某公園新購進盆錦紫蘇、盆虞美人、盆郁金香，盆盆栽，現(xiàn)將這盆盆栽擺成一排，要求郁金香不在兩邊，任兩盆錦紫蘇不相鄰的擺法共（）種A． B． C． D．【解析】使用插空法，先排盆虞美人、盆郁金香有種，然后將盆錦紫蘇放入到4個位置中有種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理有，扣除郁金香在兩邊，排盆虞美人、盆郁金香有種，再將盆錦紫蘇放入到3個位置中有，根據(jù)分步計數(shù)原理有，所以共有種.故選:B.例11．2019年4月23日中國人民海軍建軍70周年.為展現(xiàn)人民海軍70年來的輝煌歷程和取得的巨大成就，我國在山東青島及附近?？张e行盛大的閱兵儀式.我國第一艘航空母艦“遼寧艦”作戰(zhàn)群將參加軍演，要求2艘攻擊型核潛艇一前一后，3艘驅(qū)逐艦和3艘護衛(wèi)艦分列左右，每側(cè)3艘，同側(cè)不能都是同種艦艇，則艦艇分配方案的方法種數(shù)為（）A．1296 B．648 C．324 D．72【解析】由題意可得：2艘攻擊型核潛艇一前一后，有種方法排列，6艘艦艇的任意排列，有種方法排列，6艘艦艇每側(cè)3艘且同側(cè)是同種艦艇，有種方法排列，6艘艦艇每側(cè)3艘，同側(cè)不能都是同種艦艇，有種方法排列，艦艇分配方案的方法種數(shù)有：故選：A例12．現(xiàn)“學習強國”平臺設(shè)有“閱讀文章”、“視聽學習”等多個欄目.在某時段時，更新了2篇文章和4個視頻，一位學習者準備學習這2篇文章和其中2個視頻，則這2篇文章學習順序不相鄰的學法有（）種.A．24 B．36 C．72 D．144【解析】根據(jù)題意，分2步進行分析：①，在4個視頻中任選2個進行學習，有種情況，②，將選出的2個視頻與2篇文章依次進行學習，共有種情況，其中2篇文章學習順序相鄰的情況有種情況，故2篇文章學習順序不相鄰的情況有12種，則這2篇文章學習順序不相鄰的學法有種；故選：C例13．在報名的名男教師和名女教師中，選取人參加義務獻血，要求男、女教師都有，則不同的選取方式的種數(shù)為（）A． B． C． D．【解析】試題分析：由題可從反面處理，即從選法中減去全是女生的選法，則可得有；種選法．例14．某部門在一周的7天內(nèi)給3名實習生每人安排1天的工作，若每天最多安排一名實習生，且這3名實習生不能安排在連續(xù)的3天，則不同的安排方案的種數(shù)為（）．A．30 B．120 C．180 D．210【解析】由題意，將3名實習生隨機安排在一周的7天內(nèi)，共有種安排方案，將3名實習生安排在連續(xù)的3天的安排方案有種，所以滿足題意的不同安排方案有（種）．故選：C．例15．我省某醫(yī)院呼吸科要從2名男醫(yī)生，3名女醫(yī)生中選派3人支持湖北省參加疫情防控工作，若這3人中至少有1名男醫(yī)生，則選派方案有（）A．60種 B．12種 C．10種 D．9種【解析】根據(jù)題意，有2名男醫(yī)生，3名女醫(yī)生，共5名醫(yī)生中選派3人，有種選法，其中沒有男醫(yī)生，即全部為女醫(yī)生的選法有種，則有種不同的選法；故選：D．例16．有13名醫(yī)生，其中女醫(yī)生6人，現(xiàn)從中抽調(diào)5名醫(yī)生組成醫(yī)療小組前往湖北疫區(qū)，若醫(yī)療小組至少有2名男醫(yī)生，同時至多有3名女醫(yī)生，設(shè)不同的選派方法種數(shù)為，則下列等式能成為的算式是（）.A．； B．；C．； D．；【解析】解：13名醫(yī)生，其中女醫(yī)生6人，男醫(yī)生7人．利用直接法，2男3女：；3男2女：；4男1女：；5男：，所以；利用間接法：13名醫(yī)生，任取5人，減去4、5名女醫(yī)生的情況，即；所以能成為的算式是BC．故選：BC．例17．在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件不合格品，從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件，則()A．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有種B．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有種C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有種D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有種【解析】由題意知，抽出的三件產(chǎn)品恰好有一件不合格品,則包括一件不合格品和兩件合格品,共有種結(jié)果，則選項A正確，B不正確；根據(jù)題意,"至少有1件不合格品"可分為"有1件不合格品"與"有2件不合格品"兩種情況,"有1件不合格品"的抽取方法有種,"有2不合格次品"的抽取方法有種,則共有種不同的抽取方法,選項C正確；"至少有1件不合格品"的對立事件是"三件都是合格品"，"三件都是合格品"的抽取方法有種,抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有，選項D正確；故選：ACD.例18．新型冠狀病毒疫情期間，位黨員需要被安排到個不同的路口執(zhí)勤，每個路口至少安排一人，其中黨員甲和乙不能被安排到同一個路口，那么總共有_______種不同安排方法．（用數(shù)字作答）【解析】先考慮沒有限制條件下的排法種數(shù)，將人分為三組，三組的人數(shù)分別為、、或、、，此時，所有的排法種數(shù)為.其次考慮甲、乙兩人安排在同一路口時的排法種數(shù)，此時有種排法.綜上所述，共有種.故答案為：.例19．某單位擬安排6位員工在今年6月14號至16號（某節(jié)假期）值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位員工中的甲不值16號，乙不值14號，則不同的安排方法共有____________種.【解析】解：根據(jù)題意，不同的安排方法的數(shù)目為：所有排法減去甲值16號或乙值14號的排法數(shù)，再加上甲值16號且乙值14號的排法，即，故答案為：42．例20．從數(shù)字0，1，2，3，4，5，6中任取3個，這3個數(shù)的乘積為偶數(shù)時的不同取法共有______種（用數(shù)字作答）.【解析】從數(shù)字0，1，2，3，4，5，6中任取3個，共有，乘積為奇數(shù)只有一種情況故這3個數(shù)的乘積為偶數(shù)時的不同取法共有種.故答案為：例21．中國有十二生肖，又叫十二屬相，是以十二種動物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）形象化代表人的出生年份，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，三位屬相不同的小朋友依次每人選一個，則三位小朋友都不選和自己屬相相同的吉祥物的選法有________種．【解析】解：三位小朋友選擇的總情況共有（種）．①三人都選與自己屬相相同的吉祥物，有1種選法；②三人中有二人選與自己屬相相同的吉祥物，選法共有（種）；③三人中有一人選與自己屬相相同的吉祥物，選法有（種），所以三位小朋友都不選和自己屬相相同的吉祥物的選法有（種）．故答案為：例22．從正方體的8個頂點中選4個點作一個平面，可作___________個不同的平面，從正方體的8個頂點中選4個點作一個四面體，可作___________個四面體.【解析】正方體的8個頂點中選4個點作一個平面，共有正方體的6個面和6個對角面，共12個不同平面，故可作個四面體.故答案為：12；58.例23．由數(shù)字1，2，3，4，5組成無重復數(shù)字的五位數(shù).（1）共可以組成多少個五位數(shù)？（2）其中奇數(shù)有多少個？（3）如果將所有的五位數(shù)按從小到大的順序排列，43125是第幾個數(shù)？說明理由.【解析】（1）由數(shù)字1，2，3，4，5組成無重復數(shù)字的五位數(shù)，共可以組成A55＝120個五位數(shù)（2）∵由1、2、3、4、5組成的無重復數(shù)字的五位數(shù)的奇數(shù)，∴第五個數(shù)字必須從1、3、5中選出，共有C31種結(jié)果，其余四個位置可以用四個元素在四個位置進行全排列，共有A44種結(jié)果，根據(jù)分步計數(shù)原理得到共有C31A44＝72