2025屆湖北省黃岡市荊州中學(xué)校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)試題含解析

2025屆湖北省黃岡市荊州中學(xué)校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓的短軸長(zhǎng)和焦距相等，則a的值為（）A.1 B.C. D.2．在空間直角坐標(biāo)系中，若，，則（）A. B.C. D.3．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足約束條件則的最小值（）A.5 B.C. D.84．已知是空間的一個(gè)基底，，，，若四點(diǎn)共面．則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.C. D.5．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，將在2022年2月4日在中華人民共和國(guó)北京市和張家口市聯(lián)合舉行．這是中國(guó)歷史上第一次舉辦冬季奧運(yùn)會(huì)，北京成為奧運(yùn)史上第一個(gè)舉辦夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)和冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)的城市．同時(shí)中國(guó)也成為第一個(gè)實(shí)現(xiàn)奧運(yùn)“全滿(mǎn)貫”（先后舉辦奧運(yùn)會(huì)、殘奧會(huì)、青奧會(huì)、冬奧會(huì)、冬殘奧會(huì)）國(guó)家．根據(jù)規(guī)劃，國(guó)家體育場(chǎng)（鳥(niǎo)巢）成為北京冬奧會(huì)開(kāi)、閉幕式的場(chǎng)館．國(guó)家體育場(chǎng)“鳥(niǎo)巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥(niǎo)瞰圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若由外層橢圓長(zhǎng)軸一端點(diǎn)和短軸一端點(diǎn)分別向內(nèi)層橢圓引切線(xiàn)，（如圖），且兩切線(xiàn)斜率之積等于，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.6．設(shè)滿(mǎn)足則的最大值為A. B.2C.4 D.167．已知平面，的法向量分別為，，則（）A. B.C.，相交但不垂直 D.，的位置關(guān)系不確定8．如圖，某圓錐的軸截面是等邊三角形，點(diǎn)是底面圓周上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.9．1202年，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契出版了他的《算盤(pán)全書(shū)》．他在書(shū)中收錄了一些有意思的問(wèn)題，其中有一個(gè)關(guān)于兔子繁殖的問(wèn)題：如果1對(duì)兔子每月生1對(duì)小兔子（一雌一雄），而每1對(duì)小兔子出生后的第3個(gè)月里，又能生1對(duì)小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，如果用Fn表示第n個(gè)月的兔子的總對(duì)數(shù)，則有(n＞2)，．設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足：an＝，則數(shù)列{an}的前36項(xiàng)和為（）A.11 B.12C.13 D.1810．若函數(shù)在上為增函數(shù)，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.11．已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.12．已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn)M與焦點(diǎn)間的距離是3，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知球的半徑為3，則該球的體積為_(kāi)________.14．三棱錐中，、、兩兩垂直，且.給出下列四個(gè)命題：①；②；③和的夾角為；④三棱錐的體積為.其中所有正確命題的序號(hào)為_(kāi)_____________.15．若過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，則切線(xiàn)方程為_(kāi)__________.16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則___________，___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)（）上，過(guò)點(diǎn)A且斜率為1直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為B（1）求p的值和拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求弦長(zhǎng)18．（12分）已知橢圓的離心率為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以橢圓M的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（1）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)橢圓M的右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交橢圓M于A，B兩點(diǎn)，過(guò)F且垂直于直線(xiàn)的直線(xiàn)交橢圓M于C，D兩點(diǎn)，則是否存在實(shí)數(shù)使成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由19．（12分）某學(xué)校為了調(diào)查本校學(xué)生在一周內(nèi)零食方面的支出情況，抽出了一個(gè)容量為的樣本，分成四組，，，，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出金額在元的學(xué)生有180人.（1）請(qǐng)求出的值；（2）如果采用分層抽樣的方法從，內(nèi)共抽取5人，然后從中選取2人參加學(xué)校的座談會(huì)，求在，內(nèi)正好各抽取一人的概率為多少.20．（12分）已知橢圓的離心率為，橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于、兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若以為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值.21．（12分）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，，n為正整數(shù).（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；（2）證明：數(shù)列中的任意三項(xiàng)，，都不成等差數(shù)列；（3）若關(guān)于正整數(shù)n的不等式的解集中有且僅有三個(gè)元素，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；22．（10分）已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，前7項(xiàng)和為（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，求的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由題設(shè)及橢圓方程可得，即可求參數(shù)a的值.【詳解】由題設(shè)易知：橢圓參數(shù)，即有，可得故選：A2、B【解析】直接利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】解：因?yàn)?，，所?故選：B3、B【解析】做出，滿(mǎn)足約束條件的可行域，結(jié)合圖形可得答案.【詳解】做出，滿(mǎn)足約束條件可行域如圖，化為，平移直線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)有最小值，由得，所以的最小值為.故選：B.4、A【解析】由共面定理列式得，再根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等計(jì)算.【詳解】因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，設(shè)存在有序數(shù)對(duì)使得，則，即，所以得.故選：A5、B【解析】分別設(shè)內(nèi)外層橢圓方程為、，進(jìn)而設(shè)切線(xiàn)、分別為、，聯(lián)立方程組整理并結(jié)合求、關(guān)于a、b、m的關(guān)系式，再結(jié)合已知得到a、b的齊次方程求離心率即可.【詳解】若內(nèi)層橢圓方程為，由離心率相同，可設(shè)外層橢圓方程為，∴，設(shè)切線(xiàn)為，切線(xiàn)為，∴，整理得，由知：，整理得，同理，，可得，∴，即，故.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)內(nèi)外橢圓的離心率相同設(shè)橢圓方程，并寫(xiě)出切線(xiàn)方程，聯(lián)立方程結(jié)合及已知條件，得到橢圓參數(shù)的齊次方程求離心率.6、C【解析】可行域如圖,則直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A(0,1)取最大值2,則的最大值為4,選C.點(diǎn)睛：線(xiàn)性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問(wèn)題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無(wú)誤地作出可行域；二，畫(huà)目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)時(shí)，要注意與約束條件中的直線(xiàn)的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.7、C【解析】利用向量法判斷平面與平面的位置關(guān)系.【詳解】因?yàn)槠矫?，的法向量分別為，，所以，即不垂直，則，不垂直，因?yàn)?，即即不平行，則，不平行，所以，相交但不垂直，故選：C8、C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，分別得到，然后根據(jù)空間向量夾角公式計(jì)算即可.【詳解】以過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線(xiàn)為軸，直線(xiàn)，分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則根據(jù)題意可得，，，，所以，，設(shè)異面直線(xiàn)與所成角為，則.故選：C.9、B【解析】由奇數(shù)+奇數(shù)＝偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)＝奇數(shù)可知，數(shù)列{Fn}中F3，F(xiàn)6，F(xiàn)9，F(xiàn)12，，F(xiàn)3n為偶數(shù)，其余項(xiàng)都為奇數(shù)，再根據(jù)an＝，即可求出數(shù)列{an}的前36項(xiàng)和【詳解】由奇數(shù)+奇數(shù)＝偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)＝奇數(shù)可知，數(shù)列{Fn}中F3，F(xiàn)6，F(xiàn)9，F(xiàn)12，，F(xiàn)3n為偶數(shù)，其余項(xiàng)都為奇數(shù)，∴前36項(xiàng)共有12項(xiàng)為偶數(shù)，∴數(shù)列{an}的前36項(xiàng)和為12×1+24×0＝12.故選：B10、C【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，要使函數(shù)在上為增函數(shù)，要保證導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間上恒正即可，由此得到不等式,解得答案.詳解】由題意可知，若在遞增，則在恒成立，即有，則，故選：C.11、C【解析】由題意得出，構(gòu)造函數(shù)，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得出對(duì)任意的恒成立，利用參變量分離法可得出，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，恒成立，即，構(gòu)造函數(shù)，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則對(duì)任意的恒成立，，令，其中，則.，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；又，所以.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.12、B【解析】利用拋物線(xiàn)的定義求解即可【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，因?yàn)閽佄锞€(xiàn)上一點(diǎn)M與焦點(diǎn)間的距離是3，所以，得，即點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)球的體積公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)榍虻陌霃剑郧虻捏w積；故答案為：14、①②③【解析】設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷①②③④的正誤.【詳解】設(shè)，由于、、兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則、、、.對(duì)于①，，所以，，①正確；對(duì)于②，，，則，②正確；對(duì)于③，，，，，所以，和的夾角為，③正確；對(duì)于④，，，，則，所以，，而三棱錐的體積為，④錯(cuò)誤.故答案為：①②③.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在立體幾何中計(jì)算空間向量的相關(guān)問(wèn)題，可以選擇合適的點(diǎn)與直線(xiàn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可.15、或【解析】根據(jù)圓心到切線(xiàn)的距離等于圓的半徑即可求解.【詳解】由題意可知，，故在圓外，則過(guò)點(diǎn)做圓的切線(xiàn)有兩條，且切線(xiàn)斜率必存在，設(shè)切線(xiàn)為，即，則圓心到直線(xiàn)的距離，解得或，故切線(xiàn)方程為或故答案為：或16、①.②.【解析】第一空：由，代入已知條件，即可解得結(jié)果；第二空：由與關(guān)系可推導(dǎo)出之間的關(guān)系，再由遞推公式即可求出通項(xiàng)公式.【詳解】，可得由，可知時(shí)，故時(shí)即可化為又故數(shù)列是首項(xiàng)為公比為2的等比數(shù)列，故數(shù)列的通項(xiàng)公式故答案為：①；②三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），焦點(diǎn)坐標(biāo)（2）【解析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的方程，可求得的值，進(jìn)而可得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）寫(xiě)出直線(xiàn)的方程，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程求得交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線(xiàn)上，所以，即所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為；【小問(wèn)2詳解】由已知得直線(xiàn)方程為，即由得，解得或所以，則18、（1）（2）存在，【解析】（1）求出后可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，消元后利用韋達(dá)定理可用表示，從而可求的值.【小問(wèn)1詳解】據(jù)題意，得，∴，∴所求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】據(jù)（1）求解知，點(diǎn)F坐標(biāo)為若直線(xiàn)的斜率存在，且不等于0，設(shè)直線(xiàn)據(jù)得設(shè)，則，∴同理可求知，∴，∴，即此時(shí)存滿(mǎn)足題設(shè)；若直線(xiàn)的斜率不存在，則；若直線(xiàn)的斜率為0，則，此時(shí)若，則綜上，存在實(shí)數(shù)，且使19、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖求出[50，60]的頻率，180除以該頻率即為n的值；(2)將的樣本編號(hào)為a、b，將的樣本編號(hào)為A、B、C，利用列舉法即可求概率.【小問(wèn)1詳解】由于支出金額在的頻率為，∴.【小問(wèn)2詳解】采用分層抽樣抽取的的人數(shù)比應(yīng)為2：3，∴5人中有2人零食支出位于，記為、；有3人零食支出在，記為A、B、C.從這5人中選取2人有，，，，，，，，，，共10種情況；其中內(nèi)正好各抽取一人有，，，，，，共6種情況.∴在內(nèi)正好各抽取一人的概率為.20、(1)；(2)【解析】（1）由離心率得到，由橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，得到，進(jìn)而可求出結(jié)果；（2）先由題意，得直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，設(shè)，根據(jù)韋達(dá)定理，得到，，再由以為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，得到，進(jìn)而可求出結(jié)果.詳解】(1)由題意知，∴，即，又雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，所以，∴，故橢圓的方程為.(2)解：由題意知直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為由得：由得：設(shè)，則，，∴因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，.滿(mǎn)足條件故.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程，以及橢圓的應(yīng)用，熟記橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可，解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，通常需要聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理、判別式等求解，屬于常考題型.21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】（1）將所給等式變形為，根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明結(jié)論；（2）假設(shè)存在，，成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可推出矛盾，故說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤。從而證明原結(jié)論；（3）求出n=1,2,3,4時(shí)的情況，再結(jié)合時(shí)，，即可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由已知可知，顯然有，否則數(shù)列不可能是等比數(shù)列；因?yàn)?，，故可得，由得：，即有，所以?shù)列等比數(shù)