河北省永清一中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

河北省永清一中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，給出下列4個(gè)條件：①a1=1；②a4=4；③S3=9；④S5=25，若只有一個(gè)條件不成立，則該條件為（）A.① B.②C.③ D.④2．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，，當(dāng)最小時(shí)，的值為（）A.3 B.4C.5 D.63．通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)110名不同的大學(xué)生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：男女總計(jì)愛(ài)好402060不愛(ài)好203050總計(jì)6050110由附表：0．0500．0100．0013．8416．63510．828參照附表，得到的正確結(jié)論是（）A.有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B.有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0．1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0．1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”4．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則等于（）A. B.C. D.5．函數(shù)的圖象如圖所示，是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（）A B.C. D.6．在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC與BD的交點(diǎn)為M，設(shè)＝，＝，＝，則＝（）A.++ B.+C.++ D.+7．已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)于任意的，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（）A. B.C. D.8．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公比為q，若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.9．已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且，，則（）A.4 B.2C.1 D.10．如圖，在三棱柱中，E，F(xiàn)分別是BC，中點(diǎn)，，則（）A.B.C.D.11．若指數(shù)函數(shù)（且）與三次函數(shù)的圖象恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)，則等于（）A.0 B.2C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，四棱錐的底面是正方形，底面，為的中點(diǎn)，若，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)__________.14．函數(shù)y＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則a＝________.15．雙曲線的離心率______.16．已知數(shù)列an滿足，則__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求證：在上恒成立18．（12分）雙曲線，離心率，虛軸長(zhǎng)為2（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，求直線的方程19．（12分）在三角形ABC中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，且D為AC的中點(diǎn).（1）求三角形ABC的外接圓M方程；（2）求直線BD與外接圓M相交產(chǎn)生的相交弦的長(zhǎng)度.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線（為參數(shù)）交于兩點(diǎn).（1）將曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；（2）求的長(zhǎng).21．（12分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且.（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)A到平面的距離.22．（10分）如圖，從參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生中抽出60名，將其成績(jī)(均為整數(shù))整理后畫出的頻率分布直方圖如下：觀察圖形，回答下列問(wèn)題：（1）[79.5，89.5)這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少？（2）估計(jì)這次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)是多少？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式及求和公式的基本量計(jì)算，對(duì)比即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為，，，，即，即.當(dāng)，時(shí)，①③④均成立，②不成立.故選：B2、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列相關(guān)計(jì)算得到，，進(jìn)而求出與，代入后得到，利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)單調(diào)性得到當(dāng)時(shí)，取得最小值.【詳解】顯然，由題意得：，，兩式相除得：，將代入，解得：，所以，所以，，所以，其中單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：B3、A【解析】由，而，故由獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義可知選A4、D【解析】根據(jù)裂項(xiàng)求和法求得，再計(jì)算即可.【詳解】解：由題意得====所以.故選：D5、A【解析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定正確選項(xiàng).【詳解】，表示兩點(diǎn)連線斜率，表示在處切線的斜率；表示在處切線的斜率；根據(jù)圖象可知，.故選：A6、B【解析】利用向量三角形法則、平行四邊形法則、向量共線定理即可得出【詳解】如圖所示，∵＝+，又＝，＝－，＝，∴＝+，故選：B7、B【解析】由等差數(shù)列基本量法求出通項(xiàng)公式，用裂項(xiàng)相消法求得，求出的最大值，然后利用關(guān)于的不等式是一次不等式列出滿足的不等關(guān)系求得其范圍【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，則由已知得，解得，∴，，∴，易知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，∴若對(duì)于任意的，，不等式恒成立，即，又，∴，解得或故選：B【點(diǎn)睛】本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查不等式恒成立問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握不等式恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與化歸思想，不等式恒成立首先轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的單調(diào)性與最值，其次轉(zhuǎn)化為一次不等式恒成立8、D【解析】根據(jù)，可求得，然后逐一分析判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，故A錯(cuò)誤；又，所以，所以，所以，故BC錯(cuò)誤；所以，故D正確.故選：D.9、D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為（），則由已知條件列方程組可求出【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為（），由題意得，且，即，，因?yàn)?，所以，，故選：D10、D【解析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】，故選：D11、A【解析】分析可知直線與曲線在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，令可得出，令，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)的圖象無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由得，可得，令，其中，則直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，則，且當(dāng)時(shí)，，作出直線與曲線如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)（且）與三次函數(shù)的圖象恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn).故選：A.12、D【解析】先通過(guò)誘導(dǎo)公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，進(jìn)而求出導(dǎo)函數(shù)，然后算出答案.【詳解】由題意，，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】因?yàn)榈酌?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，，所以，點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.14、4【解析】∵y′＝3x2＋2ax＋b，∴或當(dāng)a＝－3，b＝3時(shí)，y′＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立，故舍去．所以a＝415、【解析】根據(jù)雙曲線方程直接可得離心率.【詳解】由，可得，，故，離心率，故答案為：.16、2019【解析】將已知化為代入可以左右相消化簡(jiǎn)，將已知化為，代入可以上下相消化簡(jiǎn)，再全部代入求解即可.【詳解】由知故所以故答案為：2019三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）求得，根據(jù)其正負(fù)，即可判斷函數(shù)單調(diào)性從而求得函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化目標(biāo)不等式為，分別構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，即可證明.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋士傻?，又為單調(diào)增函數(shù)，令，解得，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，要證，即證，又，則只需證，即證，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得最大值；令，，又為單調(diào)增函數(shù)，且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取得最小值.則，且當(dāng)時(shí)，同時(shí)取得最小值和最大值，故，即，也即時(shí)恒成立.【點(diǎn)睛】本題考察利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問(wèn)題；處理本題的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化目標(biāo)式，屬中檔題.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意求出即可得出；（2）利用點(diǎn)差法求出直線斜率即可得出方程.【小問(wèn)1詳解】∵，，∴，，∵，∴，∴，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為，可得，，由在雙曲線上，可得：，兩式相減可得以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線斜率為：則以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為，即為，聯(lián)立方程得：，，符合，∴直線的方程為：.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合直角三角形外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn)，即可求解；（2）根據(jù)題意，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離，以及弦長(zhǎng)公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意，易知是以BC為斜邊的直角三角形，故外接圓圓心是B，C的中點(diǎn)，半徑為BC長(zhǎng)度的一半為，故三角形ABC的外接圓M方程為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，所以易求.故直線BD的方程為，圓心到直線的距離，故相交弦的長(zhǎng)度為.20、（1）；（2）.【解析】（1）利用公式直接將橢圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程即可.（2）首先求出直線的參數(shù)方程，代入橢圓的普通方程得到，再利用直線參數(shù)方程的幾何意義求弦長(zhǎng)即可.【詳解】（1）因?yàn)榍€（為參數(shù)），所以曲線的普通方程為：.（2）由題知：直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將直線的參數(shù)方程代入，得.，.所以.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】(1)如圖，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法分別求出和，再證明即可；(2)利用空間向量的數(shù)量積求出平面的法向量，結(jié)合求點(diǎn)到面距離的向量法即可得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】證明：如圖，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，所以，故，所以；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，，，，則，，，設(shè)是平面的法向量，則由，解得，取，得，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為，則，所以點(diǎn)A到平面的距離為.22、（1）0.25，15；（2）眾數(shù)為74.5，中位數(shù)為72.8，平均分為70.5.【解析】（1）直接利用頻率和頻數(shù)公式求解；（2）利用頻率分布