湖南省長沙市天心區(qū)長郡中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考試題含解析

湖南省長沙市天心區(qū)長郡中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，則（）A. B.1C. D.2．已知橢圓的長軸長，短軸長，焦距長成等比數(shù)列，則橢圓離心率為（）A. B.C. D.3．已知點(diǎn)F為拋物線C：的焦點(diǎn)，點(diǎn)，若點(diǎn)Р為拋物線C上的動點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時，點(diǎn)P恰好在以F，為焦點(diǎn)的橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.4．已知等差數(shù)列的前項和為，，，，則的值為（）A. B.C. D.5．大數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻有他最引以為豪的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的象征圖——球及其外切圓柱(如圖).以此紀(jì)念阿基米德發(fā)現(xiàn)球的體積和表面積，則球的體積和表面積均為其外切圓柱體積和表面積的（）A. B.C. D.6．在等差數(shù)列中，，，則的值是（）A.130 B.260C.156 D.1687．函數(shù)的定義域是，，對任意，，則不等式的解集為（）A. B.C.或 D.或8．與的等差中項是（）A. B.C. D.9．若正三棱柱的所有棱長都相等，D是的中點(diǎn)，則直線AD與平面所成角的正弦值為A. B.C. D.10．如圖，在三棱錐中，，，，點(diǎn)在平面內(nèi)，且，設(shè)異面直線與所成角為，則的最大值為（）A. B.C. D.11．小明騎車上學(xué)，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間，后為了趕時間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是（）A. B.C. D.12．某中學(xué)的“希望工程”募捐小組暑假期間走上街頭進(jìn)行了一次募捐活動，共收到捐款1200元.他們第1天只得到10元，之后采取了積極措施，從第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多10元.這次募捐活動一共進(jìn)行的天數(shù)為（）A.13 B.14C.15 D.16二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．經(jīng)過兩點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________14．若平面內(nèi)兩條直線，平行，則實數(shù)______15．若，且，則_____________16．設(shè)，則曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角是_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了解某市家庭用電量的情況，該市統(tǒng)計局調(diào)查了若干戶居民去年一年的月均用電量（單位：），得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）估計月均用電量的眾數(shù)；（2）求a的值；（3）為了既滿足居民的基本用電需求，又提高能源的利用效率，市政府計劃采用階梯電價，月均用電量不高于平均數(shù)的為第一檔，高于平均數(shù)的為第二檔，已知某戶居民月均用電量為，請問該戶居民應(yīng)該按那一檔電價收費(fèi)，說明理由.18．（12分）已知雙曲線，直線l與交于P、Q兩點(diǎn)（1）若點(diǎn)是雙曲線的一個焦點(diǎn)，求的漸近線方程；（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，直線l的斜率等于1，且，求雙曲線的離心率19．（12分）已知圓M：的圓心為M，圓N：的圓心為N，一動圓與圓N內(nèi)切，與圓M外切，動圓的圓心E的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程；（2）已知點(diǎn)，直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且，直線l是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由20．（12分）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，點(diǎn)D，E分別在棱和棱上，且，，M為棱中點(diǎn)（1）求證：；（2）求直線AB與平面所成角的正弦值21．（12分）已知點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為Q，以Q為圓心的圓與直線相交于A，B兩點(diǎn)，且（1）求圓Q的方程；（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)O任作一直線交圓Q于C，D兩點(diǎn)，求證：為定值22．（10分）等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】先根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可求出【詳解】因為，所以故選：B2、A【解析】由題意，，結(jié)合，求解即可【詳解】∵橢圓的長軸長，短軸長，焦距長成等比數(shù)列∴∴又∵∴∴，即∴e=又在橢圓e＞0∴e=故選：A3、D【解析】過點(diǎn)P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于D，根據(jù)拋物線的定義可知，記，根據(jù)題意，當(dāng)最小，即直線與拋物線相切時滿足題意，進(jìn)而解出此時P的坐標(biāo)，解得答案即可.【詳解】如圖，易知點(diǎn)在拋物線C的準(zhǔn)線上，作PD垂直于準(zhǔn)線，且與準(zhǔn)線交于點(diǎn)D，記，則.由拋物線定義可知，.由圖可知，當(dāng)取得最大值時，最小，此時直線與拋物線相切，設(shè)切線方程為，代入拋物線方程并化簡得：，，方程化為：，代入拋物線方程解得：，即，則，.于是，橢圓的長軸長，半焦距，所以橢圓的離心率.故選：D.4、A【解析】由可求得，利用可構(gòu)造方程求得.【詳解】，，，，，解得：.故選：A.5、C【解析】設(shè)球的半徑為,則圓柱的底面半徑為，高為，分別求出球的體積與表面積，圓柱的體積與表面積，從而得出答案.【詳解】設(shè)球的半徑為,則圓柱的底面半徑為，高為所以球的體積為,表面積為.圓柱的體積為：,所以其體積之比為：圓柱的側(cè)面積為：,圓柱的表面積為：所以其表面積之比為：故選：C6、A【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)計算得到，進(jìn)而利用求和公式，變形求出答案.【詳解】由題意得：，故故選：A7、A【解析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合已知條件可得恒成立，可得為上的減函數(shù)，再由，從而將不等式轉(zhuǎn)換為，根據(jù)單調(diào)性即可求解.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因為，所以為上的增函數(shù)又因為，所以原不等式轉(zhuǎn)化為，即，解得.所以原不等式的解集為，故選：A.8、A【解析】代入等差中項公式即可解決.【詳解】與的等差中項是故選：A9、A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，得到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)后求出直線的方向向量和平面的法向量，借助向量的運(yùn)算求出線面角的正弦值【詳解】取AC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)三棱柱的棱長為2，則，∴設(shè)為平面的一個法向量，由故令，得設(shè)直線AD與平面所成角為，則，所以直線AD與平面所成角的正弦值為故選A【點(diǎn)睛】空間向量的引入為解決立體幾何問題提供了較好的方法，解題時首先要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，得到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)后借助向量的運(yùn)算，將空間圖形的位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算處理．在解決空間角的問題時，首先求出向量夾角的余弦值，然后再轉(zhuǎn)化為所求的空間角．解題時要注意向量的夾角和空間角之間的聯(lián)系和區(qū)別，避免出現(xiàn)錯誤10、D【解析】設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，證明出平面，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，且，求出的最大值，利用空間向量法可求得的最大值.【詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，，為的中點(diǎn)，則，，則，，同理可得，，，平面，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，因為，所以，為等邊三角形，故為的中點(diǎn)，平面，平面，則，，，平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為是邊長為的等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，則、、、，由于點(diǎn)在平面內(nèi)，可設(shè)，其中，且，從而，因為，則，所以，，故當(dāng)時，有最大值，即，故，即有最大值，所以，.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.11、C【解析】先研究四個選項中圖象的特征，再對照小明上學(xué)路上的運(yùn)動特征，兩者對應(yīng)即可選出正確選項.【詳解】考查四個選項，橫坐標(biāo)表示時間，縱坐標(biāo)表示的是離開學(xué)校的距離，由此知，此函數(shù)圖象一定是下降的，由此排除A；再由小明騎車上學(xué)，開始時勻速行駛可得出圖象開始一段是直線下降型，又途中因交通堵塞停留了一段時間，故此時有一段函數(shù)圖象與x軸平行，由此排除D，之后為了趕時間加快速度行駛，此一段時間段內(nèi)函數(shù)圖象下降的比較快，由此可確定C正確，B不正確故選C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的表示方法，關(guān)鍵是理解坐標(biāo)系的度量與小明上學(xué)的運(yùn)動特征，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】由題意可得募捐構(gòu)成了一個以10元為首項，以10元為公差的等差數(shù)列，設(shè)共募捐了天，然后建立關(guān)于的方程，求出即可【詳解】由題意可得，第一天募捐10元，第二天募捐20元，募捐構(gòu)成了一個以10元為首項，以10元為公差的等差數(shù)列，根據(jù)題意，設(shè)共募捐了天，則，解得或（舍去），所以，故選：二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程將點(diǎn)坐標(biāo)代入求參數(shù)，即可確定標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】令，則，可得，令，則，無解.故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故答案為：.14、-1或2【解析】根據(jù)兩直線平行，利用直線平行的條件列出方程解得答案.【詳解】∵，∴，解得或，經(jīng)驗證都符合題意，故答案為：-1或215、【解析】由，可得，，，從而利用換底公式及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】解：因為，所以，，，又，所以，所以，所以，故答案為：.16、【解析】利用導(dǎo)數(shù)的定義，化簡整理，可得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案.【詳解】因為=，所以，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，即，又所以所求切線的傾斜角為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）175（2）0.004（3）該居民該戶居民應(yīng)該按第二檔電價收費(fèi)，理由見解析【解析】（1）在區(qū)間對應(yīng)的小矩形最高，由此能求出眾數(shù)；（2）利用各個區(qū)間的頻率之和為1，即可求出值；（3）求出月均用電量的平均數(shù)的估計值即可判斷.【小問1詳解】由題知，月均用電量在區(qū)間內(nèi)的居民最多，可以將這個區(qū)間的中點(diǎn)175作為眾數(shù)的估計值，所以眾數(shù)的估計值為175.【小問2詳解】由題知：，解得則的值為0.004.【小問3詳解】平均數(shù)的估計值為：，則月均用電量的平均數(shù)的估計值為，又∵∴該居民該戶居民應(yīng)該按第二檔電價收費(fèi).18、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)題意可得，又因為且，解得，可得雙曲線方程，進(jìn)而可得的漸近線方程（2）設(shè)直線的方程為：，，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，可得關(guān)于的一元二次方程，由韋達(dá)定理可得，，再由兩點(diǎn)之間距離公式得，解得，進(jìn)而由可求出，即可求得離心率.【小問1詳解】∵點(diǎn)是雙曲線的一個焦點(diǎn)，∴，又∵且，解得，∴雙曲線方程為，∴的漸近線方程為：；小問2詳解】設(shè)直線的方程為，且，，聯(lián)立，可得，則，∴，即，∴，解得或，即由可得或，故雙曲線的離心率或.19、（1），；（2）過，.【解析】（1）根據(jù)兩圓內(nèi)切和外切的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線l的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解判斷即可.【小問1詳解】設(shè)圓E的圓心為，半徑為r，則，，所以由雙曲線定義可知，E的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)、實軸長為6的雙曲線的右支，所以動圓的圓心E的軌跡方程為，；【小問2詳解】設(shè)，，直線l的方程為由得，且，故又，所以又，，所以，即．又故或若，則直線l的方程為，過點(diǎn)，與題意矛盾，所以，故，所以直線l的方程為，過點(diǎn)【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由線面垂直、等腰三角形的性質(zhì)易得、，再根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)證明結(jié)論；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求的方向向量、面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】在三棱柱中，平面，則平面，由平面，則，，則，又為的中點(diǎn)，則，又，則平面，由平面，因此，.【小問2詳解】以為原點(diǎn)，以，，為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得：，，，，，，.∴，，，，設(shè)為面的法向量，則，令得，設(shè)與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.21、（1）（2）證明見解析【解析】（1）先求出點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)圓心到直線的距離公式及的值求出半