安徽省五校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題含解析

安徽省五校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列中，，，是的前n項和，則（）A. B.C. D.2．已知全集，，（）A. B.C. D.3．橢圓（）的右頂點是拋物線的焦點，且短軸長為2，則該橢圓方程為（）A. B.C. D.4．如圖，在棱長為的正方體中，為線段的中點，為線段的中點，則直線到直線的距離為（）A. B.C. D.5．已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，，則的值為（）A.8 B.C.16 D.±166．圓截直線所得弦的最短長度為（）A.2 B.C. D.47．已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，則的值為（）A.-4 B.4C.-2 D.28．已知拋物線x2＝4y上有一條長為6的動弦AB，則AB的中點到x軸的最短距離為()A. B.C.1 D.29．直線的傾斜角為（）A.30° B.60°C.90° D.120°10．已知直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與該拋物線交于，兩點，若滿足，則直線的方程為（）A. B.C. D.11．已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，則的值為（）A.3 B.6C.9 D.3612．在平面上有及內(nèi)一點O滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現(xiàn)有則O為的（）A.外心 B.內(nèi)心C.重心 D.垂心二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．記為等差數(shù)列的前n項和．若，則__________14．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，則在軸上的投影向量為________.15．如圖，棱長為1的正方體，點沿正方形按的方向作勻速運動，點沿正方形按的方向以同樣的速度作勻速運動，且點分別從點A與點同時出發(fā)，則的中點的軌跡所圍成圖形的面積大小是________.16．如圖，在棱長為1的正方體中，點M為線段上的動點，下列四個結(jié)論：①存在點M，使得直線AM與直線夾角為30°；②存在點M，使得與平面夾角的正弦值為；③存在點M，使得三棱錐體積為；④存在點M，使得，其中為二面角的大小，為直線與直線AB所成的角則上述結(jié)論正確的有______．（填上正確結(jié)論的序號）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在①，；②，，③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并解決問題問題：設(shè)等差數(shù)列的前項和為，________________，若，判斷是否存在最大值，若存在，求出取最大值時的值；若不存在，說明理由注：如果選擇多個條件分別解答．按第一個解答記分18．（12分）已知拋物線的焦點為F，點在拋物線上.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點的直線交拋物錢C于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，記直線OA，OB的斜率分別，，求證：為定值.19．（12分）在①成等差數(shù)列；②成等比數(shù)列；③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并對其求解.問題：已知為數(shù)列的前項和，，且___________.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列前項和.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.20．（12分）已知等比數(shù)列的公比，且，的等差中項為5，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.21．（12分）設(shè)關(guān)于x的不等式的解集為A，關(guān)于x的不等式的解集為B（1）求集合A，B；（2）若是的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍22．（10分）甲乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結(jié)束，設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響（1）求甲乙各投球一次，比賽結(jié)束的概率；（2）求甲獲勝的概率

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由，得到為遞增數(shù)列，又由，得到，化簡，即可求解.【詳解】解：由，得，又，所以，所以，即，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，所以，得，即，又由是的前項和，則.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查數(shù)列求和問題，關(guān)鍵在于由已知條件得出，運用裂項相消求和法.2、C【解析】根據(jù)條件可得，則，結(jié)合條件即可得答案.【詳解】因，所以，則，又，所以，即.故選：C3、A【解析】求得拋物線的焦點從而求得，再結(jié)合題意求得，即可寫出橢圓方程.【詳解】因為拋物線的焦點坐標(biāo)為，故可得；又短軸長為2，故可得，即；故橢圓方程為：.故選：.4、C【解析】連接，，，，在平面中，作，為垂足，將兩平行線的距離轉(zhuǎn)化成點到直線的距離，結(jié)合余弦定理即同角三角函數(shù)基本關(guān)系，求得，因此可得，進(jìn)而可得直線到直線的距離；【詳解】解：如圖，連接，，，，在平面中，作，為垂足，因為，分別為，的中點，因為，，所以，所以，同理，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以即為直線到直線的距離，在三角形中，由余弦定理得因為，所以是銳角，所以，在直角三角形中，，故直線到直線的距離為；故選：C5、A【解析】利用等比數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】因為為等比數(shù)列，設(shè)的公比為，則，，兩式相除可得，所以，所以，故選：A.6、A【解析】由題知直線過定點，且在圓內(nèi)，進(jìn)而求解最值即可.【詳解】解：將直線化為，所以聯(lián)立方程得所以直線過定點將化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，即圓心為，半徑為，由于，所以點在圓內(nèi)，所以點與圓圓心間的距離為，所以圓截直線所得弦的最短長度為故選：A7、B【解析】根據(jù)，利用等比數(shù)列的通項公式求解.【詳解】因為，所以，則，解得，所以.故選：B8、D【解析】由題意知，拋物線的準(zhǔn)線l：y＝－1，過A作AA1⊥l于A1，過B作BB1⊥l于B1，設(shè)弦AB的中點為M，過M作MM1⊥l于M1.則|MM1|＝.|AB|≤|AF|＋|BF|(F為拋物線的焦點)，即|AF|＋|BF|≥6，|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故M到x軸的距離d≥2.9、B【解析】根據(jù)給定方程求出直線斜率，再利用斜率的定義列式計算得解.【詳解】直線的斜率，設(shè)其傾斜角為，顯然，則有，解得，直線的傾斜角為.故選：B10、C【解析】求出拋物線的焦點，設(shè)出直線方程，代入拋物線方程，運用韋達(dá)定理和向量坐標(biāo)表示，解得，即可得出直線的方程.【詳解】解：拋物線的焦點，設(shè)直線為，則，整理得，則，.由可得，代入上式即可得，所以，整理得：.故選：C.【點睛】本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系，主要考查韋達(dá)定理和向量共線的坐標(biāo)表示，考查運算能力，屬于中檔題.11、C【解析】應(yīng)用等比中項的性質(zhì)有，結(jié)合已知求值即可.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)知：，，，所以，又，所以.故選：C12、B【解析】利用三角形面積公式，推出點O到三邊距離相等。【詳解】記點O到AB、BC、CA的距離分別為，，，，因為，則，即，又因為，所以，所以點P是△ABC的內(nèi)心.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】因為是等差數(shù)列，根據(jù)已知條件，求出公差，根據(jù)等差數(shù)列前項和，即可求得答案.【詳解】是等差數(shù)列，且，設(shè)等差數(shù)列的公差根據(jù)等差數(shù)列通項公式：可得即：整理可得：解得：根據(jù)等差數(shù)列前項和公式：可得：.故答案：.【點睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的前項和，解題關(guān)鍵是掌握等差數(shù)列的前項和公式，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】根據(jù)向量坐標(biāo)意義及投影的定義得解.【詳解】因為向量，所以在軸上的投影向量為.故答案為:15、##【解析】畫出符合要求的圖形，觀察得到軌跡是菱形，并進(jìn)行充分性和必要性兩方面的證明，并求解出軌跡圖形的面積.【詳解】如圖，分別是正方形ABCD，，的中心，下面進(jìn)行證明：菱形EFGC的周界即為動線段PQ的中點H的軌跡，首先證明：如果點H是動線段PQ的中點，那么點H必在菱形EFGC的周界上，分兩種情況證明：（1）P，Q分別在某一個定角的兩邊上，不失一般性，設(shè)P從B到C，而Q同時從到C，由于速度相同，所以PQ必平行于，故PQ的中點H必在上；（2）P，Q分別在兩條異面直線上，不失一般性，設(shè)P從A到B，同時Q從到，由于速度相同，則，由于H為PQ的中點，連接并延長，交底面ABCD于點T，連接PT，則平面與平面交線是PT，∵∥平面，∴∥PT，∴，而，∥BC，∴是等腰直角三角形，，從而T在AC上，可以證明FH∥AC，GH∥AC，DG∥AC，基于平行線的唯一性，顯然H在DG上，綜合（1）（2）可證明，線段PQ的中點一定在菱形EFGC的周界上；下面證明：如果點H在菱形EFGC的周界上，則點H必定是符合條件的線段的中點.也分兩種情況進(jìn)行證明：（1）H在CG或CE上，過點H作PQ∥（或BD），而與BC及（或CD及BC）分別相交于P和Q，由相似的性質(zhì)可得：PH=QH，即H是PQ的中點，同時可證：BP=（或BQ=DP），因此P、Q符合題設(shè)條件（2）H在EF或FG上，不失一般性，設(shè)H在FG上，連接并延長，交平面AC于點T，顯然T在AC上，過T作TP∥CB于點P，則TP∥，在平面上，連接PH并延長，交于點Q，在三角形中，G是的中點，∥AC，則H是的中點，于是，從而有，又因為TP∥CB，，所以，從而，因此P，Q符合題設(shè)條件.由（1）（2），如果H是菱形EFGC周界上的任一點，則H必是符合題設(shè)條件的動線段PQ的中點，證畢.因為四邊形為菱形，其中，所以邊長為且，為等邊三角形，，所以面積.故答案為：【點睛】對于立體幾何軌跡問題，要畫出圖形，并要善于觀察，利用所學(xué)的立體幾何方面的知識，大膽猜測，小心驗證，對于多種情況的，要畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論.16、②③【解析】對①：由連接，，由平面，即可判斷；對③：設(shè)到平面的距離為，則，所以即可判斷；對④：以為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量法求出與，比較大小即可判斷；對②：設(shè)與平面夾角為，利用向量法求出，即可求解判斷.【詳解】解：對①：連接，，在正方體中，由平面，可得，又，，所以平面，所以，故①錯誤；對③：設(shè)到平面的距離為，則，所以，故③正確；對④：以為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，0，，，0，，，，，，，，所以，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，取，，，又，1，是平面的一個法向量，又二面角為銳二面角或直角，所以，，，又，，，故④錯誤對②：由④的解析知，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，設(shè)與平面夾角為，令，即，又，解得或，故②正確.故答案為：②③.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、答案不唯一，具體見解析【解析】選①：易得，法一：令求n，即可為何值時取最大值；法二：寫出，利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)性質(zhì)判斷為何值時有最大值；選②：由數(shù)列前n項和及等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)易得、即可確定有最大值時值；選③：由等差數(shù)列前n項和公式易得、即可確定有最大值時值；【詳解】選①：設(shè)數(shù)列的公差為，，，解得，即，法一：當(dāng)時，有，得，∴當(dāng)時，；，；時，，∴或時，取最大值法二：，對稱軸，∴或時，取最大值選②：由，得，由等差中項的性質(zhì)有，即，由，得，∴，故，∴當(dāng)時，，時，，故時，取最大值選③：由，得，可得，由，得，可得，∴，故，∴當(dāng)時，，時，，故時，取最大值【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)所選的條件，結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式的性質(zhì)、下標(biāo)和相等的性質(zhì)等確定數(shù)列中項的正負(fù)性，找到界點n值即可.18、（1）（2）證明見解析【解析】（1）將點代入拋物線方程即可求解；（2）當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為，，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理即可求出的值;當(dāng)直線AB的斜率不存在時，由過點即可求出點和點的坐標(biāo),即可求出的值.【小問1詳解】將點代入得，，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線AB斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為，，將聯(lián)立得，，由韋達(dá)定理得：，，，當(dāng)直線AB的斜率不存在時，由直線過點,則，，，，綜上所述可知，為定值為.19、（1）（2）【解析】（1）由可知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，若選①：結(jié)合等差數(shù)列等差中項的性質(zhì)計算求解；若選②：利用等比數(shù)列等比中項的性質(zhì)計算求解，若選③：利用直接計算；（2）根據(jù)對數(shù)的運算，可知數(shù)列為等差數(shù)列，直接求和即可.【小問1詳解】由，當(dāng)時，，即，即，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，若選①：由，即，，所以數(shù)列的通項公式為；若選②：由，所以，所以數(shù)列的通項公式為；若選③：由，即，所以數(shù)列的通項公式為；【小問2詳解】由（1）得，所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以.20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)條件列關(guān)于首項與公比的方程組，解得結(jié)果代入等比數(shù)列通項公式即可；（2）利用錯位相減法求和即可.【詳解】解析：（1）由題意可得：，∴∵，∴，∴數(shù)列的通項公式為.（2）∴上述兩式相減可得∴【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式、錯位相減法求和，考查基本分析求解能力，屬中檔題.21、（1），（2）【解析】（1）直接解不等式即可，（2）由題意可得，從而可得解不等式組可求得答案【小問1詳解】由，得，故由，得，故【小問2詳解】依題意得：，∴解得∴