2025屆山東省師大附中數(shù)學(xué)高三上期末檢測(cè)模擬試題含解析_第1頁(yè)
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2025屆山東省師大附中數(shù)學(xué)高三上期末檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)i為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)z等于()A. B. C. D.02.已知函數(shù),,若成立,則的最小值是()A. B. C. D.3.對(duì)某兩名高三學(xué)生在連續(xù)9次數(shù)學(xué)測(cè)試中的成績(jī)(單位:分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到折線圖,下面是關(guān)于這兩位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)分析.①甲同學(xué)的成績(jī)折線圖具有較好的對(duì)稱(chēng)性,故平均成績(jī)?yōu)?30分;②根據(jù)甲同學(xué)成績(jī)折線圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),估計(jì)該同學(xué)平均成績(jī)?cè)趨^(qū)間110,120內(nèi);③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與測(cè)試次號(hào)具有比較明顯的線性相關(guān)性,且為正相關(guān);④乙同學(xué)連續(xù)九次測(cè)驗(yàn)成績(jī)每一次均有明顯進(jìn)步.其中正確的個(gè)數(shù)為()A.4 B.3 C.2 D.14.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,將這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)擺放成如圖所示的數(shù)陣.記為數(shù)陣從左至右的列,從上到下的行共個(gè)數(shù)的和,則數(shù)列的前2020項(xiàng)和為()A. B. C. D.5.己知四棱錐中,四邊形為等腰梯形,,,是等邊三角形,且;若點(diǎn)在四棱錐的外接球面上運(yùn)動(dòng),記點(diǎn)到平面的距離為,若平面平面,則的最大值為()A. B.C. D.6.若復(fù)數(shù)()是純虛數(shù),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.設(shè)直線過(guò)點(diǎn),且與圓:相切于點(diǎn),那么()A. B.3 C. D.19.若某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的體積是()A.36cm3 B.48cm3 C.60cm3 D.72cm310.等腰直角三角形BCD與等邊三角形ABD中,,,現(xiàn)將沿BD折起,則當(dāng)直線AD與平面BCD所成角為時(shí),直線AC與平面ABD所成角的正弦值為()A. B. C. D.11.已知,,由程序框圖輸出的為()A.1 B.0 C. D.12.已知復(fù)數(shù)滿足:,則的共軛復(fù)數(shù)為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知變量(m>0),且,若恒成立,則m的最大值________.14.曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線與軸及直線=所圍成的三角形面積為,則實(shí)數(shù)=____。15.在△ABC中,a=3,,B=2A,則cosA=_____.16.記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,已知,,則_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)當(dāng)時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù)(),是的導(dǎo)數(shù).(1)當(dāng)時(shí),令,為的導(dǎo)數(shù).證明:在區(qū)間存在唯一的極小值點(diǎn);(2)已知函數(shù)在上單調(diào)遞減,求的取值范圍.20.(12分)設(shè)(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若,求的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù)f(x)=ex-x2-kx(其中e為自然對(duì)數(shù)的底,k為常數(shù))有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍;(2)證明:f(x)的極大值不小于1.22.(10分)在中,、、分別是角、、的對(duì)邊,且.(1)求角的值;(2)若,且為銳角三角形,求的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則,即可求解.【詳解】.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】分析:設(shè),則,把用表示,然后令,由導(dǎo)數(shù)求得的最小值.詳解:設(shè),則,,,∴,令,則,,∴是上的增函數(shù),又,∴當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,即在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,是極小值也是最小值,,∴的最小值是.故選A.點(diǎn)睛:本題易錯(cuò)選B,利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值,解題時(shí)學(xué)生可能不會(huì)將其中求的最小值問(wèn)題,通過(guò)構(gòu)造新函數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問(wèn)題,另外通過(guò)二次求導(dǎo),確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也很容易出錯(cuò).3、C【解析】

利用圖形,判斷折線圖平均分以及線性相關(guān)性,成績(jī)的比較,說(shuō)明正誤即可.【詳解】①甲同學(xué)的成績(jī)折線圖具有較好的對(duì)稱(chēng)性,最高130分,平均成績(jī)?yōu)榈陀?30分,①錯(cuò)誤;②根據(jù)甲同學(xué)成績(jī)折線圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),估計(jì)該同學(xué)平均成績(jī)?cè)趨^(qū)間[110,120]內(nèi),②正確;③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與測(cè)試次號(hào)具有比較明顯的線性相關(guān)性,且為正相關(guān),③正確;④乙同學(xué)在這連續(xù)九次測(cè)驗(yàn)中第四次、第七次成績(jī)較上一次成績(jī)有退步,故④不正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查折線圖的應(yīng)用,線性相關(guān)以及平均分的求解,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

由題意,設(shè)每一行的和為,可得,繼而可求解,表示,裂項(xiàng)相消即可求解.【詳解】由題意,設(shè)每一行的和為故因此:故故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列型數(shù)陣的求和,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.5、A【解析】

根據(jù)平面平面,四邊形為等腰梯形,則球心在過(guò)的中點(diǎn)的面的垂線上,又是等邊三角形,所以球心也在過(guò)的外心面的垂線上,從而找到球心,再根據(jù)已知量求解即可.【詳解】依題意如圖所示:取的中點(diǎn),則是等腰梯形外接圓的圓心,取是的外心,作平面平面,則是四棱錐的外接球球心,且,設(shè)四棱錐的外接球半徑為,則,而,所以,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查組合體、球,還考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合的思想,屬于難題.6、B【解析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),由它是純虛數(shù),求得,從而確定對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】是純虛數(shù),則,,,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,在第二象限.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的概念與幾何意義.本題屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

分別判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】所以(逆否命題)必要性成立當(dāng),不充分故是必要不充分條件,答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了充分必要條件,屬于簡(jiǎn)單題.8、B【解析】

過(guò)點(diǎn)的直線與圓:相切于點(diǎn),可得.因此,即可得出.【詳解】由圓:配方為,,半徑.∵過(guò)點(diǎn)的直線與圓:相切于點(diǎn),∴;∴;故選:B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量數(shù)量積的計(jì)算,考查圓的方程,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】試題分析:該幾何體上面是長(zhǎng)方體,下面是四棱柱;長(zhǎng)方體的體積,四棱柱的底面是梯形,體積為,因此總的體積.考點(diǎn):三視圖和幾何體的體積.10、A【解析】

設(shè)E為BD中點(diǎn),連接AE、CE,過(guò)A作于點(diǎn)O,連接DO,得到即為直線AD與平面BCD所成角的平面角,根據(jù)題中條件求得相應(yīng)的量,分析得到即為直線AC與平面ABD所成角,進(jìn)而求得其正弦值,得到結(jié)果.【詳解】設(shè)E為BD中點(diǎn),連接AE、CE,由題可知,,所以平面,過(guò)A作于點(diǎn)O,連接DO,則平面,所以即為直線AD與平面BCD所成角的平面角,所以,可得,在中可得,又,即點(diǎn)O與點(diǎn)C重合,此時(shí)有平面,過(guò)C作與點(diǎn)F,又,所以,所以平面,從而角即為直線AC與平面ABD所成角,,故選:A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)平面圖形翻折問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線面角的正弦值的求解,在解題的過(guò)程中,注意空間角的平面角的定義,屬于中檔題目.11、D【解析】試題分析:,,所以,所以由程序框圖輸出的為.故選D.考點(diǎn):1、程序框圖;2、定積分.12、B【解析】

轉(zhuǎn)化,為,利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn),即得解【詳解】復(fù)數(shù)滿足:所以故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法和復(fù)數(shù)的基本概念,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

在不等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù),然后構(gòu)造函數(shù)f(x)=,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論.【詳解】不等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得,即x2lnx1<x1lnx2,又即成立,設(shè)f(x)=,x∈(0,m),∵x1<x2,f(x1)<f(x2),則函數(shù)f(x)在(0,m)上為增函數(shù),函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由f′(x)>0得1﹣lnx>0得lnx<1,得0<x<e,即函數(shù)f(x)的最大增區(qū)間為(0,e),則m的最大值為e故答案為:e【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的應(yīng)用,根據(jù)條件利用取對(duì)數(shù)得到不等式,從而可構(gòu)造新函數(shù),是解決本題的關(guān)鍵14、或1【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,可得切線的斜率,以及切線方程,求得切線與軸和的交點(diǎn),由三角形的面積公式可得所求值.【詳解】的導(dǎo)數(shù)為,可得切線的斜率為3,切線方程為,可得,可得切線與軸的交點(diǎn)為,,切線與的交點(diǎn)為,可得,解得或?!军c(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程,以及直線方程的運(yùn)用,三角形的面積求法。15、【解析】

由已知利用正弦定理,二倍角的正弦函數(shù)公式即可計(jì)算求值得解.【詳解】解:∵a=3,,B=2A,∴由正弦定理可得:,∴cosA.故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理,二倍角的正弦函數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為,將已知條件等式轉(zhuǎn)化為關(guān)系式,求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)的基本量運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)當(dāng)時(shí),的取值范圍為;當(dāng)時(shí),的取值范圍為.【解析】

(1)當(dāng)時(shí),分類(lèi)討論把不等式化為等價(jià)不等式組,即可求解.(2)由絕對(duì)值的三角不等式,可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取“”,分類(lèi)討論,即可求解.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,不等式可化為或或,解得不等式的解集為.(2)由絕對(duì)值的三角不等式,可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取“”,所以當(dāng)時(shí),的取值范圍為;當(dāng)時(shí),的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了含絕對(duì)值的不等式的求解,以及絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用,其中解答中熟記含絕對(duì)值不等式的解法,以及合理應(yīng)用絕對(duì)值的三角不等式是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.18、(1)(2)【解析】

(1)當(dāng)時(shí),,當(dāng)或時(shí),,所以可轉(zhuǎn)化為,解得,所以不等式的解集為.(2)因?yàn)?,所以,所以,即,即.?dāng)時(shí),因?yàn)?,所以,不符合題意.當(dāng)時(shí),解可得,因?yàn)楫?dāng)時(shí),不等式恒成立,所以,所以,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.19、(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】

(1)設(shè),,注意到在上單增,再利用零點(diǎn)存在性定理即可解決;(2)函數(shù)在上單調(diào)遞減,則在恒成立,即在上恒成立,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)討論的最值即可.【詳解】(1)由已知,,所以,設(shè),,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,而,,且在上圖象連續(xù)不斷.所以在上有唯一零點(diǎn),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;∴在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故在區(qū)間上存在唯一的極小值點(diǎn),即在區(qū)間上存在唯一的極小值點(diǎn);(2)設(shè),,,∴在單調(diào)遞增,,即,從而,因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減,∴在上恒成立,令,∵,∴,在上單調(diào)遞減,,當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞減,,符合題意.當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,所以一定存在,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,與題意不符,舍去.綜上,的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)、不等式恒成立問(wèn)題,在處理恒成立問(wèn)題時(shí),通常是構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值來(lái)處理,本題是一道較難的題.20、(1)(2)【解析】

(1)通過(guò)討論的范圍,得到關(guān)于的不等式組,解出取并集即可.(2)去絕對(duì)值將函數(shù)寫(xiě)成分段函數(shù)形式討論分段函數(shù)的單調(diào)性由恒成立求得結(jié)果.【詳解】解:(1)當(dāng)時(shí),,即或或解之得或,即不等式的解集為.(2)由題意得:當(dāng)時(shí)為減函數(shù),顯然恒成立.當(dāng)時(shí),為增函數(shù),,當(dāng)時(shí),為減函數(shù),綜上所述:使恒成立的的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題,考查不等式恒成立問(wèn)題中求解參數(shù)問(wèn)題,考查分類(lèi)討論思想,轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.21、(1);(2)見(jiàn)解析【解析】

(1)求出,記,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不同解,求導(dǎo),研究極值即可得結(jié)果;(2)由(1)知,在區(qū)間上存在極大值點(diǎn),且,則可求出極大值,記,求導(dǎo),求單調(diào)性,求出極值即可.【詳解】(1),由,記,,由,且時(shí),,單調(diào)遞減,,時(shí),,單調(diào)遞增,,由題意,方程有兩個(gè)不同解,所以;(2)解法一:由(1)知,在區(qū)間上存在極大值點(diǎn),且,所以的極大值為,記,則,因?yàn)?,所以,所以時(shí),,單調(diào)遞減,時(shí),,單調(diào)遞增,所以,即函數(shù)的極大值不小于1.解法二:由(1)知,在區(qū)間上存在極大值點(diǎn),且,所以的極大值為,因?yàn)?,,所?即函數(shù)的極大值不小于1.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值,考查學(xué)生綜合分析能力與轉(zhuǎn)化能力,是一道中檔題.22、(1).(2).【解析】

(1)根據(jù)題意,由余弦定理求得,即可求解C角的值;(2)由正弦定理

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