廣東省東莞中學(xué)松山湖學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末預(yù)測試題含解析

廣東省東莞中學(xué)松山湖學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末預(yù)測試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在四棱錐中，底面是正方形，為的中點(diǎn)，若，則（）A B.C. D.2．已知，為雙曲線的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C上，為等腰三角形，且頂角為，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C.2 D.3．已知命題，，則（）A.， B.，C.， D.，4．設(shè)，是兩個不同的平面，是直線且．“”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5．甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為30%，甲不輸?shù)母怕蕿?0%，則甲、乙下成平局的概率（）A.50% B.30%C.10% D.60%6．已知變量x，y具有線性相關(guān)關(guān)系，它們之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示，若y關(guān)于x的線性回歸方程為，則m＝（）x1234y0.11.8m4A.3.1 B.4.3C.1.3 D.2.37．在中，角、、的對邊分別是、、，若．則的大小為（）A. B.C. D.8．方程有兩個不同的解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A. B.C. D.9．已知，分別為雙曲線：的左，右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線的右支在第一象限交于點(diǎn)，直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)，點(diǎn)恰好為線段的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn))，則雙曲線的離心率等于（）A. B.C. D.10．在三棱錐中，平面；記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（）A. B.C. D.11．已知直線過拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對稱軸垂直，與C交于A，B兩點(diǎn)，P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，若的面積為36，則等于（）A.36 B.24C.12 D.612．在三棱錐中，，D為上的點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在點(diǎn)處的切線方程為______14．在正三棱柱中，，點(diǎn)P滿足，其中，，則下列說法中，正確的有_________（請?zhí)钊胨姓_說法的序號）①當(dāng)時(shí)，的周長為定值②當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值③當(dāng)時(shí)，有且僅有一個點(diǎn)P，使得④當(dāng)時(shí)，有且僅有一個點(diǎn)P，使得平面15．?dāng)?shù)據(jù)6，8，9，10，7的方差為______16．已知空間向量，，，若，，共面，則實(shí)數(shù)___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且離心率為.（1）橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓C的兩個焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且，求的面積.18．（12分）已知直線方程為（1）若直線的傾斜角為，求的值；（2）若直線分別與軸、軸的負(fù)半軸交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最小值及此時(shí)直線的方程19．（12分）已知圓C過兩點(diǎn)，，且圓心C在直線上（1）求圓C的方程；（2）過點(diǎn)作圓C的切線，求切線方程20．（12分）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，左焦點(diǎn)為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若是橢圓的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求的面積.21．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和22．（10分）已知函數(shù)，.（1）若在單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由為的中點(diǎn)，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，即可求解.【詳解】由底面是正方形，E為的中點(diǎn)，且，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得.故選：C.2、A【解析】根據(jù)給定條件求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再代入雙曲線方程計(jì)算作答.【詳解】由雙曲線對稱性不妨令點(diǎn)P在第一象限，過P作軸于B，如圖，因?yàn)榈妊切?，且頂角為，則有，，有，于是得，即點(diǎn)，因此，，解得，所以雙曲線C的離心率為.故選：A3、C【解析】利用全稱量詞命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】命題為全稱量詞命題，該命題的否定為，.故選：C.4、B【解析】，得不到，因?yàn)榭赡芟嘟?，只要和的交線平行即可得到；，，∴和沒有公共點(diǎn)，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分條件．故選B考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【方法點(diǎn)晴】考查線面平行的定義，線面平行的判定定理，面面平行的定義，面面平行的判定定理，以及充分條件、必要條件，及必要不充分條件的概念，屬于基礎(chǔ)題；并得不到，根據(jù)面面平行的判定定理，只有內(nèi)的兩相交直線都平行于，而，并且，顯然能得到，這樣即可找出正確選項(xiàng).5、A【解析】根據(jù)甲獲勝和甲、乙兩人下成平局是互斥事件即可求解.【詳解】甲不輸有兩種情況：甲獲勝或甲、乙兩人下成平局，甲獲勝和甲、乙兩人下成平局是互斥事件，所以甲、乙兩人下成平局的概率為.故選：A.6、A【解析】先求得樣本中心，代入回歸方程，即可得答案.【詳解】由題意得，又樣本中心在回歸方程上，所以，解得.故選：A7、B【解析】利用余弦定理結(jié)合角的范圍可求得角的值，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求得的值.【詳解】因?yàn)?，則，則，由余弦定理可得，因?yàn)?，則，故.故選：B.8、C【解析】轉(zhuǎn)化為圓心在原點(diǎn)半徑為1的上半圓和表示恒過定點(diǎn)的直線始終有兩個公共點(diǎn)，結(jié)合圖形可得答案.【詳解】令，平方得表示圓心在原點(diǎn)半徑為1的上半圓，表示恒過定點(diǎn)的直線，方程有兩個不同的解即半圓和直線要始終有兩個公共點(diǎn)，如圖圓心到直線的距離為，解得，當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)由得，當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)由得，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故選：C.9、C【解析】設(shè)，，根據(jù)雙曲線的定義可得，，在中由勾股定理列方程可得，在中由勾股定理可得關(guān)于，的方程，再由離心率公式即可求解.【詳解】設(shè)，則，由雙曲線的定義可得：，，因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的圓上，所以，所以，即，解得：，在中，，，，由可得，即，所以雙曲線離心率為，故選：C.第II卷（非選擇題10、A【解析】先得到三棱錐的每一個面都是直角三角形，然后可得與平面所成的角，二面角的平面角，在直角三角形中算出他們的余弦值，利用向量法計(jì)算直線與直線所成的角為的余弦值，然后比較大小.【詳解】令，由平面，且平面，又，，面三棱錐的每一個面都是直角三角形.與平面所成的角，二面角的平面角，由已知可得，，，又，則所以，又均為銳角，故選：A.11、C【解析】設(shè)拋物線方程為，根據(jù)題意由求解.【詳解】設(shè)拋物線方程為：，因?yàn)橹本€過拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對稱軸垂直，所以，又P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，所以點(diǎn)P到直線AB的距離為p，所以，解得，所以，故選：C12、B【解析】根據(jù)幾何關(guān)系以及空間向量的線性運(yùn)算即可解出【詳解】因?yàn)?，所以，即故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求導(dǎo)后令求出切線斜率，即可寫出切線方程.【詳解】由題意知：，當(dāng)時(shí)，，故切線方程為，即.故答案為：.14、②④【解析】①結(jié)合得到P在線段上，結(jié)合圖形可知不同位置下周長不同；②由線面平行得到點(diǎn)到平面距離不變，故體積為定值；③結(jié)合圖形得到不同位置下有，判斷出③錯誤；④結(jié)合圖形得到有唯一的點(diǎn)P，使得線面垂直.【詳解】由題意得：，，，所以P為正方形內(nèi)一點(diǎn)，①，當(dāng)時(shí)，，即，，所以P在線段上，所以周長為，如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)P在處時(shí)，，故①錯誤；②，如圖2，當(dāng)時(shí)，即，即，，所以P在上，，因?yàn)椤蜝C，平面，平面，所以點(diǎn)P到平面距離不變，即h不變，故②正確；③，當(dāng)時(shí)，即，如圖3，M為中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，P是MN上一動點(diǎn)，易知當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，由于△ABC為等邊三角形，N為BC中點(diǎn)，所以AN⊥BC，又⊥BC，，所以BN⊥平面，因?yàn)槠矫?，則，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，可證明出⊥平面，而平面，則，即，故③錯誤；④，當(dāng)時(shí)，即，如圖4所示，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，則P為DE上一動點(diǎn)，易知，若平面，只需即可，取的中點(diǎn)F，連接，又因?yàn)槠矫妫?，若，只需平面，即即可，如圖5，易知當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，故只有一個點(diǎn)P符合要求，使得平面，故④正確.故選：②④【點(diǎn)睛】立體幾何的壓軸題，通常情況下要畫出圖形，利用線面平行，線面垂直及特殊點(diǎn)，特殊值進(jìn)行排除選項(xiàng)，或者用等體積法進(jìn)行轉(zhuǎn)化等思路進(jìn)行解決.15、2【解析】首先求出數(shù)據(jù)的平均值，再應(yīng)用方差公式求它們的方差.【詳解】由題設(shè)，平均值為，∴方差.故答案為：2.16、1【解析】根據(jù)向量共面，可設(shè)，先求解出的值，則的值可求.【詳解】因?yàn)?，，共面且，不共線，所以可設(shè)，所以，所以，所以，所以，故答案為：1.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由題意求出即可求解；（2）由橢圓的定義和三角形面積公式求解即可【小問1詳解】因?yàn)闄E圓C與橢圓有相同的焦點(diǎn)，所以橢圓C的焦點(diǎn)，，，又，所以，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由，，得，，而，所以，所以18、（1）；（2）面積的最小值為，此時(shí)直線的方程為.【解析】（1）由直線的斜率和傾斜角的關(guān)系可求得的值；（2）求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件求出的取值范圍，求出的面積關(guān)于的表達(dá)式，利用基本不等式可求得面積的最小值，利用等號成立的條件可求得的值，即可得出直線的方程.【小問1詳解】解：由題意可得.【小問2詳解】解：在直線的方程中，令可得，即點(diǎn)，令可得，即點(diǎn)，由已知可得，解得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，此時(shí)直線的方程為，即.19、（1）．（或標(biāo)準(zhǔn)形式）（2）或【解析】（1）根據(jù)題意，求出中垂線方程，與直線聯(lián)立，可得圓心的坐標(biāo)，求出圓的半徑，即可得答案；（2）分切線的斜率存在與不存在兩種情況討論，求出切線的方程，綜合可得答案【小問1詳解】解：根據(jù)題意，因?yàn)閳A過兩點(diǎn)，，設(shè)的中點(diǎn)為，則，因?yàn)椋缘闹写咕€方程為，即又因?yàn)閳A心在直線上，聯(lián)立，解得，所以圓心，半徑，故圓的方程為，【小問2詳解】解：當(dāng)過點(diǎn)P的切線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線與圓C相切當(dāng)過點(diǎn)P的切線斜率k存在時(shí)，設(shè)切線方程為即（*）由圓心C到切線的距離，可得將代入（*），得切線方程為綜上，所求切線方程為或20、(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】（Ⅰ）由橢圓的定義求出的值，由求出，代入，得到橢圓的方程；（Ⅱ）由點(diǎn)斜式求出直線的方程，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出的值，再算出的面積試題解析（Ⅰ）由橢圓的定義得：又，故，∴橢圓的方程為：.（Ⅱ）過的直線方程為，，聯(lián)立，設(shè)，則，∴的面積.點(diǎn)睛：本題主要考查了求橢圓的方程，直線與橢圓相交時(shí)弦長的計(jì)算等，屬于中檔題．在（Ⅱ）中，注意的面積的計(jì)算公式21、（1）（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為d，首項(xiàng)為a1，根據(jù)已知條件列出方程組求解a1，d，代入通項(xiàng)公式即可得答案；（2）根據(jù)等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，利用分組求和法即可求解【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列公差為d，首項(xiàng)為a1，由題意，有，解得，所以；【小問2詳解】解：，所以22、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，由求解.（2）由（1）的結(jié)論，取，有，即在上恒成立，然后令，有求解.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，則