2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章不等式3.2.1一元二次不等式的解法學(xué)案含解析北師大版必修5

PAGE§2一元二次不等式2.1一元二次不等式的解法內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.通過實(shí)例了解一元二次不等式.2.理解一元二次方程、一元二次不等式及二次函數(shù)的關(guān)系.3.駕馭一元二次不等式的解法.規(guī)范數(shù)形結(jié)合精確分類探討提升數(shù)學(xué)運(yùn)算授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第54頁[基礎(chǔ)相識]學(xué)問點(diǎn)一一元二次不等式的概念預(yù)習(xí)教材P75－81，思索并完成以下問題從未知數(shù)的個數(shù)以及未知數(shù)的最高次數(shù)看，不等式x2－2x－3＞0，x2＋5x≤0，－3x2－6x＋1＜0，4x2－1≥0等有什么共同特點(diǎn)？提示：它們只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.學(xué)問梳理一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．(2)形式：①ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．(3)解集：一般地，使某個一元二次不等式成立的x的值叫做這個不等式的解，一元二次不等式的全部解組成的集合叫做這個一元二次不等式的解集．學(xué)問點(diǎn)二一元二次不等式的解法思索并完成以下問題1．方程x2－2x－3＝0的根是什么？提示：由x2－2x－3＝0，得(x－3)(x＋1)＝0，所以x＝3或x＝－1，所以方程x2－2x－3＝0的根為3或－1.2．畫出函數(shù)y＝x2－2x－3的圖像，并指出函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)．提示：函數(shù)y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4的圖像如圖所示，由圖可知函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，0)和(3，0)．3．視察圖像，試寫出不等式x2－2x－3＞0和x2－2x－3＜0的解集．提示：通過圖像可知，x2－2x－3＞0的解集為{x|x＞3或x＜－1}；x2－2x－3＜0的解集為{x|－1＜x＜3}．學(xué)問梳理二次函數(shù)的圖像、一元二次方程的解、一元二次不等式的解集之間的關(guān)系Δ＝b2－4Δ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖像ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的解x1，x2(x1＜x2)x0＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}{x|x≠x0}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0的解集){x|x1＜x＜x2}??思索：1．若不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集是(－4，3)，則函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是什么？提示：(－4，0)和(3，0)．2．若不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集是(－∞，－4)∪(3，＋∞)，則由此能確定a的正負(fù)嗎？提示：能，a＞0.3．不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集能只有一個實(shí)數(shù)嗎？提示：不能．[自我檢測]1．已知下列不等式：①ax2＋2x＋1＞0；②x2－y＞0；③－x2－3x＜0；④eq\f(x,x2－3)＞0.其中是一元二次不等式的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：①中當(dāng)a＝0時，它不是一元二次不等式；②中有兩個未知數(shù)，它不是一元二次不等式；③是一元二次不等式；④是分式不等式．故選A.答案：A2．不等式2x2－x＋1＜0的解集為()A．? B．RC.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＜x＜1)))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(1,4)))))解析：因?yàn)棣ぃ?－8＝－7＜0，且對應(yīng)函數(shù)圖像的開口向上，所以不等式的解集為?.故選A.答案：A3．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是________．解析：因?yàn)椋?x2－x＋2≤0，所以6x2＋x－2≥0，即(2x－1)(3x＋2)≥0，故x≥eq\f(1,2)或x≤－eq\f(2,3).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(2,3)或x≥\f(1,2)))))授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第55頁探究一解不含參數(shù)的一元二次不等式[閱讀教材P76－77例1，2，3，4，5及解答]題型：解不含參數(shù)的一元二次不等式方法步驟：①確定對應(yīng)方程ax2＋bx＋c＝0的解；②畫出對應(yīng)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像簡圖；③由圖像得出不等式的解集．[例1]解下列不等式(1)2x2－3x－2＞0.(2)－3x2＋6x＞2.(3)－4x2＋18x－eq\f(81,4)≥0.[解題指南]eq\x(二次項(xiàng)系數(shù)化正)→eq\x(看判別式的符號)→eq\x(求根)→eq\x(寫解集)[解析](1)因?yàn)棣ぃ?5＞0，且方程2x2－3x－2＝0的兩根分別為x1＝－eq\f(1,2)，x2＝2，又a＝2＞0，所以函數(shù)y＝2x2－3x－2的圖像開口向上，與x軸有兩個交點(diǎn)(如圖)．視察圖像得不等式2x2－3x－2＞0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜－\f(1,2)或x＞2)).(2)不等式化為3x2－6x＋2＜0，因?yàn)棣ぃ?，方程3x2－6x＋2＝0的兩根是x1＝1－eq\f(\r(3),3)，x2＝1＋eq\f(\r(3),3)，又a＝3＞0，所以函數(shù)y＝3x2－6x＋2的圖像開口向上，與x軸有兩個交點(diǎn)(如圖)．視察圖像得不等式3x2－6x＋2＜0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|1－\f(\r(3),3)＜x＜1＋\f(\r(3),3)))，即為原不等式的解集．(3)因?yàn)棣ぃ?82－4×(－4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(81,4)))＝0.所以方程－4x2＋18x－eq\f(81,4)＝0，兩相等實(shí)根是x1＝x2＝eq\f(9,4)，又a＝－4＜0，所以函數(shù)y＝－4x2＋18x－eq\f(81,4)的圖像開口向下，與x軸有一個交點(diǎn)(如圖)．視察圖像得不等式－4x2＋18x－eq\f(81,4)≥0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(9,4))).方法技巧解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟：(1)化標(biāo)準(zhǔn)．通過對不等式的變形，使不等式的右側(cè)為0，使二次項(xiàng)系數(shù)為正．(2)判別式．對不等式的左側(cè)進(jìn)行因式分解，若不能分解，則計(jì)算對應(yīng)方程的判別式．(3)求實(shí)根．求出相應(yīng)的一元二次方程的根或依據(jù)判別式說明方程無實(shí)根．(4)畫草圖．依據(jù)一元二次方程根的狀況畫出對應(yīng)的二次函數(shù)的草圖．(5)寫解集．依據(jù)圖像寫出不等式的解集．跟蹤探究1.解下列不等式：(1)4x2－20x＜－25；(2)(x－3)(x－7)＜0；(3)－3x2＋5x－4＜0；(4)x(1－x)≥x(2x－3)＋1.解析：(1)不等式可化為4x2－20x＋25＜0，由于Δ＝0，且對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像是開口向上的拋物線，所以不等式的解集是?.(2)由題意知不等式對應(yīng)方程的兩個根是3和7，且對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像是開口向上的拋物線，故不等式的解集是{x|3＜x＜7}．(3)不等式－3x2＋5x－4＜0可化為3x2－5x＋4＞0，由于判別式Δ＝25－48＝－23＜0，函數(shù)y＝3x2－5x＋4的圖像開口向上，所以不等式的解集是R.(4)不等式x(1－x)≥x(2x－3)＋1可化為3x2－4x＋1≤0.因?yàn)榉匠?x2－4x＋1＝0的兩個根是eq\f(1,3)，1，函數(shù)y＝3x2－4x＋1的圖像開口向上，所以不等式的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x≤1)))).探究二解含參數(shù)的一元二次不等式[閱讀教材P87例7、8及解答]題型：解含參數(shù)的一元二次不等式．方法步驟：①確定對應(yīng)方程的解．②探討方程解的大?。劢Y(jié)合圖像寫出解集．[例2]解關(guān)于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0(a[解題指南]將原不等式左端因式分解求出相應(yīng)的一元二次方程的兩根，然后對a進(jìn)行分類探討確定兩根的大小進(jìn)而求出原不等式的解集．[解析]不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0可化為(ax－1)(x－2)＜0，由于a＞0，故不等式可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－2)＜0.①若0＜a＜eq\f(1,2)，則eq\f(1,a)＞2，此時不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2＜x＜\f(1,a))))).②若a＝eq\f(1,2)，則不等式為(x－2)2＜0，此時不等式的解集為?.③若a＞eq\f(1,2)，則eq\f(1,a)＜2，此時不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＜x＜2)))).綜上可知：當(dāng)0＜a＜eq\f(1,2)時，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2＜x＜\f(1,a))))).當(dāng)a＝eq\f(1,2)時，不等式的解集為?.當(dāng)a＞eq\f(1,2)時，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＜x＜2)))).延長探究1.若將不等式“ax2－(2a＋1)x＋2＜0(a＞0)”改為“ax2－(2a＋1)x＋2＞0(a＜0)”，又如何求解？解析：不等式ax2－(2a＋1)x＋2＞0可化為(ax－1)(x－2)＞0，由于a＜0，故不等式可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－2)＜0，則不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－2)＜0對應(yīng)的方程的兩個根分別為x1＝eq\f(1,a)，x2＝2，由于a＜0，故2＞eq\f(1,a)，所以原不等式的解集為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＜x＜2)))).2．若將本題中的條件“(a＞0)”去掉，又如何求解關(guān)于x的不等式ax2－(2a＋1)x解析：不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0可化為(ax－1)(x－2)＜0.(1)當(dāng)a＞0時，不等式可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－2)＜0.①若0＜a＜eq\f(1,2)，則eq\f(1,a)＞2，此時不等式的解集為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2＜x＜\f(1,a))))).②若a＝eq\f(1,2)，則不等式為(x－2)2＜0，此時不等式的解集為?.③若a＞eq\f(1,2)，則eq\f(1,a)＜2，此時不等式的解集為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＜x＜2)))).(2)當(dāng)a＝0時，不等式化為－x＋2＜0，此時不等式的解集為{x|x＞2}．(3)當(dāng)a＜0時，不等式可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－2)＞0，由于eq\f(1,a)＜2，故不等式的解集為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,a)或x＞2)))).綜上所述：當(dāng)a＜0時，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,a)))或x＞2)).當(dāng)a＝0時，不等式的解集為{x|x＞2}．當(dāng)0＜a＜eq\f(1,2)時，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2＜x＜\f(1,a))))).當(dāng)a＝eq\f(1,2)時，不等式的解集為?.當(dāng)a＞eq\f(1,2)時，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＜x＜2)))).方法技巧解含參數(shù)的一元二次不等式的方法在解答含有參數(shù)的一元二次不等式時，往往要對參數(shù)進(jìn)行分類探討，為了做到分類“不重不漏”，一般從如下三個方面進(jìn)行考慮：(1)關(guān)于不等式類型的探討：二次項(xiàng)的系數(shù)a＞0，a＝0，a＜0；(2)關(guān)于不等式所對應(yīng)的方程的根的探討：兩根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，無根(Δ＜0)；(3)關(guān)于不等式對應(yīng)的方程的大小的探討：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.跟蹤探究2.解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.解析：①當(dāng)a＝0時，原不等式即為－x＋1＜0，解得x＞1.②當(dāng)a＜0時，原不等式化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)＞0，解得x＜eq\f(1,a)或x＞1.③當(dāng)a＞0時，原不等式化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)＜0.若a＝1，即eq\f(1,a)＝1時，不等式無解；若a＞1，即eq\f(1,a)＜1時，解得eq\f(1,a)＜x＜1；若0＜a＜1，即eq\f(1,a)＞1時，解得1＜x＜eq\f(1,a).綜上可知，當(dāng)a＜0時，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,a)或x＞1))))；當(dāng)a＝0時，不等式的解集為{x|x＞1}；當(dāng)0＜a＜1時，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1＜x＜\f(1,a))))).當(dāng)a＝1時，不等式的解集為?.當(dāng)a＞1時，不等式的解集為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＜x＜1)))).探究三一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的關(guān)系[例3]已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為(α，β)，且0＜α＜β，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．[解題指南]先推斷二次項(xiàng)系數(shù)的符號，再依據(jù)三個“二次”之間的關(guān)系得到字母之間的關(guān)系，即可求解不等式的解集．[解析]法一：由已知不等式的解集為(α，β)可得a＜0，∵α，β為方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，∴由根與系數(shù)的關(guān)系可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝－（α＋β）＜0①,\f(c,a)＝αβ＞0②)).∵a＜0，∴由②得c＜0，則cx2＋bx＋a＜0可化為x2＋eq\f(b,c)x＋eq\f(a,c)＞0，①÷②得eq\f(b,c)＝eq\f(－（α＋β）,αβ)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,α)＋\f(1,β)))＜0，由②得eq\f(a,c)＝eq\f(1,αβ)＝eq\f(1,α)·eq\f(1,β)＞0，∴eq\f(1,α)、eq\f(1,β)為方程x2＋eq\f(b,c)x＋eq\f(a,c)＝0的兩根．∵0＜α＜β，∴不等式cx2＋bx＋a＜0的解集為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,β)或x＞\f(1,α))))).法二：由已知不等式解集為(α，β)，得a＜0，且α，β是ax2＋bx＋c＝0的兩根，∴α＋β＝－eq\f(b,a)，αβ＝eq\f(c,a)，∴cx2＋bx＋a＜0eq\f(c,a)x2＋eq\f(b,a)x＋1＞0(αβ)x2－(α＋β)x＋1＞0(αx－1)(βx－1)＞0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,α)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,β)))＞0.∵0＜α＜β，∴eq\f(1,α)＞eq\f(1,β)，∴x＜eq\f(1,β)或x＞eq\f(1,α)，∴cx2＋bx＋a＜0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,β)或x＞\f(1,α))))).方法技巧已知不等式的解集求參數(shù)的解題思路已知不等式的解集求參數(shù)的問題的實(shí)質(zhì)是考查三個“二次”間的關(guān)系．其解題的一般思路為：(1)依據(jù)所給解集確定相應(yīng)方程的根和二次項(xiàng)系數(shù)的符號；(2)由根與系數(shù)的關(guān)系，或?qū)⒏纱鄮敕匠?，求出參?shù)的值或參數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而求解．跟蹤探究3.已知關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集為(1，2)，求關(guān)于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集．解析：∵關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集為(1，2)，∴1，2是關(guān)于x的方程x2＋ax＋b＝0的兩根．由根與系數(shù)的關(guān)系，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a＝1＋2，,b＝1×2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝2.))將其代入所求不等式bx2＋ax＋1＞0，得2x2－3x＋1＞0.由2x2－3x＋1＞0，得(2x－1)(x－1)