2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.5.3平面與平面平行練習(xí)含解析新人教A版必修第二冊

PAGE第八章8.58.5.3A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．若一個平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個平面的位置關(guān)系是()A．肯定平行 B．肯定相交C．平行或相交 D．以上推斷都不對【答案】C【解析】可借助于長方體推斷兩平面對應(yīng)平行或相交．2．(2024年北京西城區(qū)期末)下列命題中不正確的是()A．平面α∥平面β，一條直線a平行于平面α，則a肯定平行于平面βB．平面α∥平面β，則α內(nèi)的隨意一條直線都平行于平面βC．一個三角形有兩條邊所在的直線分別平行于一個平面，那么該三角形所在的平面與這個平面平行D．分別在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線只能是平行直線或異面直線【答案】A【解析】對于A，α有可能平行于平面β，也有可能在平面β內(nèi)，A不正確．易推斷B，C，D均正確．故選A．3．有一正方體木塊如圖所示，點P在平面A′C′內(nèi)，要經(jīng)過點P和棱BC將木塊鋸開，鋸開的面必需平整，有N種鋸法，則N為()A．0 B．1C．2 D．多數(shù)【答案】B【解析】易知BC∥平面A′C′，且P，B，C不在同一條直線上，所以過P，B，C三點有且只有1個平面．4．(多選)已知a，b，c為三條不重合的直線，α，β，γ為三個不重合的平面，則下列不正確的是()A．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥c,β∥c))?α∥β B．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥γ,β∥γ))?α∥βC．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥c,a∥c))?a∥α D．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥γ,β∥γ))?a∥β【答案】ACD【解析】對A，α與β有可能相交；B正確；對C，有可能a?α；對D，有可能a?β.故選ACD．5．已知三棱柱ABC-A1B1C1，D，E，F(xiàn)分別是棱AA1，BB1，CC1的中點，則平面DEF與平面ABC的位置關(guān)系是________．【答案】平行【解析】∵D，E，F(xiàn)分別是棱AA1，BB1，CC1的中點，∴在平行四邊形AA1B1B與平行四邊形BB1C1C中，DE∥AB，EF∥BC，∴DE∥平面ABC，EF∥平面ABC．又DE∩EF＝E，∴平面DEF∥平面ABC．6．已知平面α，β是兩個不重合的平面，a，b，c，d是四條直線且a∥b∥c∥d，a?α，b?α，c?β，d?β，則α與β的關(guān)系是________．【答案】相交或平行【解析】依據(jù)圖1和圖2可知α與β平行或相交．圖1圖27．已知a，b表示兩條直線，α，β，γ表示三個不重合的平面，給出下列命題：①若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，則α∥β；②若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥β，則α∥β；③若a∥α，a∥β，則α∥β；④若a?α，a∥β，α∩β＝b，則a∥b.其中正確命題的序號是________．【答案】④【解析】①錯誤，α與β也可能相交；②錯誤，α與β也可能相交；③錯誤，α與β也可能相交；④正確，由線面平行的性質(zhì)定理可知．8．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，S，E，G分別是B1D1，BC，SC的中點．求證：直線EG∥平面BDD1B1.證明：連接SB．∵E，G分別是BC，SC的中點，∴EG∥SB．又∵SB?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1，∴直線EG∥平面BDD1B1.9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，點E為PA的中點，點F為BC的中點，底面ABCD是平行四邊形，對角線AC，BD交于點O.求證：平面EFO∥平面PCD．證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形，AC∩BD＝O，所以點O為BD的中點．又因為點F為BC的中點，所以O(shè)F∥CD．又OF?平面PCD，CD?平面PCD，所以O(shè)F∥平面PCD．因為點O，E分別是AC，AP的中點，所以O(shè)E∥PC．又OE?平面PCD，PC?平面PCD，所以O(shè)E∥平面PCD．又OE?平面EFO，OF?平面EFO，且OE∩OF＝O，所以平面EFO∥平面PCD．B級——實力提升練10．在正方體EFGH-E1F1G1H1中，下列四對截面彼此平行的一對是()A．平面E1FG1與平面EGH1B．平面FHG1與平面F1H1GC．平面F1H1H與平面FHE1D．平面E1HG1與平面EH1G【答案】A【解析】畫出相應(yīng)的截面如圖所示，易知平面E1FG1與平面EGH1.故選A．11．(2024年合肥模擬)已知m，n，l1，l2表示不同直線，α，β表示不同平面，若m?α，n?α，l1?β，l2?β，l1∩l2＝M，則能得出α∥β的是()A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2【答案】D【解析】對于A，當m∥β且l1∥α?xí)r，α，β可能平行也可能相交，故A錯誤；對于B，當m∥β且n∥β時，若m∥n，則α，β可能平行也可能相交，故B錯誤；對于C，當m∥β且n∥l2時，α，β可能平行也可能相交，故C錯誤；對于D，當m∥l1，n∥l2時，由線面平行的判定定理可得l1∥α，l2∥α，又l1∩l2＝M，由面面平行的判定定理可以得到α∥β.故選D．12．如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1B1的中點是P，過點A1作與截面PBC1平行的截面，則該截面的面積為()A．2eq\r(2) B．2eq\r(3)C．2eq\r(6) D．4【答案】C【解析】由題意作截面如圖所示，易知該截面唯一，且E，F(xiàn)分別為AB，D1C1的中點．又在正方體中，可得A1E＝CE＝CF＝FA1＝eq\r(5)，所以四邊形A1ECF為菱形．又A1C＝2eq\r(3)，EF＝2eq\r(2)，故截面面積為2eq\r(6).13．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，PA＝PB＝AB＝2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，ED與AF相交于點H，則GH＝________.【答案】eq\f(\r(3),2)【解析】因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB∥CD，AB＝CD．因為E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，所以AE＝FD．又∠EAH＝∠DFH，∠AEH＝∠FDH，所以△AEH≌△FDH，所以EH＝DH.因為平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，平面PED∩平面PEC＝PE，所以GH∥PE，所以G是PD的中點．因為PA＝PB＝AB＝2，所以PE＝2×sin60°＝eq\r(3).所以GH＝eq\f(1,2)PE＝eq\f(\r(3),2).14．如圖是正方體的平面綻開圖．在這個正方體中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四個命題中，正確命題的序號是________．【答案】①②③④【解析】以正方形ABCD為下底面還原正方體，如圖．易判定四個命題都是正確的．15．如圖所示，四邊形ABCD與四邊形ADEF都為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點．求證：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.證明：(1)如圖所示，設(shè)DF與GN交于點O.連接AE，則AE必過點O.連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO.因為BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因為N，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點，所以DE∥GN.因為DE?平面MNG，GN?平面MNG，所以DE∥平面MNG.因為M為AB的中點，所以MN為△ABD的中位線，則BD∥MN.因為BD?平面MNG，MN?平面MNG，所以BD∥平面MNG.因為DE∩BD＝D，BD，DE?平面BDE，所以平面BDE∥平面MNG.16．如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱CC1的中點，問在棱AB上是否存在一點E，使DE∥平面AB1C1？若存在，請確定點E的位置；若不存在，請說明理由．解：點E為AB的中點時，DE∥平面AB1C1，證明如下：(方法一)取AB1的中點F，連接DE，EF，F(xiàn)C1.因為E，F(xiàn)分別為AB，AB1的中點，所以EF∥BB1且EF＝eq\f(1,2)BB1.在三棱柱ABC-A1B1C1中，DC1∥BB1且DC1＝eq\f(1,2)BB1，所以EFDC1，四邊形EFC1D為平行四邊形，所以ED∥FC1.又ED?平面AB1C1，F(xiàn)C1?平面AB1C1，所以ED∥平面AB1C1.(方法二)取BB1的中點H，連接EH，DH，ED．因為E，H分別是AB，BB1的中點，則EH∥AB1.又EH?平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，所以EH∥平面AB1C1.又HD∥B1C1.同理可得HD∥平面AB1C1.又EH?平面EHD，HD?平面EHD，EH∩HD＝H，所以平面EHD∥平面AB1C1.因為ED?平面EHD，所以ED與平面AB1C1無交點，所以ED∥平面AB1C1.C級——探究創(chuàng)新練17．(2024年北碚區(qū)期末)如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點，P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一點，若A1P∥平面AEF，則線段A1P長度的取值范圍是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2)))【解析】如圖所示，分別取棱BB1、B1C1的中點M、N，連接MN，連接BC1，∵M、N、E、F為所在棱的中點，∴MN∥BC1，EF∥BC1.∴MN∥EF，又MN?平面AEF，EF?平面AEF.∴MN∥平面AEF.∵AA1∥NE，AA1＝NE，∴四邊形AENA1為平行四邊形．∴A1N∥AE.又A1N?平面AEF，AE?平面AEF，∴A1N∥平面AEF.又A1N∩MN＝N，∴平面A1MN∥平面AEF.∵P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一點，且A1P∥平面AEF，則P必在線段MN上，在Rt△A1B1M中，A1M＝eq\r(A1B\o\al(2,1)＋B1M2)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(5),2)，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N＝eq\f(\r(5),2)，∴△A1MN為等腰三角形．當P在MN中點O時A1P⊥MN，此時A1P最短，P位于M、N處時