2025屆高中數(shù)學統(tǒng)考第二輪專題復習第3講導數(shù)的應用限時集訓理含解析

第3講導數(shù)的應用基礎過關1.函數(shù)f(x)=f'(1)ex-x2+2的圖像在點(0,f(0))處的切線的斜率等于 ()A.2e B.C.2ee-1 2.若直線x=a(a>0)分別與直線y=2x+1、曲線y=x+lnx相交于點A,B,則|AB|的最小值為 ()A.1 B.2 C.2 D.33.若對隨意的x1,x2∈(0,a)且x1<x2,都有x2lnx1-x1lnx2A.2e B.e C.1 D.14.若曲線y=lnx-2x在x=1處的切線的傾斜角為α,則cosα+sinα的值為 (A.2105 BC.-105 D.±5.已知f(x)=2alnx+x2(a≠0),若對隨意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,都有f(x1)-f(x2)xA.(1,+∞) B.[1,+∞)C.(0,1) D.(0,1]6.若對隨意的x1,x2∈[1,+∞),當x2>x1時,恒有alnx2x1<2(x2-x1)成立,則實數(shù)a的取值范圍是 A.(-∞,0] B.(-∞,1]C.(-∞,2] D.(-∞,3]7.已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f'(x)=x4(x-1)3(x-2)2(x-3),則下列結論正確的是 ()A.f(x)在x=0處有極大值B.f(x)在x=2處有微小值C.f(x)在[1,3]上單調遞減D.f(x)至少有3個零點8.已知變量x1,x2∈(0,m)(m>0),且x1<x2,若x1x2<x2x1恒成立,則A.e B.eC.1e D.9.已知直線y=a分別與曲線y=ex+2和y=x-1交于A,B兩點,則A,B之間的最短距離是 (A.7-ln2B.5C.7+ln22D.5+ln210.已知曲線C1:y=xex(x>0)和C2:y=x-2ex-2,若直線l與C1,C2都相切,且與C2相切于點P,則A.3-5 B.5-1C.3-52 11.已知a∈R,若實數(shù)x,y滿意y=-x2+3lnx,則(a-x)2+(a+2-y)2的最小值為 ()A.32 B.22C.8 D.1812.已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex-a2e2x+ax只有一個極值點,則實數(shù)a的取值范圍是 (A.a≤0或a≥1B.a≤0或a≥1C.a≤0D.a≥0或a≤-113.曲線y=lnx在點1e,-1處的切線在y軸上的截距為.

14.若函數(shù)f(x)=ex-lnx-mx在區(qū)間(1,+∞)上單調遞增,則實數(shù)m的取值范圍為.

實力提升15.函數(shù)y=[f(x)]g(x)在求導時可運用對數(shù)法:在解析式兩邊同時取自然對數(shù)得到lny=g(x)·lnf(x),然后兩邊同時求導得y'y=g'(x)lnf(x)+g(x)f'(x)f(x),于是y'=[f(x)]g(x)g'(x)lnf(x)+g(x)f'(x)f(x),依據此方法可知A.(0,e) B.(0,e-1)C.(e-1,+∞) D.(e,+∞)16.已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f'(x),記f1(x)=f'(x),f2(x)=f'1(x),…,fn+1(x)=f'n(x)(n∈N*).若f(x)=xsinx,則f2024(x)+f2024(x)=()A.-2cosx B.-2sinxC.2cosx D.2sinx17.已知定義在[-2,2]上的函數(shù)f(x)滿意f'(x)<f(x),則不等式ex-1f(x)>f(2x-1)的解集為 ()A.(-∞,1) B.12,32C.[0,1] D.1,3218.記函數(shù)f(x)=ex-x-a,若曲線y=-cos2x+2cosx+1上存在點(x0,y0),使得f(y0)=y0,則實數(shù)a的取值范圍是 ()A.(-∞,e2-4) B.[2-2ln2,e2-4]C.[2-2ln2,e-2+4] D.(-∞,e-2+4)19.已知函數(shù)f(x)=alnx-x+2(a為大于1的整數(shù)),若y=f(x)與y=f[f(x)]的值域相同,則a的最小值是(參考數(shù)據:ln2≈0.6931,ln3≈1.0986,ln5≈1.6094) ()A.5 B.6 C.7 D.820.已知函數(shù)f(x)=2x2,x<0,ex,x≥0,若f(x1)=f(x2)(x1A.-22B.2ln2-2C.3ln2-2 D.ln2-1限時集訓(三)1.B[解析]由已知得f'(x)=f'(1)ex-2x,令x=1,則f'(1)=f'(1)e-2,解得f'(1)=2e-1,所以f'(x)=2e-1ex-2x,所以函數(shù)f(x)的圖像在點(0,f(0))處的切線的斜率k=f'(0)2.B[解析]由題知A(a,2a+1),B(a,a+lna),則|AB|=|2a+1-(a+lna)|=|a+1-lna|.令f(x)=x+1-lnx,則f'(x)=1-1x,∴函數(shù)f(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增,當x=1時,函數(shù)f(x)取到最小值2,∴|AB|的最小值為2.故選B3.C[解析]由已知得x2lnx1-x1lnx2<x1-x2,兩邊同時除以x1x2,化簡得lnx1+1x1<lnx2+1x2.構造函數(shù)f(x)=lnx+1x,則f'(x)=-lnxx2,令f'(x)>0,得0<x<1;令f'(x)<0,得x>1.所以函數(shù)f(x)在(0,1)上為增函數(shù),在(1,+∞)上為減函數(shù).因為lnx1+1x1<lnx2+1x2對隨意的x1,x2∈(0,a)且x1<x2恒成立,4.A[解析]由y=lnx-2x,得y'=1x+2x2,∴tanα=y'|x=1=3,∵α∈[0,π由tanα=sinαcosα=3,sin2α5.B[解析]由f(x1)-f(x2設g(x)=f(x)-4x=2alnx+x2-4x(x>0),則g(x)為增函數(shù),所以g'(x)=2a×1x+2x-4≥0,化簡整理得a≥(2-x)x.當x>0時,(2-x)x的最大值為1,所以a≥1.故選B6.C[解析]對隨意的x1,x2∈[1,+∞),當x2>x1時,恒有alnx2x1<2(x2-x1)成立,即恒有alnx2-2x2<alnx1-2x1成立.令f(x)=alnx-2x,∴f(x2)<f(x1),∴f(x)在[1,+∞)上單調遞減,∴f'(x)=ax-2≤0在[1,+∞)上恒成立,∴a≤2x在[1,當x≥1時,2x≥2,∴實數(shù)a的取值范圍為(-∞,2],故選C.7.C[解析]由題知,x<0時,f'(x)>0;x=0時,f'(0)=0;0<x<1時,f'(x)>0;x=1時,f'(1)=0;1<x<2時,f'(x)<0;x=2時,f'(2)=0;2<x<3時,f'(x)<0;x=3時,f'(3)=0;x>3時,f'(x)>0.故f(x)在(-∞,1)上單調遞增,在(1,3)上單調遞減,在(3,+∞)上單調遞增,故f(x)的極大值是f(1),微小值是f(3),f(x)至多有3個零點.故選C.8.A[解析]由x1x2<x2x1可得x2lnx1<x1lnx2,即lnx1x1<lnx2x2,又x1<x2,所以f(x)=lnxx在(0,m)上為增函數(shù),則f'(x)=1-lnxx2≥09.C[解析]由題知a>0.依題意,設A(x1,a),B(x2,a),則ex1+2=a,x2-1=a,即x1=lna-2,x2=a2+1,結合圖像(圖略)可知x1<x2,∴|AB|=x2-x1=a2+3-lna.設f(a)=a2+3-lna,則f'(a)=易知函數(shù)f(a)在0,22上單調遞減,在22,+∞上單調遞增,∴f(a)min=f22=12+3-ln22=7+ln22,即A,B之間的最短距離是7+ln22.故選C10.C[解析]設P(x0,y0),l與C1相切于點M(x1,y1)(x1>0),則y0=x0-2ex0-2,y1=x1ex1.由y=xex(x>0)得y'=(x+1)ex,由y=x-2ex-2得y'=3-xex-2.因為l是C1和C2的公切線,所以3-x0ex0-2=(x1+1)ex1,即(2-x0+1)e又因為y1-y0x1-x0=(x1+1)ex1,即x1ex1-x0-2ex0-2x1-x0=(x1+1)ex1,所以x1ex1+x1ex1x11.C[解析]點(x,y)在曲線y=-x2+3lnx上,點(a,a+2)在直線y=x+2上,(a-x)2+(a+2-y)2的幾何意義是曲線y=-x2+3lnx上的點(x,y)到直線y=x+2上的點(a,a+2)的距離的平方.令f(x)=-x2+3lnx,得f'(x)=-2x+3x,令f'(x)=0,得x=62,則f(x)在0,62上單調遞增,在62,+∞上單調遞減,f(x)在x=62處取得最大值-32+3ln62.作出曲線y=-x2+3lnx與直線y=x+2由圖可知,曲線y=3lnx-x2(x>0)的平行于直線y=x+2的切線的切點到直線y=x+2的距離最小.令f'(x)=3x-2x=1,解得x=1或x=-32(舍去),當x=1時,f(1)=-所以切點為(1,-1),該切點到直線y=x+2的距離為|1+1+2|2=22,故(a-x)2+(a+2-y)2的最小值為(22)2=8,12.A[解析]由f(x)=(x-1)ex-a2e2x+ax,得f'(x)=xex-ae2x+a.當a=0時,f'(x)=xex,f'(0)=0.函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調遞減,在(0,+∞)上單調遞增,故函數(shù)f(x)有唯一的極值點,滿意題意當a≠0時,由f'(x)=0得xa=ex-e-x,設g(x)=ex-e-x,則g'(x)=ex+e-x≥2恒成立,且g'(0)=2,畫出函數(shù)g(x)的圖像和直線y=xa,由圖可知,當1a≤2時,即a<0或a≥12時,直線y=xa與函數(shù)g(x)的圖像恰有一個交點,此時滿意題意.綜上所述,a≤0或a≥1213.-2[解析]由y=lnx,得y'=1x,當x=1e時,y'=e,∴曲線y=lnx在點1e,-1處的切線方程為y+1=ex-1e=ex-1,令x=0,得y=-2,即切線在y軸上的截距為-2.14.(-∞,e-1][解析]由題意可得f'(x)=ex-1x-m≥0在(1,+∞)上恒成立易知f'(x)在(1,+∞)上單調遞增,故只需f'(1)=e-1-m≥0,解得m≤e-1.15.C[解析]由y=(x+1)1x+1得lny=1x+1ln(x+1),(lny)'=1x+1ln(x+1)',即1y·y'=1-ln(x+1)(x+1)2,故y'=[1-ln(x+1)]·(x+1)1x+1-2,令y'<16.D[解析]因為f(x)=xsinx,所以f1(x)=sinx+xcosx,f2(x)=2cosx-xsinx,f3(x)=-3sinx-xcosx,f4(x)=-4cosx+xsinx,f5(x)=5sinx+xcosx,…,猜想可知f4k-3(x)=(4k-3)sinx+xcosx,f4k-2(x)=(4k-2)cosx-xsinx,f4k-1(x)=-(4k-1)sinx-xcosx,f4k(x)=-4kcosx+xsinx,其中k∈N*.由2024=4×505-1,2024=4×506-3,得f2024(x)=-2025sinx-xcosx,f2024(x)=2024sinx+xcosx,所以f2024(x)+f2024(x)=2sinx,故選D.17.D[解析]令F(x)=f(x)ex(x∈[-2,2]),則F'(x)=f'(x)-f(x)ex.∵f'(x)<f(x),∴F'(x)<0,∴F∵ex-1f(x)>f(2x-1)?f(x)ex>f(2x-1)e2x-1?F(x)>F18.C[解析]y=-cos2x+2cosx+1=-(cosx-1)2+2.因為-1≤cosx≤1,所以-2≤y≤2,所以-2≤y0≤2.f(y0)=y0有解等價于f(x)=x在[-2,2]上有解,即ex-x-a=x,也就是a=ex-2x在[-2,2]上有解.設h(x)=ex-2x,則h'(x)=ex-2,由h'(x)>0,得ln2<x≤2,此時h(x)單調遞增,由h'(x)<0,得-2≤x<ln2,此時h(x)單調遞減,則當x=ln2時,函數(shù)h(x)取得微小值,也是最小值,且h(ln2)=2-2ln2.又h(2)=e2-4,h(-2)=e-2+4,可得h(2)<h(-2),故2-2ln2≤h(x)≤e-2+4.要使a=ex-2x在[-2,2]上有解,只需2-2ln2≤a≤e-2+4,所以實數(shù)a的取值范圍是[2-2ln2,e-2+4],故選C.19.A[解析]由f(x)=alnx-x+2得f'(x)=ax-1=a-xx,當x>a時,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調遞減,當0<x<a時,f'(x)>0,函數(shù)f(故f(x)max=f(a)=alna-a+2,又當x→0時,f(x)→-∞,所以函數(shù)f(x)的值域為(-∞,alna-a+2].令t(a)=alna-a+2,則t'(a)=lna+1-1=lna,因為a>1,a∈Z,所以t'(a)>0,所以t(a)單調遞增,因此當a≥2,a∈Z時,t(a)≥t(2)=2ln2>0.令f(x)=alnx-x+2=n,則n≤alna-a+2,y=f[f(x)]=f(n),要使y=f[f(x)]=f(n)的值域為(-∞,alna-a+2],只需a≤alna-a+2,即alna-2a+2≥0.設g(a)=alna-2a+2,a≥2,a∈Z,則g'(a)=lna-1,所以當a≥3,a∈Z時,函數(shù)g(a)單調遞增,又g(2)=2ln2-2<0,g(3)=3ln3-4<0,g(4)=4ln4-6<0,g(5)=5ln5-8>0,所以a的最小值是5,故選A.20