35微分及其在近似計算中的應用

《經(jīng)濟數(shù)學基礎》配套課件?例1正方形金屬薄片受熱后面積的改變量如何計算?引入設邊長由變到原正方形的面積改變后的面積面積的改變量是的線性主部是的高階無窮小，當很小時可以忽略3.5微分及其在近似計算中的應用《經(jīng)濟數(shù)學基礎》配套課件既容易計算又是較好的近似值?是否所有函數(shù)的改變量都有這個線性主部?

它是什么?如何求?所以，當很小時《經(jīng)濟數(shù)學基礎》配套課件定義3.5.1

可以表示為,其中與無關，是如果函數(shù)在點處的增量區(qū)間內(nèi)，

設函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，及均在這的高階無窮小，

則稱函數(shù)在點處是可微的，

稱為函數(shù)在處的微分，

記作:即

1.微分的概念《經(jīng)濟數(shù)學基礎》配套課件說明所以

即函數(shù)在點處可導，則,如果在點處可微，則有1)因而有因此，導數(shù)我們也稱之為微商。

2)在中，；因此對于任何,因此，《經(jīng)濟數(shù)學基礎》配套課件，

如果在點處可導，則有3)的無窮小量）。

所以（其中是當即函數(shù)在點處可微，于是

，因為

,則有

且

《經(jīng)濟數(shù)學基礎》配套課件?與之間有什么關系？定義在某區(qū)間內(nèi)每一點都可微，是該區(qū)間內(nèi)的可微函數(shù)。函數(shù)在任意點的微分記為：如果函數(shù)則稱

或即

《經(jīng)濟數(shù)學基礎》配套課件定理3.5.1

如果函數(shù)在點處可微，則函數(shù)在點處可導，且;反之，如果若函數(shù)在點處可導，則函數(shù)在點處可微。解：

的微分。

求函數(shù)例2《經(jīng)濟數(shù)學基礎》配套課件解：

的微分。

求函數(shù)例3解：

在處的微分。

求函數(shù)例4解：

當時的微分。

求函數(shù)例4《經(jīng)濟數(shù)學基礎》配套課件MNT）PQ2.微分的幾何意義當是曲線的縱坐標的增量時，就是切線縱坐標對應的增量?！督?jīng)濟數(shù)學基礎》配套課件3.基本初等函數(shù)的微分公式與微分運算法則1）基本初等函數(shù)的微分公式（為任意常數(shù))

(為實數(shù)）特別：特別：《經(jīng)濟數(shù)學基礎》配套課件?導數(shù)公式與微分公式之間有什么區(qū)別與聯(lián)系？《經(jīng)濟數(shù)學基礎》配套課件

特別地：（為任意常數(shù))

2）函數(shù)和、差、積、商分的微分法則設。求例如解：

《經(jīng)濟數(shù)學基礎》配套課件3）復合函數(shù)的微分法則設函數(shù)有導數(shù)

（1）若是自變量時，（2）若是中間變量時，即另一變量的可微函數(shù)，

無論是自變量還是中間變量，函數(shù)的微分形式總是一階微分形式的不變性《經(jīng)濟數(shù)學基礎》配套課件解：

，求。

設例6令解：

，求。

設例7令《經(jīng)濟數(shù)學基礎》配套課件解：

，求。

設例8《經(jīng)濟數(shù)學基礎》配套課件（一）求下列函數(shù)的微分：1）2）3）4）5）課堂練習+《經(jīng)濟數(shù)學基礎》配套課件（二）求下列函數(shù)在指定點處的微分：（三）在下列括號內(nèi)填入適當?shù)暮瘮?shù)，使等式成立：1）2）3）4）1）2）《經(jīng)濟數(shù)學基礎》配套課件4.微分在近似計算中的應用解：

某一正方體金屬邊長為2m，當金屬受熱邊長增加0.01m時，例9設該正方體的邊長為x，則體積為，體積的改變量為體積的改變量是多少？函數(shù)的微分又是多少？函數(shù)的微分可見，函數(shù)改變量近似等于函數(shù)的微分?！督?jīng)濟數(shù)學基礎》配套課件解：

的近似值。求