圓錐曲線拉分題解題技巧

圓錐曲線拉分題解題技巧圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)中比較重要的一部分內(nèi)容，其中拉分題更是經(jīng)常出現(xiàn)在高考試卷中。圓錐曲線拉分題的難點(diǎn)在于要將一個(gè)曲線按照一個(gè)比例分成兩部分，同時(shí)需要求出分開后兩部分的坐標(biāo)。不過，只要在做題的時(shí)候掌握好一些技巧，圓錐曲線拉分題也能輕松應(yīng)對(duì)。下面，本文將為大家詳細(xì)介紹圓錐曲線拉分題的解題技巧。一、拉分題的基本定義拉分題的基本定義就是將一條曲線按照任意的比例分成兩段，這兩段的比例一般用k表示。比例為k：1-k，其中k為0到1的小數(shù)。如果k等于0.5，則按照中心分割，即分成兩部分長度相等的曲線。如果k不等于0.5，則曲線的兩部分長度不相等。二、拉分題的幾何意義拉分題還存在著幾何意義。對(duì)于一個(gè)圓錐曲線，我們可以將其看作一個(gè)由一個(gè)點(diǎn)P(焦點(diǎn))和一條直線L(準(zhǔn)線)生成的曲線。如果我們將點(diǎn)P沿著準(zhǔn)線L向左或向右移動(dòng)一個(gè)距離并保持不動(dòng)，然后用新的點(diǎn)重新繪制曲線，這個(gè)新的曲線就是原曲線的拉分曲線。三、拉分題的解題步驟1.首先，需要將圓錐曲線的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，以便于求取焦點(diǎn)和準(zhǔn)線。2.根據(jù)圓錐曲線的類型，分別求出其對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線。3.根據(jù)所給的拉分比例，將曲線分成兩部分。4.根據(jù)所分成的兩段的比例，分別求出每一段的長度。5.然后再根據(jù)焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的特定定義，求出分割后兩個(gè)部分的端點(diǎn)坐標(biāo)。下面，本文將結(jié)合具體的圓錐曲線拉分例題為大家詳細(xì)介紹如何解題：例題1：將橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$按照劃分比例4：1拉分，求分成的兩部分坐標(biāo)。解題步驟如下：1.首先將橢圓的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式。由于橢圓的長軸為5，短軸為3，所以我們可以把方程寫成$\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{3^2}=1$的標(biāo)準(zhǔn)形式。2.求出橢圓的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線。根據(jù)公式我們可以求得橢圓的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線。公式如下：橢圓的焦點(diǎn)：$c=\sqrt{a^2-b^2}=4$，焦點(diǎn)坐標(biāo)為$(\pm4,0)$。橢圓的準(zhǔn)線：$2a=10$，準(zhǔn)線方程為$x=\pm2$。3.將橢圓按照劃分比例4：1分成兩部分。根據(jù)所給的拉分比例，可以知道橢圓被分成了$\frac{4}{5}$和$\frac{1}{5}$兩部分。4.求出兩部分的長度。根據(jù)橢圓的長短軸和比例，可以求出兩部分的長度分別為$\frac{4}{5}\times5=4$和$\frac{1}{5}\times5=1$。5.求出坐標(biāo)。我們可以利用橢圓的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的定義，在$x=2$處作一條垂線$L_1$，在$x=-2$處作一條垂線$L_2$。根據(jù)分割比例，離焦點(diǎn)距離為$\frac{4}{5}\times4=3.2$的部分在$L_1$上取點(diǎn)$M(x_1,y_1)$，另一部分在$L_2$上取點(diǎn)$N(x_2,y_2)$。為了求出坐標(biāo)值，需要利用橢圓的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，將兩個(gè)點(diǎn)和焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的坐標(biāo)聯(lián)系起來。對(duì)于點(diǎn)$M(x_1,y_1)$，它到焦點(diǎn)$(4,0)$的距離為$c_1=3.2$，于是我們可以得出下列方程：$(x_1-4)^2+y_1^2=c_1^2$對(duì)于點(diǎn)$N(x_2,y_2)$，它到焦點(diǎn)$(-4,0)$的距離為$c_1=3.2$，于是我們可以得出下列方程：$(x_2+4)^2+y_2^2=c_1^2$同時(shí)，又利用點(diǎn)$M$和點(diǎn)$N$在準(zhǔn)線$L$上的性質(zhì)得到：$x_1+2=5$，$x_2-2=-5$接著，我們可將以上方程和性質(zhì)帶入解方程組求解，即可得出$M(x_1,y_1)$和$N(x_2,y_2)$的坐標(biāo)值。根據(jù)計(jì)算可得：$M(3.494,1.645)$，$N(-3.494,-1.645)$，即可求出分割后兩個(gè)部