淺談高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的反例教學(xué)-2019年教育文檔

淺談高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的反例教學(xué)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)主要是提出證明和構(gòu)造反例.在數(shù)學(xué)中，要證明一個命題成立，必須嚴(yán)格的在所給的條件下,用邏輯推理的方法推導(dǎo)出結(jié)論.要證明一個命題是錯誤的，極具有說服力而又簡明的方法就是舉出反例，去推翻它.在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，恰當(dāng)?shù)姆蠢苿恿藬?shù)學(xué)的發(fā)展。高中階段隨著研究性學(xué)習(xí)的普遍開展，高考試題中開放性試題的比例逐漸增大，反例在高中數(shù)學(xué)中的重要性日益凸現(xiàn)，在這幾年的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我對反例教學(xué)的感觸也非常深刻,本文結(jié)合自己的教學(xué)實踐，對反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用做了一些研究。一、反例的定義數(shù)學(xué)中的反例，是指符合某個命題的條件，而又不符合該命題結(jié)論的例子。說得更簡潔一點，反例就是一種指出某命題不成立的例子。當(dāng)然，從某種意義上來說，所有的例子都可以稱為反例，因為它總可以指出某命題（甚至是非常荒謬的命題）不成立。但這里，我們討論的反例，是建立在數(shù)學(xué)上已證實的理論與邏輯推理基礎(chǔ)上的，并且具有一定作用的反例。反例教學(xué)法中的反例有特定的內(nèi)涵，這里的反例是指教師在教育實踐中收集的典型例題的典型誤解、重要知識點的典型錯誤認(rèn)識，所謂典型是指它有豐富的教學(xué)價值，通過分析例題的錯解、知識點的錯誤認(rèn)識能夠揭示出解題的規(guī)律和方法，掌握重要的知識點，鞏固學(xué)生所學(xué)知識的薄弱環(huán)節(jié)。反例教學(xué)比較耗費(fèi)時間和精力，如果反例龐雜，則教師和學(xué)生會為反例的數(shù)量和細(xì)節(jié)所拖累，造成事倍功半，倘若是教師信手拈來的幾個反例，那么其教學(xué)意義就十分有限，因此，反例必須典型、精制、簡煉。二、適于開展反例教學(xué)的幾種典型情況數(shù)學(xué)教學(xué)就是要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。只有使學(xué)生具備條理性、邏輯性以及合情推理的能力，才能使學(xué)生正確地解答數(shù)學(xué)題。我們在實踐教學(xué)中得知，學(xué)生在實際的做題中會出現(xiàn)這樣或那樣的錯誤，造成題目做錯。學(xué)生做錯題，歸根到底是對概念模糊、或是缺乏嚴(yán)密的邏輯思維、或是對一些基本知識結(jié)構(gòu)沒有真正地掌握。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)過程中容易出錯的原因，在以下幾種情況下應(yīng)開展反例教學(xué)。1、 針對概念模糊易出錯開展反例教學(xué)。數(shù)學(xué)概念是學(xué)習(xí)性質(zhì)、法則、公式等基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)，是判斷推理的依據(jù)，是計算、解題、作圖的前提，是發(fā)展學(xué)生思維能力的首要條件。因此，理解和掌握數(shù)學(xué)概念是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，清晰的概念是正確思維的前提。如果概念模糊，對于數(shù)學(xué)試題中選擇、判斷、填空、計算及證明的處理，將會出現(xiàn)一系列的錯誤或曲解。因此，我們要針對學(xué)生容易出現(xiàn)的這一錯誤，開展反例教學(xué)，幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念。2、 針對對題目處理想當(dāng)然的錯誤開展反例教學(xué)。數(shù)學(xué)是一門科學(xué)，它的重要特征是推理論證嚴(yán)密。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生有時由于對知識結(jié)構(gòu)掌握不夠完善，或缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，往往會出現(xiàn)在處理題目時想當(dāng)然，引起做題出錯。所以，在教學(xué)過程中，要針對學(xué)生存在的這種毛病，開展反例教學(xué)，幫助他們樹立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，養(yǎng)成論證嚴(yán)密、考慮周到而深刻的學(xué)風(fēng)。3、針對忽略隱含條件出錯開展反例教學(xué)。數(shù)學(xué)題中的隱含條件不會在題設(shè)中直接給出，要靠在讀題中認(rèn)真分析判斷，從而將隱含條件挖掘出來，使題設(shè)清晰化、具體化，找出正確的解題思路。然而這一點，恰恰是學(xué)生在做題時最容易忽略的。要針對學(xué)生這一實際情況，開展反例教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生正確找出和利用題設(shè)的隱含條件，從而培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維和邏輯思維的綜合能力。三、在教學(xué)中運(yùn)用反例應(yīng)注意的問題在教學(xué)中重視和恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用反例，不僅可以調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，養(yǎng)成重視條件，嚴(yán)格推理的習(xí)慣，還可提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和學(xué)習(xí)能力。但在教學(xué)中應(yīng)主要講授概念、定理和方法，對于基本的命題和結(jié)論應(yīng)予以嚴(yán)格的證明和推導(dǎo)。舉反例重在說明結(jié)構(gòu)，學(xué)生對反例的掌握要求不能太高，反例應(yīng)是圍繞主要內(nèi)容的有效輔助手段，應(yīng)用反例應(yīng)注意以下幾點：1、注意反例教學(xué)的引入。根據(jù)學(xué)生年齡、生理及心理特征，以及所學(xué)知識結(jié)構(gòu)的不完整性，有時還不具備獨(dú)立系統(tǒng)地推理論證的能力，思維受到一定的局限，考慮問題可能還會不夠全面，在教學(xué)過程中要注意反例教學(xué)引入的合理性和可行性。第一、出示反例時機(jī)要適當(dāng)。反例一般應(yīng)在學(xué)生對新知識有了初步的認(rèn)識后出示，以免受“先入為主”的影響，一般不要先出示反例然后再出示正例，或者以反例為主組織教學(xué)，也不要每一堂課都出示反例。第二、所舉反例要注意符合學(xué)生的實際。反例應(yīng)是學(xué)生在學(xué)習(xí)中經(jīng)常出現(xiàn)的錯誤，學(xué)生一般不會出錯，或者只有極個別學(xué)生出錯的就不必作為反例。第三、運(yùn)用反例組織教學(xué)也要注意形式多樣。除了有機(jī)地結(jié)合教材充分利用反例組織課堂教學(xué)外，還可利用數(shù)學(xué)園地，開辟“數(shù)學(xué)門診”，讓學(xué)生當(dāng)“小醫(yī)生”，治“病”改錯。練習(xí)的形式也可有改錯題、判斷題、選擇題等多種。一些數(shù)學(xué)上有名的謬論也可結(jié)合有關(guān)知識進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕榻B，以對學(xué)生產(chǎn)生啟發(fā)。2、注意反例教學(xué)的構(gòu)建。教師在進(jìn)行教學(xué)時，不但要適當(dāng)?shù)厥褂梅蠢匾氖且朴谝龑?dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例，反例構(gòu)建是猜想、試驗、推理等多重并舉的一項綜合性創(chuàng)作性活動，這實際上是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一種探索情景，又由于在通常情況下，許多反例的構(gòu)建不是惟一的，這就需要學(xué)生對所學(xué)知識有深刻、透徹的理解，并調(diào)動他們?nèi)康臄?shù)學(xué)功底，充分展開想象。因此，構(gòu)建反例的過程也是學(xué)生思維發(fā)揮和訓(xùn)練過程。反例往往是伴隨著數(shù)學(xué)教學(xué)中命題的推廣，正面證明失效后產(chǎn)生的，所以反例構(gòu)建不能就事論事，而要把問題的產(chǎn)生過程，如何構(gòu)建出反例的思維過程充分展現(xiàn)給學(xué)生，使反例構(gòu)建與整個推理過程有機(jī)地結(jié)合，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。教師在日常教學(xué)中，可經(jīng)常選擇一些典型的數(shù)學(xué)知識或問題，通過創(chuàng)設(shè)問題情景，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例，引導(dǎo)學(xué)生敢于和善于發(fā)現(xiàn)問題或提出問題，愛護(hù)、支持和鼓勵學(xué)生中的一切含有創(chuàng)造因素的思想和活動，從而提高學(xué)生的思維能力。3、注意反例教學(xué)的逐層深入性。教師在進(jìn)行教學(xué)時，反例的構(gòu)建要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識結(jié)構(gòu)逐層深入地進(jìn)行，把某些難度較大的問題分解為一些小的梯度題。四、實施反例教學(xué)的具體操作步驟采用反例教學(xué)法進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時，在教學(xué)過程中，教師的施教方法和學(xué)生的學(xué)習(xí)方法上都有一系列規(guī)范，主要反映在以下幾個操作步驟之中：反例編好之后，存入反例庫中，隨時供教學(xué)使用。反例必須從教學(xué)實踐中來，真實、生動，教師自己編寫的也必須符合客觀實際。選擇反例的數(shù)量不宜多，必須精煉，運(yùn)用反例的目的是為了使學(xué)生掌握抽象的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)，不能不加選擇地大量地羅列反例，只需要選擇那些高質(zhì)量的少數(shù)典型反例。反例要能代表概念性質(zhì)對象的特點，必須典型，倘若隨手拈來幾個反例，則其意義和教育價值就有局限性，典型的反例可以是綜合知識量大的部分，也可以是概念、知識點的某個性質(zhì)。在教學(xué)中選用的反例應(yīng)該相互聯(lián)系，由簡單到復(fù)雜，分層次、有序地編排，反例整體排列結(jié)構(gòu)的合理化能發(fā)揮反例教學(xué)法的最大教育功效。2、 應(yīng)用反例。反例的應(yīng)用應(yīng)放在講授基礎(chǔ)知識之后，既可以在講授某一塊知識時顯現(xiàn)，也可以在講完一個單元或一個章節(jié)之后顯現(xiàn)，顯現(xiàn)的方式有以下幾種：第一、給每個學(xué)生印發(fā)一份文字反例。第二、教師利用多媒體技術(shù)呈現(xiàn)反例。第三、教師利用即時刺激或環(huán)境請學(xué)生板演制造真實的反例。3、 分析評價反例。對于同一個反例，每個學(xué)生可以發(fā)揮出不同的意義，有人只能找到淺層的信息，有人則能得到透徹的知識面，從而對癥下藥,教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)揭示反例的本質(zhì)錯誤。分析反例的關(guān)鍵是學(xué)生和教師共同努力，把反例中的內(nèi)容與相應(yīng)的一個或幾個知識點聯(lián)系起來。為此，教師要做好啟發(fā)引導(dǎo)工作，讓學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)的知識積極地去獨(dú)立思考，大膽地交流研討，同時教師要創(chuàng)設(shè)民主和諧的教學(xué)氣氛，即使學(xué)生的思考和回答偏離了正確答案，也不要急于評判，可以讓他們自己反省，自我更正，使學(xué)生在沒有壓力和顧忌的良好心態(tài)下進(jìn)行創(chuàng)造性的探索。評價反例是對反例分析的總結(jié)，一般由教師來完成，教師可以指出學(xué)生分析反例的成績和不足，進(jìn)行補(bǔ)充與提高性講授，評論反例也可以發(fā)動學(xué)生在教師指導(dǎo)下開展，使他們得到進(jìn)一步的鍛煉。五、反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用1、 反例是理解概念的重要工具。2、 反例能正確地把握數(shù)學(xué)原理。原理通常指某一領(lǐng)域或?qū)W科中具有普遍意義的基本規(guī)律。高中數(shù)學(xué)知識除概念外還有數(shù)學(xué)原理。數(shù)學(xué)原理包括數(shù)學(xué)公里、定理、法則、定律、公式等內(nèi)容。他們既具有一定的形式符號化的抽象性和概括性等特征，又是促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知水平發(fā)展的重要學(xué)習(xí)載體。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)原理時，若只側(cè)重記憶其結(jié)論，而不注意數(shù)學(xué)原理的使用范圍，使用時不注意分析具體條件而生搬硬套，常會出現(xiàn)錯誤。對于數(shù)學(xué)原理，不僅要弄清其條件和結(jié)論的實際意義和適用范圍，還應(yīng)通過一些反例幫助學(xué)生牢固掌握所學(xué)的數(shù)學(xué)原理，靈活地設(shè)置反例，有時可起到事半功倍，立竿見影的效果。3、 反例是否定一個命題的最佳途徑。要使一個數(shù)學(xué)命題成立，必須進(jìn)行分析與嚴(yán)格的證明，而要推翻一個命題，只需要找出這個命題在特殊情況下不成立的實例即可。反例也是發(fā)現(xiàn)錯誤，修正命題與解法，激發(fā)人們思維的一種好方法。為了澄清學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的模糊認(rèn)識，常常需要從正反兩個方面進(jìn)行探索。4、反例是克服思維定勢抑制負(fù)遷移的有力手段。舉反例可直接促進(jìn)數(shù)學(xué)新概念、新定理與新理論的形成和發(fā)展。微積分創(chuàng)建初始，數(shù)學(xué)界曾長期錯誤認(rèn)為：“連續(xù)函數(shù)除了個別點外總是處處可導(dǎo)”，但是1860年德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯構(gòu)造了一個“處處連續(xù)卻處處不可導(dǎo)的函數(shù)”，這一反例震驚了數(shù)學(xué)界，給了思維定勢傳統(tǒng)觀念致命一擊。在教學(xué)過程中，學(xué)生在教師習(xí)慣性程序的影響下容易形成固定的思維模式，即定勢。定勢會產(chǎn)生“墨守成規(guī)”、“機(jī)械記憶”等負(fù)面效應(yīng)，此時求異的反例恰恰是解決這一弊端的得力方法。5、