2023-2024學(xué)年遼寧省大連市大世界高級(jí)中學(xué)高三沖刺模擬（4）數(shù)學(xué)試題

2022-2023學(xué)年遼寧省大連市大世界高級(jí)中學(xué)高三沖刺模擬（4）數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知拋物線C：，過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（A在x軸上方），且滿足，則直線l的斜率為（）A．1 B．C．2 D．32．正三棱錐底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱與底面成角，則正三棱錐的外接球的體積為（）A． B． C． D．3．根據(jù)如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸入的值為3時(shí)，輸出的值等于（）A．1 B． C． D．4．函數(shù)的大致圖象為（）A． B．C． D．5．復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，其中為虛部單位，則實(shí)數(shù)()A．3 B． C． D．6．是平面上的一定點(diǎn)，是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的（）A．重心 B．垂心 C．外心 D．內(nèi)心7．歷史上有不少數(shù)學(xué)家都對(duì)圓周率作過研究，第一個(gè)用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德，他用圓內(nèi)接和外切正多邊形的周長(zhǎng)確定圓周長(zhǎng)的上下界，開創(chuàng)了圓周率計(jì)算的幾何方法，而中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽只用圓內(nèi)接正多邊形就求得的近似值，他的方法被后人稱為割圓術(shù)．近代無窮乘積式、無窮連分?jǐn)?shù)、無窮級(jí)數(shù)等各種值的表達(dá)式紛紛出現(xiàn)，使得值的計(jì)算精度也迅速增加．華理斯在1655年求出一個(gè)公式：，根據(jù)該公式繪制出了估計(jì)圓周率的近似值的程序框圖，如下圖所示，執(zhí)行該程序框圖，已知輸出的，若判斷框內(nèi)填入的條件為，則正整數(shù)的最小值是A． B． C． D．8．對(duì)于函數(shù)，若滿足，則稱為函數(shù)的一對(duì)“線性對(duì)稱點(diǎn)”．若實(shí)數(shù)與和與為函數(shù)的兩對(duì)“線性對(duì)稱點(diǎn)”，則的最大值為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，若，則等于（）A．-3 B．-1 C．3 D．010．已知是虛數(shù)單位，若，則（）A． B．2 C． D．1011．陀螺是中國(guó)民間最早的娛樂工具，也稱陀羅.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗線畫出的是某個(gè)陀螺的三視圖，則該陀螺的表面積為（）A． B．C． D．12．二項(xiàng)式的展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是()A．180 B．90 C．45 D．360二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則_____14．已知關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________15．若，則__________.16．已知平面向量與的夾角為，，，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在極坐標(biāo)系中，已知曲線C的方程為（），直線l的方程為.設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且，求r的值.18．（12分）設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，，為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（Ⅰ）若點(diǎn)在線段上，求的最小值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍.19．（12分）某市調(diào)硏機(jī)構(gòu)對(duì)該市工薪階層對(duì)“樓市限購(gòu)令”態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，抽調(diào)了50名市民，他們?cè)率杖腩l數(shù)分布表和對(duì)“樓市限購(gòu)令”贊成人數(shù)如下表：月收入（單位：百元）頻數(shù)51055頻率0.10.20.10.1贊成人數(shù)4812521（1）若所抽調(diào)的50名市民中，收入在的有15名，求，，的值，并完成頻率分布直方圖．（2）若從收入（單位：百元）在的被調(diào)查者中隨機(jī)選取2人進(jìn)行追蹤調(diào)查，選中的2人中恰有人贊成“樓市限購(gòu)令”，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．（3）從月收入頻率分布表的6組市民中分別隨機(jī)抽取3名市民，恰有一組的3名市民都不贊成“樓市限購(gòu)令”，根據(jù)表格數(shù)據(jù)，判斷這3名市民來自哪組的可能性最大？請(qǐng)直接寫出你的判斷結(jié)果．20．（12分）已知中，，，是上一點(diǎn)．（1）若，求的長(zhǎng)；（2）若，，求的值．21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若銳二面角的余弦值為，求直線與平面所成的角.22．（10分）的內(nèi)角、、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為、、，已知.（1）求的值；（2）若，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

設(shè)直線的方程為代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理可得,,由可知所以可得代入化簡(jiǎn)求得參數(shù),即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，（，）.易知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)為，則直線l的方程為.與拋物線方程聯(lián)立得，所以，.因?yàn)椋?，得，所以，即，，所?故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系,考查計(jì)算能力，屬于中檔題.2．D【解析】

由側(cè)棱與底面所成角及底面邊長(zhǎng)求得正棱錐的高，再利用勾股定理求得球半徑后可得球體積．【詳解】如圖，正三棱錐中，是底面的中心，則是正棱錐的高，是側(cè)棱與底面所成的角，即＝60°，由底面邊長(zhǎng)為3得，∴．正三棱錐外接球球心必在上，設(shè)球半徑為，則由得，解得，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查球體積，考查正三棱錐與外接球的關(guān)系．掌握正棱錐性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．C【解析】

根據(jù)程序圖，當(dāng)x<0時(shí)結(jié)束對(duì)x的計(jì)算，可得y值．【詳解】由題x=3，x=x-2=3-1，此時(shí)x>0繼續(xù)運(yùn)行，x=1-2=-1<0，程序運(yùn)行結(jié)束，得，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，是基礎(chǔ)題．4．A【解析】

利用特殊點(diǎn)的坐標(biāo)代入，排除掉C，D；再由判斷A選項(xiàng)正確.【詳解】，排除掉C，D；，，，.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的大致圖象問題，代入特殊點(diǎn)，采用排除法求解是解決這類問題的一種常用方法，屬于中檔題.5．B【解析】

利用乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)即可得到答案.【詳解】由已知，，所以，解得.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道容易題.6．B【解析】

解出，計(jì)算并化簡(jiǎn)可得出結(jié)論．【詳解】λ（），∴，∴，即點(diǎn)P在BC邊的高上，即點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過△ABC的垂心．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算在幾何中的應(yīng)用，根據(jù)條件中的角計(jì)算是關(guān)鍵．7．B【解析】

初始：，，第一次循環(huán)：，，繼續(xù)循環(huán)；第二次循環(huán)：，，此時(shí)，滿足條件，結(jié)束循環(huán)，所以判斷框內(nèi)填入的條件可以是，所以正整數(shù)的最小值是3，故選B．8．D【解析】

根據(jù)已知有，可得，只需求出的最小值，根據(jù)，利用基本不等式，得到的最小值，即可得出結(jié)論.【詳解】依題意知，與為函數(shù)的“線性對(duì)稱點(diǎn)”，所以，故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.又與為函數(shù)的“線性對(duì)稱點(diǎn)，所以，所以，從而的最大值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題以新定義為背景，考查指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算和圖像性質(zhì)、基本不等式，理解新定義含義，正確求出的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.9．D【解析】分析：因?yàn)轭}設(shè)中給出了的值，要求的值，故應(yīng)考慮兩者之間滿足的關(guān)系.詳解：由題設(shè)有，故有，所以，從而，故選D.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的表示方法，解題時(shí)注意根據(jù)問題的條件和求解的結(jié)論之間的關(guān)系去尋找函數(shù)的解析式要滿足的關(guān)系.10．C【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)模的定義及復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，屬于容易題.11．C【解析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可，【詳解】由題意可知幾何體的直觀圖如圖：上部是底面半徑為1，高為3的圓柱，下部是底面半徑為2，高為2的圓錐,幾何體的表面積為：，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求解幾何體的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.12．A【解析】試題分析：因?yàn)榈恼归_式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以，，令，則，.考點(diǎn)：1.二項(xiàng)式定理；2.組合數(shù)的計(jì)算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

化簡(jiǎn)得，利用周期即可求出答案．【詳解】解：，∴函數(shù)的最小正周期為6，∴，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14．【解析】

先換元，令，將原方程轉(zhuǎn)化為，利用參變分離法轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)的圖像交點(diǎn)，觀察圖像，即可求出．【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)解，令，所以方程在上只有一解，即有，直線與在的圖像有一個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是，但是當(dāng)時(shí)，還有一個(gè)根，所以此時(shí)共有3個(gè)根.綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的能力，方程有解問題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)的圖像有交點(diǎn)問題，是常見的轉(zhuǎn)化方式．15．【解析】

由已知利用兩角差的正弦函數(shù)公式可得，兩邊平方，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的正弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解．【詳解】，得，在等式兩邊平方得，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的正弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．16．【解析】

根據(jù)已知求出，利用向量的運(yùn)算律，求出即可.【詳解】由可得，則，所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查向量的模、向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．【解析】

先將曲線C和直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，可得圓心到直線的距離，再由勾股定理，計(jì)算即得.【詳解】以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，可得曲線C：（）的直角坐標(biāo)方程為，表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為r的圓.由直線l的方程，化簡(jiǎn)得，則直線l的直角坐標(biāo)方程方程為.記圓心到直線l的距離為d，則，又，即，所以.【點(diǎn)睛】本題考查曲線和直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，是基礎(chǔ)題.18．（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（1）由拋物線的性質(zhì)，當(dāng)軸時(shí)，最??；（2）設(shè)點(diǎn)，，分別代入拋物線方程和得到三個(gè)方程，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，利用判別式即可求出的范圍.【詳解】解：（1）由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，，根據(jù)拋物線的性質(zhì)，當(dāng)軸時(shí)，最小，最小值為，即為4.（2）由題意，設(shè)點(diǎn)，，其中，.則，①，②因?yàn)?，，，所?③由①②③，得，由，且，得，解不等式，得點(diǎn)縱坐標(biāo)的范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的方程和性質(zhì)和二次方程的解的問題，考查運(yùn)算能力，此類問題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等，易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)解.19．（1），頻率分布直方圖見解析；（2）分布列見解析，；（3）來自的可能性最大．【解析】

（1）由頻率和為可知，根據(jù)求得，從而計(jì)算得到頻數(shù)，補(bǔ)全頻率分布表后可畫出頻率分布直方圖；（2）首先確定的所有可能取值，由超幾何分布概率公式可計(jì)算求得每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，由此得到分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式可求得期望；（3）根據(jù)中不贊成比例最大可知來自的可能性最大.【詳解】（1）由頻率分布表得：，即．收入在的有名，，，，則頻率分布直方圖如下：（2）收入在中贊成人數(shù)為，不贊成人數(shù)為，可能取值為，則；；，的分布列為：．（3）來自的可能性更大．【點(diǎn)睛】本題考查概率與統(tǒng)計(jì)部分知識(shí)的綜合應(yīng)用，涉及到頻數(shù)、頻率的計(jì)算、頻率分布直方圖的繪制、服從于超幾何分布的隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的求解、統(tǒng)計(jì)估計(jì)等知識(shí)；考查學(xué)生的運(yùn)算和求解能力.20．（1）（2）【解析】

（1）運(yùn)用三角形面積公式求出的長(zhǎng)度，然后再運(yùn)用余弦定理求出的長(zhǎng).（2）運(yùn)用正弦定理分別表示出和，結(jié)合已知條件計(jì)算出結(jié)果.【詳解】（1）由在中，由余弦定理可得（2）由已知得在中，由正弦定理可知在中，由正弦定理可知故【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、三角形面積公式以及余弦定理，結(jié)合三角形熟練運(yùn)用各公式是解題關(guān)鍵，此類題目是?？碱}型，能夠運(yùn)用公式進(jìn)行邊角互化，需要掌握解題方法.21．（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由余弦定理解得，即可得到，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，即可得到，從而得證；（Ⅱ）在平面中，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則平面，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法得到二面角的余弦，即可得到的關(guān)系，從而得解；【詳解】解：（Ⅰ）證明：在中，，解得，則，從而因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嫠云矫?，又因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)?，，平面，平面，所以平面；（Ⅱ）解：在平面中，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則平面，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，則設(shè)平面的法向量為，則，即