2023年浙江省溫州市某中學(xué)中考三模數(shù)學(xué)試題（含答案與解析）

2023年浙江省溫州市第八中學(xué)中考三模試題

數(shù)學(xué)

親愛的同學(xué)：

歡迎參加考試！請你認真審題，積極思考，細心答題，發(fā)揮最佳水平.答題時，請注意以下幾

點：

1.全卷共4頁，有三大題，24小題.全卷滿分150分.考試時間120分鐘.

2.答案必須寫在答題紙相應(yīng)的位置上，寫在試題卷、草稿紙上均無效.

3.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題.

祝你成功！

一、選擇題（本題有10小題，每小題4分，共40分.每小題只有一個選項是正確的，不選、

多選、錯選均不給分）

1.5的相反數(shù)是（）

A.2B.--C.-2D.2

22

2.2022年10月12日，“天空課堂”第三課順利開講，感受航天科技魅力，激發(fā)青少年探索宇宙奧秘，

其中水球變“懶”實驗，當(dāng)天在新華網(wǎng)上點擊率約達到13000次，數(shù)據(jù)13000用科學(xué)計數(shù)法表示為（）

A.1.3xlO3B.1.3xl04C.1.3xlO5D.O.13xlO5

3.如圖是可移動的3層合唱臺階，其俯視圖是（）

4.下列運算正確的是（）

C.a6a2-o'D.cr+o'-o'

5.如圖，在?△ABC中，ZC=90°,48=10,BC=6,則sinA的值為()

4

D.

5

6.若x=3是關(guān)于x的一元二次方程f一〃a+3=0的一個根，則該方程的另一個根是（）

A.%=-1B.x=4C.x=1D.x=2

7.如圖，在一ABC中，。是AC上一點,以AO為直徑的半圓。恰好切CB于點B.連結(jié)80，若

NCBO=21。，則/C的度數(shù)為（）

C.46°D.48°

8.小八和小中進行1000米體育測試，小八的速度是小中的L25倍，小八比小中快了30秒,設(shè)小中的速度

為X米/秒.則所列方程正確的是（）

A,強3=3。10001000”

B.-------------------------二30

xxx1.25%

「10001000”

C.-------------------=30D.30x1.25x-30%=1000

1.25xx

9.二次函數(shù)y=or?一2ax，（〃，c是常數(shù),。。0）,下列選項正確的是（）

A.若圖象經(jīng)過（—1,1）,（8,8）,則〃<0.B.若圖象經(jīng)過（一1,1）,（3,1）,則q<0.

C.若圖象經(jīng)過（—1,1）,（-5,5）,則。>0.D.若圖象經(jīng)過(一1,1),(8,-8),則a>0.

10.將一個邊長為4的正方形ABC。分割成如圖所示的9部分，其中，ABE,BCF,；.CDG,DAH全等,

AEH,BEF,CFG,DGH也全等，中間小正方形ERG”的面積與.A3E面積相等，且是以A3

為底的等腰三角形，則的面積為（）

D.V2

二、填空題（本題有6小題，每小題5分，共30分）

11.分解因式：4m3—m=.

12.有4張背面相同的撲克牌，正面上的數(shù)字分別是6、7、8、9,若將這4張牌背面向上洗勻后，從中任

意抽取一張，那么這張牌正面上的數(shù)字是3的倍數(shù)的概率為.

2?

13,計算：三上2.工=—.

xyy

14.若扇形的圓心角為120°,半徑為3,則它的面積為.

2

15.如圖，矩形AOCB的兩邊4。與。。分別落在x軸負半軸與y軸正半軸上.反比例函數(shù)y=，（x<0）

與AB,BC分別交于。（一a,3）,E（-l,a+4）兩點.點P（〃〃）為y=：（x<0）上一點，P到直線BC

的距離不大于3,則點P的橫坐標〃?的取值范圍是.

16.如圖1所示，已知△ABC,tan3=l,tanC=2,BC=8,現(xiàn)將其分割成4塊，并通過旋轉(zhuǎn)和平移變

KH

換，拼成矩形GH〃（如圖2所示），其中KL的長為,若A為乩的中點，則——的值為

HL

圖2

三、解答題（本題有8小題，共80分.解答需寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程）

17.計算題

⑴計算：4+（萬-3.14）°-卜2|+

’2(1-x)<4

（2）解不等式組《巴>2并把解集表示在數(shù)軸上.

I2

^4^33~~H61234

18.如圖，己知4X4的菱形斜網(wǎng)格，每個小菱形的邊長為1,菱形較小的角為60。.己知格點尸，請根據(jù)下

列要求畫格點圖形（圖形的頂點都在格點上）.

/Pf//////fy/////

圖I圖2

（1）在圖1中畫一個以P為直角頂點，且面積大于26的直角三角形.

（2）在圖2中畫出一個以P為頂點，且邊長為無理數(shù)的等邊三角形.

19.如圖，在ABC和，ECD中，NABC=NEDC=90°,點8為CE中點，BC=CD.

(1)求證：△ABC?△ECO.

(2)若CD=2,求AC的長.

20.某校抽取部分學(xué)生對A,B兩所食堂分別進行滿意度調(diào)查，學(xué)生均從6分，7分，8分，9分，10分選

擇一個分值給予評價，并將結(jié)果繪制成如下兩個統(tǒng)計圖.

4食堂評分情況統(tǒng)計圖3食堂評分情況扇形統(tǒng)計圖

10分

0%分

9分6

25%

15%

30%20%

8分7分

（1）分別求出這部分學(xué)生對A食堂與B食堂評分的平均數(shù).

（2）請結(jié)合所學(xué)的統(tǒng)計知識（多個角度），評選出學(xué)生更喜歡的食堂，并給出理由.

21.如圖，拋物線丁=的2-2處一6,C為y軸正半軸上一點，過點C作軸交拋物線于點A,B（A

在8的左側(cè)），且OC=2,AB=6.

（1）求該拋物線的對稱軸及函數(shù)表達式.

（2）當(dāng)最大值與最小值的差是9,求f的取值范圍.

22.如圖，在菱形ABCQ中，卬皿<90。，點E為AC上一點（A￡<EC）,連接DE，作B/〃交

AC于￡連接BE,DF.

（1）求證：四邊形戶為菱形.

（2）記菱形ABC。的面積為菱形。EBF面積為S?.若=tan/D4E=；,y=3.求

AO的長.

23.根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù):

素材一：圖1是某款遮陽蓬，圖2是其側(cè)面示意圖，點A,。為墻壁上固定點，搖臂02繞點。旋轉(zhuǎn)

過程中，遮陽蓬A(yù)B可自由伸縮，蓬而始終保持平整.如圖2,NAO3=90°,04=08=1.5米.

素材2：某地區(qū)某天下午不同時間的太陽高度角a（太陽光線與地面的夾角）的正切值參照表:

時刻12點13點14點15點

3

角a的正切值421

4

素材3：小明身高（頭頂?shù)降孛婢嚯x）約為1米，如圖2,小明所站的位置離墻角的距離（QN）為

1.2米.

問題解決

這天12點，小明所站位置剛好不被陽光照射到，請求固定點O到墻角的距離

任務(wù)1確定圖度

（OQ）的長.

如圖2,為不被陽光照射到，旋轉(zhuǎn)搖臂。B,8的對應(yīng)點為g，使得后離墻壁

判斷否碰到

任務(wù)2距離為1.2米，在這天15點時，小明退至剛好不被陽光照射到的地方，請判

蓬面

斷他的頭頂是否會碰到遮陽蓬面？

如圖3,不改變6的位置，小明打算在這天12-14點之間在遮陽蓬下休息，為

任務(wù)3探究合理范圍

使得全程不被陽光照射到，又不會碰到遮陽蓬面，求小明所站位置離墻角距

離（QN）的范圍.

24.如圖1,在中，ZC=90°.動點。從點A向點B運動，動點E從點C向A運動，兩點同時

出發(fā)，當(dāng)點。到達點8時，點E正好到達點A.作VADE的外接圓O,直線BE交圓。于另一點F.連結(jié)

（1）求AC,AB的長.

（2）如圖2,連結(jié)尸。，當(dāng)NAED+NEE4=90°時.

①求證：AFADsgCE.

②求圓。的半徑.

（3）在運動過程中，若直線80經(jīng)過△AEE一邊的中點，求x的值.

參考答案

一、選擇題（本題有10小題，每小題4分，共40分.每小題只有一個選項是正確的，不選、

多選、錯選均不給分）

1.5的相反數(shù)是（）

A.2B.C.—2D.—

22

【答案】B

【解析】

【分析】直接根據(jù)相反數(shù)定義解答即可.

【詳解】解：J的相反數(shù)是-

22

故選B.

【點睛】本題主要考查了相反數(shù)的定義，掌握相反數(shù)的概念成為解答本題的關(guān)鍵.

2.2022年10月12日，“天空課堂”第三課順利開講，感受航天科技魅力，激發(fā)青少年探索宇宙的奧秘,

其中水球變“懶”實驗，當(dāng)天在新華網(wǎng)上點擊率約達到13000次，數(shù)據(jù)13000用科學(xué)計數(shù)法表示為（）

A.1.3x103B.1.3xl04C.1.3x105D.0.13xl05

【答案】B

【解析】

【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)，形式為axlO",其中1＜忖＜10,〃=原數(shù)整數(shù)位數(shù)

減去1.

【詳解】13000=1.3xl04;

故選B.

【點睛】本題考查科學(xué)記數(shù)法，掌握ax10"中〃的確定方法是解題的關(guān)鍵.

3.如圖是可移動的3層合唱臺階，其俯視圖是（）

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)俯視圖是從上向下看得到的圖形判斷即可.

可移動的3層合唱臺階的俯視圖是三個豎著排列的矩形,

故選：D.

【點睛】本題考查了三視圖，解題關(guān)鍵是明確俯視圖是如何得到的.

4.下列運算正確的是()

A.(-tz)--a1=(/B.(―2tz)3=-6a3C.a64-a2=a3D.a2+(j3=a5

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)合并同類項法則、積乘方法則、同底數(shù)累的除法法則、同底數(shù)案的乘法法則分別計算，即可

得出正確答案.

【詳解】解：A.(―4)2./=。2.“4=。6,故該選項正確；

B.(-2。丫=-8/,故該選項錯誤；

C.故該選項錯誤；

D./與/不是同類項，不能合并，故該選項錯誤.

故選：A.

【點睛】本題考查合并同類項、積的乘方、同底數(shù)幕的乘除，熟練掌握各項運算法則是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，在放AABC中，NC=90。，48=10,BC=6,則sinA的值為()

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解答即可.

【詳解】解：在&ZVIBC中，NC=90。，AB=10,BC=6,

故選：c.

【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的正弦，余弦，正切是解題的關(guān)鍵.

6.若X=3是關(guān)于X的一元二次方程f一〃a+3=0的一個根，則該方程的另一個根是（）

A.%=—1B.x=4C.x=lD.x=2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)兩根之積等于3即可求解.

【詳解】解：x=3是關(guān)于x一元二次方程必—g+3=0的一個根，設(shè)該方程的另一個根是不，

則3%=3,解得x,-1,

故選：C.

【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，解題關(guān)鍵是根據(jù)兩根之積等于3列出方程.

7.如圖，在中，。是AC上一點，以AD為直徑的半圓O恰好切CB于點B.連結(jié)30,若

NC6D=21。，則,C的度數(shù)為（）

【答案】D

【解析】

【分析】利用切線的性質(zhì)求得N0BO的度數(shù)，利用等腰三角形的性質(zhì)求得NQD3的度數(shù)，最后根據(jù)三角

形的外角性質(zhì)即可求解.

?；CB是半圓。的切線,

，NO3C=90°,

,/NCBD=21。,

：.NOB。=90°-21°=69°,

OB-OD,

NOBD=4）DB=g0,

ZC=ZODB-Z.CBD=48°,

故選：D.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，掌握“圓的切線垂直于過切點的半徑”是解題的關(guān)鍵.

8.小八和小中進行1000米體育測試，小八的速度是小中的1.25倍，小八比小中快了30秒，設(shè)小中的速度

為x米/秒.則所列方程正確的是（）

125010002100010002

A.----------------=30B.-----------------=30

xx尤].25x

C.1222---^22=30D.30xl.25x-30x=1000

1.25xx

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)小八的速度是小中的L25倍，小八比小中快了30秒，列出方程即可.

【詳解】解：設(shè)小中的速度為x米/秒，根據(jù)小八的速度是小中的L25倍，小八比小中快了30秒，列方程

故選:B.

【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是準確把握題目中的數(shù)量關(guān)系，找準等量關(guān)系列出方程.

9.二次函數(shù)y=℃2—2av+c,（a,c是常數(shù)，aHO）,下列選項正確的是（）

A.若圖象經(jīng)過（—1,1）,（8,8）,則〃<0.B.若圖象經(jīng)過（—1,1）,（3,1）,則a<0.

C,若圖象經(jīng)過（—1,1）,（-5,5）,則a>0.D.若圖象經(jīng)過（—1,1）,（8,-8）,則a>（）.

【答案】C

【解析】

【分析】依次對四個選項建立方程組，解方程組求出a的值即可得到答案.

【詳解】解：A.若圖象經(jīng)過（一1,1）,（8,8）,則1，，，解得a=一，不符合題意;

''v7[8=64a-16a+c45

1=Q+2。+C

B.若圖象經(jīng)過(3,1),則＜,得3Q+C=1,不符合題意;

1=9a—6a+c

C.若圖象經(jīng)過(一1,1),(-5,5),則.

a+2a+c9

D.若圖象經(jīng)過(一1,1),(8,-8),貝卜，解得—一，不符合題意;

-8=64。-16a+c

故選：C.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的待定系數(shù)法和解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法.

10.將一個邊長為4的正方形A8CQ分割成如圖所示的9部分，其中..ABE,—BCR.COG,.DAH全等，

AEH,BEF,CFG.OG”也全等，中間小正方形EFG”的面積與，ABE面積相等，且4跖是以A3

為底的等腰三角形，則△△國的面積為()

AD

【答案】C

【解析】

【分析】連結(jié)EG并向兩端延長分別交A3、CD于點M、N,連結(jié)“/，證明CQG為等腰三角形，證

得EM八AB,GNACD,EM=GN,設(shè)EM=GN=x,則EG=FH=4-2x,根據(jù)正方形

11,

EFG”的面積與，ABE面積相等，列出二?4x-(4-2x)?即可解得.

22

【詳解】解：如圖，連結(jié)EG并向兩端延長分別交A6、8于點M、N,連結(jié)

???四邊形EFG”為正方形，

:.EG=FH,

；AABE是以AB為底的等腰三角形，

AE=BE，則點E在AB的垂直平分線上，

ABE—CDG,

，.CDG為等腰三角形，

：.CG=DG,則點6在8的垂直平分線上，

?.?四邊形ABC。為正方形，

的垂直平分線與CO的垂直平分線重合，

，MN即為A3或CD的垂直平分線，

則EA"AB,GN八CD,EM=GN,

?.?正方形ABC。的邊長為4,即AB=CD=A￡>=4,

MN-4,

設(shè)EM=GN=x,則EG=E7/=4-2x,

?:正方形EEGH的面積與.ABE面積相等，

即g?4x^(4-2x>,解得：％=i,/=4,

?.?x=4不符合題意，故舍去，

?,.X=1,則S正方形ER”=S人m=5乂4乂1=2，

??,ABE，ABCF,CDG,DAH全等,

???q0ABE_一q°BCF_-qUCDG_~s0.DAH-~?乙，

???正方形A5CO的面積=4x4=16,AAEH,ABEF,ACFG,^DGH也全等,

AEH=Z（S正方彩BAC。1S正方形EFGHTS,人座）=7X（16—2—4X2）=],

故選：c.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求得，ABE的

面積.

二、填空題（本題有6小題，每小題5分，共30分）

11.分解因式：4機3—機=.

【答案】m（2m+l）（2/72—1）

【解析】

【分析】先提公因式，再用平方差公式法分解因式.

【詳解】解：4m3-m

=-1）

=m（2m+l）（2/n—1）

故答案為：m（2m+l）（2m-l）.

【點睛】本題考查了提公因式法和公式法分解因式，因式分解的步驟一般是：先考慮提公因式法，再考慮

公式法，熟練掌握多項式的因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

12.有4張背面相同的撲克牌，正面上的數(shù)字分別是6、7、8、9,若將這4張牌背面向上洗勻后，從中任

意抽取一張，那么這張牌正面上的數(shù)字是3的倍數(shù)的概率為.

【答案】^-##0.5

【解析】

【分析】由有4張背面相同的撲克牌，正面上的數(shù)字分別是6、7、8、9,是3的倍數(shù)的有6,9,直接利用

概率公式求解即可求得答案.

【詳解】解：有4張背面相同的撲克牌，正面上的數(shù)字分別是6、7、8、9,是3的倍數(shù)的有6,9,

21

???這張牌正面上的數(shù)字是3的倍數(shù)的概率為：-=

42

故答案為：y.

【點睛】此題考查了概率公式的應(yīng)用.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

27

13.計算：土上.工

孫x+y

【答案】y

【解析】

【分析】通過提公因式法，約分化簡即可.

x(x+y)v2

【詳解】解：原式=△~=y

孫x+y

故答案為：y.

【點睛】本題主要考查的是分式化簡，掌握提公因式法是解題的關(guān)鍵.

3

14.若扇形的圓心角為120°,半徑為二，則它的面積為.

2

【答案】T34

【解析】

【分析】根據(jù)扇形面積公式計算即可.

【詳解】解：扇形的圓心角為120。，半徑為之，則它的面積為12°”X(2『3萬，

2----------=——

3604

37r

故答案為：?

4

【點睛】本題考查了扇形面積公式，解題關(guān)鍵是熟記扇形面積公式，準確進行計算.

k

15.如圖，矩形AOCB的兩邊A。與OC分別落在x軸負半軸與y軸正半軸上.反比例函數(shù)y=](x<0)

與AB,分別交于。(一a,3),七(一1,。+4)兩點.點2(根,〃)為丁=：(*<0)上一點，P到直線BC

的距離不大于3,則點P的橫坐標m的取值范圍是.

2

【答案】-2<加工一§

【解析】

【分析】先求出反比例函數(shù)解析式，再根據(jù)圖象確點P的橫坐標，"的取值范圍即可.

k

詳解】解：?.?反比例函數(shù)y=-（尤<0）與AB8C分別交于。（一a,3）,￡（-1,。+4）兩點，

X

—3a——1（〃+4）,

解得，a=2f

點。的坐標為（-2,3），點E的坐標為（一1,6）,

二反比例函數(shù)解析式為>=—■|（尤<0）

2

當(dāng)〃=9時，m=一一，此時，尸到直線BC的距離等于3,

3

當(dāng)點P和點。重合時，P到直線距離等于3,

所以，點P的橫坐標〃7的取值范圍是一2<m<—彳，

3

2

故答案為：—2<mK-二.

3

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是求出反比例函數(shù)解析式及點。坐標.

16.如圖1所示，已知△ABC,tan/?=l,tanC=2,BC=8,現(xiàn)將其分割成4塊，并通過旋轉(zhuǎn)和平移變

換，拼成矩形G”〃（如圖2所示），其中KL的長為,若A為此的中點，則”的值為.

4

【答案】①.4②.）

【解析】

【分析】利用平移、中心旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，找出對應(yīng)相等的邊與角，再結(jié)合三角函數(shù)的定義即可求解.

【詳解】解：如圖2,由圖形平移與旋轉(zhuǎn)的特性可知，

KL=DE,KA=BD,AL=EC,

：.BC=BD+DE+EC

=(BE+EC)+DE

=KA+AL+DE

=KL+DE=KL+KL=2KL.

'：BC=8,

KL=—xBC=—x8=4.

22

如下圖，設(shè)A5與GE交于點O,過點。作。垂足為"，過點A作AQJ.BC,垂足為Q.則

OH//AQ.

因tan3=1,故可設(shè)OH=BH=a,由圖形的旋轉(zhuǎn)性可知。為AB的中點,

因OH//AQ,則HQ=BH=a,

因tanC=2,

故在直角-ACQ中，AQ=2QC,

由tanb=l可知，BQ=AQ,

即3H+"Q=2QC,

由可知，BH=HQ=QC=a.

由前面推證，KL=-BC,KL=2AL=2EC,

2

Iii3

：,EC=-BC=-(BH+HE+EC)=r3a=-a.

35

HE=HC-EC=HQ+QC-EC=a+a—a——a.

~44

/八OHa4

q士人人,tan/OEH=----=——二—

在直角△O//E中，HE55.

a

4

由平移性可知，ZOEH=ZHLK,

，tanZHLK=tanZOEH,

4

；.tan/HLK=—,

5

.KH4

??----=一.

HL5

,4

故答案為：4；—.

【點睛】本題考查了三角函數(shù)的運用、平移與中心旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)等相關(guān)知識點，解題關(guān)鍵是

運用等角的正切相等這一性質(zhì).

三、解答題（本題有8小題，共80分.解答需寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程）

17.計算題

（1）計算："+（萬-3.14）°-卜2|

2（l-x）<4

（2）解不等式組Ix+3，并把解集表示在數(shù)軸上.

——>2

I2

-4-3-2-101234

【答案】（1）-7

（2）不等式組的解集為X>1,見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)二次根式的計算，零指數(shù)累、絕對值、負整數(shù)指數(shù)事分別化簡，再計算即可;

（2）分別解每個不等式，然后根據(jù)同大取大，同小取小，大小小大中間找求解即可.

【小問1詳解】

解：原式=2+1-2+（-8）

=-7

【小問2詳解】

2（1）<4①

解：衛(wèi)>2②

I2

解不等式①得：%>-1；

解不等式②得：x>l

...不等式組的解集為尤＞1,

在數(shù)軸上表示如下所示:

-4-3-2-10234【點睛】題目主要考查實數(shù)的

混合運算和不等式組，掌握運算法則是關(guān)鍵.

18.如圖，已知4X4的菱形斜網(wǎng)格，每個小菱形的邊長為1,菱形較小的角為60。.已知格點P,請根據(jù)下

列要求畫格點圖形（圖形的頂點都在格點上）.

（1）在圖1中畫一個以P為直角頂點，且面積大于2百的直角三角形.

（2）在圖2中畫出一個以P為頂點，且邊長為無理數(shù)的等邊三角形.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)含有60。角的菱形特點，連接PM、PN,MN即可;

（2）根據(jù)網(wǎng)格特點，連接小、A3、尸3即可.

【小問1詳解】

解：如圖，連接PM、PN,MN,則.PW即為所求；

如圖，菱形ABCD中對角線AC、BO交于點O,

?.?四邊形ABC。為菱形，

:.AB=BC=CD=DA=1,AC1BD,ZABC=60°,ZABD=ZCBD=-ZABC=30°,

2

ABAC=ZDAC=-ZBAD=60°,

2

_ABC為等邊三角形，

AC=AB=1,

AO=-AC=-,

22

???ZAOB=90°,

，BO=yjAB2-AO2=—,

2

/.BD=2BO=V3，

???4x4的菱形斜網(wǎng)格，每個小菱形的較長對角線長為75,較短的對角線長為1，較長對角線與邊的夾角為

30°,角短對角線與邊的夾角為60°,

:?PM=30，PN=2,ZMPN=300+60°=90。，

SPMN=〈PMxPN=；x2x3g=3g>2百；

【小問2詳解】

解：連接抬、A3、PB,則.2鉆即為所求作的等邊三角形；

過點P作PE_LA/于點E，連接BC,

在RtZ\PFE中，F(xiàn)E=PFxcos600=2x』=1,

2

PE=PFxsin60°=2x±=G

2

.?.點E在格點上，

???AE=AF-FE=2,

在RtPAE中APuy/PE2+AE?=5，

根據(jù)網(wǎng)格特點，BC=PE,NBCP=NPEA=90°,PC=AE,

,BCP^PE4（SAS）,

:.PB=PA=不,NCPB=NPAE,

'：AFPA+ZPAF=180°-ZPFE=120°,

ZFPA+ZCPB=ZFPA+ZPAF=120°,

/.ZAPB=180°-（NFR4+NCPB）=60°,

Q43為等邊三角形，且邊長為近.

【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，等邊三角形

的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握含有60度角的菱形特點.

19.如圖，在」WC和々EC。中，NABC=NEDC=90°,點B為CE中點"BC=CD.

（1）求證：△ABC/△ECD.

（2）若8=2,求AC的長.

【答案】（1）見解析（2）4,見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)ASA判定即可；

(2)根據(jù)△ABCAECD(ASA)和點8為CE中點即可求出.

【小問1詳解】

證明：VZABC=ZEDC=90°,BC=CD,NC=NC,

AABC^AECD(ASA)

【小問2詳解】

解：???CE>=2,△ABC絲△ECD(ASA),

:.BC=CD=2,AC=CE,

???點8為CE中點，

BE=BC=CD=2,

CE=4,

AC=4；

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定條件是解答本題的關(guān)鍵.

20.某校抽取部分學(xué)生對A,B兩所食堂分別進行滿意度調(diào)查，學(xué)生均從6分，7分，8分，9分，10分選

擇一個分值給予評價，并將結(jié)果繪制成如下兩個統(tǒng)計圖.

8食堂評分情況扇形統(tǒng)計圖

(1)分別求出這部分學(xué)生對4食堂與B食堂評分的平均數(shù).

(2)請結(jié)合所學(xué)的統(tǒng)計知識(多個角度)，評選出學(xué)生更喜歡的食堂，并給出理由.

【答案】(1)7.8,7.65

(2)學(xué)生更喜歡的食堂是A食堂；理由見解析

【解析】

【分析】(1)求出總?cè)藬?shù)，再根據(jù)加權(quán)平均數(shù)計算即可；

(2)根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)等數(shù)據(jù)信息給出答案即可.

【小問1詳解】

解：對A食堂評分的平均數(shù)為：

__40x6+20x7+40x8+30x9+20x10§

40+20+40+30+20

對8食堂評分的平均數(shù)為：

_25%x6+20%x7+30%x8+15%x9+10%xl0…

xR=--------------------------------------=7.65.

B100%

【小問2詳解】

解：學(xué)生更喜歡的食堂是A食堂；

理由如下：對A食堂評分的中位數(shù)是8,對3食堂評分的中位數(shù)是8,

對4食堂評分的眾數(shù)是8和6,對B食堂評分的眾數(shù)是8,

對A食堂評分的平均數(shù)為7.8，對B食堂評分的平均數(shù)為7.65,

所以學(xué)生更喜歡的食堂是A食堂.

【點睛】本題考查了數(shù)據(jù)的描述與分析，解題關(guān)鍵是準確從統(tǒng)計圖中獲取信息，正確計算和判斷.

21.如圖，拋物線y=/nx2-2/nx-6,C為y軸正半軸上一點，過點C作軸交拋物線于點A,B(A

在8的左側(cè))，且OC=2,AB=6.

(1)求該拋物線的對稱軸及函數(shù)表達式.

(2)當(dāng)最大值與最小值的差是9,求f的取值范圍.

【答案】(1)x=l；y=f-2x—6

(2)I<r<4

【解析】

【分析】(1)根據(jù)拋物線的對稱軸公式直接求出對稱軸，再根據(jù)對稱軸求出點A的坐標，利用待定系數(shù)法即

可求出函數(shù)的表達式；

(2)先求出拋物線的頂點坐標，根據(jù)二次函數(shù)圖形的性質(zhì)，針對，<1,和，>4三種情況進行分析

即可得到答案.

【小問1詳解】

l-x

解：拋物線的對稱軸為：x=-一=一^=1,即X=l；

2a2m

如下圖所示，設(shè)對稱軸x=l交A3于點E,交x軸于點F,設(shè)拋物線頂點為。,

:對稱軸x=l,OC-2,AB=6,

AE=BE=3,CE=OF=1,

：.AC=2,BC=4

AA（-2,2）,b（4,2）,

將A（—2,2）代入拋物線的解析式得：2=4〃z+4m—6,

解得m=l,

拋物線的解析式為：y=x2-2x-6；

【小問2詳解】

解：：y=%2-2x—6=（x—1）~-7,

；?拋物線的頂點為。,一7）,

當(dāng)x=-2時，y=4+4—6=2,即為點A（-2,2）,

?.,頂點為。（1,一7）,

...當(dāng)r<l時，y>-~1,

最大值與最小值的差是不等于9,

當(dāng)1WAW4時，

最大值為4（-2,2）,最小值為點0（1,-7）,最大值于最小值相差為9,

當(dāng)f>4時，最大值大于2,

此時，最大值于最小值相差不等于9,

...當(dāng)-2<x4r,最大值與最小值的差是9,r的取值范圍為：1</<4

【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握對稱軸的公式和二次函數(shù)的圖像性質(zhì).

22.如圖，在菱形ABC。中，ND48<90。，點E為4c上一點(AE<EC),連接OE，作BF〃DE交

AC于F.連接BE,DF.

B

(1)求證：四邊形為菱形.

(2)記菱形A6C。的面積為3,菱形。仍尸面積為邑.若￡>E=JI5，tan/DAE=g，5=3.求

2X

AO的長.

【答案】(1)見解析.

⑵3君.

【解析】

【分析】(1)如圖，連接30，由菱形ABCD知，OA=OC,OB=OD,BD±AC,AD=BC,求證

一DEAMBFC,進一步證得OE=O/，所以四邊形。反尸為菱形；

(2)如圖，由菱形面積公式及性質(zhì)可得S1=2Q4。。，S2=2OE.OD,結(jié)合苦=3,推出

OA=3OEiRt0Ao中，tanND4E=」推出型=,，于是。。=2。七；由勾股定理，Rt_OED中

20A22

OE=2,凡。4￡>中4。=3石.

【小問1詳解】

如圖，連接80，交AC于點。，

B

?.?四邊形ABC。是菱形

/.0A=OC,OB=OD,BD±AC,AD=BC

VBF//DE,AD//BC

：.ZDEO=ZBFO,NDAE=NBCF

：.ZDEA-ZBFC

,DEA=BFC(AAS)

：.AE^CF

OA-AE=OC-CF

，OE=OF

，四邊形OEBE為菱形

【小問2詳解】

如圖，

S,=-AC-BD=-x20Ax20D=2040。

122

S,=-EF?BD=-x2OEx20D=20E-0D

222

..5,__

"

"52

2OA.OD=3x2OE^OD

：.OA=3OE

RtQ4O中，tanZDAE=-

2

,OD

"~OA~2

13

OD=-OA=-OE

22

Rt_OED中,DE2^OD2+OE2

；.(而)2=(—OE)2+OE2,解得。E=2

2

:.OA=6,OD=3

Rt□中，AD=y/o^+OD2=V62+32=375-

【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)和判定、全等三角形，勾股定理；靈活利用題干條件，根據(jù)面積公式、三角

函數(shù)定義確定線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

23.根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù):

素材一：圖1是某款遮陽蓬，圖2是其側(cè)面示意圖，點A,0為墻壁上的固定點，搖臂繞點。旋轉(zhuǎn)

素材2：某地區(qū)某天下午不同時間的太陽高度角a（太陽光線與地面的夾角）的正切值參照表:

時刻12點13點14點15點

3

角a的正切值421

4

素材3：小明身高（頭頂?shù)降孛娴木嚯x）約為1米，如圖2,小明所站的位置離墻角的距離（QN）為

1.2米.

問題解決

這天12點，小明所站位置剛好不被陽光照射到，請求固定點O到墻角的距離

任務(wù)1確定高度

（OQ）的長.

判斷是否碰到如圖2,為不被陽光照射到，旋轉(zhuǎn)搖臂。B,8的對應(yīng)點為夕，使得夕離墻壁

任務(wù)2

蓬面距離為1.2米，在這天15點時，小明退至剛好不被陽光照射到的地方，請判

斷他的頭頂是否會碰到遮陽蓬面？

如圖3,不改變8'的位置，小明打算在這天12-14點之間在遮陽蓬下休息，為

任務(wù)3探究合理范圍使得全程不被陽光照射到，又不會碰到遮陽蓬面，求小明所站位置離墻角距

離（QN）的范圍.

4

【答案】1.2米；會碰到遮陽蓬面；0<QN<?米，

【解析】

【分析】任務(wù)1,作M0LOB于解直角三角形即可；任務(wù)2,類比任務(wù)1的方法，求出GN的長，和

小明身高比較即可；任務(wù)3,分別求出12點、14點時，小明所站位置離墻角距離（QN）即可.

【詳解】解：任務(wù)1,作于

所以，四邊形QOMN是矩形，

根據(jù)題意得，OM=QN=1.2米，

因為。4=08=1.5米，

所以A73=0.3米，

12點太陽高度角a（太陽光線與地面的夾角）的正切值是4,

所以"生=4,解得"N=OQ=1.2米.

BM

任務(wù)2,作BN_LAQ于尸，NGLQN,交04于G,FB'于H，