北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊各章知識(shí)點(diǎn)

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北師版八年級(jí)數(shù)學(xué)第1章勾股定理

一.知識(shí)歸納

1.勾股定理

內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；

表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為。，b,斜邊為C,那么02+/=/

勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理.我國古代把直角三角形中較

短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了"勾

三，段四，弦五"形式的勾股定理，后來人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的

平方和等于斜邊的平方

2.勾股定理的證明

勾設(shè)定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法

用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是

①圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后,只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變

②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理

常見方法如下：

方法—：4SA+S正方形￡松〃=5正方物8s，4xg"+S-〃)2=c2,化簡可證?

D___________________

方法二:

四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.

四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為S=4XLb+=2"+d

2

大正方形面積為S=(a+b)2=a2+2ab+tr

所以/+〃=/

方法三：S梯形=g(a+〃)?(a+b),5梯形=電皿+5衡=21必+家，化簡得證

3.勾股定理的適用范圍

勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍

角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對象是直角三角形

4.勾股定理的應(yīng)用

①已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊

在A4BC中,ZC=90°,則」=，？+從,b=y/c2_a2,〃=后一從

②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系

③可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題

5.勾股定理的逆定理

如果三角形三邊長〃，b，。滿足/+/=/,那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中C為斜邊

①勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過"數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確

定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和/+〃與較長邊的平方作比較，若它們

相等時(shí)，以。，b,C為三邊的三角形是直角三角形；若/+從，時(shí)，以〃，b,。為三邊的三角形是

鈍角三角形；若/+從>°2，時(shí)，以。,C為三邊的三角形是銳角三角形；

②定理中〃，b，。及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長”,b.C

滿足/+。2=從，那么以4,b，，為三邊的三角形是直角三角形，但是人為斜邊

③勾股定理的逆定理在用問題描述時(shí)，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角

形是直角三角形

6.勾股數(shù)

①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，4,b,C為正整數(shù)時(shí)，

稱4,b,C為一組勾股數(shù)

②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等

③用含字母的代數(shù)式表示〃組勾股數(shù)：

?2-1,2/7,n2+1（2,〃為正整數(shù)）：

2〃+1,2〃2+2〃,2〃2+2〃+1（n為正整數(shù)）

m2-n1,2nm,ni2+n2（m>n,m,〃為正整數(shù)）

7.勾股定理的應(yīng)用

勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題.在使

用勾股定理時(shí)，必須把握直角三角形的前是條件,了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運(yùn)用

勾股定理進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求

解.

8??勾股定理逆定理的應(yīng)用

勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體

推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊

的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論.

9.勾股定理及其逆定理的應(yīng)用

勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個(gè)整體.通常既要通過逆

定理判定一個(gè)三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決.

常見圖形：

A

BD

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第二章實(shí)數(shù)

1.無理數(shù)的引入。無理數(shù)的定義無限不循環(huán)小數(shù)。

算術(shù)平方根定義如果一個(gè)非負(fù)數(shù)X的平方等于小即野=〃

那么這個(gè)非負(fù)處就叫做。的算術(shù)平方根，記為右,

算術(shù)平方根為非負(fù)數(shù)人之0

正數(shù)的平方根有2個(gè)，它們互為相反數(shù)

平方根4o的平方根是

負(fù)數(shù)沒有平方根

2.無理數(shù)的表示,定義：如果一個(gè)數(shù)的示方等于小即1=小那么這個(gè)數(shù)就

叫做。的平方根，記為±筋

正數(shù)的立方根是正數(shù)

立方根4負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)

o的立方根是o

定義：如果一個(gè)數(shù)X的立方等于原即E=a,那么這個(gè)數(shù)X

就叫做4的立方根，記為必.

概念有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)

正數(shù)

有理數(shù)一

分類或彳0

無理數(shù)'

負(fù)數(shù)

3.實(shí)數(shù)及其相關(guān)概念

絕對值、相反數(shù)、倒數(shù)的意義同有理數(shù)

實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)

實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則、運(yùn)算規(guī)律與有理數(shù)的運(yùn)算法則

運(yùn)算規(guī)律相同。

一、實(shí)數(shù)的概念及分類

1、實(shí)數(shù)的分類

正有理數(shù)

有理數(shù)0有限小數(shù)與無限循環(huán)小數(shù)

負(fù)有理數(shù)正實(shí)數(shù)

正無理數(shù)實(shí)數(shù)＜

無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)0

負(fù)無理數(shù)負(fù)實(shí)數(shù)

自然數(shù)（0,1,2,3???）

負(fù)整數(shù)（T-2,-3…）

有理數(shù)＜’正分?jǐn)?shù)（1,2.?.）（整數(shù),有限小數(shù).無限循環(huán)小數(shù)）

實(shí)數(shù).分?jǐn)?shù)（小數(shù)）,23

負(fù)分?jǐn)?shù)4，_|…）

無理數(shù)仁饕翁（無限不循環(huán)小數(shù)）

［負(fù)有理數(shù)

2、無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。

在理解無理數(shù)時(shí)，要抓住“無限不循環(huán)”這一時(shí)之，歸納起來有四類：

（1）開方開不盡的數(shù)，如正，正等根號(hào)a（a為非完全平方數(shù)或非立方數(shù)）。

ji

（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率Ji（Ji=3.14159265-）,或化簡后含有兀的數(shù)，如一+8等；

3

（3）有特定結(jié)構(gòu)的數(shù),如0.1010010001…；0.585885888588885...（相鄰兩個(gè)5之間8的個(gè)數(shù)逐次

加1等；

（4）某些三角函數(shù)值，如sin60“等；

二、實(shí)數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對值

1、相反數(shù)

實(shí)數(shù)與它的相反數(shù)時(shí)一對數(shù)（只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零），從數(shù)軸上

看，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0,a=-b,反之亦

成立c

2、絕對值

在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，叫做該數(shù)的絕對值。（|a|^0）o零的絕對值是它本身，

也可看成它的相反數(shù)，若la=a,則a20；若|a|=-a,則aWO。

3、倒數(shù)

如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=l,反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和7。零沒有倒數(shù)。

4、數(shù)軸

規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時(shí)，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。

解題時(shí)要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實(shí)數(shù)與數(shù)軸的點(diǎn)是一一對應(yīng)的，并能靈活運(yùn)用。

5、估算.注意：（1）近似計(jì)算時(shí)，中間過程要多保留一位；

（2）要求記憶：V2=1.4146=1.7326=2.236

三、平方根、算數(shù)平方根和立方根

1.平方根和算術(shù)平方根：

（1）概念：如果戈2=。，那么X是。的平方根，記作：土右；讀作“正、負(fù)根號(hào)

其中正叫做。的算術(shù)平方根，讀作根號(hào)。。

（2）性質(zhì)：①當(dāng)。20時(shí)，G20：當(dāng)〃V0時(shí)，夜無意義;

②（6『=〃；③"=同o（區(qū)分②、③）

性質(zhì)：正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個(gè)，零的算術(shù)平方根是零。

性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。

（3）開平方：求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方。

a>0（開平方的被開方數(shù)的條件）

注意y[a的雙重非負(fù)性:

\[a>0（算術(shù)平方根的非負(fù)性）

2.立方根:

（1）概念：若丁二。，那么X是。的立方根（或三次方根），記作：網(wǎng)；

（2）性質(zhì)：①=②（也）=a；③^/^=一媯

性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根：一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；零的立方根是零。

注意：右=-右，這說明三次艱號(hào)內(nèi)的負(fù)號(hào)可以移到根號(hào)外面。

區(qū)分：平方根、立方根的性質(zhì)

根源：開平方是平方的逆運(yùn)算；開立方是立方的逆運(yùn)算。正數(shù)和負(fù)數(shù)的平方后為正，所以，只有非

負(fù)數(shù)才可以開平方，因此一個(gè)非0正數(shù)開平方后有2個(gè)：而任何數(shù)的立方后的符號(hào)與原數(shù)的

符號(hào)一致，所以，任何數(shù)都可以開立方，一個(gè)數(shù)開立方后只有1個(gè)，符號(hào)與原數(shù)的符號(hào)也一

致。

四、實(shí)數(shù)大小的比較

1、實(shí)數(shù)比較大?。赫龜?shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)，右

邊的總比左邊的大；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。在數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)比左邊的點(diǎn)表

示的數(shù)大。

2、實(shí)數(shù)大小比較的兒種常用方法

（1）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

（2）求差比較：設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，

a-b>0<^>a>b,a-b=boa=b,a-b<0<^>a<b

(3)求商比較法：設(shè)a、b是兩正實(shí)數(shù)，->1<=>?>==

bbb

(4)絕對值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則

(5)平方法：

①設(shè)?>0,/?>0,則cr>tT<^a>b

②設(shè)a<0,b<0,貝ija~>h2

③同號(hào)的有理數(shù)與無理數(shù)、同號(hào)的無理數(shù)與無理數(shù)大小比較時(shí)常用平方法。

3[7

如：比較里與3.4；38與底

2

1

(6)倒數(shù)法：設(shè)。>0力>0，則。設(shè)。<0,匕<0,則。

aba匕

規(guī)律：同號(hào)取倒(數(shù))反向

五、算術(shù)平方根有關(guān)計(jì)算(二次根式)

1、含有二次根號(hào)“、廠”；被開方數(shù)。必須是非負(fù)數(shù)，即：中4之0。

2、性質(zhì)：

(1)非負(fù)性>o

(2)(G)2=a(a>0)((右)2中前提，被開方數(shù)?>0)

(3)行=同=["'("2°)(中隱含被開方數(shù)緒之o)

門[-a3<0)

(4)4ab?4b(a>0,/?>0)；(N0,bN0))(前提根號(hào)要有意義)

(5)監(jiān)專(心0力>0)；(^=J|(a>0,Z>>0))(前提式子和根號(hào)要有意義，)

拓展：三個(gè)重要非負(fù)數(shù)：^2>0,|^|>0,^>0.注意：非負(fù)數(shù)之和為0=它們都是0.

3、運(yùn)算結(jié)果若含有“石”形式，必須滿足：(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；(2)被開方數(shù)中

不含能開得盡方的因數(shù)或因式

六、實(shí)數(shù)的運(yùn)算

(1)六種運(yùn)算：力口、減、乘、除、乘方、開方

(2)實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序

先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減，如果有括號(hào)，就先算括號(hào)里面的。

(3)運(yùn)算律

加法交換律a+b=b+a

加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)

乘法交換律ab=ba

乘法結(jié)合律(ab)c=a(bc)

乘法對加法的分配律a(b+c)=ab+ac

(4)與實(shí)數(shù)有關(guān)的概念：在實(shí)數(shù)范闈內(nèi)，相反數(shù)，倒數(shù)，絕對值的意義與有理數(shù)范圍內(nèi)的意義完全一致;

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律同樣成立。

每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)，即實(shí)

數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的。因此，數(shù)軸正好可以被實(shí)數(shù)填滿。

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第三章位置的確定

一、在平面內(nèi)，確定物體的位置一般需要兩個(gè)數(shù)據(jù)。

二、平面直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念

1、平面直角坐標(biāo)系

在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸，組成平面直角坐標(biāo)系。其中，水平的數(shù)軸叫做X軸或

橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；x軸和y軸統(tǒng)稱坐標(biāo)軸。它們的

公共原點(diǎn)。稱為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)；建立了直角坐標(biāo)系的平面，叫做坐標(biāo)平面。

2、為了便于描述坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的位置，物坐標(biāo)平面被x軸和y軸分割而成的四個(gè)郎平，分別叫做第一象

限、第二象限、第三象限、第四象限。

--------------->

0x

三四

注意：X軸和y軸上的點(diǎn)（坐標(biāo)軸上的點(diǎn)），不屬于任何T象限。

3、點(diǎn)的坐標(biāo)的概念

對于平面內(nèi)任意一點(diǎn)H過點(diǎn)P分別x軸、y軸向作垂線，垂足在上x軸、y軸對應(yīng)的數(shù)a,b分別叫做

點(diǎn)P的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，有序數(shù)對（a,b）叫做點(diǎn)P的坐標(biāo)。p

,……b

點(diǎn)的坐標(biāo)用（a,b）表示，其順序是橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后，中間:

a0

有“：分開，橫、縱坐標(biāo)的位置不能顛倒。平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)7寸，

當(dāng)aw人時(shí)，（a,b）和（b,a）是兩個(gè)不同點(diǎn)的坐標(biāo)。

平面內(nèi)點(diǎn)的與有序?qū)崝?shù)對是一對應(yīng)的。

4、不同位置的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

（11各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

（結(jié)合圖形，過點(diǎn)P分別x軸、y粕向作垂線,垂足在上x軸、y軸對應(yīng)的數(shù)x,），在坐標(biāo)軸的正向?yàn)?/p>

正，負(fù)向?yàn)樨?fù)）

點(diǎn)A（xi9y）在第一象限=>百>0,y]>0

點(diǎn)B(X2,y2)在第二象限<=>x2<0,y2>0

點(diǎn)C(A\,y。在第三象限u>fvO,y,vO

點(diǎn)。(工4,乂)在第四象限o*4>°，Mv0

{2}坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的特征3(0面

點(diǎn)P(x,y)在x軸上<=>y=0,x為任意實(shí)數(shù)C(x3,0)°|A(xbO)

Q(0,4)

點(diǎn)P(x,y)在y軸上<=>x=(),y為任意實(shí)數(shù)

點(diǎn)P(x,y)既在X軸上，又在y軸上ox,y同時(shí)為零,即點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,0)即原點(diǎn)

(31兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

點(diǎn)P(x,y)在第一、三象限夾角平分線(直線y=x)上ox與y相等

點(diǎn)P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上=x與y互為相反數(shù)

{4}和坐標(biāo)軸平行的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

位于平行于x軸的直線上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同。

位于平行于y軸的直線上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同。

(5)關(guān)于x軸、y軸或原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

①點(diǎn)P與點(diǎn)P,關(guān)于x軸對稱(上下)=橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，尸

即點(diǎn)P(x,y)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為P(x,-y)

②點(diǎn)P與點(diǎn)P'關(guān)于y軸對稱(左右)?？v坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，

尸(卬)

即點(diǎn)P(x,y)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為P'(-x,y)?-----

③點(diǎn)P與點(diǎn)P'關(guān)于原點(diǎn)對稱o橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)，*

即點(diǎn)P(x,y)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為尸(-x,-y)

規(guī)律：

關(guān)于誰對稱誰不變，另一個(gè)變相反；

關(guān)于原點(diǎn)對稱，兩個(gè)分別變相反。

（6）、點(diǎn)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離（結(jié)合圖形理解）

點(diǎn)P（x,y）到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離：

（1）點(diǎn)P（x,y）到x軸的距離等于M

（2）點(diǎn)P（x,y）到y(tǒng)軸的距離等于國

（3）點(diǎn)P（x,y）到原點(diǎn)的距離等于J?（由勾股定理可得）

三、坐標(biāo)變化與圖形變化的規(guī)律：

坐標(biāo)（X,y）的變化圖形的變化

xxa或yxa被橫向或縱向拉長（壓縮）為原來的a倍

xxa,yxa放大（縮小）為原來的a倍

xx(-1)或yx(-1)關(guān)于y軸或x軸對稱

xx(-1),yx(-1)關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱

x±a或y士。，其中。＞0沿x軸（-）左（+）右或y軸（+）上（-）

下平移a個(gè)單位

x±a,y±a，其中〃>0沿x軸（-）左（+）右平移a個(gè)單位，再沿v

軸（+）上（一）下平移a個(gè)單

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第四章一次函數(shù)

一、函數(shù)：

一般地，在某一變化過程中有兩個(gè)變量x與y,如果給定一個(gè)x值，相應(yīng)地就確定了一個(gè)y值，那么

我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量。

二、自變量取值范圍

使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。

一般從整式(取全體實(shí)數(shù))，分式(分母不為01二次根式(偶次根式)(被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)\實(shí)際

意義幾方面考慮。

三、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點(diǎn)

(1)關(guān)系式(解析)法

兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系，有時(shí)可以用一個(gè)含有這兩個(gè)變量及數(shù)字運(yùn)算符號(hào)的等式表示，這種表示法叫

做關(guān)系式(解析)法。

(2)列君去

把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對應(yīng)值列成一個(gè)表來表示函數(shù)關(guān)系，這種表示法叫做列表法。

(3)圖象法

用圖象表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖象法。

四、由函數(shù)關(guān)系式畫其圖像的一般步驟

(1)列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應(yīng)值

(2)描點(diǎn)：以表中每對對應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)

(3)連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點(diǎn)用平滑的曲線連接起來。

五、正比例函數(shù)和一次函數(shù)

1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念

一般地，若兩個(gè)變量X,y間的關(guān)系可以表示成y=kx+b（k,b為常數(shù)，kw0）的形式，則稱y是

x的一次函數(shù)（x為自變量，v為因變量b

特別地，當(dāng)一次函數(shù)y=晨+6中的b=0時(shí)（即），=H）（k為常數(shù)，k。0）,稱y是x的正比例函

數(shù)。

2、一次函數(shù)的圖像：所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線

3、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征：

①、一次函數(shù)y=kx+b的圖像是經(jīng)過點(diǎn)（0,b）的直線；正比例函數(shù)y二履的圖像是經(jīng)過原

點(diǎn)（0,0）的直線。

②、由于一次函數(shù)），=米+人的圖象是一條直線，所以一次函數(shù)>'=云+匕的圖象也稱為直線

y-kx+b。

③、由于兩點(diǎn)確定一條直線，因此在畫一次函數(shù)），=履+〃的圖象時(shí)，只期出：與x軸的交點(diǎn)（令

y=0,求出工=一0）,與），軸的交點(diǎn)（令x=0,求出y=人），即（（0,Z?）,（--,0）兩點(diǎn)即可，

畫正比例函數(shù)），=履的圖象時(shí)，只要描出點(diǎn)（0,0）,（1,k）即可。

④、k的正負(fù)決定直線的傾斜方向，IM的大小決定直線的傾斜程度,即網(wǎng)越大，直線與X軸相交的

銳角度數(shù)越大（直線陡），陽越小，直線與工軸的相交的銳角度數(shù)越?。ㄖ本€緩\

⑤、。的正負(fù)決定直線與）:軸交點(diǎn)的位置。

當(dāng)b>0時(shí)，直線與），軸的交于正半軸上。當(dāng)bv0時(shí)，直線與），軸交于負(fù)半軸上。

當(dāng)6=0時(shí)，直線經(jīng)過原點(diǎn)，是正比例函數(shù),正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例。

4、一次函數(shù)、正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)。

當(dāng)攵>0時(shí)，），隨x的增大而增大，圖象從左到右呈上升趨勢；

當(dāng)《<0時(shí)，），隨x的增大而減小，圖象從左到右呈下降趨勢。

函數(shù)圖象性質(zhì)

一次函數(shù)(1)當(dāng)%>0時(shí)，］，隨A?的增大而增

y=kx+b大,圖象必經(jīng)過一三象限。

①6>0時(shí)，過一二三象限

②〃=°時(shí)，只過一三象限

③〃<0時(shí)，過一三四象限時(shí)

(2)當(dāng)人<0時(shí)，)，隨K的增大而減

小，圖象必過二四象限。

①人>。時(shí)，過一二四象限

②修)時(shí)，只過二四象限

③6<°時(shí)，過二三四象限

正比例函數(shù)圖象過原點(diǎn)

y=kx⑴當(dāng)2>0時(shí)，y隨工的增大而增大,

圖象必過一三象限

⑵當(dāng)％<0時(shí)，y隨工的增大而減小,

圖象必過二四象限。

5、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定

確定一個(gè)正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式"點(diǎn)(k工0)中的常數(shù)k。確定一個(gè)一次函數(shù),

需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k^O)中的常數(shù)k和be解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法。

(1)確定正比例函數(shù)及一次函數(shù)表達(dá)式的條件

①由于正比例函數(shù)y=kx(k*0)中只有一個(gè)待定系數(shù)k,故只需一個(gè)條件(如一對x,)，的值或一個(gè)點(diǎn))

就可求得〃的值。

②由于一次函數(shù)丁二日+伙2工0)中有兩個(gè)待定系數(shù)女⑦，需要兩個(gè)獨(dú)立的條件確定兩個(gè)關(guān)于攵力的方

程，求得太〃的值，這兩個(gè)條件通常是兩個(gè)點(diǎn)或兩對乂)，的值。

（2）待定系數(shù)法

先設(shè)式子中的未知系數(shù)，再根據(jù)條件求出未知系數(shù)，從而求出式子的方法叫做待定系數(shù)法。

（3）用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達(dá)式的一般步驟

①設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=H+6。

②將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，解方程（方程組I

③求出2與b的值，得函數(shù)表達(dá)式。

6、一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系：

任何一個(gè)一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為：kx+b=O（k、b為常數(shù),k#0）的形式.而一次函數(shù)解析式

形式正是y=kx+b（k、b為常數(shù)，kwO）.當(dāng)函數(shù)值y=0時(shí)，即kx+b=O就與一元一次方程完全相同.

結(jié)論：由于任何一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為kx+b=O（k、b為常數(shù)，"0）的形式.所以解一元一次方

程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)一次函數(shù)值y=0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值.

從圖象上看，這相當(dāng)于已知直線y=kx+b確定它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)值.

7、一次函數(shù)），=依+〃的圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)求法：

與工軸的交點(diǎn)：令y=0,求出工=一鄉(xiāng)，得（-2,0）；

與y軸的交點(diǎn)：令x=0,求出y=b,得（0,〃）

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第五章二元一次方程組

1、二元一次方程

含有兩個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程的解

適合一個(gè)二元一次方程的一組未知數(shù)的值,叫做這個(gè)二元一次方程的一個(gè)解。

3、二元一次方程組

含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程所組成的一組方程,叫做二元一次方程組。

4二元一次方程組的解

二元一次方程組中各個(gè)方程的公共解，叫做這個(gè)二元一次方程組的解。

5、二元一次方程組的解法

（1）代入（消元）法（2）加減（消元）法

（無論是代入消元法還是加減消元法，其目的都是將“二元一次方程"變?yōu)?一元一次方程"，所謂之

"消元"）

6、一次函數(shù)與二元一次方程（組）的關(guān)系：

（1）一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系：

每個(gè)二元一次方程都可以看成一次函數(shù)，直線y=kx+b上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)（八〃）都是它所對應(yīng)的二元

X~l/j

一次方程底一y+人=0的解"

y=n

（2）一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系：

求二元一次方程組的解，可看成求兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)。

二元一次方程組+=q的解F=’"可看作兩個(gè)一次函數(shù)y=+?

a2x+b2y=c2=〃4仇

和），二-答X+詈的圖象的交點(diǎn)（根,〃）。反之,可以通過求二元一次方程組的解，求出兩個(gè)一次函數(shù)圖

b2A

象的交點(diǎn)

當(dāng)函數(shù)圖象有交點(diǎn)時(shí)，說明相應(yīng)的二元一次方程組有解；當(dāng)函數(shù)圖象（直線）平行即無交點(diǎn)時(shí)，說明

相應(yīng)的二元一次方程組無解。

7、在利用方程來解應(yīng)用題時(shí)，主要分為兩個(gè)步驟：

①設(shè)未知數(shù)（在設(shè)未知數(shù)時(shí)，大多數(shù)情況只要設(shè)問題為x或y;但也有時(shí)也須根據(jù)已知條件及等量關(guān)系

等諸多方面考慮）；

②尋找等量關(guān)系（一般地，題目中會(huì)含有一表述等量關(guān)系的句子，只須找到此句話即可根據(jù)其列出方

程工

8、處理問題的過程可以進(jìn)一步概括為：

問題與空一方程（組）求解

一解答

抽象檢驗(yàn)

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第六章數(shù)據(jù)的分析

1、刻畫數(shù)據(jù)的集中趨勢（平均水平）的量：平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)

2、平均數(shù)

（1）平均數(shù)：T殳地，對于n個(gè)數(shù)占了2,…，與，我們把」口+々+??+%