《機械控制工程基礎(chǔ) 第2版》 課件 第4章-控制系統(tǒng)的時間響應(yīng)

1第4章控制系統(tǒng)的時域分析法控制系統(tǒng)的時域分析法二階系統(tǒng)時域分析3時間響應(yīng)的組成及主要性能指標(biāo)1一階系統(tǒng)時域分析2高階系統(tǒng)時域分析54二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)本章知識結(jié)構(gòu)4.1時間響應(yīng)的組成及主要性能指標(biāo)時間響應(yīng)的組成：時間響應(yīng)一般是指在初始狀態(tài)為零時，系統(tǒng)在外加激勵作用下，系統(tǒng)的輸出隨時間變化的函數(shù)關(guān)系。（1）瞬態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)在外加激勵作用下，其輸出由初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過程，稱為瞬態(tài)響應(yīng)，也稱過渡過程或暫態(tài)響應(yīng)。（2）穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)在外加激勵作用下，當(dāng)時間趨于無窮大時，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。4.1.1時間響應(yīng)的組成某系統(tǒng)在單位階躍信號l(t)作用下的時間響應(yīng)。系統(tǒng)輸出在t=ts時達到穩(wěn)定狀態(tài)，在0→ts時間內(nèi)的時間響應(yīng)過程稱為瞬態(tài)響應(yīng);當(dāng)t→∞時系統(tǒng)的輸出稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。4.1.2動態(tài)過程及其性能指標(biāo)

動態(tài)過程又稱過渡過程或瞬態(tài)過程，是指在典型信號輸入下，控制系統(tǒng)的輸出量從初態(tài)到終態(tài)，表現(xiàn)為衰減，發(fā)散或等幅振蕩的形式。

一般認(rèn)為，階躍信號輸入對系統(tǒng)是最嚴(yán)峻的工況，系統(tǒng)在單位階躍信號作用下，動態(tài)過程隨時間t變化的指標(biāo)，稱為動態(tài)性能指標(biāo)。4.1.2動態(tài)過程及其性能指標(biāo)

（1）上升時間tr:響應(yīng)曲線由零開始第一次上升到穩(wěn)態(tài)值所需要的時間。對于無振蕩系統(tǒng)，一般將響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到穩(wěn)態(tài)值的90%所需時間即為上升時間tr，它是系統(tǒng)響應(yīng)速度的一種度量。（2）峰值時間tp:響應(yīng)曲線超過其穩(wěn)態(tài)值并到達第一個峰值所需要的時間。（3）最大超調(diào)量Mp:響應(yīng)曲線的最大偏離量與穩(wěn)態(tài)值的差比上穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)。（4）調(diào)整時間ts:響應(yīng)曲線到達并保持在穩(wěn)態(tài)值的5%或2%內(nèi)所需要的最短時間。4.1.3.典型輸入信號控制系統(tǒng)的時間響應(yīng)不僅取決于系統(tǒng)本身的特性，還與外加的輸入信號有關(guān)。4.2一階系統(tǒng)時域分析4.2.1.一階系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型能用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)?！て渲衳i(t)為輸入信號，xo(t)為輸出信號，T稱為一階系統(tǒng)的時間常數(shù)。·將上式進行拉氏變換得到一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：4.2.2一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

當(dāng)輸入信號為單位階躍信號時，系統(tǒng)的輸出稱為單位階躍響應(yīng)?！ぽ斎胄盘枺?/p>

·輸出信號：4.2.2一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)（1）一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線是一個單調(diào)上升的指數(shù)曲線，其瞬態(tài)項為，穩(wěn)態(tài)項為1。（2）可以用時間常數(shù)T去度量系統(tǒng)輸出量的數(shù)值，當(dāng)t≥4T時，其響應(yīng)值已達到穩(wěn)態(tài)值的98%以上，即系統(tǒng)的過渡過程時間為ts=4T。（3）時間常數(shù)T反映了一階系統(tǒng)的固有屬性，T值越小，系統(tǒng)的慣性就越小，系統(tǒng)的響應(yīng)就越快。（4）當(dāng)t=0時響應(yīng)曲線斜率初始值為1/T，隨時間下降。4.2.2一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的動態(tài)性能指標(biāo)·（1）上升時間tr

：·（2）調(diào)整時間ts

：·（3）最大超調(diào)量Mp：Mp=04.2.3.一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)當(dāng)輸入信號為單位脈沖信號時，系統(tǒng)的輸出稱為單位脈沖響應(yīng)，特別記為·輸入信號：·輸出信號：

4.2.3一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)（1）一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線是一個單調(diào)下降的指數(shù)曲線，無穩(wěn)態(tài)項，其瞬態(tài)項為（2）可以用時間常數(shù)T去度量系統(tǒng)輸出量的數(shù)值，當(dāng)t≥4T時，其響應(yīng)值已衰減到響應(yīng)初值的2%以上，即系統(tǒng)的過渡過程時間為ts=4T。（3）可見時間常數(shù)T反映了一階系統(tǒng)的固有屬性，T值越小，系統(tǒng)的慣性就越小，系統(tǒng)的響應(yīng)就越快。

4.2.3一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)（4）當(dāng)t=0時，響應(yīng)曲線斜率初始值為，并隨時間而下降，初始斜率特性也常用于確定一階系統(tǒng)時間常數(shù)。（5）工程上常用脈沖信號輸入來測定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，但無法施加理想的脈沖信號，常用一定寬度t0的矩形信號代替，一般要求4.2.4一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)當(dāng)輸入信號為單位斜坡信號時，系統(tǒng)的輸出稱為單位斜坡響應(yīng)?！ぽ斎胄盘枺?/p>

·輸出信號：4.2.4一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)（1）一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線是一個與輸入斜坡信號的斜率相同，但時間滯后T的斜坡函數(shù)，因此在位置上存在穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差其值正好等于時間常數(shù)T；一階系統(tǒng)的瞬態(tài)分量。其瞬態(tài)項為衰減非周期函數(shù)，穩(wěn)態(tài)項為（t-T）；（2）在初態(tài)下初始位置與初始斜率均為零；（3）在斜坡響應(yīng)中，輸出量與輸入量間誤差為：。其誤差隨時間增大而增大，最后趨于常數(shù)T，時間常數(shù)T越小，誤差越小，跟蹤準(zhǔn)確度就越高。4.2.5響應(yīng)之間的關(guān)系線性定常系統(tǒng)對某輸入信號的導(dǎo)數(shù)或積分的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對該信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)或積分。該特點適用于任意階次的線性定常系統(tǒng)，線性時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)均不具備該特點。4.2.6實例例4-1已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解：該系統(tǒng)的閉環(huán)傳達函數(shù)為輸入信號為

，拉氏變換為

，無初始條件時系統(tǒng)輸出的拉氏變換為：取拉氏反變換得到系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)4.2.6實例該題也可以將系統(tǒng)分解成比例環(huán)節(jié)串聯(lián)慣性環(huán)節(jié)，即利用公式直接得到4.2.6實例例4-2已知系統(tǒng)如圖所示，求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解：該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為該系統(tǒng)簡化為兩個慣性系統(tǒng)并聯(lián)的形式，其中一個比例系數(shù)為，時間常數(shù)為10，一個比例系數(shù)為，時間常數(shù)為1，根據(jù)公式，可以得到系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：4.3二階系統(tǒng)時域分析3.3.1.二階系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型能用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。其中xi(t)為輸入信號，xo(t)為輸出信號，稱為無阻尼固有頻率，稱為阻尼比，將上式進行拉氏變換得到二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：4.3.2二階系統(tǒng)特征根的分布二階系統(tǒng)特征方程為：二階系統(tǒng)特征方程的特征根為(1)當(dāng)系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，兩個特征根為共軛復(fù)數(shù)(2)當(dāng)系統(tǒng)為無阻尼系統(tǒng)，兩個特征根為共軛純虛根(3)系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)，兩個特征根為相等的負(fù)實根(4)系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)，兩個特征根為不相等的負(fù)實根4.3.3二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)輸入信號：輸出信號：（1）0<

<1（2）

=0（3）

=1（4）

>1

d為有阻尼固有頻率4.3.3二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)·（1）系統(tǒng)為欠阻尼時，響應(yīng)是一個幅值衰減的正弦曲線，穩(wěn)態(tài)項為1，瞬態(tài)項是一個隨時間增長而衰減的振蕩過程，衰減的快慢取決于指數(shù)ωn

的大小。·（2）系統(tǒng)為無阻尼時，響應(yīng)是一個等幅振蕩的正弦曲線，無穩(wěn)態(tài)項。

·（3）系統(tǒng)為臨界阻尼時，響應(yīng)是一個單調(diào)收斂的指數(shù)曲線，穩(wěn)態(tài)項為1，沒有正方向的超調(diào)量。4.3.4

二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)輸入信號：輸出信號：（1）0<

<1（2）

=0（3）

=1（4）

>14.3.4

二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)·（1）系統(tǒng)為欠阻尼時，單位脈沖響應(yīng)是幅值衰減的正弦曲線，其穩(wěn)態(tài)項為0，瞬態(tài)項是一個隨時間增長而衰減的振蕩過程，衰減的快慢取決于指數(shù)ωnξ值。·（2）系統(tǒng)為無阻尼時，二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是等幅振蕩的正弦曲線，無穩(wěn)態(tài)項?！ぃ?）系統(tǒng)為臨界阻尼時，單位脈沖響應(yīng)是單調(diào)衰減曲線，穩(wěn)態(tài)項為0，沒有負(fù)方向超調(diào)量。4.3.4

二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)例4-4二階系統(tǒng)可以看成積分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)形的串聯(lián)，如圖所示，其中T>0，K>0，試求此時系統(tǒng)的固有頻率ωn和阻尼比ξ。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：故而，系統(tǒng)固有頻率和阻尼比分別為：4.3.4

二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)例4-5如例3-4中T=5，K=20，試求該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)和單位脈沖響應(yīng)。解：當(dāng)T=5，K=20時，系統(tǒng)的無阻尼固有頻率和阻尼比分別為單位脈沖響應(yīng)為：可知，系統(tǒng)為二階欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為：4.4二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)·在許多實際情況中，評價系統(tǒng)動態(tài)性能的優(yōu)劣常用時域量表示?！ざA系統(tǒng)時最普遍的形式，瞬態(tài)響應(yīng)多以衰減振蕩的形式出現(xiàn)?！は旅娼榻B二階系統(tǒng)在欠阻尼情況下單位階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)。4.4二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)1.上升時間：當(dāng)t=tr時，xo(tr)=1可知當(dāng)ξ一定時，tr與ωn成反比；當(dāng)ωn一定時，ξ越小，tr越短。4.4二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)2.峰值時間將對時間求一階導(dǎo)數(shù)得令其為零，可得峰值時間，即峰值時間tp與ωd成反比。4.4二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)3.最大超調(diào)量超調(diào)量Mp僅為ξ的函數(shù)，與ωn無關(guān)，且當(dāng)ξ增大時，Mp減小。4.4二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)4.調(diào)整時間即：解出：4.4二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)例4-6某二階系統(tǒng)的固有頻率為ωn=5，阻尼比為ξ=0.7，試求此系統(tǒng)在單位階躍響應(yīng)下的峰值時間tp，調(diào)整時間ts（Δ=0.05）和最大超調(diào)量Mp。解：根據(jù)公式，響應(yīng)的峰值時間為：根據(jù)公式，響應(yīng)的調(diào)整時間為：或者直接用下列公式計算：根據(jù)公式，相應(yīng)的最大超調(diào)量為：4.4二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)例4-7如例3-4中二階系統(tǒng)要求具有性能指標(biāo)Mp=10%，ts=2s（Δ=0.02），試確定參數(shù)T、K以及求出單位階躍響應(yīng)下的上升時間tr和峰值時間tp。解：由解出：ξ=0.6由由求出峰值時間為：解出：ωn=3.333解出：T=0.125，K=1.3894.4二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)習(xí)題-1：已知質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)如圖(a)所示，其中質(zhì)量為m公斤，彈簧系數(shù)為K牛頓/米，阻尼器系數(shù)為C牛頓秒/米，當(dāng)物體受F=10牛頓的恒力作用時，其位移y(t)的的變化如圖(b)所示。求m、k和C的值。