《機(jī)械控制工程基礎(chǔ) 第2版》 課件 第4章-控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)

1第4章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法二階系統(tǒng)時(shí)域分析3時(shí)間響應(yīng)的組成及主要性能指標(biāo)1一階系統(tǒng)時(shí)域分析2高階系統(tǒng)時(shí)域分析54二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)本章知識(shí)結(jié)構(gòu)4.1時(shí)間響應(yīng)的組成及主要性能指標(biāo)時(shí)間響應(yīng)的組成：時(shí)間響應(yīng)一般是指在初始狀態(tài)為零時(shí)，系統(tǒng)在外加激勵(lì)作用下，系統(tǒng)的輸出隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系。（1）瞬態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)在外加激勵(lì)作用下，其輸出由初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過程，稱為瞬態(tài)響應(yīng)，也稱過渡過程或暫態(tài)響應(yīng)。（2）穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)在外加激勵(lì)作用下，當(dāng)時(shí)間趨于無窮大時(shí)，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。4.1.1時(shí)間響應(yīng)的組成某系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)l(t)作用下的時(shí)間響應(yīng)。系統(tǒng)輸出在t=ts時(shí)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，在0→ts時(shí)間內(nèi)的時(shí)間響應(yīng)過程稱為瞬態(tài)響應(yīng);當(dāng)t→∞時(shí)系統(tǒng)的輸出稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。4.1.2動(dòng)態(tài)過程及其性能指標(biāo)

動(dòng)態(tài)過程又稱過渡過程或瞬態(tài)過程，是指在典型信號(hào)輸入下，控制系統(tǒng)的輸出量從初態(tài)到終態(tài)，表現(xiàn)為衰減，發(fā)散或等幅振蕩的形式。

一般認(rèn)為，階躍信號(hào)輸入對(duì)系統(tǒng)是最嚴(yán)峻的工況，系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)作用下，動(dòng)態(tài)過程隨時(shí)間t變化的指標(biāo)，稱為動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。4.1.2動(dòng)態(tài)過程及其性能指標(biāo)

（1）上升時(shí)間tr:響應(yīng)曲線由零開始第一次上升到穩(wěn)態(tài)值所需要的時(shí)間。對(duì)于無振蕩系統(tǒng)，一般將響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到穩(wěn)態(tài)值的90%所需時(shí)間即為上升時(shí)間tr，它是系統(tǒng)響應(yīng)速度的一種度量。（2）峰值時(shí)間tp:響應(yīng)曲線超過其穩(wěn)態(tài)值并到達(dá)第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。（3）最大超調(diào)量Mp:響應(yīng)曲線的最大偏離量與穩(wěn)態(tài)值的差比上穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)。（4）調(diào)整時(shí)間ts:響應(yīng)曲線到達(dá)并保持在穩(wěn)態(tài)值的5%或2%內(nèi)所需要的最短時(shí)間。4.1.3.典型輸入信號(hào)控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)不僅取決于系統(tǒng)本身的特性，還與外加的輸入信號(hào)有關(guān)。4.2一階系統(tǒng)時(shí)域分析4.2.1.一階系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型能用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。·其中xi(t)為輸入信號(hào)，xo(t)為輸出信號(hào)，T稱為一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)?！⑸鲜竭M(jìn)行拉氏變換得到一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：4.2.2一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

當(dāng)輸入信號(hào)為單位階躍信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)的輸出稱為單位階躍響應(yīng)。·輸入信號(hào)：

·輸出信號(hào)：4.2.2一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)（1）一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線是一個(gè)單調(diào)上升的指數(shù)曲線，其瞬態(tài)項(xiàng)為，穩(wěn)態(tài)項(xiàng)為1。（2）可以用時(shí)間常數(shù)T去度量系統(tǒng)輸出量的數(shù)值，當(dāng)t≥4T時(shí)，其響應(yīng)值已達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的98%以上，即系統(tǒng)的過渡過程時(shí)間為ts=4T。（3）時(shí)間常數(shù)T反映了一階系統(tǒng)的固有屬性，T值越小，系統(tǒng)的慣性就越小，系統(tǒng)的響應(yīng)就越快。（4）當(dāng)t=0時(shí)響應(yīng)曲線斜率初始值為1/T，隨時(shí)間下降。4.2.2一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)·（1）上升時(shí)間tr

：·（2）調(diào)整時(shí)間ts

：·（3）最大超調(diào)量Mp：Mp=04.2.3.一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)當(dāng)輸入信號(hào)為單位脈沖信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)的輸出稱為單位脈沖響應(yīng)，特別記為·輸入信號(hào)：·輸出信號(hào)：

4.2.3一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)（1）一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線是一個(gè)單調(diào)下降的指數(shù)曲線，無穩(wěn)態(tài)項(xiàng)，其瞬態(tài)項(xiàng)為（2）可以用時(shí)間常數(shù)T去度量系統(tǒng)輸出量的數(shù)值，當(dāng)t≥4T時(shí)，其響應(yīng)值已衰減到響應(yīng)初值的2%以上，即系統(tǒng)的過渡過程時(shí)間為ts=4T。（3）可見時(shí)間常數(shù)T反映了一階系統(tǒng)的固有屬性，T值越小，系統(tǒng)的慣性就越小，系統(tǒng)的響應(yīng)就越快。

4.2.3一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)（4）當(dāng)t=0時(shí)，響應(yīng)曲線斜率初始值為，并隨時(shí)間而下降，初始斜率特性也常用于確定一階系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)。（5）工程上常用脈沖信號(hào)輸入來測(cè)定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，但無法施加理想的脈沖信號(hào)，常用一定寬度t0的矩形信號(hào)代替，一般要求4.2.4一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)當(dāng)輸入信號(hào)為單位斜坡信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)的輸出稱為單位斜坡響應(yīng)?！ぽ斎胄盘?hào)：

·輸出信號(hào)：4.2.4一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)（1）一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線是一個(gè)與輸入斜坡信號(hào)的斜率相同，但時(shí)間滯后T的斜坡函數(shù)，因此在位置上存在穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差其值正好等于時(shí)間常數(shù)T；一階系統(tǒng)的瞬態(tài)分量。其瞬態(tài)項(xiàng)為衰減非周期函數(shù)，穩(wěn)態(tài)項(xiàng)為（t-T）；（2）在初態(tài)下初始位置與初始斜率均為零；（3）在斜坡響應(yīng)中，輸出量與輸入量間誤差為：。其誤差隨時(shí)間增大而增大，最后趨于常數(shù)T，時(shí)間常數(shù)T越小，誤差越小，跟蹤準(zhǔn)確度就越高。4.2.5響應(yīng)之間的關(guān)系線性定常系統(tǒng)對(duì)某輸入信號(hào)的導(dǎo)數(shù)或積分的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對(duì)該信號(hào)響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)或積分。該特點(diǎn)適用于任意階次的線性定常系統(tǒng)，線性時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)均不具備該特點(diǎn)。4.2.6實(shí)例例4-1已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解：該系統(tǒng)的閉環(huán)傳達(dá)函數(shù)為輸入信號(hào)為

，拉氏變換為

，無初始條件時(shí)系統(tǒng)輸出的拉氏變換為：取拉氏反變換得到系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)4.2.6實(shí)例該題也可以將系統(tǒng)分解成比例環(huán)節(jié)串聯(lián)慣性環(huán)節(jié)，即利用公式直接得到4.2.6實(shí)例例4-2已知系統(tǒng)如圖所示，求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解：該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為該系統(tǒng)簡(jiǎn)化為兩個(gè)慣性系統(tǒng)并聯(lián)的形式，其中一個(gè)比例系數(shù)為，時(shí)間常數(shù)為10，一個(gè)比例系數(shù)為，時(shí)間常數(shù)為1，根據(jù)公式，可以得到系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：4.3二階系統(tǒng)時(shí)域分析3.3.1.二階系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型能用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。其中xi(t)為輸入信號(hào)，xo(t)為輸出信號(hào)，稱為無阻尼固有頻率，稱為阻尼比，將上式進(jìn)行拉氏變換得到二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：4.3.2二階系統(tǒng)特征根的分布二階系統(tǒng)特征方程為：二階系統(tǒng)特征方程的特征根為(1)當(dāng)系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，兩個(gè)特征根為共軛復(fù)數(shù)(2)當(dāng)系統(tǒng)為無阻尼系統(tǒng)，兩個(gè)特征根為共軛純虛根(3)系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)，兩個(gè)特征根為相等的負(fù)實(shí)根(4)系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)，兩個(gè)特征根為不相等的負(fù)實(shí)根4.3.3二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)輸入信號(hào)：輸出信號(hào)：（1）0<

<1（2）

=0（3）

=1（4）

>1

d為有阻尼固有頻率4.3.3二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)·（1）系統(tǒng)為欠阻尼時(shí)，響應(yīng)是一個(gè)幅值衰減的正弦曲線，穩(wěn)態(tài)項(xiàng)為1，瞬態(tài)項(xiàng)是一個(gè)隨時(shí)間增長(zhǎng)而衰減的振蕩過程，衰減的快慢取決于指數(shù)ωn

的大小。·（2）系統(tǒng)為無阻尼時(shí)，響應(yīng)是一個(gè)等幅振蕩的正弦曲線，無穩(wěn)態(tài)項(xiàng)。

·（3）系統(tǒng)為臨界阻尼時(shí)，響應(yīng)是一個(gè)單調(diào)收斂的指數(shù)曲線，穩(wěn)態(tài)項(xiàng)為1，沒有正方向的超調(diào)量。4.3.4

二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)輸入信號(hào)：輸出信號(hào)：（1）0<

<1（2）

=0（3）

=1（4）

>14.3.4

二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)·（1）系統(tǒng)為欠阻尼時(shí)，單位脈沖響應(yīng)是幅值衰減的正弦曲線，其穩(wěn)態(tài)項(xiàng)為0，瞬態(tài)項(xiàng)是一個(gè)隨時(shí)間增長(zhǎng)而衰減的振蕩過程，衰減的快慢取決于指數(shù)ωnξ值?！ぃ?）系統(tǒng)為無阻尼時(shí)，二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是等幅振蕩的正弦曲線，無穩(wěn)態(tài)項(xiàng)?！ぃ?）系統(tǒng)為臨界阻尼時(shí)，單位脈沖響應(yīng)是單調(diào)衰減曲線，穩(wěn)態(tài)項(xiàng)為0，沒有負(fù)方向超調(diào)量。4.3.4

二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)例4-4二階系統(tǒng)可以看成積分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)形的串聯(lián)，如圖所示，其中T>0，K>0，試求此時(shí)系統(tǒng)的固有頻率ωn和阻尼比ξ。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：故而，系統(tǒng)固有頻率和阻尼比分別為：4.3.4

二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)例4-5如例3-4中T=5，K=20，試求該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)和單位脈沖響應(yīng)。解：當(dāng)T=5，K=20時(shí)，系統(tǒng)的無阻尼固有頻率和阻尼比分別為單位脈沖響應(yīng)為：可知，系統(tǒng)為二階欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為：4.4二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)·在許多實(shí)際情況中，評(píng)價(jià)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的優(yōu)劣常用時(shí)域量表示。·二階系統(tǒng)時(shí)最普遍的形式，瞬態(tài)響應(yīng)多以衰減振蕩的形式出現(xiàn)。·下面介紹二階系統(tǒng)在欠阻尼情況下單位階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)。4.4二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)1.上升時(shí)間：當(dāng)t=tr時(shí)，xo(tr)=1可知當(dāng)ξ一定時(shí)，tr與ωn成反比；當(dāng)ωn一定時(shí)，ξ越小，tr越短。4.4二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)2.峰值時(shí)間將對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)得令其為零，可得峰值時(shí)間，即峰值時(shí)間tp與ωd成反比。4.4二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)3.最大超調(diào)量超調(diào)量Mp僅為ξ的函數(shù)，與ωn無關(guān)，且當(dāng)ξ增大時(shí)，Mp減小。4.4二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)4.調(diào)整時(shí)間即：解出：4.4二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)例4-6某二階系統(tǒng)的固有頻率為ωn=5，阻尼比為ξ=0.7，試求此系統(tǒng)在單位階躍響應(yīng)下的峰值時(shí)間tp，調(diào)整時(shí)間ts（Δ=0.05）和最大超調(diào)量Mp。解：根據(jù)公式，響應(yīng)的峰值時(shí)間為：根據(jù)公式，響應(yīng)的調(diào)整時(shí)間為：或者直接用下列公式計(jì)算：根據(jù)公式，相應(yīng)的最大超調(diào)量為：4.4二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)例4-7如例3-4中二階系統(tǒng)要求具有性能指標(biāo)Mp=10%，ts=2s（Δ=0.02），試確定參數(shù)T、K以及求出單位階躍響應(yīng)下的上升時(shí)間tr和峰值時(shí)間tp。解：由解出：ξ=0.6由由求出峰值時(shí)間為：解出：ωn=3.333解出：T=0.125，K=1.3894.4二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)習(xí)題-1：已知質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)如圖(a)所示，其中質(zhì)量為m公斤，彈簧系數(shù)為K牛頓/米，阻尼器系數(shù)為C牛頓秒/米，當(dāng)物體受F=10牛頓的恒力作用時(shí)，其位移y(t)的的變化如圖(b)所示。求m、k和C的值。