2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國(guó)版文） 第9章 9.8　拋物線

§9.8拋物線考試要求1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率).3.了解拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用．知識(shí)梳理1．拋物線的概念把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)對(duì)稱軸x軸y軸頂點(diǎn)(0,0)離心率e＝1常用結(jié)論拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論設(shè)AB是過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)若A在第一象限，B在第四象限，則|AF|＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosα)，弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α為弦AB的傾斜角)；(3)eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p)；(4)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；(5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切；(6)過(guò)焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)的切線互相垂直且交點(diǎn)在準(zhǔn)線上；(7)通徑：過(guò)焦點(diǎn)與對(duì)稱軸垂直的弦長(zhǎng)等于2p.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線．(×)(2)方程y＝4x2表示焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，焦點(diǎn)坐標(biāo)是(1,0)．(×)(3)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形．(×)(4)若直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線與拋物線相切．(×)教材改編題1．拋物線y＝2x2的準(zhǔn)線方程為()A．y＝－eq\f(1,8) B．y＝－eq\f(1,4)C．y＝－eq\f(1,2) D．y＝－1答案A解析由y＝2x2，得x2＝eq\f(1,2)y，故拋物線y＝2x2的準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(1,8).2．過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，如果x1＋x2＝6，則|PQ|等于()A．9B．8C．7D．6答案B解析拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.根據(jù)題意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.3．已知拋物線C與雙曲線x2－y2＝1有相同的焦點(diǎn)，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則拋物線C的方程是________．答案y2＝±4eq\r(2)x解析由已知可知雙曲線的焦點(diǎn)為(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0)．設(shè)拋物線方程為y2＝±2px(p>0)，則eq\f(p,2)＝eq\r(2)，所以p＝2eq\r(2)，所以拋物線方程為y2＝±4eq\r(2)x.

題型一拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程命題點(diǎn)1定義及應(yīng)用例1(1)(2020·全國(guó)Ⅰ)已知A為拋物線C：y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p等于()A．2B．3C．6D．9答案C解析設(shè)A(x，y)，由拋物線的定義知，點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為12，即x＋eq\f(p,2)＝12.又因?yàn)辄c(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為9，即x＝9，所以9＋eq\f(p,2)＝12，解得p＝6.(2)已知A(3,2)，點(diǎn)F為拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上移動(dòng)，為使|PA|＋|PF|取得最小值，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(0,0) B．(2,2)C．(1，eq\r(2)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))答案B解析如圖所示，設(shè)點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d，準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(1,2)，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋d≥|AB|＝3＋eq\f(1,2)＝eq\f(7,2)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為AB與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，|PA|＋|PF|取得最小值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2)．思維升華“看到準(zhǔn)線想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想到準(zhǔn)線”，許多拋物線問(wèn)題均可根據(jù)定義獲得簡(jiǎn)捷、直觀的求解．“由數(shù)想形，由形想數(shù)，數(shù)形結(jié)合”是靈活解題的一條捷徑．命題點(diǎn)2求標(biāo)準(zhǔn)方程例2(1)設(shè)拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)在直線2x＋3y－8＝0上，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()A．x＝－4 B．x＝－3C．x＝－2 D．x＝－1答案A解析直線2x＋3y－8＝0與x軸的交點(diǎn)為(4,0)，∴拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)為(4,0)，∴準(zhǔn)線方程為x＝－4.(2)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A是拋物線C上一點(diǎn)，AD⊥l，交l于D.若|AF|＝4，∠DAF＝60°，則拋物線C的方程為()A．y2＝8x B．y2＝4xC．y2＝2x D．y2＝x答案B解析根據(jù)拋物線的定義可得|AD|＝|AF|＝4，又∠DAF＝60°，所以|AD|－p＝|AF|cos60°＝eq\f(1,2)|AF|，所以4－p＝2，解得p＝2，所以拋物線C的方程為y2＝4x.教師備選1．已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，M，N是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)．若|MF|＋|NF|＝5，則線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為()A．3B.eq\f(3,2)C．5D.eq\f(5,2)答案B解析由題意知拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1，分別過(guò)點(diǎn)M，N作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M′，N′(圖略)，根據(jù)拋物線的定義得|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|，所以|MF|＋|NF|＝|MM′|＋|NN′|，所以線段MN的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為eq\f(1,2)(|MF|＋|NF|)＝eq\f(5,2)，所以線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為eq\f(5,2)－1＝eq\f(3,2).2．(2022·濟(jì)南模擬)已知拋物線x2＝2py(p>0)，過(guò)焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限)．若直線AB的斜率為eq\f(\r(3),3)，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為eq\f(3,2)，則p的值為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．2答案C解析由題意得，拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)在y軸上，準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(p,2)，設(shè)A(xA，yA)，則|AF|＝y(tǒng)A＋eq\f(p,2)＝eq\f(3,2)＋eq\f(p,2)，設(shè)直線AB的傾斜角為α，則tanα＝eq\f(\r(3),3)，因?yàn)棣痢蔥0，π)，所以α＝eq\f(π,6)，所以|AF|＝eq\f(yA－\f(p,2),sinα)＝eq\f(\f(3,2)－\f(p,2),sinα)＝eq\f(3－p,2sinα)＝eq\f(3－p,2×\f(1,2))＝3－p，所以3－p＝eq\f(3,2)＋eq\f(p,2)，解得p＝1.思維升華求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法；(2)待定系數(shù)法：當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，分情況討論．跟蹤訓(xùn)練1(1)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為O，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是拋物線上異于O的一點(diǎn)，過(guò)P作PQ⊥l于Q.則線段FQ的垂直平分線()A．經(jīng)過(guò)點(diǎn)O B．經(jīng)過(guò)點(diǎn)PC．平行于直線OP D．垂直于直線OP答案B解析連接PF(圖略)，由題意及拋物線的定義可知|PQ|＝|FP|，則△QPF為等腰三角形，故線段FQ的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.(2)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”，講述了“勾股定理”及一些應(yīng)用，直角三角形的三條邊長(zhǎng)分別稱為“勾”“股”“弦”．設(shè)點(diǎn)F是拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，l是該拋物線的準(zhǔn)線，過(guò)拋物線上一點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為B，直線AF交準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若Rt△ABC的“勾”|AB|＝3，“股”|CB|＝3eq\r(3)，則拋物線的方程為()A．y2＝2xB．y2＝3xC．y2＝4xD．y2＝6x答案B解析如圖，|AB|＝3，|BC|＝3eq\r(3)，則|AC|＝eq\r(32＋3\r(3)2)＝6，設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)H，由|AB|＝|AF|＝3，|AC|＝6，可知點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，所以|FH|＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(3,2)，又|FH|＝p，所以p＝eq\f(3,2)，所以拋物線的方程為y2＝3x.題型二拋物線的幾何性質(zhì)例3(1)(2021·新高考全國(guó)Ⅱ)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)到直線y＝x＋1的距離為eq\r(2)，則p等于()A．1B．2C．2eq\r(2)D．4答案B解析拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，其到直線x－y＋1＝0的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)－0＋1)),\r(1＋1))＝eq\r(2)，解得p＝2(p＝－6舍去)．(2)已知弦AB經(jīng)過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是()A．當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，|AB|最小B.eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)C．以弦AB為直徑的圓與直線x＝－eq\f(p,2)相離D．y1y2＝－p2答案C解析當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，AB為拋物線的通徑，是最短的焦點(diǎn)弦，即|AB|最小，A正確；設(shè)AB方程為x＝ty＋eq\f(p,2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ty＋\f(p,2)，,y2＝2px，))得y2－2pty－p2＝0，∴y1＋y2＝2pt，y1y2＝－p2，D正確；∴x1＋x2＝eq\f(y\o\al(2,1)＋y\o\al(2,2),2p)＝eq\f(y1＋y22－2y1y2,2p)＝eq\f(4p2t2＋2p2,2p)＝2pt2＋p，x1x2＝eq\f(y\o\al(2,1)y\o\al(2,2),4p2)＝eq\f(p2,4)，∴eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(1,x1＋\f(p,2))＋eq\f(1,x2＋\f(p,2))＝eq\f(x1＋x2＋p,x1x2＋\f(p,2)x1＋x2＋\f(p2,4))＝eq\f(2pt2＋2p,p2＋p2t2)＝eq\f(2pt2＋1,p2t2＋1)＝eq\f(2,p)，B正確；∵AB的中點(diǎn)到x＝－eq\f(p,2)的距離為eq\f(1,2)(x1＋x2＋p)＝eq\f(1,2)|AB|，∴以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)相切，C錯(cuò)誤．教師備選1．拋物線y2＝2px(p>0)準(zhǔn)線上的點(diǎn)A與拋物線上的點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，線段AB的垂直平分線OM與拋物線交于點(diǎn)M，若直線MB經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(4,0)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(4,0) B．(2,0)C．(1,0) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))答案C解析設(shè)點(diǎn)B(x1，y1)，M(x2，y2)，則點(diǎn)A(－x1，－y1)，可得－x1＝－eq\f(p,2)，則x1＝eq\f(p,2)，設(shè)直線MB的方程為x＝my＋4，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋4，,y2＝2px，))可得y2－2mpy－8p＝0，所以y1y2＝－8p，由題意可知，eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝eq\f(y\o\al(2,1)y\o\al(2,2),4p2)＋y1y2＝eq\f(64p2,4p2)－8p＝16－8p＝0，解得p＝2.因此，拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)．2．(2022·唐山模擬)拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線r：y2＝x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于x軸的光線l1從點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,16)，1))射入，經(jīng)過(guò)r上的點(diǎn)A(x1，y1)反射后，再經(jīng)r上另一點(diǎn)B(x2，y2)反射后，沿直線l2射出，經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．y1y2＝－1B．|AB|＝eq\f(25,16)C．PB平分∠ABQD．延長(zhǎng)AO交直線x＝－eq\f(1,4)于點(diǎn)C，則C，B，Q三點(diǎn)共線答案A解析設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，則Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)).因?yàn)镻eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,16)，1))，且l1∥x軸，故A(1,1)，故直線AF：y＝eq\f(1－0,1－\f(1,4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))＝eq\f(4,3)x－eq\f(1,3).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(4,3)x－\f(1,3)，,y2＝x，))可得y2－eq\f(3,4)y－eq\f(1,4)＝0，故y1y2＝－eq\f(1,4)，故A錯(cuò)誤；又y1＝1，故y2＝－eq\f(1,4)，故Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，－\f(1,4)))，故|AB|＝1＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,2)＝eq\f(25,16)，故B正確；直線AO：y＝x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＝－\f(1,4)，))可得Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，－\f(1,4)))，故yC＝y(tǒng)2，所以C，B，Q三點(diǎn)共線，故D正確；因?yàn)閨AP|＝eq\f(41,16)－1＝eq\f(25,16)＝|AB|，故△APB為等腰三角形，故∠ABP＝∠APB，而l1∥l2，故∠PBQ＝∠APB，即∠ABP＝∠PBQ，故PB平分∠ABQ，故C正確．思維升華應(yīng)用拋物線的幾何性質(zhì)解題時(shí)，常結(jié)合圖形思考，通過(guò)圖形可以直觀地看出拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開(kāi)口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性．跟蹤訓(xùn)練2(1)(2021·新高考全國(guó)Ⅰ)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，則C的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_____________．答案x＝－eq\f(3,2)解析方法一(解直角三角形法)由題易得|OF|＝eq\f(p,2)，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以eq\f(|OF|,|PF|)＝eq\f(|PF|,|FQ|)，即eq\f(\f(p,2),p)＝eq\f(p,6)，解得p＝3，所以C的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(3,2).方法二(應(yīng)用射影定理法)由題易得|OF|＝eq\f(p,2)，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝eq\f(p,2)×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(3,2).(2)直線l過(guò)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F(1,0)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則p＝______，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝________.答案21解析由eq\f(p,2)＝1，得p＝2.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l：x＝1與y2＝4x聯(lián)立解得y＝±2，此時(shí)|AF|＝|BF|＝2，所以eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y＝k(x－1)，代入拋物線方程，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝1，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(|AF|＋|BF|,|AF||BF|)＝eq\f(x1＋x2＋2,x1＋1x2＋1)＝eq\f(x1＋x2＋2,x1x2＋x1＋x2＋1)＝eq\f(x1＋x2＋2,1＋x1＋x2＋1)＝1.綜上，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝1.題型三直線與拋物線例4已知拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)為F，斜率為eq\f(3,2)的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，求|AB|.解設(shè)直線l：y＝eq\f(3,2)x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由題設(shè)得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋eq\f(3,2).又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝eq\f(5,2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x，))可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，則x1＋x2＝－eq\f(12t－1,9).從而－eq\f(12t－1,9)＝eq\f(5,2)，得t＝－eq\f(7,8).所以l的方程為y＝eq\f(3,2)x－eq\f(7,8).(2)由eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))可得y1＝－3y2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x，))可得y2－2y＋2t＝0，所以y1＋y2＝2，從而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.代入C的方程得x1＝3，x2＝eq\f(1,3)，即A(3,3)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－1)).故|AB|＝eq\f(4\r(13),3).教師備選如圖，已知拋物線x2＝y(tǒng)，點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(9,4)))，拋物線上的點(diǎn)P(x，y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<\f(3,2))).過(guò)點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q.(1)求直線AP斜率的取值范圍；(2)求|PA|·|PQ|的最大值．解(1)設(shè)直線AP的斜率為k，k＝eq\f(x2－\f(1,4),x＋\f(1,2))＝x－eq\f(1,2)，因?yàn)椋璭q\f(1,2)<x<eq\f(3,2)，所以直線AP斜率的取值范圍是(－1,1)．(2)由(1)得直線AP的斜率為k，x＝k＋eq\f(1,2)，則直線BQ的斜率為－eq\f(1,k)(k≠0)，設(shè)直線AP的方程為kx－y＋eq\f(1,2)k＋eq\f(1,4)＝0，直線BQ的方程為x＋ky－eq\f(9,4)k－eq\f(3,2)＝0，聯(lián)立直線AP與BQ的方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx－y＋\f(1,2)k＋\f(1,4)＝0，,x＋ky－\f(9,4)k－\f(3,2)＝0，))解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是xQ＝eq\f(－k2＋4k＋3,2k2＋1).因?yàn)閨PA|＝eq\r(1＋k2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝eq\r(1＋k2)(k＋1)，|PQ|＝eq\r(1＋k2)(xQ－x)＝－eq\f(k－1k＋12,\r(k2＋1))，所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因?yàn)閒′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，所以f(k)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))上單調(diào)遞增，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上單調(diào)遞減，因此當(dāng)k＝eq\f(1,2)時(shí)，|PA|·|PQ|取得最大值eq\f(27,16).當(dāng)k＝0時(shí)，|PA|＝1，|PQ|＝1，|PA|·|PQ|＝1，所以|PA|·|PQ|的最大值為eq\f(27,16).思維升華(1)求解直線與拋物線問(wèn)題，一般利用方程法，但涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等問(wèn)題時(shí)，要注意“設(shè)而不求”“整體代入”“點(diǎn)差法”以及定義的靈活應(yīng)用．(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)(設(shè)焦點(diǎn)在x軸的正半軸上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則可用弦長(zhǎng)公式．跟蹤訓(xùn)練3設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0,2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)F的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)MA⊥OA時(shí)，|MF|＝2.(1)求p的值；(2)若eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝0，求直線l的方程．解(1)當(dāng)MA⊥OA時(shí)，此時(shí)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2，其橫坐標(biāo)xM＝eq\f(2,p).因?yàn)閨MF|＝2，根據(jù)拋物線的定義，得|MF|＝eq\f(2,p)＋eq\f(p,2)＝2，解得p＝2.(2)由(1)知，拋物線C的方程為y2＝4x，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)．設(shè)直線l：x＝ky＋1，點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ky＋1，,y2＝4x，))化簡(jiǎn)可得y2－4ky－4＝0，則y1＋y2＝4k，y1y2＝－4.根據(jù)題意eq\o(AM,\s\up6(→))＝(x1，y1－2)，eq\o(AN,\s\up6(→))＝(x2，y2－2)，且eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝0，所以x1x2＋(y1－2)(y2－2)＝0.將x1x2＝eq\f(y\o\al(2,1)y\o\al(2,2),16)＝1，y1＋y2＝4k，y1y2＝－4代入化簡(jiǎn)可得4－2×4k－4＋1＝0，解得k＝eq\f(1,8)，所以直線l的方程為x＝eq\f(1,8)y＋1，即8x－y－8＝0.課時(shí)精練1．拋物線x2＝eq\f(1,2)y的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是()A．2B．1C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)答案D解析拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程x2＝2py(p>0)中p的幾何意義為拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，由x2＝eq\f(1,2)y得p＝eq\f(1,4).2．若拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝8，則弦AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為()A．2B．3C．4D．6答案B解析因?yàn)閽佄锞€y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以p＝2，拋物線方程為y2＝4x.過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線的定義得，焦點(diǎn)弦|AB|＝x1＋x2＋p，所以8＝x1＋x2＋2，則x1＋x2＝6，所以AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為d＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(6,2)＝3.3．(2022·桂林模擬)已知拋物線y＝eq\f(1,2)x2的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，M在l上，線段MF與拋物線交于N點(diǎn)，若|MN|＝eq\r(2)|NF|，則|MF|等于()A．2 B．3C.eq\r(2) D.eq\r(3)答案C解析如圖，過(guò)N作準(zhǔn)線的垂線NH，垂足為H，設(shè)l與y軸的交點(diǎn)為K.根據(jù)拋物線的定義可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|MN|＝eq\r(2)|NH|，則∠NMH＝45°.在Rt△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝eq\r(2)|FK|.而|FK|＝1，所以|MF|＝eq\r(2).4.中國(guó)古代橋梁的建筑藝術(shù)，有不少是世界橋梁史上的創(chuàng)舉，充分顯示了中國(guó)勞動(dòng)人民的非凡智慧．一個(gè)拋物線型拱橋，當(dāng)水面離拱頂2m時(shí)，水面寬8m．若水面下降1m，則水面寬度為()A．2eq\r(6)m B．4eq\r(6)mC．4eq\r(2)m D．12m答案B解析由題意，以拱橋頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，由題意知，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－4，－2)和點(diǎn)B(4，－2)，代入拋物線方程解得p＝4，所以拋物線方程為x2＝－8y，水面下降1米，即y＝－3，解得x1＝2eq\r(6)，x2＝－2eq\r(6)，所以此時(shí)水面寬度d＝2x1＝4eq\r(6).5．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4，直線l過(guò)點(diǎn)F且與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，若M(m,2)是線段AB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是()A．p＝4B．拋物線方程為y2＝16xC．直線l的方程為y＝2x－4D．|AB|＝10答案B解析由焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4，根據(jù)拋物線的定義可知p＝4，故A正確；則拋物線方程為y2＝8x，故B錯(cuò)誤；焦點(diǎn)F(2,0)，則yeq\o\al(2,1)＝8x1，yeq\o\al(2,2)＝8x2，若M(m,2)是線段AB的中點(diǎn)，則y1＋y2＝4，∴yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝8x1－8x2，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(8,y1＋y2)＝eq\f(8,4)＝2，∴直線l的方程為y＝2x－4，故C正確；又由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝2x－4，))可得x2－6x＋4＝0，∴x1＋x2＝6，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正確．6．已知A，B為拋物線x2＝2py(p>0)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AB為直徑的圓C經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，且面積為2π，若過(guò)圓心C作該拋物線準(zhǔn)線l的垂線CD，垂足為D，則|CD|的最大值為()A．2B.eq\r(2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(1,2)答案A解析根據(jù)題意，2π＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2，∴|AB|＝2eq\r(2).設(shè)|AF|＝a，|BF|＝b，過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥l于Q，過(guò)點(diǎn)B作BP⊥l于P，如圖，由拋物線定義，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，∴在四邊形ABPQ中，2|CD|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b，由勾股定理得，8＝a2＋b2，∵|CD|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(a2＋b2＋2ab,4)＝eq\f(8＋2ab,4)＝2＋eq\f(ab,2)≤2＋eq\f(a2＋b2,4)＝4，∴|CD|≤2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立)．7．(2021·北京)已知拋物線C：y2＝4x，焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M為拋物線C上的點(diǎn)，且|FM|＝6，則M的橫坐標(biāo)是________，作MN⊥x軸于N，則S△FMN＝________.答案54eq\r(5)解析因?yàn)閽佄锞€的方程為y2＝4x，故p＝2且F(1,0)，因?yàn)閨MF|＝6，所以xM＋eq\f(p,2)＝6，解得xM＝5，故yM＝±2eq\r(5)，所以S△FMN＝eq\f(1,2)×(5－1)×2eq\r(5)＝4eq\r(5).8．(2020·新高考全國(guó)Ⅰ)斜率為eq\r(3)的直線過(guò)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________.答案eq\f(16,3)解析如圖，由題意得，拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，設(shè)直線AB的方程為y＝eq\r(3)(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x－1，,y2＝4x，))得3x2－10x＋3＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(10,3)，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝eq\f(16,3).9．過(guò)拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)F作直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1時(shí)，|AF|＝2.(1)求拋物線C的方程；(2)若拋物線C上存在點(diǎn)M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直線l的方程．解(1)拋物線C：x2＝2py(p>0)的準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(p,2)，焦點(diǎn)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))).∵當(dāng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1時(shí)，|AF|＝2，∴1＋eq\f(p,2)＝2，解得p＝2，∴拋物線C的方程為x2＝4y.(2)∵點(diǎn)M(－2，y0)在拋物線C上，∴y0＝eq\f(－22,4)＝1.又F(0,1)，∴設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＝4y，))得x2－4kx－4＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，eq\o(MA,\s\up6(→))＝(x1＋2，y1－1)，eq\o(MB,\s\up6(→))＝(x2＋2，y2－1)．∵M(jìn)A⊥MB，∴eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝0，∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，∴－4＋8k＋4－4k2＝0，解得k＝2或k＝0.當(dāng)k＝0時(shí)，l過(guò)點(diǎn)M(舍去)，∴k＝2，∴直線l的方程為y＝2x＋1.10．已知拋物線E：y2＝2px(p>0)，過(guò)點(diǎn)P(3,0)的直線l交拋物線E于A，B，且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－3(O為坐標(biāo)原點(diǎn))．(1)求拋物線E的方程；(2)求△AOB面積的最小值．解(1)設(shè)直線l為x＝ty＋3，代入E：y2＝2px整理得y2－2pty－6p＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝2pt，y1y2＝－6p，所以x1x2＝eq\f(y1y22,4p2)＝eq\f(－6p2,4p2)＝9，由eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－3，即x1x2＋y1y2＝－3，得9－6p＝－3，所以p＝2，所以所求拋物線E的方程為y2＝4x.(2)由(1)得y1＋y2＝4t，y1y2＝－12，|AB|＝eq\r(1＋t2)eq\r(4t2＋48)＝4eq\r(1＋t2)eq\r(t2＋3)，點(diǎn)O到直線l的距離為d＝eq\f(3,\r(1＋t2))，則S△AOB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×eq\f(3,\r(1＋t2))×4eq\r(1＋t2)eq\r(t2＋3)＝6eq\r(t2＋3)≥6eq\r(3)，當(dāng)t＝0時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)t＝0時(shí)，△AOB面積有最小值6eq\r(3).11．設(shè)F為拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)，A，B，C為拋物線上三點(diǎn)，若F為△ABC的重心，則|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|的值為()A．1B．2C．3D．4答案C解析由題意可知，點(diǎn)F的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，又F為△ABC的重心，故eq\f(xA＋xB＋xC,3)＝eq\f(1,2)，即xA＋xB＋xC＝eq\f(3,2).又由拋物線的定義可知|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|＝xA＋xB＋xC＋eq\f(3,2)＝eq\f(3,2)＋eq\f(3,2)＝3.12．某農(nóng)場(chǎng)為節(jié)水推行噴灌技術(shù)，噴頭裝在管柱OA的頂端A處，噴出的水流在各個(gè)方向上呈拋物線狀，如圖所示．現(xiàn)要求水流最高點(diǎn)B離地面4m，點(diǎn)B到管柱OA所在直線的距離為3m，且水流落在地面上以O(shè)為圓心，以7m為半徑的圓上，則管柱OA的高度為()A.eq\f(5,3)mB.eq\f(7,4)mC.eq\f(9,4)mD.eq\f(7,3)m答案B解析以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，記BM⊥OC且垂足為M，A在y軸上的投影為D，設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，由題意可知|AD|＝3，|BM|＝4，|OC|＝7，所以|MC|＝|OC|－|AD|＝7－3＝4，所以C(4，－4)，代入拋物線方程可知16＝8p，所以p＝2，所以拋物線方程為x2＝－4y，又因?yàn)閤A＝－3，所以yA＝y(tǒng)D＝－eq\f(9,4)，所以|BD|＝eq\f(9,4)，所以|OA|＝|DM|＝|BM|－|BD|＝4－eq\f(9,4)＝eq\f(7,4)，所以O(shè)A的高度為eq\f(7,4)m.13．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)過(guò)點(diǎn)P(1,1)，則下列結(jié)論不正確的是()A．點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離為eq\f(5,4)B．過(guò)點(diǎn)P作過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)Q，則△OPQ的面積為eq\f(5,32)C．過(guò)點(diǎn)P與拋物線相切的直線方程為x－2y＋1＝0D．過(guò)點(diǎn)P作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，則直線MN的斜率為eq\f(1,2)答案D解析因?yàn)閽佄锞€C：y2＝2px(p>0)過(guò)點(diǎn)P(1,1)，所以p＝eq\f(1,2)，所以拋物線方程為y2＝x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)).對(duì)于A，|PF|＝1＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,4)，A正確；對(duì)于B，kPF＝eq\f(4,3)，所以lPF：y＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))，與y2＝x聯(lián)立得4y2－3y－1＝0，所以y1＋y2＝eq\f(3,4)，y1y2＝－eq\f(1,4)，所以S△OPQ＝eq\f(1,2)|OF|·|y1－y2|＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)×eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\f(5,32)，B正確；對(duì)于C，依題意斜率存在，設(shè)直線方程為y－1＝k(x－1)，與y2＝x聯(lián)立得ky2－y＋1－k＝0，Δ＝1－4k(1－k)＝0，即4k2－4k＋1＝0，解得k＝eq\f(1,2)，所以切線方程為x－2y＋1＝0，C正確；對(duì)于D，依題意斜率存在，設(shè)lPM：y－1＝k′(x－1)，與y2＝x聯(lián)立得k′y2－y＋1－k′＝0，所以yM＋1＝eq\f(1,k′)，即yM＝eq\f(1,k′)－1，則xM＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k′)－1))2，所以點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k′)－1))2，\f(1,k′)－1))，同理Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k′)－1))2，－\f(1,k′)－1))，所以kMN＝eq\f(\f(1,k′)－1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k′)－1)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k′)－1))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k′)－1))2)＝eq\f(\f(2,k′),\f(－4,k′))＝－eq\f(1,2)，D錯(cuò)誤．14．已知P為拋物線C：y＝x2上一動(dòng)點(diǎn)，直線l：y＝2x－4與x軸，y軸交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)A(2，－4)，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(AN,\s\up6(→))，則λ＋μ的最小值為_(kāi)_______．答案eq\f(7,4)解析由題意得M(2,0)，N(0，－4)，設(shè)P(x，y)，由eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(AN,\s\up6(→))得(x－2，y＋4)＝λ(0,4)＋μ(－2,0)．所以x－2＝－2μ，y＋4＝4λ.因此λ＋μ＝eq\f(y＋4,4)－eq\f(x－2,2)＝eq\f(x2,4)－eq\f(x,2)＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(1,2)))2＋eq\f(7,4)≥eq\f(7,4)，故λ＋μ的最小值為eq\f(7,4).15．已知拋物線C：y2＝4x，其準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M，過(guò)其焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，記直線MA，MB的斜率分別