人教版九年級數(shù)學(xué)上冊重難點專題提升精講精練第二十四章圓重難點檢測卷(原卷版+解析)

第二十四章圓重難點檢測卷注意事項：本試卷滿分120分，考試時間120分鐘，試題共26題。答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（10小題，每小題3分，共30分）1．（2023秋·九年級課時練習(xí)）下列說法正確的是（）A．垂直于弦的直線平分弦所對的兩條弧 B．平分弦的直徑垂直于弦C．垂直于直徑的直線平分這條直徑 D．弦的垂直平分線經(jīng)過圓心2．（2023秋·九年級課時練習(xí)）如圖，四邊形內(nèi)接于是的直徑，連接．若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．3．（2023秋·九年級課時練習(xí)）下列條件中，能確定一個圓的是（

）A．以點為圓心 B．以長為半徑C．以點為圓心，長為半徑 D．經(jīng)過點4．（2023春·廣東云浮·九年級?？计谀┤鐖D，點P為外一點，為的切線，A為切點，交于點B．，，則線段的長為（

）

A．3 B． C．6 D．95．（2023春·河北石家莊·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在x軸的正半軸，點B在y軸的負(fù)半軸，經(jīng)過A、B、O、C四點，若，，則點A的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．6．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）若圓錐的底面直徑為4cm，側(cè)面展開圖的面積為，則圓錐的母線長為（）A．cm B．cm C．3cm D．2cm7．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，，D為的中點，連接，以點D為圓心，長為半徑作弧，若于點E，于點F．則圖中陰影部分的周長為（）

A． B． C． D．8．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，點是邊上一點，以點為圓心，以為半徑作圓，恰好與相切于點，連接．若平分，，則線段的長是（）

A． B． C．3 D．69．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，為直徑，C為圓上一點，I為內(nèi)心，交于D，于I，若，則為（

）

A． B． C． D．510．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點A是上一定點，點B是上一動點、連接、、，分別將線段、繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到、，連接、、、，下列結(jié)論：①點在上；②；③；④當(dāng)時，與相切．正確的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個二、填空題（8小題，每小題3分，共24分）11．（2023秋·九年級課時練習(xí)）如圖，所對的圓周角是，所對的圓周角是．

12．（2023秋·九年級課時練習(xí)）如圖，在中，，則的度數(shù)為．

13．（2023秋·九年級課時練習(xí)）如圖，在中，，連接，則的度數(shù)為．

14．（2023·安徽亳州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在中，半徑，C是上一點，連接，，，若，，則的長度為．

15．（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，斜邊，是的中點，線段的長為半徑畫圓心角為的扇形，弧經(jīng)過點，則圖中陰影部分的面積為平方單位．

16．（2023秋·九年級課時練習(xí)）如圖所示，在中，是的內(nèi)心，是的中點，則．

17．（2023春·黑龍江大慶·九年級?？茧A段練習(xí)）在中，，，，以直線為軸，把旋轉(zhuǎn)一周得到的圓錐的表面積是．18．（2023春·黑龍江大慶·九年級校考階段練習(xí)）四邊形中，，，且，．以為圓心，為半徑作弧，交的延長線于點，若點為弧上的動點，過點作于點，設(shè)點I為的內(nèi)心，連接，當(dāng)點Q從點C運動到點E時，則內(nèi)心I所經(jīng)過的路徑長為．三、解答題（8小題，共66分）19．（2023秋·江蘇·九年級?？贾軠y）如圖，點A、B、C、D在⊙O中，且，與相等嗎？為什么？20．（2023秋·九年級課時練習(xí)）已知在矩形中，，，以點為圓心，為半徑作，(1)當(dāng)半徑為何值時，與直線相切；(2)當(dāng)半徑為何值時，與直線相切；(3)當(dāng)半徑的取值范圍為何值時，與直線相交且與直線相離．21．（2023秋·九年級課時練習(xí)）（不需作輔助線）如圖，內(nèi)接于，，是的直徑，交于點，過點作，交的延長線于點，連接．求證：是的切線．

22．（2023秋·九年級課時練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點到直線的距離公式：，例如，求點到直線的距離．解：由直線知：，，，所以到直線的距離為，根據(jù)以上材料，解決下列問題：(1)求點到直線的距離；(2)在（1）基礎(chǔ)上，若以點為圓心，半徑為2作圓，請直接寫出直線與圓的位置關(guān)系．23．（2023秋·九年級課時練習(xí)）在古代，智慧的勞動人民已經(jīng)會使用“石磨”，其原理為在磨盤的邊緣連接一個固定長度的“連桿”，推動“連桿”帶動磨盤轉(zhuǎn)動，將糧食磨碎，物理學(xué)上稱這種動力傳輸工具為“曲柄連桿機(jī)構(gòu)”．小明受此啟發(fā)設(shè)計了一個“雙連桿機(jī)構(gòu)”，設(shè)計圖如圖①，兩個固定長度的“連桿”的連接點在上，當(dāng)點在上轉(zhuǎn)動時，帶動點分別在射線上滑動，．當(dāng)與相切時，點恰好落在上，如圖②．請僅就圖②的情形求證：．

24．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，點為的中點，對角線，交于點，的切線交的延長線于點，切點為．(1)求證：；(2)若，，求的長．25．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）已知：如圖1，為的直徑，點C為外一點，，連接交于D．

(1)若為的切線，求證：；(2)如圖2，若時，請用尺規(guī)作圖在內(nèi)部選一點P，使，以下是部分作圖步驟：第一步：過點O作的垂線，交于點E；第二步：連接；問題：①請完成接下來的作圖，并保留作圖痕跡；②在操作中得到的依據(jù)是．26．（2023春·陜西·九年級專題練習(xí)）【問題提出】（1）如圖①，為的一條弦，圓心O到弦的距離為4，若的半徑為7，則上的點到弦的距離最大值為_______；【問題探究】（2）如圖②，在中，為邊上的高，若，求面積的最小值；【問題解決】（3）“雙減”是黨中央、國務(wù)院作出的重大決策部署，實施一年多來，工作進(jìn)展平穩(wěn)，取得了階段性成效，為了進(jìn)一步落實雙減政策，豐富學(xué)生的課余生活，某校擬建立一塊綜合實踐基地，如圖③，為基地的大致規(guī)劃示意圖，其中，平分交于點，點為上一點，學(xué)校計劃將四邊形部分修建為農(nóng)業(yè)實踐基地，并沿鋪設(shè)一條人行走道，部分修建為興趣活動基地．根據(jù)規(guī)劃要求，米，．且農(nóng)業(yè)實踐基地部分（四邊形）的面積應(yīng)盡可能小，問四邊形的面積是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，請說明理由．

第二十四章圓重難點檢測卷注意事項：本試卷滿分120分，考試時間120分鐘，試題共26題。答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（10小題，每小題3分，共30分）1．（2023秋·九年級課時練習(xí)）下列說法正確的是（）A．垂直于弦的直線平分弦所對的兩條弧 B．平分弦的直徑垂直于弦C．垂直于直徑的直線平分這條直徑 D．弦的垂直平分線經(jīng)過圓心【答案】D【分析】根據(jù)垂徑定理對選項A、C進(jìn)行判斷，根據(jù)垂徑定理的推論對B、D選項進(jìn)行判斷．【詳解】解：A．垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條弧，所以A選項錯誤；B．平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，所以B選項錯誤；C．垂直于直徑的弦被這條直徑平分，所以C選項錯誤；D．弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，所以D選項正確．故選：D．【點睛】本題考查垂徑定理及垂徑定理的推論，掌握并理解定理的內(nèi)容是解答此題的關(guān)鍵2．（2023秋·九年級課時練習(xí)）如圖，四邊形內(nèi)接于是的直徑，連接．若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】首先利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和的度數(shù)求得的度數(shù)，然后利用直徑所對的圓周角是直角確定，然后利用直角三角形的兩個銳角互余求得答案即可．【詳解】解：∵四邊形內(nèi)接與，，∴，∵為直徑，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及圓周角定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．3．（2023秋·九年級課時練習(xí)）下列條件中，能確定一個圓的是（

）A．以點為圓心 B．以長為半徑C．以點為圓心，長為半徑 D．經(jīng)過點【答案】C【分析】確定一個圓有兩個重要因素，一是圓心，二是半徑，據(jù)此可以得到答案．【詳解】解：∵圓心確定，半徑確定后才可以確定圓，∴C選項正確，故選：C．【點睛】本題考查了確定圓的條件，確定圓要首先確定圓的圓心，然后也要確定半徑．4．（2023春·廣東云浮·九年級校考期末）如圖，點P為外一點，為的切線，A為切點，交于點B．，，則線段的長為（

）

A．3 B． C．6 D．9【答案】B【分析】直接利用切線的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用直角三角形的性質(zhì)得出關(guān)于半徑的方程，再利用勾股定理即可確定的長度．【詳解】解：如圖所示：連接，設(shè)，則，

∵為的切線，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴．故選：B．【點睛】題目主要考查了切線的性質(zhì)以及直角三角形中角的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．5．（2023春·河北石家莊·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在x軸的正半軸，點B在y軸的負(fù)半軸，經(jīng)過A、B、O、C四點，若，，則點A的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)可得，即可進(jìn)一步求解．【詳解】解：∵∴∴∵∴故點A的坐標(biāo)為故選：D．【點睛】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)、含的直角三角形等知識點．得出是解題關(guān)鍵．6．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）若圓錐的底面直徑為4cm，側(cè)面展開圖的面積為，則圓錐的母線長為（）A．cm B．cm C．3cm D．2cm【答案】C【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面積公式代入數(shù)據(jù)求出圓錐的母線長即可．【詳解】解：根據(jù)圓錐側(cè)面積公式：，圓錐的底面半徑為2cm，側(cè)面展開圖的面積為，故，解得：．故選：C．【點睛】此題主要考查了圓錐側(cè)面積公式的應(yīng)用，熟練圓錐側(cè)面積公式是解題關(guān)鍵．7．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，，D為的中點，連接，以點D為圓心，長為半徑作弧，若于點E，于點F．則圖中陰影部分的周長為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由，，，得，又D為的中點，有，根據(jù)，，，得到四邊形是矩形，從而可得，，然后得到，即得陰影部分的周長．【詳解】解：在中，，，∴，∵D為的中點，∴，∵，，，∴四邊形是矩形，∴，∴，，，∵，∴陰影部分的周長為，故選：C．【點睛】本題考查陰影周長，矩形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握弧長公式，證明四邊形是矩形．8．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，點是邊上一點，以點為圓心，以為半徑作圓，恰好與相切于點，連接．若平分，，則線段的長是（）

A． B． C．3 D．6【答案】D【分析】連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的定義得到，從而得到，進(jìn)而得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，設(shè)，則，，由勾股定理可得，，最后根據(jù)進(jìn)行計算即可．【詳解】解：連接，

是的半徑，是的切線，點是切點，，，，平分，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，故選：D．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，為直徑，C為圓上一點，I為內(nèi)心，交于D，于I，若，則為（

）

A． B． C． D．5【答案】A【分析】如圖，連接，，由題意知，平分，平分，則，，，，由，可得，由垂徑定理得，則，由勾股定理得，，如圖，連接交于，則，設(shè)，則，由勾股定理得，，即，解得，進(jìn)而可得，，由勾股定理得，，計算求解即可．【詳解】解：如圖，連接，，

由題意知，平分，平分，∴，，∴，，∵，∴，∵，∴，由勾股定理得，，如圖，連接交于，則，設(shè)，則，由勾股定理得，，即，解得，∴，，由勾股定理得，，故選：A．【點睛】本題考查了內(nèi)心，勾股定理，垂徑定理，同弧或等弧所對的圓周角相等，等腰三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．10．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點A是上一定點，點B是上一動點、連接、、，分別將線段、繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到、，連接、、、，下列結(jié)論：①點在上；②；③；④當(dāng)時，與相切．正確的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，易證和是等邊三角形，得到，即可判斷①結(jié)論；逆用等邊三角形性質(zhì)，即可證明，判斷②結(jié)論；利用等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，得到，再利用等邊三角形的性質(zhì)，得到，然后根據(jù)圓周角定理，即可判斷③結(jié)論；利用全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，得到，再利用等邊三角形的性質(zhì)和三角形外角的定義，得到，進(jìn)而得到，然后利用切線的判定定理可判斷④結(jié)論．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，和是等邊三角形，，點在上，①結(jié)論正確；，在和中，，，②結(jié)論正確；，，，，，，和是等邊三角形，，，，，，，③結(jié)論正確；，，，，，，當(dāng)時，∵，，∴，∴在上，，，，，與相切，④結(jié)論正確，綜上所述，正確的結(jié)論有①②③④，共4個，故選：A．

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，圓的切線的判定定理等知識，靈活運用相關(guān)知識解決問題是解題關(guān)鍵．二、填空題（8小題，每小題3分，共24分）11．（2023秋·九年級課時練習(xí)）如圖，所對的圓周角是，所對的圓周角是．

【答案】【分析】根據(jù)圓周角的定義即可解答．【詳解】解：如圖，

所對的圓周角是，所對的圓周角是．故答案為：；．【點睛】本題考查了圓周角，頂點在圓周上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．12．（2023秋·九年級課時練習(xí)）如圖，在中，，則的度數(shù)為．

【答案】【分析】由題意易得，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴；故答案為：．【點睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，熟練掌握圓的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋·九年級課時練習(xí)）如圖，在中，，連接，則的度數(shù)為．

【答案】/60度【分析】直接根據(jù)圓周角定理求解即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查圓周角定理，熟練掌握一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半是解答的關(guān)鍵．14．（2023·安徽亳州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在中，半徑，C是上一點，連接，，，若，，則的長度為．

【答案】/【分析】根據(jù)圓周角定理求出，進(jìn)而求出，再根據(jù)弧長公式計算，得到答案．【詳解】解：，，，，，的長為：，故答案為：．【點睛】本題考查的是弧長的計算、圓周角定理，根據(jù)圓周角定理求出是解題的關(guān)鍵．15．（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，斜邊，是的中點，線段的長為半徑畫圓心角為的扇形，弧經(jīng)過點，則圖中陰影部分的面積為平方單位．

【答案】/【分析】連接，作，，證明，則，求得扇形的面積，則陰影部分的面積即可求得．【詳解】解：連接，作．，，，，則扇形的面積是：，，，平分，又，，，，，則在和中，，，．則陰影部分的面積是：，故答案為：．

【點睛】本題考查了三角形的全等的判定與扇形的面積的計算的綜合題，正確證明，得到是解題的關(guān)鍵．16．（2023秋·九年級課時練習(xí)）如圖所示，在中，是的內(nèi)心，是的中點，則．

【答案】【分析】設(shè)的內(nèi)切圓I與各邊分別相切于點D，E，F(xiàn)，連接，，，可推出四邊形是正方形，從而，設(shè)，則，，從而得出，求得x的值，進(jìn)一步得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，∵，，，∴，

∵O是的中點，∴，設(shè)的內(nèi)切圓I與各邊分別相切于點D，E，F(xiàn)，連接，，，∴，，，，，∴四邊形是矩形，∴四邊形是正方形，∴，設(shè)，則，，∴，∴，∴，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓，圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，切線長定理等知識，解決問題的關(guān)鍵是掌握切線的有關(guān)性質(zhì)．17．（2023春·黑龍江大慶·九年級?？茧A段練習(xí)）在中，，，，以直線為軸，把旋轉(zhuǎn)一周得到的圓錐的表面積是．【答案】【分析】先根據(jù)勾股定理求出,再根據(jù)列出算式即可求解．【詳解】解：∵，，，∴,∴以直線為軸，把旋轉(zhuǎn)一周得到的圓錐的表面積為：．故答案為：【點睛】本題考查圓錐的表面積計算，熟知圓錐的表面積包括側(cè)面積和底面積，能正確求出圓錐的側(cè)面積是解題關(guān)鍵，圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，這個扇形的弧長為圓錐底面圓的周長，扇形的半徑為圓錐的母線長．18．（2023春·黑龍江大慶·九年級?？茧A段練習(xí)）四邊形中，，，且，．以為圓心，為半徑作弧，交的延長線于點，若點為弧上的動點，過點作于點，設(shè)點I為的內(nèi)心，連接，當(dāng)點Q從點C運動到點E時，則內(nèi)心I所經(jīng)過的路徑長為．【答案】/【分析】三角形的內(nèi)心是三角形三個內(nèi)角平分線的交點，連接，由內(nèi)心定義得，繼而證明，再由全等三角形的對應(yīng)角相等解得，接著計算的度數(shù)，得到，過、、三點作，求得的度數(shù)，求出，在等腰直角三角形中，利用勾股定理解得，最后根據(jù)弧長公式解題即可．【詳解】解：如圖，連接，是內(nèi)心，，，，，，，，，，

過、、三點作，連接，，當(dāng)點從點運動到點時，內(nèi)心所經(jīng)過的路徑長為的長，過點作，過作，垂足分別為M、N，，，，，，．

，，，在等腰直角三角形中，，．故答案為：．【點睛】本題考查圓的綜合，涉及圓周角定理、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)心性質(zhì)、不共線三點確定一個圓、弧長公式等知識，是重要考點，正確作出輔助線、掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．三、解答題（8小題，共66分）19．（2023秋·江蘇·九年級校考周測）如圖，點A、B、C、D在⊙O中，且，與相等嗎？為什么？【答案】相等，理由見解析【分析】由可得，即，因此與相等．【詳解】與相等．理由如下：∵，∴，即，∴．【點睛】本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個圓心角以及它們對應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對應(yīng)相等．在圓中經(jīng)常利用此結(jié)論把圓心角、弧、弦之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化．20．（2023秋·九年級課時練習(xí)）已知在矩形中，，，以點為圓心，為半徑作，(1)當(dāng)半徑為何值時，與直線相切；(2)當(dāng)半徑為何值時，與直線相切；(3)當(dāng)半徑的取值范圍為何值時，與直線相交且與直線相離．【答案】(1)當(dāng)半徑為3時，與直線相切(2)當(dāng)半徑為2.4時，與直線相切(3)當(dāng)半徑的取值范圍為時，與直線相交且與直線相離【分析】（1）根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑時，圓與直線相切，結(jié)合矩形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）連接，過點作，等積法求出的長，即為所求；（3）根據(jù)圓心到直線的距離和圓的半徑之間的關(guān)系，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵四邊形為矩形，∴，∴，，∵圓心到邊的距離為，與直線相切，∴，則當(dāng)半徑為3時，與直線相切；（2）連接，過作，交于點，∵在中，，，∴，又∵，∴圓心到邊的距離，又與直線相切，∴，則當(dāng)半徑為2.4時，與直線相切；（3）∵與直線相交，圓心到邊的距離為，∴，又與直線相離，圓心到的距離為，∴，則當(dāng)半徑的取值范圍為時，與直線相交且與直線相離．【點睛】本題考查直線與圓之間的位置關(guān)系．熟練掌握圓心到直線的距離等于半徑時，直線與圓相切，小于半徑時，直線與圓相交，大于半徑時，直線與圓相離，是解題的關(guān)鍵．21．（2023秋·九年級課時練習(xí)）（不需作輔助線）如圖，內(nèi)接于，，是的直徑，交于點，過點作，交的延長線于點，連接．求證：是的切線．

【答案】見解析【分析】根據(jù)，得到，再根據(jù)圓周角定理，得到，即可得到，根據(jù)是的直徑，得到，最后通過和角度的等量代換，即可解答．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，∵是的直徑，∴，即，∵，∴，∴，∴是的切線；【點睛】此題考查了證明直線是圓的切線，圓周角定理，平行線的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．22．（2023秋·九年級課時練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點到直線的距離公式：，例如，求點到直線的距離．解：由直線知：，，，所以到直線的距離為，根據(jù)以上材料，解決下列問題：(1)求點到直線的距離；(2)在（1）基礎(chǔ)上，若以點為圓心，半徑為2作圓，請直接寫出直線與圓的位置關(guān)系．【答案】(1)1(2)直線與圓的位置關(guān)系是相交【分析】（1）根據(jù)題中給出的點到直線的距離公式求解即可；（2）根據(jù)圓心到直線的距離小于半徑即可判斷出直線與圓相交．【詳解】（1）解：點到直線的距離．（2）解：∵點到直線的距離為1，的半徑為2，∴直線與圓的位置關(guān)系是相交．【點睛】本題考查了新定義問題，點到直線的距離公式，直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握點到直線的距離的求法．23．（2023秋·九年級課時練習(xí)）在古代，智慧的勞動人民已經(jīng)會使用“石磨”，其原理為在磨盤的邊緣連接一個固定長度的“連桿”，推動“連桿”帶動磨盤轉(zhuǎn)動，將糧食磨碎，物理學(xué)上稱這種動力傳輸工具為“曲柄連桿機(jī)構(gòu)”．小明受此啟發(fā)設(shè)計了一個“雙連桿機(jī)構(gòu)”，設(shè)計圖如圖①，兩個固定長度的“連桿”的連接點在上，當(dāng)點在上轉(zhuǎn)動時，帶動點分別在射線上滑動，．當(dāng)與相切時，點恰好落在上，如圖②．請僅就圖②的情形求證：．

【答案】見解析【分析】連接，設(shè)直線與交于點，根據(jù)切線性質(zhì)得出，即，根據(jù)，得出，證明，根據(jù)，證明．【詳解】證明：如圖，連接，設(shè)直線與交于點，

與相切于點，，，，，，∵，，．【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)．24．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，點為的中點，對角線，交于點，的切線交的延長線于點，切點為．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)證明見解析；(2)的長為．【分析】（1）由點為的中點，可得，根據(jù)為的直徑，有，又是的切線，為的直徑，有，即得，；（2）由，，，得，由等面積法得，由勾股定理得，，即．【詳解】（1）證明：∵點為的中點，∴∴，∵為的直徑，∴，∴，∵是的切線，為的直徑，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵，，，∴，∵為的直徑，∴，∴，∴，在中，，

由（）知，在中，，∴，答：的長為．【點睛】此題考查了圓的性質(zhì)及應(yīng)用，涉及勾股定理、等面積法等知識，解題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)及應(yīng)用，熟練應(yīng)用勾股定理解決問題．25．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）已知：如圖1，為的直徑，點C為外一點，，連接交于D．

(1)若為的切線，求證：；(2)如圖2，若時，請用尺規(guī)作圖在內(nèi)部選一點P，使，以下是部分作圖步驟：第一步：過點O作的垂線，交于點E；第二步：連接；問題：①請完成接下來的作圖，并保留作圖痕跡；②在操作中得到的依據(jù)是．【答案】(1)見解析(2)①作圖見解析；②在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)三線合一定理證明是的中位線，則，由此可知；（2）①如圖2：根據(jù)題意作出圖形即可；②根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖1，連接，

∵為的切線，為的直徑，∴，，∵，∴，∵，∴是的中位線，∴，∴；（2）解：①如圖2