山東省單縣第一中學2025屆數(shù)學高二上期末經(jīng)典模擬試題含解析

山東省單縣第一中學2025屆數(shù)學高二上期末經(jīng)典模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知為虛數(shù)單位，復數(shù)是純虛數(shù)，則（）A B.4C.3 D.22．傾斜角為45°，在y軸上的截距為2022的直線方程是（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)，若，則等于（）A. B.1C.ln2 D.e4．已知點、是雙曲線C：的左、右焦點，P是C左支上一點，若直線的斜率為2，且為直角三角形，則雙曲線C的離心率為()A.2 B.C. D.5．①命題設“，若，則或”；②若“”為真命題，則p，q均為真命題；③“”是函數(shù)為偶函數(shù)的必要不充分條件；④若為空間的一個基底，則構成空間的另一基底；其中正確判斷的個數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.46．圓上到直線的距離為的點共有A.個 B.個C.個 D.個7．已知命題，則為（）A. B.C. D.8．如果雙曲線的一條漸近線方程為，且經(jīng)過點，則雙曲線的標準方程是（）A. B.C. D.9．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，則的形狀為（）A.正三角形 B.等腰直角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形10．一道數(shù)學試題，甲、乙兩位同學獨立完成，設命題是“甲同學解出試題”，命題是“乙同學解出試題”，則命題“至少一位同學解出試題”可表示為（）A. B.C. D.11．已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.12．已知雙曲線C的離心率為，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線：（）的焦點到準線的距離為4，過點的直線與拋物線交于，兩點，若，則______14．如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________.15．已知等差數(shù)列的公差為1，且是和的等比中項，則前10項的和為___________.16．已知存在正數(shù)使不等式成立，則的取值范圍_____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（Ⅰ）求的單調區(qū)間和最值；（Ⅱ）設，證明：當時，18．（12分）設等差數(shù)列的前項和為（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和19．（12分）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線的準線交于點，為坐標原點，（1）求拋物線的方程；（2）直線與拋物線交于，兩點，求的面積20．（12分）如圖，在正方體中，為的中點，點在棱上（1）若，證明：與平面不垂直；（2）若平面，求平面與平面的夾角的余弦值21．（12分）已知點A（1，2）在拋物線C∶上，過點A作兩條直線分別交拋物線于點D，E，直線AD，AE的斜率分別為kAD，kAE，若直線DE過點P（-1，-2）（1）求拋物線C的方程；（2）求直線AD，AE的斜率之積.22．（10分）設函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】化簡復數(shù)得，由其為純虛數(shù)求參數(shù)a，進而求的模即可.【詳解】由為純虛數(shù)，∴，解得：，則，故選：C2、A【解析】根據(jù)直線斜率與傾斜角的關系，結合直線斜截式方程進行求解即可.【詳解】因為直線的傾斜角為45°，所以該直線的斜率為，又因為該直線在y軸上的截距為2022，所以該直線的方程為：，故選：A3、D【解析】求導，由得出.【詳解】，故選：D4、B【解析】根據(jù)雙曲線的定義和勾股定理利用即可得離心率.【詳解】∵直線的斜率為2，為直角三角形，∴，又，∴，.∵，即，∴故選：B.5、B【解析】利用逆否命題、含有邏輯聯(lián)結詞命題的真假性、充分和必要條件、空間基底等知識對四個判斷進行分析，由此確定正確答案.【詳解】①，原命題的逆否命題為“，若且，則”，逆否命題是真命題，所以原命題是真命題，①正確.②，若“”為真命題，則p，q至少有一個真命題，②錯誤.③，函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是“”.所以“”是函數(shù)為偶函數(shù)的充分不必要條件，③錯誤.④，若為空間的一個基底，即不共面，若共面，則存在不全為零的，使得，故，因為為空間的一個基底，，故，矛盾，故不共面，所以構成空間的另一基底，④正確.所以正確的判斷是個.故選：B6、C【解析】求出圓的圓心和半徑，比較圓心到直線的距離和圓的半徑的關系即可得解.【詳解】圓可變?yōu)?，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，圓上到直線的距離為的點共有個.故選：C.【點睛】本題考查了圓與直線的位置關系，考查了學生合理轉化的能力，屬于基礎題.7、C【解析】將全稱命題否定為特稱命題即可【詳解】由題意，根據(jù)全稱命題與特稱命題的關系，可得命題，則，故選：C.8、D【解析】根據(jù)漸近線方程設出雙曲線方程，然后將點代入，進而求得答案.【詳解】因為雙曲線的一條漸近線方程為，所以設雙曲線方程為，將代入得：，即雙曲線方程為.故選：D.9、C【解析】根據(jù)三角恒等變換結合正弦定理化簡求得，即可判定三角形形狀.【詳解】解：由題，得，即，由正弦定理可得：，所以，所以三角形中，所以，又，所以，即三角形為直角三角形.故選：C.10、D【解析】根據(jù)“或命題”的定義即可求得答案.【詳解】“至少一位同學解出試題”的意思是“甲同學解出試題，或乙同學解出試題”.故選：D.11、C【解析】作出輔助線，找到異面直線與所成角，進而利用余弦定理及勾股定理求出各邊長，最后利用余弦定理求出余弦值.【詳解】如圖所示，把三棱柱補成四棱柱，異面直線與所成角為，由勾股定理得：，，∴故選：C12、B【解析】根據(jù)雙曲線的離心率，求出即可得到結論【詳解】∵雙曲線的離心率是，∴，即1+，即1，則，即雙曲線的漸近線方程為，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、15【解析】易得拋物線方程為，根據(jù)，求得點P的坐標，進而得到直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，再利用拋物線定義求解.【詳解】解：因為拋物線的焦點到準線的距離為4，所以，則拋物線：，設點的坐標為，的坐標為，因為，所以，則，則，所以直線的方程為，代入拋物線方程可得，故，則，所以故答案為：1514、【解析】在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理計算出、，可得出，然后在中利用余弦定理可求得的值.【詳解】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得.故答案為：.【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查計算能力，屬于中等題.15、【解析】利用等比中項及等差數(shù)列通項公式求出首項，再利用等差數(shù)列的前項和公式求出前10項的和.【詳解】設等差數(shù)列的首項為，由已知條件得，即，，解得，則.故答案為：.16、（1，1）【解析】存在性問題轉化為最大值，運用均值不等式，求出的最大值，轉化成解對數(shù)不等式，進而解出【詳解】解：∵，由于，則，∴，當且僅當時，即：時，∴有最大值，又存在正數(shù)使不等式成立，則，即，∴，即的取值范圍為：.故答案為：【點睛】本題考查均值不等式的應用和對數(shù)不等式的解法，還涉及存在性問題，考查化簡計算能力三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；最小值為，無最大值；（Ⅱ）證明見解析【解析】（Ⅰ）根據(jù)導函數(shù)的正負即可確定單調區(qū)間，由單調性可得最值點；（Ⅱ）構造函數(shù)，利用導數(shù)可確定單調性，結合的正負可確定的零點的范圍，進而得到結論.【詳解】（Ⅰ）由題意得：定義域為，，當時，；當時，；的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為的最小值為，無最大值（Ⅱ）設，則，令得：當時，；當時，，在上單調遞增；在上單調遞減由（Ⅰ）知：，可得：，，可得：，即又，當時，，即當時，【點睛】思路點睛：本題考查導數(shù)在研究函數(shù)中的應用，涉及到函數(shù)單調性和最值的求解、利用導數(shù)證明不等式等知識；利用導數(shù)證明不等式的關鍵是能夠通過移項構造的方式，構造出新的函數(shù)，通過的單調性，結合零點所處的范圍可分析得到結果.18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項和求和公式求出首項和公差，進而求出通項公式；（2）結合（1）求出，再令得出數(shù)列的正數(shù)項和負數(shù)項，進而結合等差數(shù)列求和公式求得答案.【小問1詳解】設等差數(shù)列的首項和公差分別為和，∴，解得：所以.【小問2詳解】，所以.當；當，當，時，，當時，.綜上：.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意建立關于的方程，解得的值即可.（2）聯(lián)列方程組并消元，韋達定理整體思想求的長，再求點到直線的距離，進而求面積.【小問1詳解】由題意可得，，則，因為，所以，解得，故拋物線的方程為【小問2詳解】由（1）可知，則點到直線的距離聯(lián)立，整理得設，，則，從而因為直線過拋物線的焦點，所以故的面積為20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）設正方體的棱長為，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，計算出，即可證得結論成立；（2）利用空間向量法可求得平面與平面的夾角的余弦值.【小問1詳解】證明：以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為，則、、、，由得點的坐標為，，，因為，所以與不垂直，所以與平面不垂直【小問2詳解】解：設，則，，因為平面，所以，所以，得，且，即，所以，，設平面的法向量為，由，取，可得，因為平面，所以平面的一個法向量為，所以，所以平面與平面所成夾角的余弦值為21、（1）（2）【解析】（1）代入點即可求得拋物線方程；（2）聯(lián)立方程后利用韋達定理求出，，，，然后代入即可求得斜率的積.【小問1詳解】解：點A（1，2）在拋物線C∶上故【小問2詳解】設直線方程為：聯(lián)立方程，整理得：由題意及韋達定理可得：，22、（1）的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；（2）.【解析】（1）求出，進而判斷函數(shù)的單調性，然后討論符號后可得函數(shù)的單調區(qū)間；（2）令，則有兩個不同的零點，利用導數(shù)討論的單調性并結合零點存在定理可得實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當時，，，記，則，所以在上單調遞增，又，所以當時，；當時，，所以單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為【小問2詳解】令，得，記，則，令得，列表得．x0↘極小值↗要使在上有兩個零點，則，所以且函數(shù)在和上各有一個零點當時，，，，則，故上無零點，與函數(shù)在上有一個零點矛盾，故不滿足條件所以，又因為，所以考慮，設，，則，則在上單調遞減，故當時，，所以，且，因為，所以，由零點存在定理知在和