梅州市重點中學2024-2025學年九年級數(shù)學第一學期開學考試試題【含答案】

學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號…………密…………封…………線…………內(nèi)…………不…………要…………答…………題…………第1頁，共3頁梅州市重點中學2024-2025學年九年級數(shù)學第一學期開學考試試題題號一二三四五總分得分A卷（100分）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、（4分）如圖所示，已知：點A（0，0），B（，0），C（0，1）．在△ABC內(nèi)依次作等邊三角形，使一邊在x軸上，另一個頂點在BC邊上，作出的等邊三角形分別是第1個△AA1B1，第2個△B1A2B2，第3個△B2A3B3，…，則第n個等邊三角形的邊長等于（）A． B． C． D．2、（4分）已知：如圖在直角坐標系中，有菱形OABC，A點的坐標為（10，0），對角線OB、AC相交于D點，雙曲線x0經(jīng)過D點，交AB于E點，且OB?AC=160，則點E的坐標為（）．A．（3，8） B．（12，） C．（4，8） D．（12，4）3、（4分）如圖，AD、BE分別是的中線和角平分線，，，F(xiàn)為CE的中點，連接DF，則AF的長等于（）A．2 B．3 C． D．4、（4分）小明做了一個數(shù)學實驗：將一個圓柱形的空玻璃杯放入形狀相同的無水魚缸內(nèi)，看作一個容器，然后，小明對準玻璃杯口勻速注水，如圖所示，在注水過程中，杯底始終緊貼魚缸底部，則下面可以近似地刻畫出容器最高水位h與注水時間t之間的變化情況的是（）A． B．C． D．5、（4分）把分式中的x和y都擴大為原來的5倍，那么這個分式的值（）A．擴大為原來的5倍 B．不變C．縮小到原來的 D．擴大為原來的倍6、（4分）下列交通標志圖案中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．7、（4分）在對某社會機構(gòu)的調(diào)查中收集到以下數(shù)據(jù)，你認為最能夠反映該機構(gòu)年齡特征的統(tǒng)計量是（）年齡13141525283035其他人數(shù)30533171220923A．平均數(shù) B．眾數(shù) C．方差 D．標準差8、（4分）如圖，矩形ABCD中，點E在邊AB上，將矩形ABCD沿直線DE折疊，點A恰好落在BC邊上的F處，若CD=6，BF=2，則AD的長是（）A．7 B．8 C．9 D．10二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、（4分）如圖是由5個邊長為1的正方形組成了“十”字型對稱圖形，則圖中∠BAC的度數(shù)是_________．10、（4分）在菱形ABCD中，∠C＝∠EDF＝60°，AB＝1，現(xiàn)將∠EDF繞點D任意旋轉(zhuǎn)，分別交邊AB、BC于點E、F（不與菱形的頂點重合），連接EF，則△BEF的周長最小值是_____.11、（4分）如圖，在反比例函數(shù)與的圖象上分別有一點，，連接交軸于點，若且，則__________．12、（4分）．若2m=3n，那么m︰n=.13、（4分）如圖所示，將四根木條組成的矩形木框變成?ABCD的形狀，并使其面積變?yōu)樵瓉淼囊话?，則這個平行四邊形的一個最小的內(nèi)角的度數(shù)是_____．三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（12分）倡導健康生活推進全民健身，某社區(qū)去年購進A，B兩種健身器材若干件，經(jīng)了解，B種健身器材的單價是A種健身器材的1．5倍，用7200元購買A種健身器材比用5400元購買B種健身器材多10件．（1）A，B兩種健身器材的單價分別是多少元？（2）若今年兩種健身器材的單價和去年保持不變，該社區(qū)計劃再購進A，B兩種健身器材共50件，且費用不超過21000元，請問：A種健身器材至少要購買多少件？15、（8分）如圖，中，．（1）請用尺規(guī)作圖的方法在邊上確定點，使得點到邊的距離等于的長；（保留作用痕跡，不寫作法）（2）在（1）的條件下，求證：．16、（8分）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小正方形的頂點叫作格點.ΔABC的三個頂點A,B,C都在格點上，將ΔABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到ΔA(1)在正方形網(wǎng)格中，畫出ΔAB(2)畫出ΔAB'C'向左平移(3)計算線段AB在變換到AB'17、（10分）已知y與x+1成正比例，當x=1時，y=3，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．18、（10分）如圖，在四邊形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為E、F，DE＝BF，∠ADB＝∠CBD．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．B卷（50分）一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、（4分）若y=++2，則x+y=_____．20、（4分）如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊的中點，順次連結(jié)E、F、G、H，把四邊形EFGH稱為中點四邊形．連結(jié)AC、BD，容易證明：中點四邊形EFGH一定是平行四邊形．(1)如果改變原四邊形ABCD的形狀，那么中點四邊形的形狀也隨之改變，通過探索可以發(fā)現(xiàn)：當四邊形ABCD的對角線滿足AC＝BD時，四邊形EFGH為菱形；當四邊形ABCD的對角線滿足時，四邊形EFGH為矩形；當四邊形ABCD的對角線滿足時，四邊形EFGH為正方形．(2)試證明：S△AEH＋S△CFG＝S□ABCD(3)利用(2)的結(jié)論計算：如果四邊形ABCD的面積為2012，那么中點四邊形EFGH的面積是（直接將結(jié)果填在橫線上）21、（4分）平面直角坐標系中，將點A（1，﹣2）向上平移1個單位長度后與點B重合，則點B的坐標是（________）．22、（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，過BC的中點E作EF⊥AB于點F，交DC的延長線于點G，則DE＝_____．23、（4分）若次函數(shù)y＝（a﹣1）x+a﹣8的圖象經(jīng)過第一，三，四象限，且關(guān)于y的分式方程有整數(shù)解，則滿足條件的整數(shù)a的值之和為_____．二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、（8分）在平面直角坐標系xOy中，對于與坐標軸不平行的直線l和點P，給出如下定義：過點P作x軸，y軸的垂線，分別交直線l于點M，N，若PM+PN≤4，則稱P為直線l的近距點，特別地，直線上l所有的點都是直線l的近距點．已知點A(-，0)，B(0，2)，C(-2，2)．（1）當直線l的表達式為y=x時，①在點A，B，C中，直線l的近距點是；②若以OA為邊的矩形OAEF上所有的點都是直線l的近距點，求點E的縱坐標n的取值范圍；（2）當直線l的表達式為y=kx時，若點C是直線l的近距點，直接寫出k的取值范圍．25、（10分）解一元二次方程（1）2x+x-3=0（2）26、（12分）如圖，一次函數(shù)的圖像過點和點，以線段為邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△ABC，使（1）求一次函數(shù)的解析式；（2）求出點的坐標（3）點是軸上一動點，當最小時，求點的坐標.

參考答案與詳細解析一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、A【解析】

根據(jù)題目已知條件可推出，AA1=OC=,B1A2=A1B1=,依此類推，第n個等邊三角形的邊長等于.【詳解】解：∵OB=，OC=1，

∴BC=2，

∴∠OBC=30°，∠OCB=60°．

而△AA1B1為等邊三角形，∠A1AB1=60°，

∴∠COA1=30°，則∠CA1O=90°．

在Rt△CAA1中，AA1=OC=,同理得：B1A2=A1B1=,依此類推，第n個等邊三角形的邊長等于.本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及解直角三角形，從而歸納出邊長的規(guī)律．2、B【解析】

過點B作軸于點，由可求出菱形的面積，由點的坐標可求出的長，根據(jù)勾股定理求出的長，故可得出點的坐標，對角線相交于D點可求出點坐標，用待定系數(shù)法可求出雙曲線的解析式，與的解析式聯(lián)立，即可求出點的坐標.【詳解】過點B作軸于點,,點的坐標又菱形的邊長為10，在中，又點是線段的中點，點的坐標為又直線的解析式為聯(lián)立方程可得：解得：或，點的坐標為故選：B.本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)以及菱形綜合，熟練的掌握菱形面積求法是解決本題的關(guān)鍵.3、D【解析】

已知AD是的中線，F(xiàn)為CE的中點，可得DF為△CBE的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理可得DF∥BE，DF=BE=2；又因，可得∠BOD=90°，由平行線的性質(zhì)可得∠ADF=∠BOD=90°，在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理即可求得AF的長.【詳解】∵AD是的中線，F(xiàn)為CE的中點，∴DF為△CBE的中位線，∴DF∥BE，DF=BE=2；∵，∴∠BOD=90°，∵DF∥BE，∴∠ADF=∠BOD=90°，在Rt△ADF中，AD=4，DF=2，∴AF=.故選D.本題考查了三角形的中位線定理及勾股定理，利用三角形的中位線定理求得DF∥BE，DF=BE=2是解決問題的關(guān)鍵.4、D【解析】

試題分析：一注水管向小玻璃杯內(nèi)注水，水面在逐漸升高，當小杯中水滿時，開始向大桶內(nèi)流，這時最高水位高度不變，當桶水面高度與小杯一樣后，再繼續(xù)注水，水面高度在升高，升高的比開始慢．故選D．考點：函數(shù)的圖象．5、B【解析】

先將x和y都擴大為原來的5倍，然后再化簡，可得答案．【詳解】解：分式中的x和y都擴大為原來的5倍，得，所以這個分式的值不變，故選：B．此題考查了分式的基本性質(zhì)，關(guān)鍵是熟悉分式的運算法則．6、C【解析】

根據(jù)中心對稱圖形的概念，分別判斷即可.【詳解】解：A、B、D不是中心對稱圖形，C是中心對稱圖形.故選C.點睛：本題考查了中心對稱圖形的概念：中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．7、B【解析】分析：根據(jù)平均數(shù)的意義，眾數(shù)的意義，方差的意義進行選擇．詳解：由于14歲的人數(shù)是533人，影響該機構(gòu)年齡特征，因此，最能夠反映該機構(gòu)年齡特征的統(tǒng)計量是眾數(shù)．故選B．點睛：本題主要考查統(tǒng)計的有關(guān)知識，主要包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義．反映數(shù)據(jù)集中程度的統(tǒng)計量有平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等，各有局限性，因此要對統(tǒng)計量進行合理的選擇和恰當?shù)倪\用．8、D【解析】分析：根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得AD=DF=BC，設AD=DF=BC=x，在Rt△DCF中，根據(jù)勾股定理列出方程求得x值，即可得AD的長.詳解：∵△DEF由△DEA翻折而成，∴DF=AD，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC,設AD=DF=BC=x，在Rt△DCF中，根據(jù)勾股定理可得，，解得x=1.即AD=1．故選D．點睛：本題考查了矩形的翻折變換，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等，解決這類問題的基本思路是在直角三角形中利用勾股定理列方程．二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、45.【解析】

連接BC，通過計算可得AB=BC，再利用勾股定理逆定理證明△ABC是等腰直角三角形，從而得出結(jié)果.【詳解】解：連接BC，因為每個小正方形的邊長都是1，由勾股定理可得，，，∴AB=BC，，∴∠ABC=90°.∴∠BAC=∠BCA=45°.故答案為45°.本題考查了勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是連接BC，構(gòu)造等腰直角三角形，而通過作輔助線構(gòu)造特殊三角形也是解決角度問題的常見思路和方法.10、1+【解析】

連接BD,根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD=AB=BC=CD，∠C=∠A=60°,由等邊三角形的判定定理即可得到結(jié)論；△ABD和△CBD都是等邊三角形，于是得到∠EBD=∠DBC=∠C=60°，BD=CD證得∠EDB=∠FDC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DE=DF，BE=CF,證明△DEF是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到DF=EF，得到BF+BE=BF+CF=1，得到當DF⊥BC時，求得，△BEF的周長取得最小值.【詳解】連接BD,∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB=BC=CD,∠C=∠A=60°，∴△ABD和△CBD都是等邊三角形；∴∠EBD=∠DBC=∠C=60°，BD=CD,∵∠EDF=60°，∴∠EDB=∠FDC，在△BDE與△CDF中,∴△BDE≌△CDF，∴DE=DF，BE=CF，∴△DEF是等邊三角形；∴EF=DF，∴BF+BE=BF+CF=1,當DF⊥BC時,此時△DEF的周長取得最小值，∴△DEF的周長的最小值為：故答案為:考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.11、【解析】

過點E作EM⊥x軸于點M，過點F作FN⊥x軸于點N，根據(jù)平行線分線段成比例定理得：NO=2MO=2，從而可得F（2，2），結(jié)合E（-1，1）可得直線EF的解析式，求出點G的坐標后即可求解．【詳解】過點E作EM⊥x軸于點M，過點F作FN⊥x軸于點N，如圖：

∴EM∥GO∥FN

∵2EG=FG

∴根據(jù)平行線分線段成比例定理得：NO=2MO

∵E（-1，1）

∴MO=1

∴NO=2

∴點F的橫坐標為2

∵F在的圖象上

∴F（2，2）

又∵E（-1，1）

∴由待定系數(shù)法可得：直線EF的解析式為：y=

當x=0時，y=

∴G（0，）

∴OG=

故答案為：.此題考查反比例函數(shù)的綜合應用，平行線分線段成比例定理，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，解題關(guān)鍵在于掌握待定系數(shù)法求解析式.12、3︰2【解析】

根據(jù)比例的性質(zhì)將式子變形即可.【詳解】，，故答案為：3︰2點睛：此題考查比例的知識13、30°【解析】

過A作AE⊥BC于點E，由四根木條組成的矩形木框變成?ABCD的形狀，面積變?yōu)樵瓉淼囊话?，可得AE＝AB，由此即可求得∠ABE＝30°，即平行四邊形中最小的內(nèi)角為30°．【詳解】解：過A作AE⊥BC于點E，如圖所示：由四根木條組成的矩形木框變成?ABCD的形狀，面積變?yōu)樵瓉淼囊话?，得到AE＝AB，又△ABE為直角三角形，∴∠ABE＝30°，則平行四邊形中最小的內(nèi)角為30°．故答案為：30°本題考查了平行四邊形的面積公式及性質(zhì)，根據(jù)題意求得AE＝AB是解決問題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（1）A，B單價分別是360元，540元；（2）34件．【解析】

（1）設A種型號健身器材的單價為x元/套，B種型號健身器材的單價為1．5x元/套，根據(jù)“B種健身器材的單價是A種健身器材的1．5倍，用7200元購買A種健身器材比用5400元購買B種健身器材多10件”，即可得出關(guān)于x，y的分式方程，解之即可得出結(jié)論；（2）設購買A種型號健身器材m套，則購買B種型號的健身器材(50﹣m)套，根據(jù)總價＝單價×數(shù)量結(jié)合這次購買兩種健身器材的總費用不超過21000元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設A種型號健身器材的單價為x元/套，B種型號健身器材的單價為1．5x元/套，根據(jù)題意，可得：，解得：x＝360，經(jīng)檢驗x＝360是原方程的根，1.5×360＝540(元)，因此，A，B兩種健身器材的單價分別是360元，540元；（2）設購買A種型號健身器材m套，則購買B種型號的健身器材(50﹣m)套，根據(jù)題意，可得：360m+540(50﹣m)≤21000，解得：m≥，因此，A種型號健身器材至少購買34套．本題考查的知識點是分式方程以及一元一次不等式的實際應用，讀懂題意，找出題目中的等量關(guān)系式是解此題的關(guān)鍵．15、（1）見解析；（2）見解析.【解析】

（1）作出∠ABC的角平分線BM交線段AC于P，利用角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可知點P即為所求；（2）過點P作PN⊥BC，交BC于點N，通過證明≌得到AB=BN，且易得PN=NC，由BC=BN+NC，等線段轉(zhuǎn)化即可得證.【詳解】解：（1）如圖：利用尺規(guī)作圖，作出∠ABC的角平分線BM交線段AC于P，則點到邊的距離等于的長；（2）如圖，過點P作PN⊥BC，交BC于點N，由（1）可知:PA=PN，在和中，，∴≌(HL)，∴AB=BN，∵，∴∠C=45°，又∵∠PNC=90°∴∠NPC=∠C=45°，∴PN=NC，∴BC=BN+NC=AB+PN=AB+AP.本題主要考查了利用尺規(guī)作圖作一個角的角平分線，角平分線的性質(zhì)及直角三角形全等的判定.熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.16、（1）見解析；（2）見解析；（3）25π4【解析】

（1）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應點位置進而得出答案；（2）利用平移的性質(zhì)得出對應點位置進而得出答案；（3）利用扇形面積求法得出答案．【詳解】（1）如圖所示：△AB'C'即為所求；（2）如圖所示：△A'B″C″即為所求；（3）由勾股定理得AB=5，線段AB在變換到AB'的過程中掃過區(qū)域的面積為：90π×52本題考查了旋轉(zhuǎn)變換以及平移變換，正確得出對應點位置是解題的關(guān)鍵．17、y=x+【解析】試題分析：根據(jù)正比例函數(shù)的定義設y=k（x+1）（k≠0），然后把x、y的值代入求出k的值，再整理即可得解．解：由題意，設y=k（x+1），把x=1，y=3代入，得2k=3，∴k=∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為．考點：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．18、見解析.【解析】

根據(jù)∠ADB＝∠CBD，可知AD∥BC，由題意DE⊥AC，BF⊥AC，可知∠AED＝∠CFB＝90°，因為DE＝BF，所以證出△ADE≌△CBF（AAS），根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證出.【詳解】∵∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AED＝∠CFB＝90°，又∵DE＝BF，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．本題主要考查了平行四邊形的判定，熟知由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形是解題關(guān)鍵.一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、5【解析】分析：根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式求出x，再求出y，然后相加計算即可得解．詳解：由題意得，且，解得且所以，x=3，y=2，所以，x+y=3+2=5.故答案為5.點睛：考查二次根式有意義的條件，二次根式有意義的條件是：被開方數(shù)大于等于零.20、;（2）詳見解析；（3）1【解析】

（1）若四邊形EFGH為矩形，則應有EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，EF⊥EH，故應有AC⊥BD；若四邊形EFGH為正方形，同上應有AC⊥BD，又應有EH=EF，而EF=AC，EH=BD，故應有AC=BD．

（2）由相似三角形的面積比等于相似比的平方求解．

（3）由（2）可得S?EFGH=S四邊形ABCD=1【詳解】（1）解：若四邊形EFGH為矩形，則應有EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，EF⊥EH，故應有AC⊥BD；

若四邊形EFGH為正方形，同上應有AC⊥BD，又應有EH=EF，而EF=AC，EH=BD，故應有AC=BD；

（2）S△AEH+S△CFG=S四邊形ABCD

證明：在△ABD中，

∵EH=BD，

∴△AEH∽△ABD．

∴=()2=

即S△AEH=S△ABD

同理可證：S△CFG=S△CBD

∴S△AEH+S△CFG=（S△ABD+S△CBD）=S四邊形ABCD；（3）解：由（2）可知S△AEH+S△CFG=（S△ABD+S△CBD）=S四邊形ABCD，

同理可得S△BEF+S△DHG=（S△ABC+S△CDA）=S四邊形ABCD，

故S?EFGH=S四邊形ABCD=1．本題考查了三角形的中位線的性質(zhì)及特殊四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)．21、1-1【解析】

讓橫坐標不變，縱坐標加1可得到所求點的坐標．【詳解】∵﹣2+1=﹣1，∴點B的坐標是（1，﹣1），故答案為1，﹣1．本題考查了坐標與圖形變化﹣平移：在平面直角坐標系內(nèi)，把一個圖形各個點的橫坐標都加上（或減去）一個整數(shù)a，相應的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加（或減去）一個整數(shù)a，相應的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a個單位長度．（即：橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減．22、．【解析】

由平行四邊形的性質(zhì)得出CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，AB∥CD，由平行線的性質(zhì)得出∠GCE＝∠B＝60°，證出EF⊥DG，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出CG＝CE＝1，求出EG＝CG＝，DG＝CD＋CG＝4，由勾股定理求出DE即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，AB∥CD，∴∠GCE＝∠B＝60°，∵E是BC的中點，∴CE＝BE＝2，∵EF⊥AB，∴EF⊥DG，∴∠G＝90°，∴CG＝CE＝1，∴EG＝CG＝，DG＝CD＋CG＝3＋1＝4，∴DE＝；故答案為．本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出CG是解決問題的關(guān)鍵．23、1【解析】

根據(jù)題意得到關(guān)于的不等式組，解之得到的取值范圍，解分式方程根據(jù)“該方程有整數(shù)解，且”，得到的取值范圍，結(jié)合為整數(shù)，取所有符合題意的整數(shù)，即可得到答案．【詳解】解：函數(shù)的圖象經(jīng)過第一，三，四象限，解得：，方程兩邊同時乘以得：，去括號得：，移項得：，合并同類項得：，系數(shù)化為1得：，該方程有整數(shù)解，且，是2的整數(shù)倍，且，即是2的整數(shù)倍，且，，整數(shù)為：2，6，，故答案為1．本題考查了分式方