2025屆河南省名校聯盟高三上學期開學摸底聯考數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省名校聯盟2025屆高三上學期開學摸底聯考數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由集合，可得.故選：B.2.若復數滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題知，所以．故選:D．3.拋物線的焦點坐標為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為拋物線的標準方程為：，焦點在軸正半軸上，且，所以焦點坐標為，故選:B.4.雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，所以，即雙曲線的離心率．故選：B．5.將正整數1，2，3，…按從小到大的順序分組，第組含個數，分組如下：，則2025在第（）組．A.9 B.10 C.11 D.12〖答案〗C〖解析〗由題意可設前組里含有的正整數的個數為，則，由于，，故2025在第11組．故選：C．6.在中，內角的對邊分別為，且的面積，若的平分線交于點，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由可知，，所以，所以．在中，由等面積法得，即，即，解得，故正確故選:A.7.已知面積為的正三角形的所有頂點都在球的球面上，若三棱錐的體積為，則球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設球的半徑為外接圓圓心為，半徑為的邊長為．因為是面積為的等邊三角形，所以，解得，所以，所以，解得，則，則球的表面積為，故正確.故選：B.8.已知函數，將的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，若在上的值域為，則函數在上的零點個數為（）A.4 B.6 C.8 D.10〖答案〗C〖解析〗故，因為當時，由于，所以在上的值域為，所以解得，即的零點即為的根，則或，即或，所以函數在上的零點有，共8個．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知命題“”為真命題，則實數的值可以是（）A.2 B.0 C. D.〖答案〗CD〖解析〗因為命題“”為真命題，所以．令，根據增函數減去減函數知：為增函數，當時，有最小值，故實數的取值范圍為．故選：CD．10.已知隨機變量，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由隨機變量，得，，，，故A正確；，故B正確；，故C錯誤；兩個隨機變量的均為120，由正態(tài)分布特點知D正確．故選：ABD．11.若定義在R上的偶函數y=fx，對任意兩個不相等的實數，都有，則稱y=fx為“函數”．下列函數為“函數”的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗根據題意，對任意兩個不相等的實數，都有，變形可得，即．若，則，可得，即在0,+∞上單調遞減．又為偶函數，所以fx在上單調遞增．對A：定義域為，且，則fx為偶函數，根據二次函數性質可得fx在上單調遞減，在上單調遞增，符合題意，故正確；對：定義域為，且，則fx為偶函數，函數，在上單調遞增，在上單調遞減，函數為增函數，根據復合函數定義可知函數在上單調遞增，在上單調遞減，故不符合題意，故錯誤；對C：，定義域為，且，則fx為偶函數，且，則fx在上單調遞減，在上單調遞增，故符合題意，故C正確；對D：，定義域為，且滿足，則fx為偶函數，當x>0時，，由為減函數，為增函數，則在上單調遞減，同理可得fx在上單調遞增，故符合題意，故正確.故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在的展開式中，含的項的系數為____________．〖答案〗〖解析〗由題意可得的二項展開式的通項公式為，令，可得，所以，故含的項的系數為80.13.已知函數，若當時，函數存在最小值，則實數的取值范圍是____________．〖答案〗〖解析〗由題意可得fx在時有最小值，即在1,2上有極小值即可，因為在上單調遞增，所以只需即解得，這時存在x0∈1,2，使得在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，即函數在區(qū)間上有極小值也即是最小值．所以的取值范圍是．14.如圖，已知圓的半徑為4，是圓的一條直徑．兩點均在圓上，，點為線段上一動點，則的取值范圍是____________．〖答案〗〖解析〗如圖，為圓心，連接，則．因為點在線段上且，則圓心到直線的距離，所以，所以，則，即取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.近些年來，促進新能源汽車產業(yè)發(fā)展政策頻出，新能源市場得到很大發(fā)展，銷量及滲透率遠超預期，新能源幾乎成了各個汽車領域的熱點．在對某品牌10個子工廠投資及利潤的統(tǒng)計后，得到如下表格，分別表示第個子工廠的投資（單位：萬元）和純利潤（單位：萬元）．投入萬元32313336373839434546純利潤萬元25303437394142444850（1）依據表中的統(tǒng)計數據，請判斷投資與純利潤是否具有較強的線性相關程度？（參考：若，則線性相關程度一般；若，則線性相關程度較強．計算時精確度為0.01）（2）求關于的經驗回歸方程（精確到0.01）．參考數據：，．參考公式：相關系數，對于一組具有線性相關關系的數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為．解：（1）依題意知，，所以相關系數，所以與之間具有較強的線性相關關系.（2）依題意知，又因為，所以，所以，所以關于的經驗回歸方程為.16.已知數列的前項和為，且．（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和．解：（1）當時，，即，當時，①，②，①-②得，即，所以．因為，所以數列是首項為3，公比為3的等比數列．則，即．（2）由（1）得，，所以，，故，所以．17.如圖，在三棱柱中，平面．（1）求證：平面；（2）設點滿足，若平面與平面的夾角為，求實數．（1）證明：平面平面，．又，且平面，平面．平面．又平面，平面．（2）解：由（1）知四邊形為正方形，即，且有，以點為原點，以所在直線分別為軸，以過點和平面垂直的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則．，．設平面的一個法向量為，由得：，取．由（1）知平面平面的一個法向量為，，解得.所以.18.已知函數，當時，fx的值域為.（1）求實數的值；（2）判斷函數的單調性；（3）設，證明：對任意兩個不等實數，不等式恒成立.（1）解：由在都單調遞增，所以在上單調遞增，由當時，fx的值域為，可知，即.（2）解：由（1）知，的定義域為.令，所以f'x>0，所以在上單調遞增（3）證明：.不妨設，則要證明x只需證明x即x即證x設，則只需證明.化簡得.設.則在1,+∞上恒成立，在1,+∞上單調遞增，當時，，即，得證.19.定義：若橢圓上的兩個點滿足，則稱為該橢圓的一個“共軛點對”，記作．已知橢圓的一個焦點坐標為，且橢圓過點．（1）求橢圓C的標準方程；（2）求證：有兩個點滿足“共軛點對”，并求出的坐標；（3）設（2）中的兩個點分別是，設為坐標原點，點在橢圓上，且，順時針排列且，證明：四邊形的面積小于．（1）解：由題，橢圓的另一焦點為F21,0因此，所以，所以橢圓標準方程為．（2）證明：設“共軛點對”中點的坐標為Bx,y，根據“共軛點對”定義：點的坐標滿足所以或于是有兩個點滿足，且點的坐標為．（3）解：設．設所在直線為，則的方程為．設點，則兩式相減得．又，于是，則，所以線段的中點在直線上．所以線段被直線平分．設點到直線的距離為，則四邊形的面積．又，則有．設過點且與直線平行的直線的方程為，則當與相切時，取得最大值．由消去得令，解得．當時，方程為，即，解得，則此時點或點必有一個和點重合，不符合條件，從而直線與不可能相切，即小于直線和平行直線（或）距離，所以．河南省名校聯盟2025屆高三上學期開學摸底聯考數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由集合，可得.故選：B.2.若復數滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題知，所以．故選:D．3.拋物線的焦點坐標為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為拋物線的標準方程為：，焦點在軸正半軸上，且，所以焦點坐標為，故選:B.4.雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，所以，即雙曲線的離心率．故選：B．5.將正整數1，2，3，…按從小到大的順序分組，第組含個數，分組如下：，則2025在第（）組．A.9 B.10 C.11 D.12〖答案〗C〖解析〗由題意可設前組里含有的正整數的個數為，則，由于，，故2025在第11組．故選：C．6.在中，內角的對邊分別為，且的面積，若的平分線交于點，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由可知，，所以，所以．在中，由等面積法得，即，即，解得，故正確故選:A.7.已知面積為的正三角形的所有頂點都在球的球面上，若三棱錐的體積為，則球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設球的半徑為外接圓圓心為，半徑為的邊長為．因為是面積為的等邊三角形，所以，解得，所以，所以，解得，則，則球的表面積為，故正確.故選：B.8.已知函數，將的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，若在上的值域為，則函數在上的零點個數為（）A.4 B.6 C.8 D.10〖答案〗C〖解析〗故，因為當時，由于，所以在上的值域為，所以解得，即的零點即為的根，則或，即或，所以函數在上的零點有，共8個．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知命題“”為真命題，則實數的值可以是（）A.2 B.0 C. D.〖答案〗CD〖解析〗因為命題“”為真命題，所以．令，根據增函數減去減函數知：為增函數，當時，有最小值，故實數的取值范圍為．故選：CD．10.已知隨機變量，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由隨機變量，得，，，，故A正確；，故B正確；，故C錯誤；兩個隨機變量的均為120，由正態(tài)分布特點知D正確．故選：ABD．11.若定義在R上的偶函數y=fx，對任意兩個不相等的實數，都有，則稱y=fx為“函數”．下列函數為“函數”的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗根據題意，對任意兩個不相等的實數，都有，變形可得，即．若，則，可得，即在0,+∞上單調遞減．又為偶函數，所以fx在上單調遞增．對A：定義域為，且，則fx為偶函數，根據二次函數性質可得fx在上單調遞減，在上單調遞增，符合題意，故正確；對：定義域為，且，則fx為偶函數，函數，在上單調遞增，在上單調遞減，函數為增函數，根據復合函數定義可知函數在上單調遞增，在上單調遞減，故不符合題意，故錯誤；對C：，定義域為，且，則fx為偶函數，且，則fx在上單調遞減，在上單調遞增，故符合題意，故C正確；對D：，定義域為，且滿足，則fx為偶函數，當x>0時，，由為減函數，為增函數，則在上單調遞減，同理可得fx在上單調遞增，故符合題意，故正確.故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在的展開式中，含的項的系數為____________．〖答案〗〖解析〗由題意可得的二項展開式的通項公式為，令，可得，所以，故含的項的系數為80.13.已知函數，若當時，函數存在最小值，則實數的取值范圍是____________．〖答案〗〖解析〗由題意可得fx在時有最小值，即在1,2上有極小值即可，因為在上單調遞增，所以只需即解得，這時存在x0∈1,2，使得在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，即函數在區(qū)間上有極小值也即是最小值．所以的取值范圍是．14.如圖，已知圓的半徑為4，是圓的一條直徑．兩點均在圓上，，點為線段上一動點，則的取值范圍是____________．〖答案〗〖解析〗如圖，為圓心，連接，則．因為點在線段上且，則圓心到直線的距離，所以，所以，則，即取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.近些年來，促進新能源汽車產業(yè)發(fā)展政策頻出，新能源市場得到很大發(fā)展，銷量及滲透率遠超預期，新能源幾乎成了各個汽車領域的熱點．在對某品牌10個子工廠投資及利潤的統(tǒng)計后，得到如下表格，分別表示第個子工廠的投資（單位：萬元）和純利潤（單位：萬元）．投入萬元32313336373839434546純利潤萬元25303437394142444850（1）依據表中的統(tǒng)計數據，請判斷投資與純利潤是否具有較強的線性相關程度？（參考：若，則線性相關程度一般；若，則線性相關程度較強．計算時精確度為0.01）（2）求關于的經驗回歸方程（精確到0.01）．參考數據：，．參考公式：相關系數，對于一組具有線性相關關系的數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為．解：（1）依題意知，，所以相關系數，所以與之間具有較強的線性相關關系.（2）依題意知，又因為，所以，所以，所以關于的經驗回歸方程為.16.已知數列的前項和為，且．（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和．解：（1）當時，，即，當時，①，②，①-②得，即，所以．因為，所以數列是首項為3，公比為3的等比數列．則，即．（2）由（1）得，，所以，，故，所以．17.如圖，在三棱柱中，平面．（1）求證：平面；（2）設點滿足，若平面與平面的夾角為，求實數．（1）證明：平面平面，．又，且平面，平面．平面．又平面，平面．（2）解：由（1）知四邊形為正方形，即，且有，以點為原點，以所在直線分別為軸，以過點和平面垂直的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則．，．設平面的一個法向量為，由得：，取