（人教A版）2021年新高一數(shù)學(xué)暑假講義-第六講 集合的運(yùn)算（交集）

第六講：集合的運(yùn)算（交集）

韓【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解兩個(gè)集合的交集的含義.會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的交集:

2.能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，體會(huì)直觀圖示對(duì)理解抽象概念的作用.

【基礎(chǔ)知識(shí)】

一、交集

學(xué)【考點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一：交集的運(yùn)算（基礎(chǔ)）

0^例1.己知集合4={1,2},8={x[0<x<3,xwN},則4口3=()

A.{1}B.{1,2}C.{1,2,3}D.{1,3}

【答案】A

【詳解】

集合A={1,3},B={x|0<x<3,xeN}={1,2},

所以405={1}.

故選：A.

變式訓(xùn)練1：已知集合人={-1,0,1,2,3,4},B={2,3,45,6,7},則Ap|B=()

A.{-l,0,l,2,3,4,5,6,7)B.{-1,0,1)

C.{2,3,4)D.{5,6,7)

【答案】c

【詳解】

A=(-1,0,1,2,3,4},B={2,3,4,5,6,7),

.?.Ac8={2,3,4}.

故選：C

變式訓(xùn)練2：已知集合4=卜小一1)(%+2)<0},5={-3,-2,-1,0,1,2,3),則408=()

A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0}C.{-1,0,1,2}D.{0,1}

【答案】A

【詳解】

?:A.—{x|—2<x<1},B={-3,—2,—1,0,1,2,3},

AAnB={-2,-l,0,l}.

故選：A

變式訓(xùn)練3：設(shè)集合A={x|5<x<16},B={3,4,6,7,9,12,13,16},則AQB中元素的個(gè)數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【詳解】

因?yàn)榧?=何5<%<16},B={3,4,6,7,9,12,13,16},

所以則4n8中元素的個(gè)數(shù)為5個(gè).

故選：C.

考點(diǎn)二：交集的運(yùn)算(提升)

\、例2.已知集合人=卜|0?*<4},B={X|X2-2X-3<0},則4口8=()

A.{x|-l<x<4!B.|x|-l<x<0}

C.1x|-l<x<3|D.{x|0<x<3|

【答案】D

【詳解】

A=1x|0<x<41,B=1x|-l<x<3j,/.An5=[0,3],

故選：D

變式訓(xùn)練1：已知集合p={卻<x<3},。={率<%<4},則PCIQ=（）

A.{x|l<x<2}B.{可2<%<3}C.{x|3<x<4}D.{x|l<x<4}

【答案】B

【詳解】

因?yàn)榧稀?何1<%<3},。={目2<%<4},所以PDQ={x[2<x<3},

故選:B.

變式訓(xùn)練2：已知集合人={%,2—2x<o},8={X|1<X〈2},則AD8=（）

A.{x|l<x<2}B.{x|l<x<2}C.{x|0<x<2}D.{X|0<%<1}

【答案】A

【詳解】

因?yàn)?=卜,2-2%<0}={川0?%42},B=所以AflB={x[l<2}.

故選：A.

變式訓(xùn)練3：已知集合4={*卜>2},8=卜,2-4*+340},則Ap|8=（）

A.1x|2<x<31B.1x|2<x<3j

C.{x|2vx<3}D.1x|2<x<3|

【答案】B

【詳解】

集合8={尤,2-4x+34o}={x|lWx<3},A={x|x>2},故Ac3={x[2vx<3}.

故選：B.

考點(diǎn)三：交集的運(yùn)算（拓展）

例3.已知集合4={%假一3|<1,%￡2},8=-5X+6〈0,XEZ},則4口8=（

A.{2,3}B.{3}C.{x|2<x<3}D.{2,3,4}

【答案】B

【詳解】

由Ix-3|<1知2cx<4,又xeZ,

所以A={3}.

由彳2-5》+6=。一2)(》一3)40得24》<3，又xeZ,

所以3={2,3}.

于是4門3={3},

故選:B.

變式訓(xùn)練1：己知集合4=,卜—1]<3},B={x|x2>l,xeZ},則4口8=()

A.{-1,0,1,2,3}B.{2,3}C.{1,2,3}D.{-1,0}

【答案】B

【詳解】

A=(-2,4),8={xeZ|x<—1或x>l},所以AcB={2,3}.

故選：B.

變式訓(xùn)練2：已知集合A={R(X_3)(X+2)V0},8={中—2>0},則4r|5=()

A.何一3Vx<—2}B.{x|x>3}C.{x|x<-4}D.1x|2<x<3}

【答案】D

【詳解】

A={x|(x-3)(x+2)VO}=(-2,3),8={中-2X)}=(2,+8),

.?.408=(2,3)

故選：D

變式訓(xùn)練3：已知集合A={.(—x+3)(x+2)vO},B={x|(x+4)(x-2)>0},則()

A.{x|x<-4或x>3}B.{x|x>3}

C.{x|x<-4}D.{.-3<x<-2}

【答案】A

【詳解】

由題意A={x|x<-2或x>3},B={x[x<-4或x>2},

所以AnB={x|x<-4或x>3}.

故選：A.

考點(diǎn)四：交集的運(yùn)算（探究）

例4.集合4={（工,可僅=奴+1,丘/?},5=［伍），）9+;/=2卜則4nB的元素個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【詳解】

直線丁=丘+1恒過(guò)定點(diǎn)/（0,1）,點(diǎn)/（0,1）在圓f+y2=2內(nèi),

所以直線y="+1與圓Y+V=2有兩個(gè)交點(diǎn)，集合ADB有兩個(gè)元素.

故選：B

變式訓(xùn)練1：已知集合A={(x,y)|x=l},8={(x,y)|y=x+l},則4口8=()

A.{x\l<x<2}B.{(1,2)}C.{x\x>l}D.{1}

【答案】B

【詳解】

X=]x—1

由《，得C，所以AnB={(l,2)}.

y=x+l[y=2

故選：B.

變式訓(xùn)練2：已知集合A={(x,y)|x-y=0},8={(x,y)|x-y=1},則AC|8=()

A.{(-1,-1),(U)}B.{(1,1)}C.1,-1)|D.0

【答案】A

【詳解】

x-y=0x=-lX=1

解:解〈，得，《,或，

x-y=1U=Tg

故選：A.

變式訓(xùn)練3：已知集合4={(x,y)|x,yeN,y<x},B={(x,y)|x+y=6},則4口8中的元素個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【詳解】

???中的元素必滿足且x+y=6,

，A08中的元素必在這七個(gè)元素中(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0),

(4,2),(5,1),(6,0)為4。5中的元素,

故選：B.

考點(diǎn)五：交集求參

例5.已知集合4={%€雙*,2-2x_3<0},3={x|ox+2=0},若403=8,則實(shí)數(shù)4的取

值集合為()

A.{-1,-2)B.{-1,0}C.{-2,0,1}D.{-2,—1,01

【答案】D

【詳解】

A={xeN*|x2_2x—3<0}={l,2},因?yàn)锳C|8=B,所以6=

當(dāng)a=0時(shí)，集合3={x|ar+2=0}=0,滿足8=A：

2

當(dāng)a#0時(shí),集合8={訃a+2=0}=x=——

a

22

由B=A={1,2}得一—=1或——=2,解得。=一2或a=—l,

aa

綜上，實(shí)數(shù)a的取值集合為{—2,—1,0}.

故選：D.

變式訓(xùn)練1：已知集合4={1,2},B={a,a2+3],若AD8={1},則實(shí)數(shù)。的值為（)

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【詳解】

由AC13={1},而〃+323,故a=l，

故選：B.

變式訓(xùn)練2：（多選）設(shè)4={幻爐-8X+15=0},B={x\ax+l=0],若408=8,則實(shí)數(shù)。的值可

以為（）

11

A.——B.0C.3D.——

53

【答案】AB1)

【詳解】

\-A^B=B,

B

A={X|X2-8X+15=0}={3,5},

當(dāng)a=0時(shí)，3=0,符合題意;

當(dāng)時(shí)，B=

要使8=4,則—工=3或—』=5,

aa

解得a=-1或。=--.

35

綜上，a=0或a=—或。=—.

35

故選：ABD.

變式訓(xùn)練3：設(shè)集合4={x,2—940上B={x|3x+a20},且4口8={犬|1Wx<3},則。=()

A.-1B.-3C.1D.3

【答案】B

【詳解】

A=|x|x2-9<o1={+3<x<31,B='xx>-三’,

由Ac8={x|l?x?3},所以一■|=1,即q=-3.

故選：B.

考點(diǎn)六：交集求參取值范圍（一）

例6.設(shè)集合A={xez|0<x<5},5={x[a<x<5},若403={2,3,4},則°的取值范圍是

()

A.(1,2)B.(1,2]C.[1,2)D.[1,2]

【答案】C

【詳解】

由題意，集合A={xwz[0<x<5}={1,2,3,4},8={x[a<x<5},

因?yàn)锳p|3={2,3,4},則。的取值范圍是[1,2).

故選：C.

變式訓(xùn)練1:已知集合D=①尸一2%-34()},。={加}.若PcQ=Q,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(-1,3)B.(—oo,3]

C.S，T]U[3,*o）D.[-1,3]

【答案】D

【詳解】

■：Pr>Q=Q,：.Q^P,

又集合尸={1,2-21—3?()}={1|-1Vx?3},Q={m},

,實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

故選：D

變式訓(xùn)練2：已知集合4=卜,2一以+34()},B={x|x>a},若408=0,則實(shí)數(shù)°的取值范圍是()

A.[3,+co)B.(3,+℃)C.(—co/]D.(—8,1)

【答案】A

【詳解】

集合A={x,2-4x+3<o1=|x|l<x<31,8={x|x>a},

因?yàn)锳fl8=0，所以“N3,

B

故選：A.

考點(diǎn)五：交集求參取值范圍（二）

例5.已知集合4="|——%一1240},B={x\2m-\<x<m+\],且4口3=8,則實(shí)數(shù)機(jī)的

取值范圍為（）

A.{m|-1<m<2}B.{m|-1<m<3}C.{m\m>2}D.{m\m>-\}

【答案】D

【詳解】

因?yàn)閄2—X—12W0,所以一3WXW4,所以A=[—3,4],

乂因?yàn)?03=8,所以BqA,

當(dāng)8=0時(shí)，B1A滿足，所以2〃?一12加+1,解得加22；

m<2

當(dāng)8/0時(shí)，若6=則有「加—12—3,解得-14加<2,

m-1<4

綜上可知：{加|加2-1},故選：D.

變式訓(xùn)練1：設(shè)集合A={x,2—x—2K。},集合8={x|2m<x<l},且8/0.

(1)若=求實(shí)數(shù)加的取值范圍;

【答案】(1)—<m<—

22

【詳解】

(1)A-^x|x2-x—2<0^={%|-1<%<2},

因?yàn)锳n8=B,所以乂B/0,

2m<1

所以《解得---W〃2<一.

2m>-122

變式訓(xùn)練2：設(shè)集合A={x|x>2},8={x[(x—a-l)(x—a+l)<0},aeR.

(1)當(dāng)。=2時(shí)，求AU8；

(2)若=求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【答案】(1){目％>1}；(2)a>3.

【詳解】

解：(1)8={x[(x-a-l)(x-a+1)<0}

當(dāng)a=2時(shí)，有4={乂尤>2},B={x[l<x<3},

所以ADB={X|X>1}；

(2)由=得8=

因?yàn)锳={x|x>2},3={x|a—1<x<a+l},

所以。一122,即。23；

變式訓(xùn)練3：己知集合A={x|2a-l<x<a+l},B=1x|0<x<l|.

(1)若a=l,求AIJ8；

(2)若Ap|B=。，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1){x|0<x<2}；(2)

【詳解】

(1)當(dāng)。=1時(shí)，A={x|2a-1vxva+1}=何1vxv2},

所以Au3={x|0?xv2}.

(2)因?yàn)锳cB=。，

(i)當(dāng)2。-12。+1,即時(shí)，A=。，符合題意；

2a—1<a+1

(ii)當(dāng)AH。時(shí)，〈八，解得lWa<2或。<一1

或a+140

綜上所述，實(shí)數(shù)〃的取值范圍是(Tq-f|U[l,+8).

圖【當(dāng)堂小結(jié)】

1.知識(shí)清單：

(1)交集的概念及運(yùn)算.

(2)交集運(yùn)算的性質(zhì).

(3)求參數(shù)值或范圍.

2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合、分類討論.

3.常見(jiàn)誤區(qū)：由交集的關(guān)系求解參數(shù)時(shí)漏掉對(duì)集合為空集的討論.

L^J【過(guò)關(guān)檢測(cè)】

1>已知集合A={-2,—1,0,1},B-{%|—1<x<2|,則4口8=()

A.{-1,0,1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{0,1}

【答案】D

【詳解】

AAB={O,1}.

故選:D.

2

2、已知集合4={-2,-1,0,1,2},B={X\X>1}9則AC3=()

A.{—1,0,1}B.{-2,—1,1,2)

C.{x|-l<x<l}D.{x\x<-l或xNl}

【答案】B

【詳解】

因?yàn)閂NI，所以XNI或—1,所以5="%忖4-1或xil},

所以4口3={—2,—1,1,2},

故選:B.

3、已知集合A={x|x<2},3={犬€2,2-3x44},則4nB=()

A.{x|-l<x<2}B.{x\x<4}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2}

【答案】C

【詳解】

因?yàn)榧螦={x|x<2},B={xeZ,2-3x44}={xeZ卜1W4}=(-1,0,1,2,3,4),

所以Ac8={-1,0,1}.

故選：c.

4、已知集合P={x|x<3},Q={x|—2<x<2},貝!!()

A.P^QB.QjPC.PC\Q=PD.P<JQ=Q

【答案】B

【詳解】

因?yàn)镻={x|x<3},<2={x|-2<x<2},

所以QqP,PcQ=Q,PUQ=P.

故選：B.

5、己知集合A={x|x<0或x>2},B={x|l<x<4},則人口8=()

A.1x|0<x<4jB.{x[l<x〈2}C.{x[l<x<4}D.{x|2cx<4}

【答案】D

【詳解】

4口3={%|2<%<4}.

故選：D.

6、已知集合A={x|—3<x<l},B=1x|x2-3x-4<0},則4門臺(tái)=()

A.{x|-3<x<l}B.{x|-l<x<l}

C.{x[l<x<2}D.{x|-3<x<2}

【答案】B

【詳解】

由集合5={XX2-3X-4<0}={X|-1<X<4},

又由A={x|-3<x<l},所以Ac3={x|-l<x<l}.

故選:B.

7、設(shè)集合A={2,3,4},集合B={x|d—3x+機(jī)=0}.若ADB={2},則8=()

A.{1,-2}B.{1,0}C.{1,2}D.{1,3}

【答案】C

【詳解】

由Ap|5={2}得2e8,即x=2是方程％2—3x+m=0的根，4一6+加=0

所以m=2,B=[1,2},

故選：C.

8、設(shè)集合A={x|xNl},3=卜,2+如+14()},且An3={x|lVxW2},則實(shí)數(shù)m=()

5533

A.--B.-C.--D.一

2222

【答案】A

【詳解】

若〃吠+]=0的兩個(gè)根分別為/，〃且/v〃，

B=[x\l<x<n]且/+〃=—〃?，ln=l,

Vy4nB=^x|l<x<21,且從={%,21},

7<1

九二2'

綜上，口J得：-.

2

故選：A.

9、設(shè)集合A={x,2一%一6W。},B={x|2x+tz<0},且4口3={1|一2<%<2},則。=()

A.2B.-2C.-4D.4

【答案】C

【詳解】

x2-x-6<0.解得：-2<x<3,即4=例-2，處3},

B=<xx<-—I,

I2]

AnB={x\-2<x<2],.-.-|=2,解得：a=T.

故選：C

10、已知集合A={X%2一21一3V。},5={X|X>Q},若An3={x|avxva+“，則。=()

A.2B.1C.0D.-1

【答案】A

【詳解】

?；A={乂-1<x<3},8={x|x>a},AcB={x|avxva+1},

，〃+l=3,解得a=2.

故選：A.

11、設(shè)4={削-1<%<2},B={x|2x—aW0},且4門3={削一1?》41},則a的值為()

A.-2B.2C.-4D.4

【答案】B

【詳解】

由2x—aW()解得：x<p所以8=

又A={H-lWxW2},ADB={x[—

所以@=1,r.a=2,

2

故選：B.

12、設(shè)集合A={3,5},B={x|x2-5%+m=0},滿足AU8={2,3,5}.

(1)求集合5;

(2)若集合。={刀|6—1=0},且滿足8nC=C，求所有滿足條件的”的集合.

【答案】⑴5={2,3}；⑵{0,g,；}.

【詳解】

解：⑴：AU§={2,3,5},

：?2eB,m=6?

二8={2,3}.

(2)BC\C=C,：.CjB,

??.C的可能情形為C=0,C={2},C=⑶，C={2,3},

若C#0,則。=0，

若C={2},則a=；,

若。={3},則a=；,

若。={2,3},顯然不滿足題意.

.?.0的取值集合為]。，；，：}.

13、已知集合A=L-4x+3=。},8=卜,2一點(diǎn)+3=0}.

(1)若AU8=8,求實(shí)數(shù)。的值；

(2)若An8=8,求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【答案】(1)4；(2)-26<a<2百或a=4.

【詳解】

A=1x|x2—4x+3=oj—{1,3},

(1)因?yàn)锳u8=B，所以A=8,

所以1和3是x?—5+3=0的兩個(gè)實(shí)根，

所以1+3=。，即。=4.

(2)因?yàn)?口3=8,所以所以3=0或8={1}或3={3}或8={1,3},

當(dāng)3=0時(shí)，/一?+3=0無(wú)解，所以△=。2一12<0，即一2若<”2出，

1—Q+3=0

當(dāng)3={l}時(shí)，/一原+3=()有且只有一個(gè)實(shí)根％=i,所以,A21C八無(wú)解，

△二。2-12=0

9—3。+3=0

當(dāng)3={3}時(shí),X?-公+3=0有且只有一個(gè)實(shí)根x=3,所以《無(wú)解,

△=4—12=0

當(dāng)8={1,3}時(shí)，/一?+3=0有2個(gè)實(shí)根x=l和無(wú)=3,所以1+3=。，即。=4.

綜上所述：實(shí)數(shù)4的取值范圍是一26<“<2壞或。=4.

14、已知集合4=卜|%2-3%+2=()},5={x|x2-2(?+l)x+(a2-5)=0}.

(1)若AD8={2},求實(shí)數(shù)。的值；

(2)若4口8=8,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)ci——1或。=5；(2)ci<—3.

【詳解】

(1)：AcB={2},2eB，即2?—2(。+1>2+/一5=0,解得a=—l或a=5.

當(dāng)”=一1時(shí)，B={x|x2-4=0}={2,-2},A={1,2},滿足Ac8={2}

當(dāng)a=5時(shí)，5={X|X2-12X+20=0}={2,10},滿足AC3={2}

.二所求實(shí)數(shù)。的值是〃=一1或a=5.

(2)'：A[}B=B,：.B^A,即3可能為0,{1},{2},{1,2}

當(dāng)8=0時(shí)，△=4(a+l)2—4(1—5)＜0,解得。＜一3

當(dāng)集合8中只有一個(gè)元素時(shí)，A=4(?+l)2-4(?2-5)=0,解得。=一3，此時(shí)

B={X\X2+4X+4=0]={-2},即集合8不可能為{1}或{2}

當(dāng)3={1,2}時(shí)，由根與系數(shù)的關(guān)系可知5—2方程組無(wú)解，則8不可能為。，2}

二所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是。＜-3.

15、已知集合4={.(3-》)(2犬+1)>()},B=a+1<x<3a-21.

(1)若4U3={x[—g<xW4},求實(shí)數(shù)”的值；

(2)若=求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)2；(2)a<~.

3

【詳解】

(1)由題意知不等式(3-x)(l+2x)>0,

解得：—<x<3,

2

即A={x|_g<x<3}.

?e,A\jB=[x\-^<x<4}.

，3a—2=4,

解得a=2，

此時(shí)，B={x|3<x<4},滿足題意，

實(shí)數(shù)a的值是2.

(2)由Afl8=B知6=

①當(dāng)8=0時(shí)，

3a—2<a+1,

3

解得〃<一,滿足題意；

2

3?！?2Q+1

②當(dāng)時(shí)，(3。一2<3,

?1

a+1〉—

2

35

解得大工〃<；；.

23

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍是〃<?.

3

16、已知集合A={x|TVxW2