專題03立體圖形與基本平面圖形

專題03立體圖形與基本平面圖形思維導(dǎo)圖核心考點聚焦1.正方體展開圖中相對兩面上的字2.含圖案的正方體的展開圖3.從三個方向看立方體得到的形狀4.由展開圖、三個方向看物體等信息求原幾何體的表面積或體積5.求最多或最少的小立方塊的個數(shù)6.作圖——畫直線、射線、線段7.線段中點與n等分的有關(guān)計算8.分類討論思想的應(yīng)用9.新定義型問題一、立體圖形的分類立體圖形：有些幾何體（圓柱、圓錐、球、長方體、正方體等）各部分不在一個平面內(nèi)，這樣的圖形叫立體圖形.棱柱、棱錐是常見的立體圖形.生活中常見的物體都是立體圖形.二、從正面、左面、上面看立體圖形1.能力要求：（1）會判斷簡單物體（直棱柱、圓柱、圓錐、球）的三視圖；（2）能根據(jù)三視圖描述基本幾何體或?qū)嵨镌?2.注意：（1）看的見得棱畫實線，看不見的棱畫虛線；（2）圓錐從上面看不要丟了圓心點.三、正方體的表面展開圖1.正方體的表面展開圖一共有11種可能.第一類：有6種.特點：是4個連成一排的正方形，其兩側(cè)各有一個正方形，簡稱“141型”．第二類：有3種.特點：是有3個連成一排的正方形，其兩側(cè)分別有1個和兩個相連的正方形，簡稱“132型”．第三類：僅有一種.特點：是兩個連成一排的正方形的兩側(cè)又各有兩個連成一排的正方形，簡稱“222型”．第四類：僅有1種，三個連成一排的正方形的一側(cè)，還有3個連成一排的正方形，簡稱“33型”．注：正方體展開圖中不能出現(xiàn)“7”字，“凹”字，“田”字形，如下圖：2.正方體展開圖找相對面的方法：（1）中間隔“一”是對面：同行或同列中間相隔一個正方形的兩個正方形是相對面；（2）“Z”字兩端是對面：呈“Z”字形排列的四個正方形首尾兩個正方形是相對面；（3）間二、拐角鄰面知：間二指的是一條線上中間隔著兩個正方形的兩個正方形合成正方體時是鄰面，拐角的兩個正方形合成正方體時也是鄰面.四、其他立體圖形的展開圖掌握一些常見的幾何體的展開圖，如圓柱、圓錐、棱柱、正方體、棱錐等.特殊：球沒有展開圖．1.圓柱的表面展開圖是兩個圓（作底面）和一個長方形（作側(cè)面）.2.圓錐的表面展開圖是一個圓（作底面）和一個扇形（作側(cè)面）.3.棱柱的表面展開圖是兩個完全相同的多邊形（作底面）和幾個長方形（作側(cè)面）.五、點、線、面、體之間的轉(zhuǎn)化1.幾何體是由點、線、面構(gòu)成的.2.線分為直線和曲線，面分為平面和曲面.3.點、線、面之間的關(guān)系：點動成線，線與線相交成點；線動成面，面與面相交成線；面動成體，體是由面組成.六、直線、射線、線段的聯(lián)系與區(qū)別區(qū)別名稱直線射線線段圖形表示方法直線AB（BA）或直線l射線AB線段AB（BA）或線段a端點個數(shù)012伸展性向兩方無限延伸（不可延長）向一方無限延伸（可反向延長）可延長或反向延長長度不可度量不可度量可度量聯(lián)系射線和線段都是直線的一部分；線段向一方延伸就成為射線，向兩方延伸就成為直線；射線向反方向延伸就成為直線.七、基本性質(zhì)1.直線的性質(zhì):兩點確定一條直線．2.線段的性質(zhì):兩點之間，線段最短．細節(jié)剖析①本知識點可用來解釋很多生活中的現(xiàn)象.如：要在墻上固定一個木條，只要兩個釘子就可以了，因為如果把木條看作一條直線，那么兩點可確定一條直線.②連接兩點間的線段的長度，叫做兩點間的距離.八、畫一條線段等于已知線段1.度量法：可用直尺先量出線段的長度,再畫一條等于這個長度的線段.2.用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線AC上截取AB=ａ，如下圖：九、線段的比較與運算1.線段的比較比較兩條線段的長短，常用兩種方法，一種是度量法；一種是疊合法.2.線段的和與差如下圖，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=ABBD.3.線段的中點把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的中點．細節(jié)剖析①線段中點的等價表述：如上圖，點M在線段上，且有，則點M為線段AB的中點.②除線段的中點（即二等分點）外，類似的還有線段的三等分點、四等分點等.如下圖，點M,N,P均為線段AB的四等分點.．十、角的度量1.角的定義：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊；此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.2.平角與周角：如圖1所示射線OA繞點O旋轉(zhuǎn)，當終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時，所形成的角叫做周角．3.角的表示方法：角通常有三種表示方法：一是用三個大寫英文字母表示，二是用角的頂點的一個大寫英文字母表示，三是用一個小寫希臘字母或一個數(shù)字表示.例如下圖：細節(jié)剖析①角的兩種定義是從不同角度對角進行的定義；②當一個角的頂點有多個角的時候，不能用頂點的一個大寫字母來表示.4.角度制及角度的換算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.細節(jié)剖析①度、分、秒的換算是按照60進制，與時間中的小時、分鐘、秒的換算相同.②度、分、秒之間的轉(zhuǎn)化方法：由度化為度分秒的形式(即從高級單位向低級單位轉(zhuǎn)化)時用乘法逐級進行；由度分秒的形式化成度(即低級單位向高級單位轉(zhuǎn)化)時用除法逐級進行.③同種形式相加減：度加（減）度，分加（減）分，秒加（減）秒；超60進一，減一成60.5.角的分類∠β銳角直角鈍角平角周角范圍0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°6.畫一個角等于已知角（1）借助三角尺能畫出15°的倍數(shù)的角，在0～180°之間共能畫出11個角.（2）借助量角器能畫出給定度數(shù)的角.（3）用尺規(guī)作圖法.十一、角的比較與運算1.角的比較方法:①度量法；②疊合法．2.角的平分線：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線，例如：如下圖，因為OC是∠AOB的平分線，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.類似地，還有角的三等分線等.熟記正方體的11種展開圖：考點剖析考點一、正方體展開圖中相對兩面上的字例題1：如圖，是正方體的一種展開圖，表面上的語句為北京2022年冬奧會和冬殘奧會的主題口號“一起向未來！”，那么在正方體的表面中與“來”相對的是（

）A．一 B．起 C．！ D．向【答案】D【解析】在正方體的表面中與“來”相對的是“向”，故選D．考點二、含圖案的正方體的展開圖例題2：如圖是一個正方體紙盒，下面哪一個可能是它的表面展開圖（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】三個圖形相鄰，而選項，都出現(xiàn)了兩個圖形相對，故選A.考點三、從三個方向看立方體得到的形狀例題3：如圖是由一個長方體和一個圓柱組合而成的立體圖形，從上面觀察這個圖形，得到的圖形是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】由圓柱體和長方體從上面看得到的圖形可得：圓柱體從上面看是圓，長方體從上面看是長方形，所以，組合圖形為長方形內(nèi)有一個圓的圖形，故選C．考點四、由展開圖、三個方向看物體等信息求原幾何體的表面積或體積例題4：如圖，是一個幾何體的表面展開圖：(1)請說出該幾何體的名稱；(2)求該幾何體的表面積；(3)求該幾何體的體積．【解析】（1）該幾何體展開圖中六個面均為長方形，因此該幾何體為長方體．（2）（平方米）．答：該幾何體的表面積為22平方米．（3）（立方米）．答：該幾何體的體積為6立方米．考點五、求最多或最少的小立方塊的個數(shù)例題5：（1）請按要求在方格內(nèi)分別畫出從這個幾何體的三個不同方向看得到的形狀圖；（2）如果在這個幾何體上再添加一些小立方塊，并保持從上面看和從左面看得到的形狀圖不變，最多可以再添加______個．【解析】（1）如圖所示∶（2）在俯視圖的相應(yīng)位置上，添加小正方體，使左視圖不變，添加的位置和最多添加數(shù)量如圖所示∶故最多可以再添加4個小立方塊．故答案為∶4．考點六、作圖——畫直線、射線、線段例題6：如圖，在同一個平面內(nèi)有四個點，請用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖（不寫作圖步驟，保留作圖痕跡，而且要求作圖時先使用鉛筆畫出，確定后再使用黑色字跡的簽字筆描黑）：(1)作射線；(2)作直線與直線相交于點；(3)在射線上作線段，使線段與線段相等．【解析】（1）作射線，如圖所示．

；（2）作直線與直線相交于點，如圖所示．（3）用圓規(guī)在射線上截取，線段即為所求．考點七、線段中點與n等分的有關(guān)計算例題7：（1）如圖1，點C在線段上，M，N分別是，的中點．若，，求的長；（2）設(shè)，C是線段上任意一點（不與點A，B重合），如圖2，M，N分別是，的三等分點，即，，求的長．【解析】（1）因為M，N分別是，的中點，所以．因為，所以．（2）因為，所以，因為，所以；考點八、分類討論思想的應(yīng)用例題8：點A，B，C是同一直線上的三個點，若AB=8cm,BC=3cm,求AC的長度．【解析】（1）點B在點A，C之間時，AC=AB+BC=8+3=11（cm）；（2）點C在點A，B之間時，AC=AB–BC=8–3=5（cm）．所以AC的長度為11cm或5cm.考點九、新定義型問題例題9：如圖，射線在的內(nèi)部，圖中共有3個角：，和，若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線是的“平衡線”．若，且射線是的“平衡線”，則的度數(shù)為．【答案】或或【解析】由題意，分以下四種情況：①當時，射線是的“平衡線”，，；②當時，射線是的“平衡線”，，，；③當時，射線是的“平衡線”，，，，解得；④當時，射線是的“平衡線”，，，，解得；綜上，的度數(shù)為或或，故答案為：或或．過關(guān)檢測一、選擇題1．下列四個生活中產(chǎn)生的現(xiàn)象：①用兩個釘子就可以把木條固定在墻上；②植樹時，只要定出兩棵的位置，就能確定同一行樹所在的直線；③從A地到B地架設(shè)電線，總是盡可能沿著線段AB方向架設(shè)；④把彎曲的公路改直，就能縮短路程．其中可用公理“兩點之間，線段最短”來解釋的現(xiàn)象有（）A．①② B．①③ C．②③ D．③④【答案】D【解析】①②屬于兩點確定一條直線，不符合題意；③④屬于兩點之間，線段最短，符合題意．故選D．2．如圖，O是直線上一點，過O作任意射線，平分，平分，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．不能確定【答案】B【解析】因為平分，平分，所以，，又，所以．故選B．3．下列四個圖形中，經(jīng)過折疊能圍成如圖所示的幾何圖形的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由立體圖可知，圓、小正方形、三角形所在的正方形有公共頂點，題目中的個答案圖，只有A滿足，故選A．4．已知點A，，在同一條直線上，點，分別是，的中點，如果，，那么線段的長度為（）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】當點在線段上，如圖．點是線段的中點，點是線段的中點，，，；當點在線段的反向延長線上，如圖．點是線段的中點，點是線段的中點，，，．故選D．5．六個面分別標有“我”、“是”、“初”、“一”、“學”、“生”的正方體有三種不同的放置方式，則“是”和“學”對面的數(shù)字分別是（）A．“生”和“一” B．“初”和“生”C．“初”和“一” D．“生”和“初”【答案】A【解析】由三種不同的放置方式所看到的文字可知，“我”的鄰面有：“是，學，一，生”，因此“我”的對面是“初”，則“是”的鄰面有“我、一、學、初”，因此“是”的對面是“生”，所以“學”的對面是“一”，故選A．二、填空題6．植樹造林時，先挖好兩個樹坑就能把一行樹種直，這一現(xiàn)象用數(shù)學道理解釋為．【答案】兩點確定一條直線【解析】植樹時，只要定出兩個樹坑的位置，就能確定同一行的樹坑所在的直線，用到的數(shù)學道理是兩點確定一條直線．故答案為：兩點確定一條直線．7．若要使圖中平面展開圖折疊成正方體后，相對面上兩個數(shù)之和為9，則．【答案】【解析】正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，1與x是相對面，3與y是相對面，因為相對面上兩個數(shù)之和為9，所以所以故答案為：．8．如圖所示，由濟南始發(fā)終點至青島的某一次列車，運行途中?？康能囌疽来问牵簼稀筒獮H坊—青島，那么要為這次列車制作的單程火車票有種．【答案】【解析】濟南—淄博—濰坊—青島，四個車站，濟南—淄博，濟南—濰坊，濟南—青島，淄博—濰坊，淄博—青島，濰坊—青島，共6種?？糠绞剑?，單程車票共有6種．故答案為：6．9．小穎將幾盒粉筆整齊地摞在講臺桌上，同學們發(fā)現(xiàn)從正面，左面，上面三個方向看得到的圖形形狀相同（如圖所示），那么這摞粉筆一共有盒．【答案】4【解析】根據(jù)從正面看得到的圖形可知，這摞粉筆有兩層，根據(jù)從上面看得到的圖形可知，第一層粉筆有3盒，根據(jù)從左邊看得到的圖形可知，第二層有1盒，所以共有4盒，故答案為：4．10．定義：從的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部引一條射線，把分成的兩部分，射線叫做的三等分線．若在中，射線是的三等分線，射線是的三等分線，設(shè)，則用含x的代數(shù)式表示為．【答案】或或【解析】如圖，因為射線是的三等分線，所以把分成的兩部分，所以或．因為射線是的三等分線，所以把分成的兩部分，所以或．因為，所以或，當時，或，當時，或，故答案為：或或．三、解答題11．如圖，已知四點A，B，C，D，請按要求畫圖．(1)畫直線，射線交于點M；(2)連接交于點N；(3)連接，并延長至點E，使．【解析】（1）如圖所示．（2）如圖所示．（3）如圖所示．12．把棱長為1個單位長度的9個相同小正方體擺成簡單幾何體．(1)從正面、左面、上面觀察如圖所示的幾何體，分別畫出你所看到的幾何體的形狀圖；(2)直接寫出該幾何體的表面積為_______；(3)如果在這個幾何體上再添加一些相同的小正方體，并保持這個幾何體的左視圖和俯視圖不變，那么最多可以再添加______個小正方體．【解析】（1）如圖所示：（2）幾何體的表面積為：，故答案為：36．（3）如圖，最多可以再添加3個正方體．故答案為：3．13．如圖，在數(shù)軸上A點表示數(shù)a，B點表示數(shù)b，C點表示數(shù)c，b是最小的正整數(shù)，且a，c滿足．(1)______，______，______．(2)點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，點Q從點C出發(fā)，沿數(shù)軸向左勻速運動，兩點同時出發(fā)，當點Q運動到點A時，點P，Q停止運動．當時，點Q運動到的位置恰好是線段的中點，求點Q的運動速度．（注：點O為數(shù)軸原點）【解析】（1）因為，所以，．因為b是最小的正整數(shù)，所以．故答案為2；1；7．（2）因為點Q運動到的位置恰好是線段OA的中點，所以點Q表示的數(shù)是，此時，由，可分兩種情況：①當點P在上時，得，此時；所以點P運動的時間為，所以點Q的運動速度；②當點P在上時，得，此時，所以點P的運動時間是，所以點Q的運動速度，綜上，點Q的運動速度是每秒個單位長度或者每秒個單位長度．14．定義：從一個角（小于180°）的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所構(gòu)成的角等于這個角的，那么這兩條射線所構(gòu)成的角叫做這個角的“三分角”．如圖1所示，若∠COD＝∠AOB，則∠COD是∠AOB的“三分角”．（1）如圖1，已知∠AOD=70°，∠COB=50°，∠COD是∠AOB的“三分角”，求∠COD的度數(shù)．（2）如圖2，已知∠AOB=60°，OD