第31講圖形的軸對(duì)稱平移旋轉(zhuǎn)（講義）

第31講圖形的軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)目錄TOC\o"13"\n\h\z\u一、考情分析二、知識(shí)建構(gòu)考點(diǎn)一軸對(duì)稱題型01軸對(duì)稱圖形的識(shí)別題型02根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行判斷題型03根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行求解題型04軸對(duì)稱中的光線反射問題題型05折疊問題類型一三角形折疊問題類型二四邊形折疊問題類型三圓的折疊問題類型四拋物線與幾何圖形綜合題型06求對(duì)稱軸條數(shù)題型07畫軸對(duì)稱圖形題型08設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案題型09求某點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)題型10與軸對(duì)稱有關(guān)的規(guī)律探究問題題型11軸對(duì)稱的綜合問題考點(diǎn)二圖形的平移題型01生活中的平移現(xiàn)象題型02利用平移的性質(zhì)求解題型03利用平移解決實(shí)際生活問題題型04作平移圖形題型05求點(diǎn)沿x軸、y軸平移后的坐標(biāo)題型06由平移方式確定點(diǎn)的坐標(biāo)題型07由平移前后點(diǎn)的坐標(biāo)判斷平移方式題型08已知圖形的平移求點(diǎn)的坐標(biāo)題型09與平移有關(guān)的規(guī)律問題題型10平移的綜合問題考點(diǎn)三圖形的旋轉(zhuǎn)題型01找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對(duì)應(yīng)點(diǎn)題型02根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解題型03根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說明線段或角相等題型04畫旋轉(zhuǎn)圖形題型05求旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的旋轉(zhuǎn)角度題型06旋轉(zhuǎn)中的規(guī)律問題題型07求繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°點(diǎn)的坐標(biāo)題型08求繞某點(diǎn)（非原點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)90°點(diǎn)的坐標(biāo)題型09求繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度點(diǎn)的坐標(biāo)題型10旋轉(zhuǎn)綜合題類型一線段問題類型二面積問題類型三角度問題題型11判斷中心對(duì)稱圖形題型12畫已知圖形關(guān)于某點(diǎn)的對(duì)稱圖形題型13根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)求面積、長(zhǎng)度、角度題型14利用平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)軸對(duì)稱通過具體實(shí)例理解軸對(duì)稱的概念，探索它的基本性質(zhì):成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分.能畫出簡(jiǎn)單平面圖形(點(diǎn)、線段、直線、三角形等)關(guān)于給定對(duì)稱軸的對(duì)稱圖形.理解軸對(duì)稱圖形的概念;探索等腰三角形、矩形、菱形、正多邊形、圓的軸對(duì)稱性質(zhì).認(rèn)識(shí)并欣賞自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的軸對(duì)稱圖形.該板塊知識(shí)以考查平面幾何的三大變換的基本運(yùn)用為主，年年都有考查，分值在812分左右．預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查這些知識(shí)點(diǎn)，考查形式主要有選填題、作圖題、也可能綜合題結(jié)合出現(xiàn)．在三種變換中，平移相對(duì)較為簡(jiǎn)單，多以選擇題形式考察，偶爾也會(huì)考察作圖題:對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)則難度較大，通常作為選擇、填空題的壓軸題出現(xiàn)，在解答題中，也會(huì)考察對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)的作圖，以及與特殊幾何圖形結(jié)合的綜合壓軸題，此時(shí)常需要結(jié)合幾何圖形或問題類型去分類討論.平移通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)平移，探索它的基本性質(zhì):一個(gè)圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線平行(或在同一條直線上)且相等.認(rèn)識(shí)并欣賞平移在自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用.運(yùn)用圖形的軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、平移進(jìn)行圖案設(shè)計(jì).旋轉(zhuǎn)通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)平面圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn).探索它的基本性質(zhì):一個(gè)圖形和旋轉(zhuǎn)得到的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等.了解中心對(duì)稱、中心對(duì)稱圖形的概念，探索它們的基本性質(zhì):成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過對(duì)稱中心，且被對(duì)稱中心平分.探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對(duì)稱性質(zhì).認(rèn)識(shí)并欣賞自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的中心對(duì)稱圖形.考點(diǎn)一軸對(duì)稱軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱軸對(duì)稱圖形圖形定義把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸.如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形.這條直線就是它的對(duì)稱軸.區(qū)別1）軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形折疊重合.2）軸對(duì)稱對(duì)稱點(diǎn)在兩個(gè)圖形上.3）軸對(duì)稱只有一條對(duì)稱軸.1）軸對(duì)稱圖形是指本身折疊重合.2）軸對(duì)稱圖形對(duì)稱點(diǎn)在一個(gè)圖形上.3）軸對(duì)稱圖形至少有一條對(duì)稱軸.聯(lián)系1)定義中都有一條直線,都要沿著這條直線折疊重合.2)如果把軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體,那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形；反過來,如果把軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩部分(即看成兩個(gè)圖形),那么這兩個(gè)圖形就關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱.性質(zhì)1）關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形.2）兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線.判定1）兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分,那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱.2）兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱,那么對(duì)稱軸是對(duì)折重合的折痕線.常見的軸對(duì)稱圖形有：圓、正方形、長(zhǎng)方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等邊三角形等.做軸對(duì)稱圖形的一般步驟：1）作某點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)的一般步驟：①過已知點(diǎn)作已知直線（對(duì)稱軸）的垂線，標(biāo)出垂足，并延長(zhǎng)；②在延長(zhǎng)線上從垂足出發(fā)截取與已知點(diǎn)到垂足的距離相等的線段，那么截點(diǎn)就是這點(diǎn)關(guān)于該直線的對(duì)稱點(diǎn).2）作已知圖形關(guān)于某直線的對(duì)稱圖形的一般步驟：①找.在原圖形上找特殊點(diǎn)（如線段的端點(diǎn)、線與線的交點(diǎn)）②作.作各個(gè)特殊點(diǎn)關(guān)于已知直線的對(duì)稱點(diǎn)③連.按原圖對(duì)應(yīng)連接各對(duì)稱點(diǎn)折疊的性質(zhì)：折疊的實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱，折疊前后的兩圖形全等，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．【解題思路】凡是在幾何圖形中出現(xiàn)“折疊”這個(gè)字眼時(shí)，第一反應(yīng)即存在一組全等圖形，其次找出與要求幾何量相關(guān)的條件量．解決折疊問題時(shí)，首先清楚折疊和軸對(duì)稱能夠提供我們隱含的且可利用的條件，分析角之間、線段之間的關(guān)系，借助勾股定理建立關(guān)系式求出答案，所求問題具有不確定性時(shí)，常常采用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．11.對(duì)稱軸是一條直線，不是一條射線，也不是一條線段.2.軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸有的只有一條，有的存在多條對(duì)稱軸（例：正方形有四條對(duì)稱軸，圓有無數(shù)條對(duì)稱軸等）.3.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中的任何一個(gè)都可以看作由另一個(gè)圖形經(jīng)過軸對(duì)稱變換得到的，一個(gè)軸對(duì)稱圖形也可以看作以它的一部分為基礎(chǔ),經(jīng)軸對(duì)稱變換得到的.4.軸對(duì)稱的性質(zhì)是證明線段相等、線段垂直及角相等的依據(jù)之一,例如:若已知兩個(gè)圖形關(guān)于某直線成軸對(duì)稱,則它們的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等.題型01軸對(duì)稱圖形的識(shí)別【例1】（2022·江蘇鹽城·校聯(lián)考一模）北京2022年冬奧會(huì)會(huì)徽如圖所示，組成會(huì)徽的四個(gè)圖案中是軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義判斷即可【詳解】A,B,C都不是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；D是軸對(duì)稱圖形，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的定義，準(zhǔn)確理解定義是解題的關(guān)鍵．【變式11】（2022·廣東深圳·南山實(shí)驗(yàn)教育麒麟中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用軸對(duì)稱圖形的定義得出答案．如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸．【詳解】解：A．不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；B．是軸對(duì)稱圖形，符合題意；C．不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；D.不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱圖形的概念，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．此題主要考查了軸對(duì)稱圖形，關(guān)鍵是掌握如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸．【變式12】（2022·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在一些美術(shù)字中，有的漢字是軸對(duì)稱圖形．下面4個(gè)漢字中，可以看作是軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念對(duì)各項(xiàng)分析判斷即可得解．【詳解】A．是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；B．不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；C．不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；D．不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查判斷軸對(duì)稱圖形，理解軸對(duì)稱圖形的概念是解答的關(guān)鍵．題型02根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行判斷【例2】（2023·天津·校聯(lián)考一模）如圖，△ABC與△A1B1C1，關(guān)于直線MN對(duì)稱，P為MN上任一點(diǎn)（PA．AP=A1P B．C．MN垂直平分線段AA1 D．直線AB,【答案】D【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)依次進(jìn)行判斷，即可得．【詳解】解：∵△ABC與△A1B1C1，關(guān)于直線MN對(duì)稱，P∴AP=A1P，△ABC與△即選項(xiàng)A、B、C正確，∵直線AB,A1∴直線AB,A1即選項(xiàng)D不正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)．【變式21】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）如圖，這條活靈活現(xiàn)的“小魚”是由若干條線段組成的，它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為直線l，則下列結(jié)論不一定正確的是（

）A．點(diǎn)C和點(diǎn)D到直線l的距離相等 B．BCC．∠CAB=∠DAB D【答案】D【分析】根據(jù)軸對(duì)稱軸圖形的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行分析即可，【詳解】解：圖形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為直線l，點(diǎn)C和點(diǎn)D是對(duì)稱點(diǎn)，所以△ABC?△ABD，點(diǎn)C和點(diǎn)D所以BC=BD，∠CAB無法判斷AC與BC是否相等，故四邊形ADBC是菱形不一定正確，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱軸圖形的性質(zhì)，軸對(duì)稱圖形具有以下的性質(zhì)：（1）軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形；軸對(duì)稱圖形的兩個(gè)部分也是全等圖形.（2）如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.（3）兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)一定在在對(duì)稱軸上.【變式22】（2019·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）每個(gè)網(wǎng)格中均有兩個(gè)圖形，其中一個(gè)圖形關(guān)于另一個(gè)圖形軸對(duì)稱的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)軸對(duì)稱定義：如果一個(gè)圖形沿某條直線對(duì)折能與另一個(gè)圖形重合，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱進(jìn)行分析即可．【詳解】A、其中一個(gè)圖形不與另一個(gè)圖形成軸對(duì)稱，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、其中一個(gè)圖形與另一個(gè)圖形成軸對(duì)稱，故此選項(xiàng)正確；C、其中一個(gè)圖形不與另一個(gè)圖形成軸對(duì)稱，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、其中一個(gè)圖形不與另一個(gè)圖形成軸對(duì)稱，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱，關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱定義．題型03根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行求解【例3】（2021·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，在銳角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，M、N分別是BD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是（）A．3 B．2 C．23 D．【答案】C【分析】在BA上截取BE=BN，構(gòu)造全等三角形△BME≌△BMN，利用三角形的三邊的關(guān)系確定線段和的最小值．【詳解】解：如圖，在BA上截取BE=BN，因?yàn)椤螦BC的平分線交AC于點(diǎn)D，所以∠EBM=∠NBM，在△BME與△BMN中，BE所以△BME≌△BMN（SAS），所以ME=MN．所以CM+MN=CM+ME≥CE．因?yàn)镃M+MN有最小值．當(dāng)CE是點(diǎn)C到直線AB的距離時(shí)，即C到直線AB的垂線段時(shí)，CE取最小值此時(shí)，∵∠ABC=60°，CE⊥AB，∴∠BCE=30°，∴BE=12∴CE=BC故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的應(yīng)用，最短路徑問題，垂線段最短等知識(shí)．易錯(cuò)易混點(diǎn)：解此題是受角平分線啟發(fā)，能夠通過構(gòu)造全等三角形，把CM+MN進(jìn)行轉(zhuǎn)化，但是轉(zhuǎn)化后沒有辦法把兩個(gè)線段的和的最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離而導(dǎo)致錯(cuò)誤．規(guī)律與趨勢(shì)：構(gòu)造法是初中解題中常用的一種方法，對(duì)于最值的求解是初中考查的重點(diǎn)也是難點(diǎn)．【變式31】（2023·山東棗莊·統(tǒng)考三模）如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中點(diǎn)，線段EF在邊AB上左右滑動(dòng)；若EF=1【答案】3【分析】如圖，作G關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時(shí)GE+CF的值最小，可得四邊形EFCH是平行四邊形，從而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：如圖，作G關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時(shí)GE+CF的值最小，∴G'E=GE，AG=AG'，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，∵CH=EF=1，∴四邊形EFCH是平行四邊形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，∵AB=4，BC=AD=2，G為邊AD的中點(diǎn)，∴AG=AG'=1∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=41=3，∴HG即GE+CF的最小值為故答案為：3【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用軸對(duì)稱求最短路徑問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，確定GE+CF最小時(shí)E，F(xiàn)位置是解題關(guān)鍵．【變式32】（2022·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形ABCD中，BC=2，∠C=120°，Q為AB的中點(diǎn)，P為對(duì)角線BD上的任意一點(diǎn)，則AP【答案】3【分析】連接AC，CQ，則CQ的長(zhǎng)即為AP+PQ的最小值，再根據(jù)菱形ABCD中，∠BCD=120°得出∠ABC的度數(shù)，進(jìn)而判斷出△ABC是等邊三角形，故△BCQ是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得出CQ的長(zhǎng)．【詳解】解：連接AC，CQ，∵四邊形ABCD是菱形，∴A、C關(guān)于直線BD對(duì)稱，∴CQ的長(zhǎng)即為AP+PQ的最小值，∵∠BCD=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∵Q是AB的中點(diǎn)，∴CQ⊥AB，BQ=12BC=12∴CQ=BC故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱最短路線問題，熟知菱形的性質(zhì)及兩點(diǎn)之間線段最短是解答此題的關(guān)鍵．【變式33】（2020·新疆烏魯木齊·?？家荒＃┤鐖D，在矩形ABCD中，BC=10，∠ABD=30°，若點(diǎn)M、N分別是線段DB、AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AM

【答案】15【分析】如圖，過A作AG⊥BD于G，延長(zhǎng)AG，使AG=EG，過E作EN⊥AB于N，交BD于【詳解】解：如圖，過A作AG⊥BD于G，延長(zhǎng)AG，使AG=EG，過E作EN⊥AB于N，交∵四邊形ABCD為矩形，BC=10，∠∴AD∵AG∴20AG∴AG∵AE∴∠E∴EN∴AM即AM+MN的最小值為故答案為：15.【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查利用軸對(duì)稱與垂線段最短求線段和的最小值問題，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)．題型04軸對(duì)稱中的光線反射問題【例4】（2023·河北廊坊·?？家荒＃┩ㄟ^光的反射定律知道，入射光線與反射光線關(guān)于法線成軸對(duì)稱（圖1）．在圖2中，光線自點(diǎn)P射入，經(jīng)鏡面EF反射后經(jīng)過的點(diǎn)是（

）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D【答案】B【分析】根據(jù)直線的性質(zhì)畫出被遮住的部分，再根據(jù)入射角等于反射角作出判斷即可．【詳解】根據(jù)直線的性質(zhì)補(bǔ)全圖2并作出法線OK，如下圖所示：根據(jù)圖形可以看出OB是反射光線，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，垂線的畫法，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得相等的角是補(bǔ)全光線的關(guān)鍵．【變式41】（2022·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考三模）如圖，在水平地面AB上放一個(gè)平面鏡BC，一束垂直于地面的光線經(jīng)平面鏡反射，若反射光線與地面平行，則平面鏡BC與地面AB所成的銳角α為（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】B【分析】利用平行線的性質(zhì)和光的反射原理計(jì)算．【詳解】解：∵入射光線垂直于水平光線，∴它們的夾角為90°，虛線為法線，∠1為入射角，∴∠1∵∠1∴∠3∵兩水平線平行∴∠故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、光的反射原理、入射角等于反射角等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式42】（2022·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）根據(jù)光學(xué)中平面鏡光線反射原理，入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等．如圖，α,β是兩面互相平行的平面鏡，一束光線m通過鏡面α反射后的光線為n，再通過鏡面β反射后的光線為k．光線m與鏡面α的夾角的度數(shù)為x°，光線n與光線k的夾角的度數(shù)為y°．則x與【答案】2【分析】根據(jù)平面鏡光線反射原理和平行線性質(zhì)即可求得．【詳解】解：∵入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等，∴反射后的光線n與鏡面α夾角度數(shù)為x°∵α,∴反射后的光線n與鏡面β夾角度數(shù)也為x°又由入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等，∴反射后的光線k與鏡面β的夾角度數(shù)也為x°∴x°+∴2x+故答案為：2x【點(diǎn)睛】本題考查了平面鏡光線反射原理和平行線性質(zhì)，掌握反射光線與平面鏡所夾的角相等以及兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．題型05折疊問題類型一三角形折疊問題【例5】（2023·新疆·統(tǒng)考一模）“做數(shù)學(xué)”可以幫助我們積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．如圖，已知三角形紙片ABC，第1次折疊使點(diǎn)B落在BC邊上的點(diǎn)B'處，折痕AD交BC于點(diǎn)D；第2次折疊使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，折痕MN交AB'于點(diǎn)P．若BC=12【答案】6【分析】根據(jù)第一次折疊的性質(zhì)求得BD=DB'=12BB'和AD⊥【詳解】解：∵已知三角形紙片ABC，第1次折疊使點(diǎn)B落在BC邊上的點(diǎn)B'處，折痕AD交BC于點(diǎn)D∴BD=DB∵第2次折疊使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，折痕MN交AB'于點(diǎn)∴AM=DM，∴MN⊥∴MN∥∵AM=∴MN是△ADC∴MP=12∵BC=12，BD∴MP+故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)和三角形中位線的性質(zhì)，理解折疊的性質(zhì)，三角形的中位線性質(zhì)是解答關(guān)鍵．【變式51】（2022·浙江衢州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，三角形紙片ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，將這張紙片沿直線DE翻折，點(diǎn)A與點(diǎn)F重合．若DE∥BC，AF＝EF，則四邊形ADFE的面積為．【答案】5【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到DE為△ABC的中位線，利用中位線定理求出DE的長(zhǎng)度，再解Rt△【詳解】解：∵將這張紙片沿直線DE翻折，點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，∴DE垂直平分AF，AD=DF，AE=∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠∴∠B∴BD=∴BD=AD，即D為∴DE為△ABC∴DE=∵AF＝EF，∴△AEF在Rt△ACE中，∠∴AF=∴AG=∴四邊形ADFE的面積為12故答案為：53【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形、中位線定理、折疊的性質(zhì)等內(nèi)容，掌握上述基本性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式52】（2022·廣東珠?！ぶ楹Ｊ形膱@中學(xué)?？既＃┤鐖D所示，將三角形紙片ABC沿DE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，若EB′恰好與BC平行，且∠B＝80°，則∠CDE＝°．【答案】130【分析】先求出∠B=∠B′=80°，∠BDE=∠B′DE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B′DC=80°，進(jìn)而得到∠BDB′=100°，∠BDE=50°，即可求出∠CDE＝130°．【詳解】解：由折疊的定義得∠B=∠B′=80°，∠BDE=∠B′DE，∵EB′∥BC，∴∠B′=∠B′DC=80°，∴∠BDB′=180°∠B′DC=100°，∴∠BDE=∠B′DE=50°，∴∠CDE＝180°∠BDE=130°．故答案為：130【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的定義，平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義等知識(shí)，熟知相關(guān)知識(shí)并根據(jù)圖形靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．【變式53】（2020·浙江麗水·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AB=42，∠B=45°，∠C=60°（1）求BC邊上的高線長(zhǎng)．（2）點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊AC上，連結(jié)EF，沿EF將△AEF折疊得到△PEF．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P落在BC上時(shí)，求∠AEP的度數(shù)．②如圖3，連結(jié)AP，當(dāng)PF⊥AC時(shí)，求AP的長(zhǎng)．【答案】（1）4;（2）①90°；②2【分析】（1）如圖1中，過點(diǎn)A作AD⊥BC于D．解直角三角形求出AD即可．（2）①證明BE=EP，可得∠EPB=∠B=45°解決問題．②如圖3中，由（1）可知：AC=ADsin60°=833，證明【詳解】解：（1）如圖1，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，在Rt△ABD中，AD=AB?（2）①如圖2，∵△AEF≌△PEF，∴AE＝EP.

又∵AE＝BE，∴BE＝EP，∴∠EPB＝∠B＝45°，∴∠AEP＝90°.

②如圖3，由（1）可知：在Rt△ADC中，AC=∵PF⊥AC，∴∠PFA＝90°.∵△AEF≌△PEF，∴∠AFE＝∠PFE＝45°，則∠AFE＝∠B.又∵∠EAF＝∠CAB，

∴△EAF∽△CAB，∴AFAB＝AEAC，即AF4∴AF＝23在Rt△AFP中，AF＝PF，則AP＝2AF＝2【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了解直角三角形的應(yīng)用，翻折變換，全等三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式54】（2023·新疆和田·統(tǒng)考一模）如圖，在ΔABC巾，∠ABC=30°，AB=AC，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段OC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)O，C重合），將△

(1)當(dāng)AE⊥BC時(shí)，∠AEB(2)探究∠AEB與∠(3)設(shè)AC=4，△ACD的面積為x，以AD為邊長(zhǎng)的正方形的面積為y，求y關(guān)于【答案】(1)60(2)∠(3)y【分析】（1）首先由折疊的性質(zhì)可得AC=（2）首先由折疊的性質(zhì)可得AE=AC，∠CAD=∠EAD，再由等腰三角形的性質(zhì)可得（3）首先由等腰直角三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求AO的長(zhǎng)，由勾股定理可求OD的長(zhǎng)，最后根據(jù)面積和差關(guān)系可求解．【詳解】（1）∵∠ABC=30°，AB=∴∠BAE∵將ΔACD沿AD折疊得到Δ∴AC∴AB∴△ABE是等邊三角形，∴∠AEB故答案為：60；（2）∠AEB∵將ΔACD沿AD折疊得到Δ∴AE=AC∵∠ABC=30°，∴∠BAC∴∠BAE∵AB∴∠AEB（3）如圖，連接OA，∵AB=AC，點(diǎn)O∴OA∵∠ABC=∠ACB∴AO=2，∵O∴OD∵S∴x∴y

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并能夠靈活運(yùn)用．類型二四邊形折疊問題【例6】（2019·山東菏澤·統(tǒng)考三模）如圖，將?ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，交BC于點(diǎn)F，若∠ABD=48°，∠CFD=40°，則∠E為()

A．102° B．112° C．122° D．92°【答案】B【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，得出∠ADB=∠BDF=∠DBC，由三角形的外角性質(zhì)求出∠BDF=∠DBC=12∠DFC=20°，再由三角形內(nèi)角和定理求出∠A【詳解】∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，由折疊可得∠ADB=∠BDF，∴∠DBC=∠BDF，又∠DFC=40°，∴∠DBC=∠BDF=∠ADB=20°，又∵∠ABD=48°，∴△ABD中，∠A=180°20°48°=112°，∴∠E=∠A=112°，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，求出∠ADB【變式61】（2022·山東棗莊·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形紙片ABCD中，AD//BC，AB=10，∠B=60°．將紙片折疊，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)G處，折痕為EF．若∠A．5 B．35 C．53 D【答案】C【分析】過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，由折疊知識(shí)得：∠BFG=90°，再由銳角三角函數(shù)可得AH=5【詳解】解：過點(diǎn)A作AH⊥BC于由折疊知：BF=GF，∠BFE=∠GFE，∵∠BFE∴∠BFG=90°在Rt△ABH中，AB=10AH=sin∵AD∴∠GAH=∠∴∠GAH=∠∴四邊形AHFG是矩形，∴FG=∴BF=故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊變換，解直角三角形，矩形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式62】（2022·浙江臺(tái)州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，把一張矩形紙片ABCD按所示方法進(jìn)行兩次折疊，得到△ECF．若BC＝1，則△ECF的周長(zhǎng)為（）A．2 B．2+12 C．5+1【答案】A【分析】第一次翻折可得DM=2，EM=1，∠ADM=∠EDM=45°，第二次折疊，可得CD=2，EC=2-1，由∠DCN【詳解】如圖，第一次折疊，如圖②，∵BC∴AD∴DM由折疊的性質(zhì)，∠ADM∴EM第二次折疊，如圖③，CN=BC=1∴DN∴CD∴EC∵∠DCN∴EF∴CF∴ΔECF的周長(zhǎng)故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查翻折的性質(zhì)，熟練掌握翻折的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)兩次翻折求出∠EDM=45°是解題的關(guān)鍵．【變式63】（2021·廣東深圳·校聯(lián)考一模）如圖所示，把一個(gè)長(zhǎng)方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D，C分別落在D'，C'的位置．若∠AEA．65° B．110° C．115° D．130°【答案】C【分析】由折疊的性質(zhì)可得∠D'EF=∠DEF=1【詳解】解：∵∠AE∴∠DE∵長(zhǎng)方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D、C分別落在D'、C∴∠D∵AD∥∴∠EFC故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)，掌握同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．【變式64】（2022·河南鄭州·一模）綜合與實(shí)踐，問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖①，在?ABCD中，BE⊥AD，垂足為E，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，連接EF，BF，試猜想EF獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答老師提出的問題；實(shí)踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將?ABCD沿著BF（F為CD的中點(diǎn)）所在直線折疊，如圖②，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C'，連接DC'并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，請(qǐng)判斷AG問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將?ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，如圖③，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'，使A'B⊥CD于點(diǎn)H，折痕交AD于點(diǎn)M，連接A'M，交CD于點(diǎn)N．該小組提出一個(gè)問題：若此?ABCD【答案】（1）EF=BF；見解析；（2）AG=BG，見解析；（【分析】（1）如圖，分別延長(zhǎng)AD，BF相交于點(diǎn)P，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD//BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠PDF=∠C，∠P=∠FBC，利用AAS可證明△PDF≌△（2）根據(jù)折疊性質(zhì)可得∠CFB=∠C′FB=12∠CFC′，F(xiàn)C=FC′，可得FD=FC′，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠FDC′=∠FC′D，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠CFC′=∠FDC′+∠FC′D，即可得出∠C′FB=∠FC′D，可得DG//FB，即可證明四邊形DGBF是平行四邊形，可得DF=BG=12AB，可得AG（3）如圖，過點(diǎn)M作MQ⊥A′B于Q，根據(jù)平行四邊形的面積可求出BH的長(zhǎng)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，根據(jù)A'B⊥CD可得A′B⊥AB，即可證明△MBQ是等腰直角三角形，可得MQ=BQ，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠A=∠C，即可得∠A′=∠C，進(jìn)而可證明△A′NH∽△CBH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得A′H、NH的長(zhǎng)，根據(jù)NH//MQ可得△A′NH∽△A′MQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出MQ的長(zhǎng)，根據(jù)S陰=S△A′MB【詳解】（1）EF=如圖，分別延長(zhǎng)AD，BF相交于點(diǎn)P，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD//∴∠PDF=∠C∵F為CD的中點(diǎn)，∴DF=在△PDF和△BCF中，∠P∴△PDF≌△BCF，∴FP=FB，即F為∴BF=∵BE⊥∴∠BEP∴EF=∴EF=（2）AG=∵將?ABCD沿著BF所在直線折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C∴∠CFB=∠C′FB=12∠CFC′，F(xiàn)∵F為CD的中點(diǎn)，∴FC=∴FC∴∠FDC′=∠FC′D，∵∠CFC'=∠FDC′+∴∠F∴∠FC′D=∠C′FB，∴DG//∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴DC//AB，DC=∴四邊形DGBF為平行四邊形，∴BG=∴BG=∴AG=（3）如圖，過點(diǎn)M作MQ⊥A′B于Q，∵?ABCD的面積為20，邊長(zhǎng)AB=5，A'∴BH=50÷5=4，∴CH=BC2-BH2=2，A′H∵將?ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A∴A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，∵A'B⊥CD于點(diǎn)H，∴A'∴∠MBH=45°，∴△MBQ是等腰直角三角形，∴MQ=BQ，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C，∴∠A′=∠C，∵∠A′HN=∠CHB，∴△A′NH∽△CBH，∴CHA'H解得：NH=2，∵A'B⊥CD，MQ⊥∴NH//MQ，∴△A′NH∽△A′MQ，∴A'HA解得：MQ=103∴S陰=S△A′MBS△A′NH=12A′B·MQ12A′H·NH=12×5×103【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．【變式65】（2021·江蘇常州·統(tǒng)考二模）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．將矩形折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為DE．（1）如圖①，若點(diǎn)P恰好在邊BC上，連接AP，求APDE（2）如圖②，若E是AB的中點(diǎn)，EP的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F，求BF的長(zhǎng)．【答案】（1）23；（2）BF＝3【分析】（1）如圖①中，取DE的中點(diǎn)M，連接PM．證明△POM∽△DCP，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．（2）如圖②中，過點(diǎn)P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．設(shè)EG=x，則BG=4x．證明△EGP∽△PHD，推出EGPH=PGDH=EPPD=13，推出PG=2EG=3x，DH=AG=4+x，在Rt△PHD中，由PH2+DH2=PD2，可得（3x）2+（【詳解】解：（1）如圖①中，取DE的中點(diǎn)M，連接PM．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠C＝90°，由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°，在Rt△EPD中，∵EM＝MD，∴PM＝EM＝DM，∴∠3＝∠MPD，∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3，∵∠ADP＝2∠3，∴∠1＝∠ADP，∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠DPC，∴∠1＝∠DPC，∵∠MOP＝∠C＝90°，∴△POM∽△DCP，∴POPM∴AODE（2）如圖②中，過點(diǎn)P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．則四邊形AGHD是矩形，設(shè)EG＝x，則BG＝4﹣x∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，∴∠EPG＝∠PDH，∴△EGP∽△PHD，∴EGPH∴PG＝2EG＝3x，DH＝AG＝4+x，在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2，∴（3x）2+（4+x）2＝122，解得：x＝165∴BG＝4﹣165＝4在Rt△EGP中，GP＝EP∵GH∥BC，∴△EGP∽△EBF，∴EGEB∴165∴BF＝3．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．類型三圓的折疊問題【例7】（2023·山東濟(jì)寧·校考二模）將一個(gè)半徑為1的圓形紙片，如下圖連續(xù)對(duì)折三次之后，用剪刀沿虛線①剪開，則虛線①所對(duì)的圓弧長(zhǎng)和展開后得到的多邊形的內(nèi)角和分別為（

）

A．π2，540° B．π4，720° C．π4，1080° D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，圓形紙片連續(xù)對(duì)折三次，其圓心角被平均分成8份，虛線①所對(duì)的圓弧長(zhǎng)為整圓的18【詳解】解：由題意得：形成的多邊形是正八邊形，其內(nèi)角和是8-2×180°=1080°虛線①所對(duì)的圓弧長(zhǎng)l=故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的折疊，其中涉及弧長(zhǎng)公式、多邊形的內(nèi)角和公式，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式71】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，∠BAC=20°，將劣弧AC沿弦AC所在的直線翻折，交AB于點(diǎn)D，則∠ACD的度數(shù)等于A．40° B．50° C．80° D．100°【答案】B【分析】連接BC，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角求出∠ACB，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠B，再根據(jù)優(yōu)弧AC所對(duì)的圓周角為∠ADC，得到∠ADC+∠【詳解】解：如圖，連接BC，∵AB∴∠ACB∵∠BAC∴∠B根據(jù)翻折的性質(zhì)，AC所對(duì)的圓周角為∠B，優(yōu)弧AC所對(duì)的圓周角為∠∴∠ADC∴∠B∴∠ACD故選:B．【點(diǎn)睛】本題考查的是翻折變換，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．根據(jù)題意作出直徑所對(duì)的圓周角，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．難點(diǎn)是理解∠ADC【變式72】（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)校聯(lián)考二模）如圖，AC、AD是⊙O中關(guān)于直徑AB對(duì)稱的兩條弦，以弦AC、AD為折線將弧AC，弧AD折疊后過圓心O，若⊙O的半徑r=4

【答案】8【分析】根據(jù)對(duì)稱性和直角三角形的邊角關(guān)系求出扇形圓心角度數(shù)，再根據(jù)各個(gè)部分面積之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】如圖，過點(diǎn)O作OE⊥AD于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)E

則OA=OF=∴∠OAD=30°,∠OED∴∠AOE∵⊙O的半徑r=4，由題意可知，S陰影部分故答案為：83【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計(jì)算，垂徑定理、直角三角形的邊角關(guān)系以及折疊軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握扇形面積的計(jì)算方法以及軸對(duì)稱的性質(zhì)是正確解答的提．【變式73】（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）如圖所示，在扇形AOB中，半徑OA=4，點(diǎn)P在OA上，連接PB，將△OBP沿PB折疊得到△O1BP．若∠O=75°(1)求∠AP(2)求AP的長(zhǎng)．【答案】(1)60°(2)4-【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得∠OBP=∠O1BP，∠（2）過點(diǎn)O作OH⊥PB于點(diǎn)H，則三角形OBH是等腰直角三角形，求出OH=22，進(jìn)而求出【詳解】（1）解：∵將△OBP沿PB折疊得到△∴∠OBP=∠O又∵BO1與弧AB所在的圓相切于點(diǎn)∴∠OB∴∠OBP又∵∠O∴∠OPB∴∠AP（2）解：過點(diǎn)O作OH⊥PB于點(diǎn)由①得∠OBP∴三角形OBH是等腰直角三角形，∵OA=4∴OB=4∴OH=2又∵∠OPB∴OP=∴AP=4-【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解直角三角形，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式74】（2023·安徽合肥·?？家荒＃┤鐖D，扇形紙片AOB的半徑為3，沿AB折疊扇形紙片，點(diǎn)O恰好落在AB上的點(diǎn)C處，圖中陰影部分的面積為（

）A．3π-33 B．3π-【答案】B【分析】根據(jù)折疊，△ACB≌△AOB，進(jìn)一步得到四邊形OACB是菱形；進(jìn)一步由OC=OB=BC【詳解】依題意：△ACB≌∴AC∴四邊形OACB是菱形∴AB連接OC∵OC∴OC∴△OBC同理：△OAC故∠由三線合一，在Rt△∠ODBDSSS故選：B【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定，菱形面積公式，扇形面積公式；解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)△OBC類型四拋物線與幾何圖形綜合【例8】（2021·陜西西安·交大附中分校校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝-13x2+233x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B．與（1）求拋物線與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)．（2）連接AC、BC．判斷△ABC的形狀，說明理由．（3）過點(diǎn)C作直線l//x軸，點(diǎn)P是拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線PQ//y軸交直線l于點(diǎn)Q，連接CP．若將△CPQ沿CP對(duì)折，點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M．是否存在這樣的點(diǎn)P，使點(diǎn)M落在坐標(biāo)軸上？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）(-3,0),(33,0)；（2）直角三角形，見解析；（3【分析】（1）用因式分解或者求根公式求出相應(yīng)的一元二次方程的根即可；（2）觀察后猜想是直角三角形，用勾股定理的逆定理檢驗(yàn)△ABC三邊即可；（3）根據(jù)對(duì)折前后的三角形是全等的，得到相應(yīng)的邊的關(guān)系，再應(yīng)用勾股定理；注意分類討論坐標(biāo)軸是x軸還是y軸．【詳解】解：（1）二次函數(shù)為y=-當(dāng)y＝0時(shí)，得-1解得x1∴拋物線與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為(-3（2）如題圖，不妨設(shè)A(-當(dāng)x＝0時(shí)，相應(yīng)的拋物線的函數(shù)值為y＝3，∴C（0，3），那么OA=而AB=在平面直角坐標(biāo)系中，∠AOC＝∠BOC＝90°，∴△AOC和△BOC都是直角三角形，根據(jù)勾股定理，AC2BCAB2所以AC2+BC2＝12+36＝48＝AB2，根據(jù)勾股定理的逆定理，∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形；（3）存在，理由：由拋物線的表達(dá)式知，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-2設(shè)P（x0，y0），∵P是拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，所以x0且有y點(diǎn)Q（x0，3），且根據(jù)題目的作法，有∠CQP＝90°，分兩種情況：①若點(diǎn)M在y軸上，如下圖所示根據(jù)PQ//y軸，一定有∠QCM＝90°，而根據(jù)折疊性，CQ＝CM，∠CMP＝∠CQP＝90°，根據(jù)“平面內(nèi)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”知，四邊形CQPM是矩形，再根據(jù)“有一組鄰邊相等的矩形是正方形”知，四邊形CQPM是正方形．即，不管P在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)何處，只要折疊后的M點(diǎn)在y軸上，一定有四邊形CQPM是正方形，于是一定有對(duì)角線CP是邊長(zhǎng)CQ的2倍，即CP=也就是CP2＝2CQ2，而CQ指的是Q的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，即CQ＝x0，以及C（0，3），P（x0，y0），那么CQ＝x0，QP為Q的縱坐標(biāo)與P的縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值，即QP＝|3﹣y0|，于是根據(jù)勾股定理，CP代入之前的數(shù)值，得到2x02注意y0=-代入得x02因?yàn)閤0>3，等式兩邊可以約去即1=1解得x0=23+3或所以當(dāng)M落在y軸時(shí)，解得Q(2②若點(diǎn)M在x軸上，如下圖所示，過點(diǎn)P作PP1⊥x軸于P1點(diǎn)，和之前相同的，CQ＝x0，∠CQP＝90°，QP＝|3﹣y0|，根據(jù)折疊的性質(zhì)，CM＝CQ＝x0，∠CMP＝∠CQP＝90°，PM＝QP＝|3﹣y0|而PP1即為P的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，即PP1＝|y0|，在直角△COM中，根據(jù)勾股定理OM=于是MP1＝OP1﹣OM＝CQ﹣OM＝x0﹣OM．在直角△PP1M中，根據(jù)勾股定理，PM得到3-y即(y0也就是9-6y0化簡(jiǎn)得9-3y0代入y0得9-(-x0即9+x化簡(jiǎn)得-23因?yàn)閤0>3，等式兩邊可以約去得到23解得x0=21所以當(dāng)M落在x軸時(shí)，解得Q(綜上，存在這樣的點(diǎn)P，使得點(diǎn)M落在坐標(biāo)軸上，相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q(23+3,3)【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了勾股定理及其逆定理，因式分解，坐標(biāo)系中點(diǎn)的距離表示，折疊的性質(zhì)，正確畫出兩種情況的草圖，并在直角三角形中應(yīng)用勾股定理求解是解題關(guān)鍵．【變式81】（2021·江蘇常州·常州實(shí)驗(yàn)初中校考二模）如圖，二次函數(shù)y=-x2+bx+2的圖象與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為A，對(duì)稱軸是經(jīng)過點(diǎn)H（2，0）且平行于y軸的一條直線．點(diǎn)P是對(duì)稱軸上位于點(diǎn)A下方的一點(diǎn)，連接CP并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)（1）填空：b=______，點(diǎn)A的坐標(biāo)是______（2）當(dāng)∠ACB=45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）將△CAB沿CB翻折后得到△CDB（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D），問點(diǎn)D能否恰好落在坐標(biāo)軸上?若能，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）4，（2，6）；（2）P（2，83）；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1(2，83)、P2(2，6-25)、P【分析】（1）根據(jù)拋物線對(duì)稱軸的定義，可求出b=4（2）過點(diǎn)C作CE⊥AH，過點(diǎn)P作PF⊥AC于F，則CE=2，利用勾股定理可求出AC=25，從而△AFP∽△AEC，可得PFAF=CEAE=24=12，可得到CF=PF，設(shè)CF=PF=m，則AF=2m，則AC=AF+CF（3）分三種情況：①當(dāng)點(diǎn)D落在x軸的正半軸上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D落在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D落在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，即可解答．【詳解】解：（1）∵對(duì)稱軸是經(jīng)過點(diǎn)H（2，0），∴對(duì)稱軸-b∴b=4∴拋物線的解析式：y將x=2代入，得y∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，6）；（2）如圖1，過點(diǎn)C作CE⊥AH，過點(diǎn)P作PF⊥AC于F，則CE=2，∵二次函數(shù)y=-x2+bx∴當(dāng)x=0時(shí)，y=2，∴點(diǎn)C（0，2），∴AE=4，∴AC=22∵∠AFP=∠AEC=90°，∠FAP=∠EAC，∴△AFP∽△AEC，∴PFAF∵∠ACB=45°，∴CF=PF，設(shè)CF=PF=m，則AF=2m，則AC=AF+CF=m+2m,∴m+2解得：m=∴AP＝AF∴PH=AHAP=6103=8∴P（2，83（3）①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D落在x軸的正半軸上時(shí)，則CD=AC=25又∵OC=2，在Rt△CODOD=4，∴HD＝ODOH＝2，由對(duì)稱性可知AP=PD，設(shè)PH=n，則AP=PD=6n，在Rt△DPH中，有PH即n2+2∴P1(2，83)②如圖3，當(dāng)點(diǎn)D落在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，則CD=AC=25由對(duì)稱性可知∠DCP=∠ACP，又∵AH∥OC，∴∠DCP=∠APC，∴∠APC=∠ACP，∴AC＝AP＝25∴PH=6-2∴P2(2，6-25)③如圖4，當(dāng)點(diǎn)D落在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，則CD=AC=25又∵OC=2，在Rt△COD中，由勾股定理得：OD∴DH=AH=6，連接AD，∴直線CH是線段AD的中垂線，又點(diǎn)P在直線AH上，∴點(diǎn)P與點(diǎn)H重合，∴P3（2，0綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P1(2，83)、P2(2，6-25)、P3【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求拋物線解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理．【變式82】（2023·江蘇蘇州·?？级＃┤鐖D，二次函數(shù)y=12x2+bx+c與x軸交于O0,0，A4,0兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，連接OC、AC，若點(diǎn)B是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，連接BC，將△ABC沿BC折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)①求證：△OCD∽△A'(3)當(dāng)S△OCD=8【答案】(1)y(2)①證明見解析；②2(3)y【分析】（1）利用待定系數(shù)法直接求解即可得出二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）①根據(jù)兩角相等的兩個(gè)三角形相似即可證明；②由△OCD∽△A'BD得出OCA'B=（3）先求出點(diǎn)A'和B【詳解】（1）∵二次函數(shù)y=12x2+bx∴c=0解得：b=-2∴二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=（2）①由翻折得：∠OAC∵二次函數(shù)y=12x2+bx+c∴點(diǎn)O、A關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱．∴OC=∴∠COA∵∠CDO∴△OCD②∵△OCD∴OCA∵AB=∴BDAB∴BDAB的最小值就是CD∵y=∴C2,-2∴OC=2∴當(dāng)CD⊥OA時(shí)，CD最小，此時(shí)D2,0，CD∴BDAB的最小值是2（3）連接AA'，過點(diǎn)A'作A'G⊥OA于G，延長(zhǎng)CB交A

∵△OCD∽△A∴S△∵OC=2∴AB=∴OB=OA-∴B3,0由翻折知，CH⊥∵∠CFB=∠AHB∴∠BCF∵tan∠∴tan∠設(shè)A'G=a，則在Rt△A'∴2a解得：a1=0（舍去），∴A'G=∴OG=∴A'設(shè)直線A'B的解析式為y=kx+125解得：k=-∴直線A'B的解析式為【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合，考查了待定系數(shù)法求解析式，拋物線的對(duì)稱性，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解本題的關(guān)鍵．【變式83】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線y=ax2+bx-6與x軸正半軸交于點(diǎn)A6,0，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在直線AB上，過點(diǎn)C作CD⊥x(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使∠PEA=∠BAE【答案】(1)y(2)存在點(diǎn)P，使∠PEA=∠BAE，P點(diǎn)坐標(biāo)為8,10【分析】（1）由翻折可求出E-2,0，再將A6,0，E-2,0代入y（2）根據(jù)二次函數(shù)解析式可求出B0,-6．分類討論：①當(dāng)點(diǎn)P位于x軸上方時(shí)，即為點(diǎn)P1，如圖，易求出直線AB的解析式為y=x-6．根據(jù)∠P1EA=∠BAE，即得出P1E∥AB，從而可直線P1E的解析式為y=x+m'，再將E-2,0代入，即可求出直線P1E的解析式為y=x+2．最后聯(lián)立y=12x2-2x-6【詳解】（1）解：∵△ACD沿CD所在直線翻折，點(diǎn)A恰好落在拋物線上的點(diǎn)E處，且A∴E-將A6,0，E-2,0得：0=36a+6b∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=（2）解：對(duì)于y=12x2∴B0,-6分類討論：①當(dāng)點(diǎn)P位于x軸上方時(shí)，即為點(diǎn)P1設(shè)直線AB的解析式為y=則0=6k+m∴直線AB的解析式為y=∵∠P∴P1∴可設(shè)直線P1E的解析式為∵E-∴0=-2+m'，解得：∴直線P1E的解析式為聯(lián)立y=12x2∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為8,10；②當(dāng)點(diǎn)P位于x軸下方時(shí)，即為點(diǎn)P2，過點(diǎn)P2作P2∵B0,-6，A∴OA=∴∠BAE∴∠P∴△P∴P2設(shè)P2則P2Q=∴-1解得：x1=-2（舍），∴yP此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為4,-6．綜上可知存在點(diǎn)P，使∠PEA=∠BAE，P點(diǎn)坐標(biāo)為8,10【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何圖形綜合等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)以及其與幾何知識(shí)的聯(lián)系是解答本題的關(guān)鍵．題型06求對(duì)稱軸條數(shù)【例9】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）圖中的圖形為軸對(duì)稱圖形，該圖形的對(duì)稱軸的條數(shù)為（

）

A．1 B．2 C．3 D．5【答案】D【分析】根據(jù)題意，畫出該圖形的對(duì)稱軸，即可求解．【詳解】解∶如圖，

一共有5條對(duì)稱軸．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形，熟練掌握若一個(gè)圖形沿著一條直線折疊后兩部分能完全重合，這樣的圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸是解題的關(guān)鍵．【變式91】（2022·山東青島·統(tǒng)考一模）下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形且對(duì)稱軸條數(shù)最多的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用軸對(duì)稱圖形的定義逐一判斷即可．【詳解】解：A是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸有1條；B不是軸對(duì)稱圖形；C不是軸對(duì)稱圖形；D是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸有2條；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查識(shí)別軸對(duì)稱圖形，掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．【變式92】（2020·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下列圖形：其中是軸對(duì)稱圖形且有兩條對(duì)稱軸的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】A【分析】根據(jù)題意首先將各圖形的對(duì)稱軸畫出，在數(shù)對(duì)稱軸的條數(shù)即可.【詳解】1有兩條對(duì)稱軸；2有兩條對(duì)稱軸；3有四條對(duì)稱軸；4不是對(duì)稱圖形故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的對(duì)稱軸，關(guān)鍵在于對(duì)稱軸的概念的掌握.【變式93】（2023·北京海淀·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）下列圖形中，對(duì)稱軸條數(shù)最少的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)軸對(duì)稱及對(duì)稱軸的定義，判斷各選項(xiàng)的對(duì)稱軸數(shù)量，繼而可得出答案．【詳解】A.有1數(shù)條對(duì)稱軸，B.有無數(shù)條對(duì)稱軸，C.有2條對(duì)稱軸，D.有3條對(duì)稱軸，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的知識(shí)，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合．題型07畫軸對(duì)稱圖形【例10】（2021·廣東中山·校聯(lián)考一模）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，△ABC的頂點(diǎn)和線段EF(1)在方格紙中面出△ADC，使△ADC與△ABC關(guān)于直線AC(2)在方格紙中畫出以線段EF為一邊的平行四邊形EFGH（點(diǎn)G，點(diǎn)H均在小正方形的頂點(diǎn)上），且平行四邊形EFGH的面積為4．連接DH，請(qǐng)直接寫出線段DH的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)圖見解析，DH【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得△ADC；（2）利用平行四邊形的性質(zhì)即可畫出圖形，利用勾股定理可得DH的長(zhǎng)．【詳解】（1）如圖（2）如圖，DH【點(diǎn)睛】本題考查了作圖，軸對(duì)稱變換，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，準(zhǔn)確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．【變式101】（2023·陜西西安·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A2，4，(1)在圖中作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△(2)若△ABC與△DEF關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同，先在坐標(biāo)系中描出A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'、B（2）如圖所示，連接AD與CF交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．【詳解】（1）解：如圖所示，△A（2）解：如圖所示，連接AD與CF交于點(diǎn)P，由圖可知點(diǎn)P的坐標(biāo)為3，0（此坐標(biāo)可以利用P是故答案啊為：3，【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化—軸對(duì)稱，找對(duì)稱中心，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式102】（2022·福建莆田·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，(1)尺規(guī)作圖：求作一點(diǎn)E，使得點(diǎn)B，E關(guān)于直線CD對(duì)稱；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）(2)連接DE，求證：∠CDE【答案】(1)作圖見解析(2)證明見解析【分析】（1）過B點(diǎn)作CD的垂線，然后畫出點(diǎn)E，使E點(diǎn)和B點(diǎn)到CD的距離相等；（2）由點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于CD對(duì)稱可得∠CDE=∠BDC．進(jìn)而在Rt△ABC中論證CD【詳解】（1）解：（1）如圖，點(diǎn)E為所求作的點(diǎn)；（2）證明：∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于CD對(duì)稱，∴∠CDE在Rt△ABC中，∵點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，∴CD∴∠A∵∠BDC∴∠BDC∴∠CDE【點(diǎn)睛】本題考查了作圖軸對(duì)稱變換，軸對(duì)稱性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及三角形的外角定理，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式103】（2022·廣西南寧·統(tǒng)考二模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(3,3)，B(4,0)(1)請(qǐng)畫出與△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△(2)以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC縮小為原來的12，得到△A2B(3)在y軸上存在點(diǎn)P，使得△OA1P的面積為【答案】(1)圖見解析(2)圖見解析(3)P（0，4）或（0，4）【分析】（1）直接利用關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而得出答案；（2）直接利用關(guān)于位似圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而得出答案；（3）直接利用三角形面積公式求出OP的長(zhǎng)，故可得出答案．【詳解】（1）如圖，△A（2）如圖，△A（3）如圖，∵y軸上存在點(diǎn)P，使得△OA1∴1∴1解得OP∴P（0，4）或（0，4）．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對(duì)稱變換以及位似變換，正確得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．題型08設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案【例11】（2020·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在小正三角形組成的網(wǎng)格中，已有6個(gè)小正三角形涂黑，還需涂黑n個(gè)小正三角形，使它們與原來涂黑的小正三角形組成的新圖案恰有三條對(duì)稱軸，則n的最小值為（）A．10 B．6 C．3 D．2【答案】C【分析】由等邊三角形有三條對(duì)稱軸可得答案．【詳解】如圖所示，n的最小值為3．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，解題的關(guān)鍵是掌握常見圖形的性質(zhì)和軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)．【變式111】（2022·安徽合肥·統(tǒng)考二模）如圖，在4×4正方形網(wǎng)絡(luò)中，選取一個(gè)白色的小正方形并涂黑，使構(gòu)成的黑色部分的圖形構(gòu)成一個(gè)軸對(duì)稱圖形的概率是．【答案】3【分析】直接利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出符合題意的位置，進(jìn)而利用概率的公式得出答案．【詳解】解：由示意圖可知，我們涂黑一個(gè)白色小方塊可以使圖形為軸對(duì)稱圖形的情況總共為3種，我們可以涂的白色小方塊的個(gè)數(shù)總共為13個(gè)，所以圖中黑色部分的圖形能構(gòu)成一個(gè)軸對(duì)稱圖形的概率為313故答案為：313【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，概率公式的應(yīng)用，正確把握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式112】（2020·山東棗莊·統(tǒng)考二模）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師要求學(xué)生將圖1所示的3×3正方形方格紙，剪掉其中兩個(gè)方格，使之成為軸對(duì)稱圖形．規(guī)定：凡通過旋轉(zhuǎn)能重合的圖形視為同一種圖形，如圖2的四幅圖就視為同一種設(shè)計(jì)方案（陰影部分為要剪掉部分）請(qǐng)?jiān)趫D中畫出4種不同的設(shè)計(jì)方案，將每種方案中要剪掉的兩個(gè)方格涂黑（每個(gè)3×3的正方形方格畫一種，例圖除外）【答案】見解析.【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的概念作圖即可得．【詳解】解：根據(jù)剪掉其中兩個(gè)方格，使之成為軸對(duì)稱圖形；即如圖所示：【點(diǎn)睛】本題主要考查利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱圖形和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的概念．【變式113】（2022·山西大同·統(tǒng)考二模）閱讀理解，并解答問題：觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1是一塊正方形瓷磚，分析發(fā)現(xiàn)這塊瓷磚上的圖案是按圖2所示的過程設(shè)計(jì)的，其中虛線所在的直線是正方形的對(duì)稱軸．問題解決：用四塊如圖1所示的正方形瓷磚按下列要求拼成一個(gè)新的大正方形，并在圖3和圖4中各畫一種拼法．(1)圖3中所畫拼圖拼成的圖案是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形；(2)圖4中所畫拼圖拼成的圖案既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）按照軸對(duì)稱的意義得出答案即可；（2）按照軸對(duì)稱的定義和中心對(duì)稱的定義設(shè)計(jì)，所設(shè)計(jì)的圖案既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形．【詳解】（1）解：（1）參考圖案，如圖所示：（2）（2）參考圖案，如圖所示：【點(diǎn)睛】本題考查利用軸對(duì)稱或中心對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，關(guān)鍵是理解軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的定義．【變式114】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考一模）在4×4的方格中，選擇6個(gè)小方格涂上陰影，請(qǐng)仔細(xì)觀察圖1中的六個(gè)圖案的對(duì)稱性，按要求回答．(1)請(qǐng)?jiān)诹鶄€(gè)圖案中，選出三個(gè)具有相同對(duì)稱性的圖案．選出的三個(gè)圖案是（填寫序號(hào)）；它們都是圖形（填寫“中心對(duì)稱”或“軸對(duì)稱”）；(2)請(qǐng)?jiān)趫D2中，將1個(gè)小方格涂上陰影，使整個(gè)4×4的方格也具有（1）中所選圖案相同的對(duì)稱性．【答案】(1)①③⑤；軸對(duì)稱；(2)見解析【分析】（1）軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱圖形：在同一平面內(nèi)，如果把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形．根據(jù)定義進(jìn)行判斷選擇即可；（2）根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義將1個(gè)小方格涂上陰影即可．【詳解】（1）解：①③⑤三個(gè)圖案是軸對(duì)稱圖形，故答案為：①③⑤；軸對(duì)稱；（2）解：如圖所示（答案不唯一），【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合．題型09求某點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)【例12】（2022·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M(-4,2)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

A．(-4,2) B．(4,2) C．(-4,-2) D．(4,-2)【答案】C【分析】關(guān)于x軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，根據(jù)規(guī)律解答即可．【詳解】解：點(diǎn)M(-4,2)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是：(-4,-2).故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的是關(guān)于x軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，掌握“關(guān)于x軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．”是解題的關(guān)鍵．【變式121】（2023·浙江湖州·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)A(3，2)向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B，則點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（

A．(2，2) B．(2，2) C．(2，2) D．(2，2)【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)的平移規(guī)律左減右加可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后再根據(jù)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變可得答案．【詳解】解：點(diǎn)A(3，2)向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B(2，2)，點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（2，2故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的平移和關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律．【變式122】（2019·四川成都·校聯(lián)考一模）若點(diǎn)A（1+m，1﹣n）與點(diǎn)B（﹣3，2）關(guān)于y軸對(duì)稱，則m+n的值是（）A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．1【答案】D【分析】根據(jù)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，據(jù)此求出m、n的值，代入計(jì)算可得．【詳解】∵點(diǎn)A（1+m，1﹣n）與點(diǎn)B（﹣3，2）關(guān)于y軸對(duì)稱，∴1+m=3，1﹣n=2，解得：m=2，n=﹣1，所以m+n=2﹣1=1，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，熟練掌握關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變是解題的關(guān)鍵．題型10與軸對(duì)稱有關(guān)的規(guī)律探究問題【例13】（2022·云南·云大附中校考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是平行四邊形，A（﹣1，3）、B（1，1）、C（5，1）．規(guī)定“把?ABCD先沿y軸翻折，再向下平移1個(gè)單位”為一次變換．如此這樣，連續(xù)經(jīng)過2022次變換后，?ABCD的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)變?yōu)椋ǎ〢．（3，﹣2019） B．（﹣3，﹣2019）C．（3，﹣2018） D．（﹣3，﹣2018）【答案】A【分析】先利用平行四邊形的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再將前幾次變換后D點(diǎn)的坐標(biāo)求出來，觀察規(guī)律即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，A（﹣1，3）、B（1，1）、C（5，1），∴D（3，3），∵把?ABCD先沿y軸翻折，再向下平移1個(gè)單位為一次變換，又∵沿y軸翻折橫坐標(biāo)為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，∴第一次變換后，D（3，2），第二次變換后，D（3，1），……∴對(duì)于橫坐標(biāo)，奇數(shù)次變換為3，偶數(shù)次變換為3，對(duì)于縱坐標(biāo)，每次變換減一，∴經(jīng)過2022次變換后，D（3，﹣2019）.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，點(diǎn)的坐標(biāo)一規(guī)律性，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是先求出D的坐標(biāo)，再利用變換的規(guī)律求解．【變式131】（2022·河南商丘·校考一模）如圖，等邊△ABC的頂點(diǎn)A1,1，B3,1，規(guī)定把△ABC“先沿x軸翻折，再向右平移1個(gè)單位”為一次變換，這樣連續(xù)經(jīng)過2022次變換后，等邊△ABCA．2023,3+1 BC．2024,3+1 D【答案】C【分析】先利用等邊三角形的性質(zhì)求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)軸對(duì)稱變換和軸對(duì)稱變換的性質(zhì)求得第一次變換，第二次變換，第三次變換后點(diǎn)C的坐標(biāo)，按此找出規(guī)律即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)C作CD⊥∵△ABC是等邊三角形，A1,1，B∴AB=AC=2，AD=12AB=1，∴CD=∴點(diǎn)C到x軸的距離為：1+3，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2∴C2由題意得，第一次變換后點(diǎn)C的坐標(biāo)為2+1，-1-第二次變換后點(diǎn)C的坐標(biāo)為2+1+1，1+3第三次變換后點(diǎn)C的坐標(biāo)為2+1+1+1，-1-……由此可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)總是比次數(shù)大2，而縱坐標(biāo)，當(dāng)奇次變換時(shí)是-1-3，偶次變換時(shí)是1+3，故連續(xù)經(jīng)過2022次變換后，等邊△ABC的頂點(diǎn)故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的變化—翻折變換與平移變換，讀懂題意，找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式132】（2021·河北·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)△ABC進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸對(duì)稱變換，若原來點(diǎn)A坐標(biāo)是(1,2)，則經(jīng)過第2021次變換后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

A．(1,-2) B．(-1,-2) C．(-1,2) D．(1,2)【答案】C【分析】觀察圖形可知每四次對(duì)稱為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，用2021除以4，然后根據(jù)商和余數(shù)的情況確定出變換后的點(diǎn)A所在的象限，然后解答即可．【詳解】解：點(diǎn)A第一次關(guān)于y軸對(duì)稱后在第二象限，點(diǎn)A第二次關(guān)于x軸對(duì)稱后在第三象限，點(diǎn)A第三次關(guān)于y軸對(duì)稱后在第四象限，點(diǎn)A第四次關(guān)于x軸對(duì)稱后在第一象限，即點(diǎn)A回到原始位置，所以，每四次對(duì)稱為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，∵2021÷4＝505余1，∴經(jīng)過第2021次變換后所得的A點(diǎn)與第一次變換的位置相同，在第二象限，坐標(biāo)為（?1，2）．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)變換規(guī)律，讀懂題目信息，觀察出每四次對(duì)稱為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．【變式133】（2021·山東青島·山東省青島實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知正方形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)M，頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(1,3)、(1,1)、(3,1)，規(guī)定“把正方形ABCD先沿x軸翻折，再向右平移

A．(2022,2) B．(2022,-2)C．(2020,2) D．(2020,-2)【答案】A【分析】由正方形的性質(zhì)可得點(diǎn)M坐標(biāo)，由折疊性質(zhì)和平移性質(zhì)可得點(diǎn)M的變化規(guī)律，即可求解；【詳解】∵正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B，C分別是(1,3)、∴正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,2)，∵把正方形ABCD先沿x軸翻折，再向右平移1個(gè)單位”為一次變換，∴第一次變換后M的坐標(biāo)為(3，-2)，第二次變換后的坐標(biāo)(4,2)，第三次變換后的坐標(biāo)(5，-可發(fā)現(xiàn)第n次后，當(dāng)n為偶數(shù)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(n∴連續(xù)經(jīng)過第2020次時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2020+2,2)，故坐標(biāo)為故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了規(guī)律性點(diǎn)的坐標(biāo)，準(zhǔn)確分析是解題的關(guān)鍵．題型11軸對(duì)稱的綜合問題【例14】（2023·廣西玉林·一模）如圖，已知直線y=kx+2k交x、y軸于A、B兩點(diǎn)，以AB為邊作等邊△ABC(A、B、C三點(diǎn)逆時(shí)針排列)，D、E兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-6,0)、(-1,0)，連接CDA．6 B．5+3 C．6.5 D．【答案】D【分析】在x軸上方作等邊△AOF，證明△AOB≌△AFC（SAS），所以點(diǎn)C的軌跡為定直線CF，作點(diǎn)E關(guān)于直線CF的對(duì)稱點(diǎn)E'，連接CE'，CE＝CE'，當(dāng)點(diǎn)D、C、E'在同一條直線上時(shí)，DE'＝CD+CE的值最小，再根據(jù)勾股定理，即可解答．【詳解】解：∵點(diǎn)B在直線y=∴k∵k∴x∴B∵E(-1,0)，在x軸上方作等邊△AOF，∵∠CAB∴∠CAB+∠BAF又∵CA=BA∴△AOB≌△∴∠AFC=∠∴點(diǎn)C的軌跡為定直線CF，作點(diǎn)E關(guān)于直線CF的對(duì)稱點(diǎn)E'，連接CE'，∴CD∴當(dāng)點(diǎn)D、C、E'在同一條直線上時(shí)，DE∵AF=AO=2，∠∴∠AGF=30°，AG=2×2=4，∴EM=3∴M∵E關(guān)于M的對(duì)稱E'∴E'(∴(CD+CE故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查最短路徑，勾股定理，軸對(duì)稱等知識(shí)點(diǎn)，解題關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)、根據(jù)條件好問題作出輔助線【變式141】（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，其中點(diǎn)P為高AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP，將BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BE，連接PE、DE、CE，則△BDE周長(zhǎng)的最小值是（A．2+23 B．2+3 C【答案】A【分析】先證明∠BCE=30°，作B關(guān)于CE的對(duì)稱點(diǎn)F，連接DF,CF，根據(jù)對(duì)稱性可得△BDE【詳解】將BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BE，∴△BPE是等邊三角形，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC=4，∠BAC=∠ABC=60°，∵AD⊥CB，∴BD=CD=2，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=30°∵∠PBE=∠ABC=60°，∴∠ABP=∠CPE，∵BA=BC，BP=BE，∴△ABP≌△CBE（SAS），∴∠BAP=∠BCE=30°，AP=CE∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線CE（∠BCE=30°），如圖，作B關(guān)于CE的對(duì)稱點(diǎn)F，連接DF,∴CB∴∠BCF∴△BCF∴∴△BDE周長(zhǎng)當(dāng)D,E故選A【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，線段和最短問題，勾股定理，求得點(diǎn)E的軌跡是解題的關(guān)鍵．【變式142】（2022·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，點(diǎn)P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M在線段AB上，當(dāng)AM＝13AB時(shí)，PB＋PM的最小值為（

A．33 B．27 C．23＋2 D．33＋3【答案】B【分析】作B點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接B'M交AC于點(diǎn)P，則PB＋PM的最小值為B'M的長(zhǎng)，過點(diǎn)B'作B'H⊥AB交H點(diǎn)，在Rt△BB'H中，B'H＝33，HB＝3，可求MH＝1，在Rt△MHB'中，B'M＝27，所以PB＋PM的最小值為27．【詳解】解：作B點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接B'M交AC于點(diǎn)P，∴BP＝B'P，BC＝B'C，∴PB＋PM＝B'P＋PM≥B'M，∴PB＋PM的最小值為B'M的長(zhǎng)，過點(diǎn)B'作B'H⊥AB交H點(diǎn)，∵∠A＝30°，∠C＝90°，∴∠CBA＝60°，∵AB＝6，∴BC＝3，∴BB'＝BC＋B'C＝6，在Rt△BB'H中，∠B'BH＝60°，∴∠BB'H＝30°，∴BH＝3，由勾股定理可得：B'∴AH＝AB－BH＝3，∵AM＝13AB∴AM＝2，∴MH＝AH－AM＝1，在Rt△MHB'中，B'∴PB＋PM的最小值為27，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱—最短路線問題，涉及到解直角三角形，解題的關(guān)鍵是做輔助線，找出PB＋PM的最小值為B'M的長(zhǎng)．【變式143】（2022·福建廈門·福建省廈門第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在正五邊形ABCDE中，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AF上運(yùn)動(dòng)，連接EG，DG，當(dāng)△DEG的周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠EGD=A．36° B．60° C．72° D．108°【答案】C【分析】如圖，連接EC，GC，設(shè)EC交AF于點(diǎn)G′，連接DG′．證明當(dāng)點(diǎn)G與G′重合時(shí)，EG+DG的值最小，△DEG的周長(zhǎng)最小，即求出∠【詳解】解：如圖，連接EC，GC，設(shè)EC交AF于點(diǎn)G′，連接DG′．∵正五邊形ABCDE中，點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，AF⊥DC，∴D，C關(guān)于AF對(duì)稱，∴GD=GC，∵EG+GD=EG+GC≥EC，∴當(dāng)點(diǎn)G與G′重合時(shí)，EG+DG的值最小，△DEG的周長(zhǎng)最小，∵ABCDE是正五邊形，∴ED=DC，∠EDC=108°，∴∠DEC=∠DCE=36°，∵G′D=G′C，∴∠G′DC=∠DCG′=36°，∴∠DG′C=108°，∴∠EG′D=180°∠DG′C=180°108°=72°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，軸對(duì)稱最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．【變式144】（2023·安徽蚌埠·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)Q是直線y=3x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AQ為邊，在AQ的右側(cè)作等邊△APQ，使得點(diǎn)P落在第一象限，連接OP，則OP+APA．6 B．43 C．8 D．63【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)先證明點(diǎn)