1.1　直角三角形的性質(zhì)和判定(Ⅰ) 課件 2024-2025學(xué)年湘教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

第1章直角三角形1.1直角三角形的性質(zhì)和判定(Ⅰ)第1課時(shí)第1章基礎(chǔ)主干落實(shí)1.直角三角形的性質(zhì)文字語言直角三角形的兩個(gè)銳角_________

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的__________符號(hào)語言在Rt△ABC中,∠C=90°,則∠A+∠B=________在Rt△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)D為斜邊AB的中點(diǎn),則CD=______

互余

一半

90°

2.直角三角形的判定文字語言有兩個(gè)角_________的三角形是直角三角形

符號(hào)語言在△ABC中,若∠A+∠B=90°,則∠C=90°

互余

【小題快練】1.在一個(gè)直角三角形中,有一個(gè)銳角等于25°,則另一個(gè)銳角的度數(shù)是()A.25° B.55°C.65° D.75°2.若直角三角形的斜邊長(zhǎng)為12,則斜邊上的中線長(zhǎng)為()A.6 B.8C.10 D.123.在Rt△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn),若CD=2,則AB=______.

CA

4

重點(diǎn)典例探析

【舉一反三】1.一個(gè)直角三角形的兩個(gè)銳角相等,求兩個(gè)銳角的度數(shù).【解析】設(shè)一個(gè)銳角為x,則另一個(gè)銳角也為x,由題意得,x+x=90°,解得,x=45°.答:兩個(gè)銳角的度數(shù)都為45°.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B-∠A=50°,求∠B的度數(shù).【解析】略【技法點(diǎn)撥】

利用直角三角形的性質(zhì)求角的度數(shù)的步驟重點(diǎn)2

直角三角形的判定【典例2】如圖,點(diǎn)E是△ABC中AC上的一個(gè)點(diǎn),過點(diǎn)E作ED⊥AB,垂足為點(diǎn)D,若∠1=∠2,則△ABC是直角三角形嗎?為什么?【思維切入】ED⊥AB→∠ADE=90°,直角三角形的性質(zhì)→∠1+∠A=90°,∠1=∠2→∠2+∠A=90°→△ABC是直角三角形.【自主解答】△ABC是直角三角形,理由如下:∵ED⊥AB,∴∠ADE=90°,∴∠A+∠1=90°,∵∠1=∠2,∴∠A+∠2=90°,∴△ABC是直角三角形.【舉一反三】

如圖,在△ABC中,∠B=30°,∠C=62°,AE平分∠BAC.(1)求∠BAE的度數(shù);(2)若AD⊥BC于點(diǎn)D,∠ADF=74°,證明:△ADF是直角三角形.【解析】略重點(diǎn)3

利用直角三角形的性質(zhì)求線段之間的關(guān)系【典例3】如圖所示,在△ABC中,AD是邊BC上的高,CE是邊AB上的中線,G是CE的中點(diǎn),AB=2CD,求證:DG⊥CE.【自主解答】略【舉一反三】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D為AB的中點(diǎn),點(diǎn)E在BC上,且CE=AC,∠BAE=15°,則∠CDE的大小為________.

75°

5+2思維賦能

1.1直角三角形的性質(zhì)和判定(Ⅰ)第2課時(shí)基礎(chǔ)主干落實(shí)直角三角形的性質(zhì)文字語言在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的_________

在直角三角形中,如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于________符號(hào)語言在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A=30°,則BC=

在Rt△ABC中,∠C=90°,若BC=AB,則∠A=________

一半

30°

30°

【小題快練】1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,則

()A.AB=2AC

B.AC=2ABC.AB=AC D.AB=3AC2.已知在直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊為4cm,則斜邊的長(zhǎng)為

()A.2cm B.4cmC.6cm D.8cmAD3.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=8,則BC等于

()A.2 B.3C.4 D.64.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,則∠B=________.

C

60°

重點(diǎn)典例探析重點(diǎn)1

利用直角三角形的性質(zhì)求線段之間的關(guān)系【典例1】如圖,已知:在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D為BC邊的中點(diǎn),DE⊥AC.求證:CE=3AE.【解析】略

【技法點(diǎn)撥】

構(gòu)造直角三角形的技巧1.利用垂線作垂直.2.利用等腰三角形的“三線合一”作中線或角平分線.特別提醒:構(gòu)造的直角三角形要含有60°或30°角,才能利用性質(zhì).重點(diǎn)2

利用直角三角形的性質(zhì)解決實(shí)際問題【典例2】如圖,一條船上午8時(shí)從海島A出發(fā),以15海里/時(shí)的速度向正北方向航行,上午10時(shí)到達(dá)海島B處,分別從A,B處望燈塔C,測(cè)得∠NAC=30°,∠NBC=60°.(1)求海島B到燈塔C的距離;(2)若這條船繼續(xù)向正北航行,問什么時(shí)間小船與燈塔C的距離最短?【自主解答】(1)由題意得:AB=15×2=30(海里).∵∠NBC=60°,∠NAC=30°,∴∠ACB=∠NBC-∠NAC=30°,∴∠ACB=∠NAC.∴AB=BC=30(海里),∴從海島B到燈塔C的距離為30海里.(2)略【舉一反三】

(數(shù)學(xué)知識(shí)在身邊)一艘輪船自西向東航行,在A處測(cè)得小島P的方位是北偏東75°,航行7海里后,在B處測(cè)得小島P的方位是北偏東60°,若小島周圍3.8海里內(nèi)有暗礁,問該船一直向東航行,有無觸礁的危險(xiǎn)?并說明原因.【解析】略【技法點(diǎn)撥】直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用及注意事項(xiàng)1.性質(zhì)應(yīng)用:由30°的角,確定邊之間的關(guān)系進(jìn)行證明和計(jì)算.2.兩點(diǎn)注意:(1)必須在直角三角形中,非直角三角形不具備該性質(zhì).(2)只有30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半,其他度數(shù)的角所對(duì)的直角邊和斜邊不滿足該關(guān)系.5+2思維賦能【開放探究】

如圖1,△ABC中,∠ABC=∠BAC,D是BC延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn),連接AD,AE平分∠CAD交CD于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EH⊥AB,垂足為點(diǎn)H.直線EH與直線AC相交于點(diǎn)F.設(shè)∠AEH=α,∠ADC=β.(1)求證:∠EFC=∠FEC;(2)①若∠