18232正方形的判定-2021-2022學年八年級數(shù)學下學期訓練(人教版)

§18.2.3.2正方形的判定知識導航正方形的判定：從四邊形出發(fā)：（1）四條邊相等，四個角都是直角的四邊形是正方形；（2）對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形.從平行四邊形出發(fā)：有一組鄰邊相等，且有一個角是直角的平行四邊形是正方形從矩形出發(fā)：（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形；（2）對角線互相垂直的矩形是正方形從菱形出發(fā)：（1）有一個角是直角的菱形是正方形；（2）對角線相等的菱形是正方形重難點突破重點1添一個條件成正方形菱形ABCD添上下列的哪個條件，可證明ABCD是正方形（

）A．AC＝BD B．AB＝CD C．BC＝CD D．都不正確【答案】A【分析】根據(jù)有一個角是90°的菱形是正方形，以及對角線相等的菱形是正方形進行判斷即可．【詳解】要使菱形成為正方形，只要菱形滿足以下條件之一即可，（1）有一個內(nèi)角是直角（2）對角線相等．即∠ABC=90°或AC=BD．故選：A．【點睛】此題主要考查了正方形的判定，正確掌握正方形的判定方法是解題關(guān)鍵．變式1如圖，四邊形中，對角線，相交于點，AD//BC，，平分．欲使四邊形是正方形，則還需添加添加________（寫出一個合適的條件即可）【答案】（答案不唯一）【分析】由平行線的性質(zhì)可知，，即易證，得出，由此可證明四邊形ABCD為平行四邊形．由角平分線的性質(zhì)可知，即得出，從而證明，即平行四邊形ABCD為菱形．故在四邊形ABCD為菱形的基礎(chǔ)上，添加條件使其為正方形即可．【詳解】∵，∴，∴在和中，，∴，∴，∴四邊形ABCD為平行四邊形．∵AC平分∠BAD，∴，∴，∴，∴平行四邊形ABCD為菱形．∴再添加或等，即可證明菱形ABCD為正方形．故答案為：（答案不唯一）．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行四邊形、菱形、正方形的判定．掌握特殊四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．重點點撥：添加一個條件，使得四邊形成為正方形的方法很多，只要能證明這個四邊形既是矩形，又是菱形即可.重點點撥：添加一個條件，使得四邊形成為正方形的方法很多，只要能證明這個四邊形既是矩形，又是菱形即可.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對角線BD平分∠ABC，P是BD上一點，過點P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M、N．（1）求證：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求證：四邊形MPND是正方形．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定方法證明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性質(zhì)即可得到：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，由（1）中的條件可得四邊形MPND是矩形，再根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形即可證明四邊形MPND是正方形．【詳解】證明：（1）∵對角線BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB；（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°，∵∠ADC=90°，∴四邊形MPND是矩形，∵∠ADB=∠CDB，∴∠ADB=45°∴PM=MD，∴四邊形MPND是正方形．【點睛】本題考查了正方形的判定，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．變式21如圖，在四邊形ABCD中，點E是線段AD上的任意一點（E與A，D不重合），G，F(xiàn)，H分別是BE，BC，CE的中點.（1）證明四邊形EGFH是平行四邊形；（2）若EF⊥BC，且EF=BC，證明平行四邊形EGFH是正方形【分析】（1）通過中位線定理得出GF∥EH且GF=EH，所以四邊形EGFH是平行四邊形；（2）當添加了條件EF⊥BC，且EF=BC后，通過對角線相等且互相垂直平分（EF⊥GH，且EF=GH）就可證明是正方形．【詳解】證明：（1）∵G，F(xiàn)分別是BE，BC的中點，∴GF∥EC且GF=EC．又∵H是EC的中點，EH=EC，∴GF∥EH且GF=EH．∴四邊形EGFH是平行四邊形．（2）連接GH，EF．∵G，H分別是BE，EC的中點，∴GH∥BC且GH=BC．又∵EF⊥BC且EF=BC，又∵EF⊥BC，GH是三角形EBC的中位線，∴GH∥BC，∴EF⊥GH，又∵EF=GH．∴平行四邊形EGFH是正方形．【點睛】本題考查平行四邊形的判定和正方形的性質(zhì)．正方形對角線的特點是：對角線互相垂直；對角線相等且互相平分；每條對角線平分一組對角．變式22已知：如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點，E、F分別是線段BM、CM的中點（1）求證：△ABM≌△DCM（2）判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論；（3）當AD：AB=_時，四邊形MENF是正方形（只寫結(jié)論，不需證明）【分析】（1）求出AB=DC，∠A=∠D=90°，AM=DM，根據(jù)全等三角形的判定定理推出即可．（2）根據(jù)三角形中位線定理求出NE∥MF，NE=MF，得出平行四邊形，求出BM=CM，推出ME=MF，根據(jù)菱形的判定推出即可.（3）先假設(shè)四邊形MENF是正方形得到∠BMC=90°，再進一步得出∠AMB=45°，進而求出AB=AM，再反過來求證即可完成求解．【詳解】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC．∵M是邊AD的中點，∴MA＝MD，∴△ABM≌△DCM（SAS）．（2）四邊形MENF是菱形．證明如下：∵N、E、F分別是BC、BM、CM的中點，∴NE∥CM，NE=CM，MF=CM．∴NE=FM，NE∥FM．∴四邊形MENF是平行四邊形．∵△ABM≌△DCM，∴BM=CM．∵E、F分別是BM、CM的中點，∴ME=MF．∴平行四邊形MENF是菱形．（3）當AD：AB=2：1時，四邊形MENF是正方形，理由如下：∵M為AD中點，∴AD=2AM．∵AD：AB=2：1，∴AM=AB．∵∠A=90°，∴∠ABM=∠AMB=45°．同理∠DMC=45°．∴∠EMF=180°45°45°=90°．∵四邊形MENF是菱形，∴菱形MENF是正方形．【點睛】本題考查了菱形的判定、正方形的性質(zhì)與判定、三角形的中位線定理等知識，解決本題的關(guān)鍵是理解相關(guān)概念，能分析出要得出結(jié)論的條件并進行求解，本題邏輯性較強，對學生的分析能力要求較高．重點點撥：當圖形中含有對角線時，可考慮利用“對角線相等的菱形是正方形”進行判定；如果圖形中沒有對角線，可考慮利用“有一組鄰邊相等的矩形是正方形”或“有一個角是直角的菱形是正方形”進行判定.重點點撥：當圖形中含有對角線時，可考慮利用“對角線相等的菱形是正方形”進行判定；如果圖形中沒有對角線，可考慮利用“有一組鄰邊相等的矩形是正方形”或“有一個角是直角的菱形是正方形”進行判定.如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點O，P為BD上的一點，連接CP，過點P作PF⊥CP交AD的延長線于點F，延長FP交AB于點E，則下列結(jié)論：（1）∠DPF=∠PCA；（2）BE=DF；（3）點P為EF的中點；（4）SΔBPE=SΔDCP；（5）若OP=2，則BE=，其中正確的結(jié)論有_______個．（填正確結(jié)論的個數(shù)）【答案】4【分析】先證∠PCA+∠CPB=90°，再證∠EPB+∠CPB=90°，再由∠EPB=∠DPF，即可判斷（1）；故（1）正確；如圖所示，過點P作直線MN⊥BC分別交BC于M，交AD于N，作直線GH⊥AB分別交AB于G，交CD于H，證明△PGB≌△PMB（AAS），得到PG=PM，則四邊形BMPG是正方形，再證明△PGE≌△PMC得到GE=CM=DN，同理可證四邊形PHDN是正方形，得到PN=DN=GE，即可證明△GPE≌△NFP得到PF=PE即可判斷（3）；則CP垂直平分EF，連接CE，CF，得到CE=CF，即可證明Rt△CBE≌Rt△CDF即可判斷（2）；，而不一定等于，則不一定等于，即可判斷（4）；證明△EPK≌△PCO得到EK=PO=2，由此即可判斷（5）．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，即∠COD=90°，∴∠PCA+∠CPB=90°．∵PF⊥CP，∴∠CPE=90°，∴∠EPB+∠CPB=90°，∴∠EPB=∠PCA．又∵∠EPB=∠DPF，∴∠PCA=∠DPF，故（1）正確；如圖所示，過點P作直線MN⊥BC分別交BC于M，交AD于N，作直線GH⊥AB分別交AB于G，交CD于H，則四邊形PGBM是矩形，四邊形CMND是矩形，∴CM=DN．∵∠PBG=∠PBM=45°，∠PGB=∠PMB=90°，PB=PB，∴△PGB≌△PMB（AAS），∴PG=PM，∴四邊形BMPG是正方形．∵∠GPE+∠MPE=90°=∠CPM+∠MPE，∴∠GPE=∠MPC．又∵∠PGE=∠PMC=90°，PG=PM，∴△PGE≌△PMC（ASA），∴GE=CM=DN．同理可證四邊形PHDN是正方形，∴PN=DN=GE．∵∠GPN=90°，∴∠GPE+∠NPF=90°=∠GPE+∠GEP，∴∠GEP=∠NPF，∴△GPE≌△NFP（ASA），∴PF=PE，∴點P是EF的中點，故（3）正確；又∵CP⊥EF，∴CP垂直平分EF．連接CE，CF，∴CE=CF．又∵CB=CD，∠CBE=∠CDF=90°，∴Rt△CBE≌Rt△CDF（HL），∴BE=DF，故（2）正確；∵，．又∵不一定等于，∴不一定等于，故（4）錯誤；如圖所示，過點E作EK⊥BP于K，∵∠EPK=∠PCO，∠EKP=∠POC=90°，PE=PC，∴△EPK≌△PCO（AAS），∴EK=PO=2．∵∠EBK=45°，∠EKB=90°，∴∠BEK=45°=∠EBK，∴EK=BK=2，∴，故（5）正確，∴正確的結(jié)論有4個，故答案為4．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的性質(zhì)等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．變式3如圖．已知正方形ABCD的邊長為12，BE＝EC，將正方形的邊CD沿DE折疊到DF，延長EF交AB于G，連接DG．現(xiàn)有如下3個結(jié)論；①AG+EC＝GE；②∠GDE＝45°；③△BGE的周長是24．其中正確的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】由正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得，DF=DC=DA，∠DFG=∠A，進而Rt△ADG≌Rt△FDG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，可得到EB=EG，由此可得△BGE的周長．【詳解】由折疊可知：CE=FE，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，∴∠DFG=∠A=90°，在Rt△ADG和Rt△FDG中，，∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），∴AG=FG，∴AG+EC=GF+EF=GE，故①正確，∵Rt△ADG≌Rt△FDG，∴∠ADG=∠FDG，由折疊可知，∠CDE=∠FDE，∴∠GDE=∠GDF＋∠EDF=，故②正確，∵正方形的邊長為12，∴BE=EC=EF=6，設(shè)AG=FG=x，則EG=x+6，BG=12x，由勾股定理可得：，即，解得：x=4，∴AG=GF=4，BG=8，EG=10，∴△BGE的周長=BE+EG+GB=6+10+8=24，故③正確，故選：D．【點睛】本題主要考查折疊變換，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，能夠熟練應(yīng)用勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．重點點撥：重點點撥：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，它們的性質(zhì)和判定主要從邊、角、對角線這三個方面進行總結(jié)，它們各自特有的性質(zhì)可以為證明有關(guān)線段相等、角相等、直線平行于垂直等問題提供方法和思路.提升訓練下列判斷錯誤的是（

）A．對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形B．對角線互相垂直平分的四邊形是菱形C．對角線相等的四邊形是矩形D．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形【答案】C【分析】根據(jù)正方形的判定，菱形的判定，平行四邊形的判定，矩形的判定，判斷即可；【詳解】A．對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，選項正確，不符合題意；B．對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，選項正確，不符合題意；C．對角線相等的四邊形不一定是矩形，例如：等腰梯形的對角線相等，選項錯誤，符合題意；D．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，選項正確，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查判斷真假命題．涉及正方形的判定，平行線的判定，三角形三邊關(guān)系和平行公理．熟練掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．以下命題的逆命題為真命題的是（

）A．對頂角相等 B．正方形的對角線相等且互相垂直平分C．若a＝b，則a2＝b2 D．若a＞0，b＞0，則a2＋b2＞0【答案】B【分析】根據(jù)逆命題與原命題的關(guān)系，先寫出四個命題的逆命題，然后依次利用對頂角的定義、平行線的性質(zhì)、有理數(shù)的性質(zhì)進行判斷．【詳解】A、對頂角相等逆命題為相等的角為對頂角，此逆命題為假命題，故A選項錯誤；B、正方形的對角線相等且互相垂直平分的逆命題為對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形，此逆命題為真命題，故B選項正確；C、若a=b，則a2=b2的逆命題為若a2=b2，則a=b，此逆命題為假命題，故C選項錯誤；D、若a＞0，b＞0，則a2+b2＞0的逆命題為若a2+b2＞0，則a＞0，b＞0，此逆命題為假命題，故D選項錯誤．故選：B．【點睛】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理．考查逆命題是否為真命題，關(guān)鍵先找出逆命題，再進行判斷．如圖是用8塊型瓷磚（白色四邊形）和8塊型瓷磚（黑色三角形）不重疊、無空隙拼接而成的一個正方形圖案，圖案中型瓷磚的總面積與型瓷磚的總面積之比為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作于，于，連接,可知四邊形是正方形，，，，再求出，即可得到.【詳解】如圖，作于，于，連接．由題意：四邊形是正方形，，∴，，，∵DN平分∠FDK，

∴△DFN與△DNK的高相等，底分別為DF與DK.∴∴，∴圖案中型瓷磚的總面積與型瓷磚的總面積之比為，故選A．、【點睛】此題主要考查正方形內(nèi)的面積求解，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的特點進行做輔助線進行求解.如圖，點在正方形的對角線上，且，的兩直角邊，分別交，于點，．若正方形的邊長為，則重疊部分四邊形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過E作EP⊥BC于點P，EQ⊥CD于點Q，△EPM≌△EQN，利用四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積求解．【詳解】如圖，過點作于點，于點，∵四邊形是正方形，∴，又∵，∴，∴，∴四邊形為矩形．在中，，∴．∵平分，，∴，∴四邊形是正方形．在和中，∴，∴，∴四邊形的面積等于正方形的面積．∵正方形的邊長為，∴，又∵，∴，∴，∴正方形的面積為，∴四邊形的面積為．故選D．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，證出△EPM≌△EQN．如圖，點是正方形內(nèi)一點，，，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，則是等腰直角三角形，，然后根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】將繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，則是等腰直角三角形∴∴，∴∵∴∴故選C．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，和勾股定理，正確的作出輔助線是本題的關(guān)鍵．如圖，已知正方形ABCD的邊長為5，點E、F分別在AD、DC上，AE=DF=2，BE與AF相交于點G，點H為BF的中點，連接GH，則GH的長為_______．【答案】【分析】先證明，再利用全等角之間關(guān)系得出，再由H為BF的中點，又為直角三角形，得出，為直角三角形再利用勾股定理得出BF即可求解．【詳解】，．∴∠BEA=∠AFD，又∵∠AFD＋∠EAG=90°，∴∠BEA＋∠EAG=90°，∴∠BGF=90°．H為BF的中點，又為直角三角形，．∵DF=2，∴CF=52=3．∵為直角三角形．∴BF===．．【點睛】本題主要考查全等三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊中線等于斜邊一半知識點，解題的關(guān)鍵是熟悉掌握直角三角形斜邊中線等于斜邊一半．如圖，M、N是正方形ABCD的邊CD上的兩個動點，滿足，連接AC交BN于點E，連接DE交AM于點F，連接CF，若正方形的邊長為6，則線段CF的最小值是______．【答案】【分析】先判斷出≌，得出，進而判斷出≌，得出，即可判斷出，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，利用勾股定理列式求出OC，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當O、F、C三點共線時，CF的長度最?。驹斀狻咳鐖D，在正方形ABCD中，，，，在和中，，≌，，在和中，，≌，，，，，，取AD的中點O，連接OF、OC，則，在中，，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，，當O、F、C三點共線時，CF的長度最小，最小值，故答案為．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等，綜合性較強，有一定的難度，確定出CF最小時點F的位置是解題關(guān)鍵．如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，BE∥AC，CE∥DB．求證：四邊形OBEC是正方形．【分析】先根據(jù)兩邊分別平行的四邊形是平行四邊形得到四邊形OBEC為平行四邊形，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)：對角線互相垂直平分且相等，可得∠BOC=90°，OC=OB，從而根據(jù)正方形的判定得證結(jié)論.【詳解】∵BE∥OC，CE∥OB，∴四邊形OBEC為平行四邊形，∵四邊形ABCD為正方形，∴OC=OB，AC⊥BD，∴∠BOC=90°，∴四邊形OBEC是矩形．∵OC=OB，∴四邊形OBEC是正方形.【點睛】此題主要考查了正方形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.知識再現(xiàn)：已知，如圖，四邊形是正方形，點、分別在邊、上，連接、、，，延長至使，連接，根據(jù)三角形全等的知識，我們可以證明．(1)知識探究：在圖中，作，垂足為點，猜想與有什么數(shù)量關(guān)系？并證明；(2)知識應(yīng)用：如圖，已知，于點，且，，則的長為______；(3)知識拓展：如圖，四邊形是正方形，是邊的中點，為邊上一點，，，求的長．【分析】（1）利用全等三角形的判定和性質(zhì)可得≌，，，繼續(xù)利用全等三角形的判定及性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)即可證明；（2）由翻折的性質(zhì)及正方形的判定和性質(zhì)得出四邊形為正方形，設(shè)，利用勾股定理求解即可得出結(jié)果；（3）連接，過點作，設(shè)，則，利用全等三角形的判定和性質(zhì)可得≌，設(shè)，結(jié)合勾股定理求解即可得出結(jié)果．【詳解】(1)證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴，，，≌，，，，，，，，，≌，，∴AM平分∠GMN，，，；(2)如圖所示，將和翻折，延長、交于點，∵翻折得到，，，，∵翻折得到，，，，，四邊形為矩形，，四邊形為正方形，設(shè)，，，，，解得