專題培優(yōu)課　指數(shù)對數(shù)冪的大小比較

專題培優(yōu)課指數(shù)、對數(shù)、冪的大小比較【考情分析】指數(shù)、對數(shù)、冪的大小比較是近三年新高考的熱點，有時也是難點，主要考查指數(shù)、對數(shù)的互化、運算性質(zhì)，以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)，一般以選擇題的形式出現(xiàn)．關鍵能力·題型剖析題型一直接法比較大小角度一利用函數(shù)的性質(zhì)例1[2024·廣東東莞模擬]若a＝1213，b＝1223，c＝A．c<a<bB．a(chǎn)<b<cC．b<a<cD．b<c<a[聽課記錄]角度二找中間值例2[2024·重慶沙坪壩模擬]設a＝log0.20.3，b＝log20.3，c＝20.3，則()A．a(chǎn)>b>cB．b>c>aC．a(chǎn)>c>bD．c>a>b[聽課記錄]角度三特殊值法例3[2024·黑龍江哈爾濱模擬]若a>b>1，0<c<1，則()A．logac>logbc B．logca>logcbC．a(chǎn)c<bc D．ca>cb[聽課記錄]題后師說利用特殊值作“中間量”在指數(shù)、對數(shù)中通?？蓛?yōu)先選擇“－1，0，12，1”對所比較的數(shù)進行劃分，然后再進行比較，有時可以簡化比較的步驟，也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對所比較的數(shù)的值進行估計，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，進而可估計log23是一個1～2之間的小數(shù)，從而便于比較．鞏固訓練1(1)已知a＝(43)－0.1，b＝(34)－0.1，c＝5-3，則A．b>c>a B．b>a>cC．a(chǎn)>b>c D．c>b>a(2)[2024·河南洛陽模擬]已知a＝1235，b＝1253，c＝A．b<a<c B．a(chǎn)<b<cC．c<a<b D．c<b<a(3)已知a>b>1，0<c<12，則下列結論正確的是(A．a(chǎn)c<bc B．a(chǎn)bc<bacC．a(chǎn)logbc<blogac D．logac<logbc題型二利用指數(shù)、對數(shù)及冪的運算性質(zhì)化簡比較大小例4(1)[2023·江蘇鎮(zhèn)江高三統(tǒng)考開學考試]設a＝2log32，b＝log23，c＝43，則a，b，c的大小順序為(A．a(chǎn)>b>c B．c>b>aC．a(chǎn)>c>b D．b>c>a(2)[2024·安徽安慶模擬]已知x＝6log643，y＝13log364，z＝32log83，則(A．x>y>z B．z>x>yC．y>z>x D．y>x>z[聽課記錄]題后師說求同存異法比較大小如果兩個指數(shù)或?qū)?shù)的底數(shù)相同，則通過真數(shù)的大小與指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出指數(shù)或?qū)?shù)的大小關系，要熟練運用指數(shù)、對數(shù)公式、性質(zhì)，盡量將比較的對象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的情況．鞏固訓練2(1)[2023·天津卷]若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，則a，b，c的大小關系為()A．c>a>b B．c>b>aC．a(chǎn)>b>c D．b>a>c(2)[2024·吉林通化模擬]已知a＝log32，b＝log53，c＝log85，則下列結論正確的是()A．a(chǎn)<b<c B．b<a<cC．a(chǎn)<c<b D．b<c<a題型三構造函數(shù)比較大小例5已知a＝23＋ln32，b＝1＋1e，c＝12＋ln2，A．c<b<a B．b<c<aC．c<a<b D．a(chǎn)<c<b[聽課記錄]題后師說某些數(shù)或式子的大小關系問題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無關，細心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，將各個值中的共同的量用變量替換，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究相應函數(shù)的單調(diào)性，進而比較大?。柟逃柧?[2024·黑龍江哈爾濱模擬]已知a＝ln22，b＝ln66，c＝ln7A．c>b>a B．b>a>cC．b>c>a D．a(chǎn)>b>c1.已知a＝223，b＝415，c＝325A．a(chǎn)<b<c B．b<a<cC．b<c<a D．c<b<a2．[2021·新高考Ⅱ卷]已知a＝log52，b＝log83，c＝12，則下列判斷正確的是(A．c<b<a B．b<a<cC．a(chǎn)<c<b D．a(chǎn)<b<c3．[2024·重慶模擬]已知a＝23，b＝32，c＝log23，則a，b，c的大小關系為(A．b<c<a B．c<b<aC．b<a<c D．a(chǎn)<c<b4．已知實數(shù)m，n滿足0<m<12，1<n<2，則下列關系中正確的是(A．mn2>1 B．sinm>sin1C．mn<nm D．logmn<lognm5．[2024·河北唐山模擬]已知a＝ln22，b＝1e，c＝ln99(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))A．b>c>a B．b>a>cC．c>b>a D．a(chǎn)>b>c專題培優(yōu)課指數(shù)、對數(shù)、冪的大小比較關鍵能力·題型剖析例1解析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=12x在R上單調(diào)遞減可知，a=1213>1223=b，且a=1213<120=1，根據(jù)對數(shù)函數(shù)答案：C例2解析：因為a＝log0.20.3∈(log0.21，log0.20.2)＝(0，1)，b＝log20.3<log21＝0，c＝20.3>20＝1，所以c>a>b.答案：D例3解析：取a＝4，b＝2，c＝12，則logac＝log412＝－12，logbc＝log212＝－1，∴l(xiāng)ogac>答案：A鞏固訓練1解析：(1)0<(43)－0.1<(43)0＝1，即0<a(34)－0.1>(34)0＝1，即b5-3＝－53<0，即所以有c<0<a<1<b.(2)由1253<1235<12由log1315＝log35>log33，故b<a<c.(3)令a＝4，b＝2，c＝14則ac＝414，bc＝∴ac>bc，故A錯誤；abc＝4×214＝294，ba∴abc>bac，故B錯誤；logac＝log414＝－1logbc＝log214＝－2alogbc＝－8，blogac＝－2，∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正確，D錯誤．答案：(1)B(2)A(3)C例4解析：(1)∵3a＝6log32＝log364<log381＝4，3b＝3log23＝log227>log216＝4，又3c＝4，∴3a<3c<3b，即b>c>a.(2)因為x＝6log643＝66log23＝log23，y＝13log364＝log34＝2log23，z＝32log83由yz＝2log2312log23＝(log由xy＝log232log23＝(log232)2，而log23>log222＝32，則xy>(322)2答案：(1)D(2)A鞏固訓練2解析：(1)因為函數(shù)f(x)＝1.01x是增函數(shù)，且0.6＞0.5＞0，所以1.010.6＞1.010.5＞1，即b＞a＞1；因為函數(shù)g(x)＝0.6x是減函數(shù)，且0.5＞0，所以0.60.5＜0.60＝1，即c＜1.綜上，b＞a＞c.故選D.(2)因為log32＝log338<log339＝log3323＝23＝log5523＝所以a<b.因為ln3ln8<(ln3+ln82)2＝(ln24)2<(ln5)2，所以ln3ln5<ln5ln8，所以log53<log85，所以答案：(1)D(2)A例5解析：構造函數(shù)f(x)＝1x＋lnx因為f′(x)＝－1x2+1x＝x-1所以當x>1時，f′(x)>0，所以函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，因為1<32<2<e所以f(32)<f(2)<f(e)，即1＋1e>12＋ln2>23＋所以a<c<b.答案：D鞏固訓練3解析：令f(x)＝lnxx，x>0，則f′(x)＝當x∈(0，e)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當x∈(e，＋∞)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，因為a＝ln22＝ln44＝f(4)，b＝ln66＝f(6)，c＝ln所以f(4)>f(6)>f(7)，即a>b>c.答案：D隨堂檢測1．解析：由題設a＝223＝413，b＝41由y＝4x為增函數(shù)，且13>15，故a>由y＝x23在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且5>2，故c>綜上，b<a<c.答案：B2．解析：a＝log52<log55＝12＝log822<log83＝b，即a<c<b答案：C3．解析：根據(jù)題意可知a＝23>21>b＝32，即可得a>由對數(shù)函數(shù)y＝log2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增可知，c＝log23＝log29>log28＝log2232＝32＝b，且c＝log23<log24＝2<a，所以b<c<a.答案：A4．解析：由題易知，取m＝14，n＝32，則mn2＝14×(32)2＝9160<m<12<1n<1<π2，所以sinm<sin1mn<1，n