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第49講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系考綱要求考情分析命題趨勢(shì)1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系;能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問題.3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.2016·全國(guó)卷Ⅱ,42016·全國(guó)卷Ⅲ,162015·重慶卷,82015·江蘇卷,10圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系在高考中幾乎是年年考,一般單獨(dú)命題.但有時(shí)也與圓錐曲線等知識(shí)綜合,重點(diǎn)考查函數(shù)與方程,數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.分值:5分1.直線與圓的位置關(guān)系(1)三種位置關(guān)系:__相交__、__相切__、__相離__.(2)兩種研究方法(3)圓的切線方程的常用結(jié)論①過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2.②過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.③過圓x2+y2=r2外一點(diǎn)M(x0,y0)作圓的兩條切線,則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x+y0y=r2.2.圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1:(x-a1)2+(y-b1)2=req\o\al(2,1)(r1>0),圓O2:(x-a2)2+(y-b2)2=req\o\al(2,2)(r2>0).方法位置關(guān)系幾何法:圓心距d與r1,r2的關(guān)系代數(shù)法:兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況外離__d>r1+r2____無解__外切__d=r1+r2____一組實(shí)數(shù)解__相交|r1-r2|<d<r1+r2__兩組不同的實(shí)數(shù)解__內(nèi)切d=|r1-r2|(r1≠r2)__一組實(shí)數(shù)解__內(nèi)含__0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)____無解__1.思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”).(1)如果直線與圓組成的方程組有解,則直線與圓相交或相切.(√)(2)如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解,則兩圓外切.(×)(3)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和,則兩圓相交.(×)(4)從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后所得的方程為公共弦所在直線方程.(×)(5)過圓O:x2+y2=r2外一點(diǎn)P(x0,y0)作圓的兩條切線,切點(diǎn)為A,B,則O,P,A,B四點(diǎn)共圓且直線AB的方程是x0x+y0y=r2.(√)解析(1)正確.直線與圓組成的方程組有一組解時(shí),直線與圓相切,有兩組解時(shí),直線與圓相交.(2)錯(cuò)誤.因?yàn)槌馇型猓€可能內(nèi)切.(3)錯(cuò)誤.因?yàn)槌∮趦砂霃胶瓦€需大于兩半徑差的絕對(duì)值,否則可能內(nèi)切或內(nèi)含.(4)錯(cuò)誤.只有當(dāng)兩圓相交時(shí),方程才是公共弦所在的直線方程.(5)正確.由已知可得O,P,A,B四點(diǎn)共圓,其方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(x0,2)))2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y-\f(y0,2)))2=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0,2)))2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y0,2)))2,即x2+y2-x0x-y0y=0,①又圓O方程為x2+y2=r2,②②-①得x0x+y0y=r2,而兩圓相交于A,B兩點(diǎn),故直線AB的方程是x0x+y0y=r2.2.圓(x-1)2+(y+2)2=6與直線2x+y-5=0的位置關(guān)系是(B)A.相切 B.相交但直線不過圓心C.相交且直線過圓心 D.相離解析由題意知圓心(1,-2)到直線2x+y-5=0的距離d=eq\f(|2×1-2-5|,\r(22+1))=eq\r(5)<eq\r(6),且2×1+(-2)-5≠0,因此該直線與圓相交但不過圓心.3.圓O1:x2+y2-2x=0和圓O2:x2+y2-4y=0的位置關(guān)系是(B)A.相離 B.相交C.外切 D.內(nèi)切解析圓O1的圓心為(1,0),半徑r1=1,圓O2的圓心為(0,2),半徑r2=2,故兩圓的圓心距|O1O2|=eq\r(5),而r2-r1=1,r1+r2=3,則有r2-r1<|O1O2|<r1+r2,故兩圓相交.4.圓x2+y2-4x=0在點(diǎn)P(1,eq\r(3))處的切線方程為(D)A.x+eq\r(3)y-2=0 B.x+eq\r(3)y-4=0C.x-eq\r(3)y+4=0 D.x-eq\r(3)y+2=0解析圓的方程為(x-2)2+y2=4,圓心坐標(biāo)為(2,0),半徑為2,點(diǎn)P在圓上,設(shè)切線方程為y-eq\r(3)=k(x-1),即kx-y-k+eq\r(3)=0,∴eq\f(|2k-k+\r(3)|,\r(k2+1))=2,解得k=eq\f(\r(3),3).∴切線方程為y-eq\r(3)=eq\f(\r(3),3)(x-1),即x-eq\r(3)y+2=0.5.直線x-2y+5=0與圓x2+y2=8相交于A,B兩點(diǎn),則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))=2eq\r(3).解析如圖,取AB中點(diǎn)C,連接OC,OA,則OC⊥AB,|OA|=2eq\r(2),|OC|=eq\f(|0-2×0+5|,\r(12+-22))=eq\r(5),∴|AC|=eq\r(8-5)=eq\r(3),∴|AB|=2|AC|=2eq\r(3).一直線與圓的位置關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系時(shí),通常利用圓心到直線的距離,注意求距離時(shí)直線方程必須化成一般式.【例1】(1)直線l:mx-y+1-m=0與圓C:x2+(y-1)2=5的位置關(guān)系是(A)A.相交 B.相切C.相離 D.不確定(2)若直線y=x+b與曲線x=eq\r(1-y2)恰有一個(gè)公共點(diǎn),則b的取值范圍是(D)A.b∈(-1,1] B.b=-eq\r(2)C.b=±eq\r(2) D.b∈(-1,1]或b=-eq\r(2)解析(1)由題意知,圓心(0,1)到直線l的距離d=eq\f(|m|,\r(m2+1))<1<eq\r(5),故直線l與圓相交.(2)由x=eq\r(1-y2)知,曲線表示半圓(如圖所示),當(dāng)-1<b≤1時(shí),直線y=x+b與半圓有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)直線與半圓相切時(shí),也與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)eq\f(|b|,\r(2))=1(b<-1),解得b=-eq\r(2).二弦長(zhǎng)問題求直線被圓所截得的弦長(zhǎng)時(shí),通常考慮弦心距、垂線段作為直角邊的直角三角形,利用勾股定理來解決問題.【例2】已知過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點(diǎn).(1)求k的取值范圍;(2)若eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))=12,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),求eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MN)).解析(1)由題設(shè)可知直線l的方程為y=kx+1.因?yàn)橹本€l與圓C交于兩點(diǎn),所以eq\f(|2k-3+1|,\r(1+k2))<1,解得eq\f(4-\r(7),3)<k<eq\f(4+\r(7),3),所以k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4-\r(7),3),\f(4+\r(7),3))).(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).將y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=eq\f(41+k,1+k2),x1x2=eq\f(7,1+k2).eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=eq\f(4k1+k,1+k2)+8.由題設(shè)得eq\f(4k1+k,1+k2)+8=12,解得k=1,所以直線l的方程為y=x+1.故圓心C在直線l上,所以|MN|=2.三圓的切線問題求圓的切線方程應(yīng)注意的問題求過某點(diǎn)的圓的切線問題時(shí),應(yīng)首先確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,再求切線方程.若點(diǎn)在圓上(即為切點(diǎn)),則過該點(diǎn)的切線只有一條;若點(diǎn)在圓外,則過該點(diǎn)的切線有兩條,此時(shí)應(yīng)注意斜率不存在的切線.【例3】已知點(diǎn)P(eq\r(2)+1,2-eq\r(2)),點(diǎn)M(3,1),圓C:(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求過點(diǎn)P的圓C切線方程;(2)求過點(diǎn)M的圓C的切線方程,并求出切線長(zhǎng).解析由題意得圓心C(1,2),半徑r=2.(1)∵(eq\r(2)+1-1)2+(2-eq\r(2)-2)2=4,∴點(diǎn)P在圓C上.又kPC=eq\f(2-\r(2)-2,\r(2)+1-1)=-1,∴切線的斜率k=-eq\f(1,kPC)=1.∴過點(diǎn)P的圓C的切線方程是y-(2-eq\r(2))=1×[x-(eq\r(2)+1)],即x-y+1-2eq\r(2)=0.(2)∵(3-1)2+(1-2)2=5>4,∴點(diǎn)M在圓C外部.當(dāng)過點(diǎn)M的直線斜率不存在時(shí),直線方程為x=3,即x-3=0.又點(diǎn)C(1,2)到直線x-3=0的距離d=3-1=2=r,即此時(shí)滿足題意,∴直線x=3是圓的切線.當(dāng)切線的斜率存在時(shí),設(shè)切線方程為y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,則圓心C到切線的距離d=eq\f(|k-2+1-3k|,\r(k2+1))=r=2,解得k=eq\f(3,4).∴切線方程為y-1=eq\f(3,4)(x-3),即3x-4y-5=0.綜上可得,過點(diǎn)M的圓C的切線方程為x-3=0或3x-4y-5=0.∵|MC|=eq\r(3-12+1-22)=eq\r(5),∴過點(diǎn)M的圓C的切線長(zhǎng)為eq\r(|MC|2-r2)=eq\r(5-4)=1.四圓與圓的位置關(guān)系(1)處理兩圓的位置關(guān)系多用圓心距與半徑和或差的關(guān)系判斷,一般不采用代數(shù)法.(2)若兩圓相交,則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差得到.【例4】已知圓C1:(x-a)2+(y+2)2=4與圓C2:(x+b)2+(y+2)2=1.(1)若圓C1與圓C2外切,求ab的最大值;(2)若圓C1與圓C2內(nèi)切,求ab的最大值;(3)若圓C1與圓C2相交,求公共弦所在的直線方程;(4)若圓C1與圓C2有四條公切線,試判斷直線x+y-1=0與圓(x-a)2+(y-b)2=1的位置關(guān)系.解析(1)由圓C1與圓C2相外切,可得eq\r(a+b2+-2+22)=2+1=3,即(a+b)2=9,根據(jù)基本不等式可知ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+b,2)))2=eq\f(9,4),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立,ab的最大值為eq\f(9,4).(2)由C1與C2內(nèi)切得eq\r(a+b2+-2+22)=1,即(a+b)2=1,又ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+b,2)))2=eq\f(1,4),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立,可知ab的最大值為eq\f(1,4).(3)由題意得,把圓C1,圓C2的方程都化為一般方程.圓C1:x2+y2-2ax+4y+a2=0,①圓C2:x2+y2+2bx+4y+b2+3=0,②由②-①,得(2a+2b)x+3+b2-a2=0即(2a+2b)x+3+b2-a2=0為所求公共弦所在的直線方程(4)由兩圓存在四條切線,可知兩圓外離,故eq\r(a+b2+-2+22)>3.∴(a+b)2>9,即a+b>3或a+b<-3.又圓心(a,b)到直線x+y-1=0的距離d=eq\f(|a+b-1|,\r(2))>1,∴直線x+y-1=0與圓(x-a)2+(y-b)2=1相離.1.(2018·廣東揭陽(yáng)一模)已知直線x+y-k=0(k>0)與x2+y2=4交于不同的兩點(diǎn)A,B,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且|eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(OB,\s\up6(→))|≥eq\f(\r(3),3)|eq\o(AB,\s\up6(→))|,則k的取值范圍是(B)A.(eq\r(3),+∞) B.[eq\r(2),2eq\r(2))C.[eq\r(2),+∞) D.[eq\r(3),2eq\r(2))解析由已知得圓心到直線的距離小于半徑,即eq\f(|k|,\r(2)),又k>0,故0<k<2eq\r(2).①如圖,取AB的中點(diǎn)為M,則由|eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(OB,\s\up6(→))|≥eq\f(\r(3),3)|eq\o(AB,\s\up6(→))|得2|Oeq\o(M,\s\up6(→))|≥eq\f(\r(3),3)|2Meq\o(B,\s\up6(→))|,即|eq\o(OM,\s\up6(→))|≥eq\f(\r(3),3)|eq\o(BM,\s\up6(→))|,即∠MBO≥eq\f(π,6),因?yàn)閨OB|=2,eq\f(|OM|,|OB|)=sin∠MBO≥sineq\f(π,6)=eq\f(1,2),所以|OM|≥1,即eq\f(|k|,\r(2))≥1,所以k≥eq\r(2).②綜合①②得,eq\r(2)≤k<2eq\r(2),故選B.2.若直線x-y=2被圓(x-1)2+(y+a)2=4所截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(2),則實(shí)數(shù)a的值為(D)A.-2或6 B.0或4C.-1或eq\r(3) D.-1或3解析圓心坐標(biāo)為(1,-a),弦長(zhǎng)為2eq\r(2),∴圓心到直線x-y-2=0的距離為d=eq\r(4-2)=eq\r(2),即eq\r(2)=eq\f(|1+a-2|,\r(2)),∴|a-1|=2,∴a=-1或3,故選D.3.若圓x2+y2=4與圓x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的長(zhǎng)為2eq\r(3),則a=__1__.解析兩圓的方程相減,得公共弦所在的直線方程為y=eq\f(1,a).又a>0,結(jié)合圖象,再利用半徑、弦長(zhǎng)的一半及弦心距構(gòu)成直角三角形,可知eq\f(1,a)=eq\r(22-\r(3)2)=1?a=1.4.點(diǎn)P在圓x2+y2-8x-4y+11=0上,點(diǎn)Q在圓x2+y2+4x+2y-1=0上,則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PQ))的最小值為3eq\r(5)-3-eq\r(6).解析圓x2+y2-8x-4y+11=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4)2+(y-2)2=9,圓x2+y2+4x+2y-1=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y+1)2=6.|PQ|min=兩圓圓心距-R-r(R,r分別為兩圓半徑),圓心距d=eq\r(4+22+2+12)=3eq\r(5),∴|PQ|min=3eq\r(5)-3-eq\r(6).易錯(cuò)點(diǎn)缺乏轉(zhuǎn)化思想致誤錯(cuò)因分析:不能將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩圓的位置關(guān)系,而是根據(jù)題意設(shè)出直線方程,利用點(diǎn)到直線的距離公式建立等式,但因運(yùn)算太復(fù)雜而無法求解.【例1】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若與點(diǎn)A(2,2)的距離為1且與點(diǎn)B(m,0)的距離為3的直線恰有兩條,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________.解析因?yàn)榕c點(diǎn)A(2,2)的距離為1的直線都是以點(diǎn)A(2,2)為圓心,半徑為1的圓的切線,與點(diǎn)B(m,0)的距離為3的直線都是以點(diǎn)B(m,0)為圓心,半徑為3的圓的切線,所以與點(diǎn)A(2,2)的距離為1且與點(diǎn)B(m,0)的距離為3的直線恰有兩條,即圓A與B有兩條公切線,也即兩圓相交,所以2<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))<4,解得2-2eq\r(3)<m<2或2<m<2+2eq\r(3).答案(2-2eq\r(3),2)∪(2,2+2eq\r(3))【跟蹤訓(xùn)練1】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以點(diǎn)(1,0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圓中,半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__(x-1)2+y2=2解析由mx-y-2m-1=0可得m(x-2)=y(tǒng)+1,易知該直線過定點(diǎn)(2,-1),當(dāng)圓與直線相切于點(diǎn)(2,-1)時(shí),圓的半徑最大,此時(shí)半徑r滿足r2=(1-2)2+(0+1)2=2故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=2.課時(shí)達(dá)標(biāo)第49講[解密考綱]直線與圓的位置關(guān)系、切線、弦長(zhǎng)問題是高考的熱點(diǎn),常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),有時(shí)也在解答題中出現(xiàn).一、選擇題1.(2016·全國(guó)卷Ⅱ)圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=(A)A.-eq\f(4,3) B.-eq\f(3,4)C.eq\r(3) D.2解析由圓x2+y2-2x-8y+13=0,得圓心坐標(biāo)為(1,4),故圓心到直線ax+y-1=0的距離d=eq\f(|a+4-1|,\r(a2+1))=1,解得a=-eq\f(4,3).2.圓(x+2)2+y2=4與圓(x-2)2+(y-1)2=9的位置關(guān)系為(B)A.內(nèi)切 B.相交C.外切 D.相離解析兩圓的圓心分別為(-2,0),(2,1),半徑分別為r=2,R=3,兩圓的圓心距為eq\r(-2-22+0-12)=eq\r(17),則R-r<eq\r(17)<R+r,所以兩圓相交,故選B.3.過點(diǎn)P(2,0)的直線l被圓(x-2)2+(y-3)2=9截得的線段長(zhǎng)為2時(shí),直線l的斜率為(A)A.±eq\f(\r(2),4) B.±eq\f(\r(2),2)C.±1 D.±eq\f(\r(3),3)解析由題意,直線l的斜率存在,設(shè)為k,則直線l的方程為y=k(x-2),即kx-y-2k=0.由點(diǎn)到直線的距離公式,得圓心到直線l的距離d=eq\f(|2k-3-2k|,\r(k2+1))=eq\f(3,\r(k2+1)).由圓的性質(zhì)可得d2+12=r2,即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(k2+1))))2+12=9,解得k2=eq\f(1,8),即k=±eq\f(\r(2),4).4.已知圓C:(x-1)2+(y-4)2=10和點(diǎn)M(5,t),若圓C上存在兩點(diǎn)A,B,使得AM⊥MB,則實(shí)數(shù)t的取值范圍為(C)A.[-2.6] B.[-3,5]C.[2,6] D.[3,5]解析過M作⊙C的切線,兩切點(diǎn)為E,F(xiàn),當(dāng)且僅當(dāng)∠EMF≥90°時(shí),圓C上才存在使MA⊥MB的兩點(diǎn)A,B,若∠EMF=90°,則四邊形CEMF是正方形,|MC|=2eq\r(5),即(5-1)2+(t-4)2=20,解得t=2或t=6,故2≤t≤6.5.若直線l:y=kx+1被圓C:x2+y2-2x-3=0截得的弦最短,則直線l的方程是(D)A.x=0 B.y=1C.x+y-1=0 D.x-y+1=0解析依題意,直線l:y=kx+1過定點(diǎn)P(0,1).圓C:x2+y2-2x-3=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=4,故圓心為C(1,0),半徑為r=2.易知定點(diǎn)P(0,1)在圓內(nèi),由圓的性質(zhì)可知當(dāng)PC⊥l時(shí),直線l:y=kx+1被圓C:x2+y2-2x-3=0截得的弦最短.因?yàn)閗PC=eq\f(1-0,0-1)=-1,所以直線l的斜率k=1,即直線l的方程是x-y+1=0.6.圓C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圓C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分別是圓C1,C2上的動(dòng)點(diǎn),P為x軸上的動(dòng)點(diǎn),則|PM|+|PN|的最小值為(A)A.5eq\r(2)-4 B.eq\r(17)-1C.6-2eq\r(2) D.eq\r(17)解析設(shè)P(x,0),設(shè)C1(2,3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C1′(2,-3),那么|PC1|+|PC2|=|PC1′|+|PC2|≥|C1′C2|=eq\r(2-32+-3-42)=5eq\r(2).而|PM|≥|PC1|-1,|PN|≥|PC2|-3,∴|PM|+|PN|≥|PC1|+|PC2|-4≥5eq\r(2)-4.二、填空題7.若直線y=kx與圓x2+y2-4x+3=0相切,則k的值是__±eq\f(\r(3),3)___.解析因?yàn)橹本€y=kx與圓x2+y2-4x+3=0相切,所以圓心(2,0)到直線的距離d=eq\f(|2k|,\r(k2+1))=r=1,解得k=±eq\f(\r(3),3).8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為x2+y2-4x=0.若直線y=k(x+1)上存在一點(diǎn)P,使過點(diǎn)P作圓C的兩條切線相互垂直,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__[-2eq\r(2),2eq\r(2)]__.解析圓C的方程為(x-2)2+y2=4.“圓的兩條切線相互垂直”轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)到圓心的距離不大于2eq\r(2)”,故eq\f(|3k|,\r(k2+1))≤2eq\r(2),解得-2eq\r(2)≤k≤2eq\r(2).9.(2016·全國(guó)卷Ⅲ)已知直線l:x-eq\r(3)y+6=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn),則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(CD))=__4__.解析圓心(0,0)到直線x-eq\r(3)y+6=0的距離d=eq\f(6,\r(1+3))=3,|AB|=2eq\r(12-32)=2eq\r(3),過C作CE⊥BD于E,因?yàn)橹本€l的傾斜角為30°,所以|CD|=eq\f(|CE|,cos30°)=eq\f(|AB|,cos30°)=eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))=4.三、解答題10.已知圓C:x2+y2-8y+12=0,直線l:ax+y+2a=(1)當(dāng)a為何值時(shí),直線l與圓C相切;(2)當(dāng)直線l與圓C相交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=2eq\r(2)時(shí),求直線l的方程.解析(1)由圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-4)2=4,知圓C的圓心為(0,4),半徑為2.若直線l與圓C相切,則有eq\f(|4+2a|,\r(a2+1))=2,解得a=-eq\f(3,4).(2)過圓心C作CD⊥AB,則根據(jù)題意和圓的性質(zhì),得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|CD|=\f(|4+2a|,\r(a2+1)),,|CD|2+|DA|2=|AC|2=22,,|DA|=\f(1,2)|AB|=\r(2),))解得a=-7或a=-1.故所求直線方程為7x-y+14=0或x-y+2=0.11.已知一圓C的圓心為(2,-1),且該圓被直線l:x-y-1=0截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(2),求該圓的方程及過弦的兩端點(diǎn)的切線方程.解析設(shè)圓C的方程為(x-2)2+(y+1)2=r2(r>0),∵圓心(2,-1)到直線x-y-1=0的距離d=eq\r(2),∴r2=d2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),2)))2=4,故圓C的方程為(x-2)2+(y+1)2=4.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x-y-1=0,,x-22+
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