折疊問題：平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）（基礎(chǔ)篇）

平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）（折疊問題）（基礎(chǔ)篇）（專項(xiàng)練習(xí)）一、單選題1．如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)A落在四邊形BCDE內(nèi)時(shí)，則∠A與∠1+∠2之間有始終不變的關(guān)系是（）A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2C．3A=∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）2．如圖，中，，沿著圖中的折疊，點(diǎn)剛好落在邊上的點(diǎn)處，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．3．將一副三角板按圖中所示方式折疊，其中∠ABC=∠D=90°，∠C=60°，∠BAD=45°，AC與BD相交于E，則∠BEC的大小為（

）A． B． C． D．4．如圖，將折疊，使邊落在邊上，展開后得到折痕l，則l是的（

）A．中線 B．高線 C．角平分線 D．任意一條線段5．如圖，四邊形中，，將四邊形沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，若，則為（）A． B． C． D．6．如圖，將一個(gè)直角三角形紙片，沿線段折疊，使點(diǎn)B落在B′處，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．7．如圖，將矩形紙片沿折疊，使點(diǎn)A落在對(duì)角線上的點(diǎn)處．若，則的大小為（

）A． B． C． D．8．如圖，在中，，，將點(diǎn)A與點(diǎn)B分別沿MN和EF折疊，使點(diǎn)A、B與點(diǎn)C重合，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．9．如圖，將直角三角形紙片沿（是斜邊上一點(diǎn)）折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處．若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．10．如圖所示的四種沿AB進(jìn)行折疊的方法中，不一定能判斷紙帶兩條邊a，b互相平行的是（）A．如圖1，展開后測(cè)得∠1=∠2 B．如圖2，展開后測(cè)得∠1=∠2且∠3=∠4C．如圖3，測(cè)得∠1=∠2 D．在圖4中，展開后測(cè)得∠1+∠2=180°11．學(xué)習(xí)平行線后，小龍同學(xué)想出了“過已知直線m外一點(diǎn)P畫這條直線的平行線的新方法”，他是通過折一張半透明的正方形紙得到的．觀察圖（1）～（4），經(jīng)兩次折疊展開后折痕CD所在的直線即為過點(diǎn)P的已知直線m的平行線．從圖中可知，小龍畫平行線的依據(jù)有（

）①兩直線平行，同位角相等；②過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；③同位角相等，兩直線平行；④內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．A．①② B．②③ C．③④ D．①④12．如圖是長方形紙帶，，將紙帶沿折疊成圖，再沿折疊成圖，則圖中的的度數(shù)是（

）A． B． C． D．二、填空題13．如圖，將直角三角形紙片ABC進(jìn)行折疊，使直角頂點(diǎn)A落在斜邊BC上的點(diǎn)E處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)C，得到折痕CD．若∠CDE=70°，則∠B=______°．14．如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AD為BC邊上的中線，沿中線AD把△ABC折疊后如圖2，則S△BDG___S△ACG（用“＜”，“＞”，“＝”填空）．15．“生活中處處有數(shù)學(xué)”，請(qǐng)看圖，折疊一張三角形紙片，把三角形的三個(gè)角拼在一起，我們就可以得到一個(gè)著名的常用的幾何結(jié)論，這一結(jié)論是________.16．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分別為AB，AC上一點(diǎn)，將△BCD，△ADE分別沿CD，DE折疊，點(diǎn)A、B恰好重合于點(diǎn)A'處．若∠A'CA＝18°，則∠A＝____°．17．如圖，已知：長方形紙片，點(diǎn)，在邊上，點(diǎn)，在邊上，分別沿，折疊，使點(diǎn)和點(diǎn)都落在點(diǎn)處，若，則的度數(shù)是______．18．已知一張三角形紙片（如圖甲），其中．將紙片沿過點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落到邊上的點(diǎn)處，折痕為（如圖乙）．再將紙片沿過點(diǎn)的直線折疊，點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，折痕為（如圖丙）．原三角形紙片中，的大小為___19．如圖，在中，將、按如圖所示的方式折疊，點(diǎn)B、C均落于邊上的點(diǎn)Q處，、為折痕，若，則______度．20．如圖，在中，，點(diǎn)P是直線上一動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為____________．21．如圖，點(diǎn)F是長方形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，將長方形的一角沿AF折疊，點(diǎn)B的折疊點(diǎn)E落在長方形ABCD外側(cè)，若AEBD，∠ADB=28°，則∠EAD=______°，∠AFC=_______°22．如圖，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折疊，使A點(diǎn)與I點(diǎn)重合，若∠1+∠2＝132°，則∠BIC＝_____°．三、解答題23．一個(gè)四邊形的紙片ABCD，其中∠B＝∠D＝90°，把紙片按如圖所示折疊，點(diǎn)B落在AD邊上的E點(diǎn)，AF是折痕．（1）求證：EF∥DC；（2）如果∠AFB＝70°，求∠C的度數(shù)．24．如圖，在三角形ABC中，∠C=90°，把三角形ABC沿直線DE折疊，使三角形ADE與三角形BDE重合（1）若∠A=30°，求∠CBD的度數(shù)（2）若三角形BCD的周長為12，AE=5，求三角形ABC的周長25．如圖，將△ABC的一角折疊，使點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)一點(diǎn)（1）若∠1=40°，∠2=30°，求∠C的度數(shù)；（2）試通過第（1）問，直接寫出∠1、∠2、∠C三者之間的關(guān)系．26．如圖①，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落F的位置，DF與BC交于點(diǎn)G，EF與BC交于點(diǎn)M，∠A=80°，求∠1+∠2的度數(shù)；27．如圖，已知四邊形紙片，，點(diǎn)在邊上，把紙片按圖中所示的方式折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為．（1）試判定與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如果，求的度數(shù)．28．如圖，將長方形紙片沿折疊得到圖，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，，折疊后與相交于點(diǎn)．、(1)若，求的度數(shù)．(2)設(shè)，．①請(qǐng)用含的代數(shù)式表示．②當(dāng)恰好平分時(shí)，求的度數(shù)．

參考答案1．B【分析】本題問的是關(guān)于角的問題，當(dāng)然與折疊中的角是有關(guān)系的，∠1與∠AED的2倍和∠2與∠ADE的2倍都組成平角，結(jié)合△AED的內(nèi)角和為180°可求出答案．解：∵△ABC紙片沿DE折疊，∴∠1+2∠AED=180°,∠2+2∠ADE=180°，∴∠AED=(180°?∠1),∠ADE=(180°?∠2)，∴∠AED+∠ADE=(180°?∠1)+(180°?∠2)=180°?(∠1+∠2)在△ADE中,∠A=180°?(∠AED+∠ADE)=180°?[180°?(∠1+∠2)]=(∠1+∠2)則2∠A=∠1+∠2，故選擇B項(xiàng).【點(diǎn)撥】本題考查折疊和三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì).2．C【分析】由折疊的性質(zhì)可求得∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠CDE，在△ACD中，利用外角可求得∠BDC，則可求得答案．解：由折疊可得∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠CDE，∵∠ACB=90°，∴∠ACD=45°，∵∠A=30°，∴∠BDC=∠A+∠ACD=30°+45°=75°，∴∠CDE=75°．故選C.【點(diǎn)撥】本題主要考查折疊的性質(zhì)，掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)線段和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．3．C【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解．解：∵∠ABC=∠D=90°，∠BAD=45°，∠C=60°，∴∠DBA=45°，∠CAB=90°-60°=30°，∴∠BEC=∠CAB+∠DBA=30°+45°=75°．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，三角板的知識(shí)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，作出選擇即可．解：如圖，∵由折疊的性質(zhì)可知?jiǎng)tl是的角平分線，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查折疊的性質(zhì)和角平分線的定義，理解角平分線的定義是解答本題的關(guān)鍵．5．C【分析】由平行線得到，由折疊得到，由三角形的內(nèi)角和求得的度數(shù)．解：，，，由折疊得，，，，，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用平行線的性質(zhì)求得．6．B【分析】根據(jù)，求出即可解答．解：，，，由翻折的性質(zhì)可知：，，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查翻折變換，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握折疊的性質(zhì)．7．D【分析】由矩形的性質(zhì)得，由折疊的性質(zhì)得，，進(jìn)一步計(jì)算即可得出答案．解：∵四邊形是矩形，∴，由折疊的性質(zhì)得：，，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得，，，進(jìn)而得．解：∵，，∴，∵將點(diǎn)A與點(diǎn)B分別沿和折疊，使點(diǎn)A、B與點(diǎn)C重合，∴，，∴，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．C【分析】根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出，再根據(jù)折疊的性質(zhì)，得出，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出，解出即可得出結(jié)果．解：∵，∴，∵將直角三角形紙片沿（是斜邊上一點(diǎn)）折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故選：C【點(diǎn)撥】本題考查了三角形折疊中的角度問題，理清角之間的數(shù)量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．10．C【分析】根據(jù)平行線的判定定理，進(jìn)行分析，即可解答．解：A、當(dāng)∠1=∠2時(shí)，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，所以；B、由∠1=∠2且∠3=∠4可得∠1=∠2=∠3=∠4=90°，所以；C、∠1=∠2不能判定a，b互相平行；D、∠1+∠2=180°時(shí)，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，所以．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查平行線的判定，掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．11．C【分析】根據(jù)折疊可直接得到折痕AB與直線m之間的位置關(guān)系是垂直，折痕CD與第一次折痕之間的位置關(guān)系是垂直；然后根據(jù)平行線的判定條件由③∠3=∠1可得AB∥CD，由④∠4=∠2，可得AB∥CD．解：第一次折疊后，得到的折痕AB與直線m之間的位置關(guān)系是垂直，將正方形紙展開，再進(jìn)行第二次折疊（如圖（4）所示），得到的折痕CD與第一次折痕之間的位置關(guān)系是垂直；∵AB⊥m，CD⊥m，∴∠1=∠2=∠3=∠4=90°，∵∠3=∠1，∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行），故③正確；∵∠4=∠2，∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），故④正確；綜上分析可知，正確的是①②，故C正確．故選：C．【點(diǎn)撥】此題主要考查了平行線的判定，以及翻折變換，關(guān)鍵是掌握平行線的判定定理．12．B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BFE=∠DEF=22°，則在圖a中，∠CFE=158°，進(jìn)而可得在圖b中，∠BFC=136°，進(jìn)而在圖c中即可求解．解：∵，且，∴∠BFE=∠DEF=22°，∴在圖a中，∠CFE=180°-∠BFE=158°，∴在圖b中，∠BFC=158°-22°=136°，∴在圖c中，∠CFE=136°-22°=114°，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊—有關(guān)角的計(jì)算，運(yùn)用了平行線的性質(zhì)及補(bǔ)角的定義，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．50【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)求得∠CDE=∠CDA=70°，得到∠BDE=40°，再利用余角的性質(zhì)即可求解．解：根據(jù)折疊的性質(zhì)得：∠CDE=∠CDA=70°，∠CED=∠A=90°，∴∠BDE=180°-70°-70°=40°，∠BED=180°-90°=90°，∴∠B=180°-90°-40°=50°，故答案為：50．【點(diǎn)撥】本題考查翻折變換，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)翻折前后對(duì)應(yīng)角相等，利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．14．【分析】根據(jù)三角形中線的性質(zhì)可得，由此即可得出答案．解：是邊上的中線，（等底同高），，即，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的中線，熟練掌握三角形中線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15．三角形的內(nèi)角和是180°【分析】根據(jù)折疊前后的兩個(gè)角相等，把三角形的三個(gè)角轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角，可以得到三角形內(nèi)角和定理．解：根據(jù)折疊的性質(zhì)，∠A=∠3，∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠B+∠C+∠A=180°，∴定理為：三角形的內(nèi)角和是180°．故答案為：三角形的內(nèi)角和是180°．【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理的證明，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．126【分析】由折疊的性質(zhì)可得AD＝A'D＝BD，∠DCB＝∠DCA，∠BDC＝∠A'DC，∠ADE＝∠EDA'，由直角三角形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可求∠DCB＝54°，∠DCA＝36°，即可求∠AED的度數(shù)．解：∵將△BCD，△ADE分別沿CD，DE折疊，點(diǎn)A、B恰好重合于點(diǎn)A'處．∴AD＝A'D＝BD，∠DCB＝∠DCA，∠BDC＝∠A'DC，∠ADE＝∠EDA'，∵∠ACB＝90°，AD＝A'D＝BD∴AD＝BD＝CD，∠ACD+∠DCB＝90°∴∠A＝∠DCA∵∠ACA'＝∠DCA'﹣∠DCA＝18°，∠ACD+∠DCB＝90°∴∠DCB＝54°，∠DCA＝36°∵∠BDC＝∠A'DC，∠ADE＝∠EDA'，∴∠EDC＝90°∴∠AED＝∠EDC+∠DCA＝126°故答案為：126．【點(diǎn)撥】本題考查了翻折變換，直角三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．17．##度【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，由折疊得：，，從而得到與的和．利用兩個(gè)平角求出與的和，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和等于即可求出答案．解：長方形，，，，，由折疊得：，，，，在中，，故答案是：．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)．18．72【分析】設(shè)，則，由折疊得，，，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出，解方程即可求解．解：設(shè)，則，由折疊得，，，是的外角，，，解得：，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，折疊問題，掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．19．80【分析】由折疊的性質(zhì)可知：，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和為，可求出的度數(shù)，進(jìn)而得到的度數(shù)，問題得解．解：線段、為折痕，∴，，，，，，故答案為：80．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等，解題的關(guān)鍵是利用整體思想得到的度數(shù)．20．##75度【分析】首先求出，進(jìn)而可得的度數(shù)，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)得出答案．解：∵，，∴，∴，由折疊得：，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)，角的和差計(jì)算，求出的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．21．

28

149【分析】根據(jù)長方形的定義，得出∠BAD＝∠ABC＝90°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，由AEBD，即可得到∠EAD＝∠ADB＝28°，再根據(jù)長方形的一角沿AF折疊，得∠BAF＝∠EAF＝59°，然后根據(jù)角的關(guān)系，得到∠DAF＝31°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出∠DAF+∠AFC＝180°，即可計(jì)算出∠AFC的度數(shù)．解：∵四邊形ABCD為長方形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，∵AEBD，∴∠EAD＝∠ADB＝28°，∴∠BAE＝∠BAD+∠EAD＝90°+28°＝118°，∵長方形ABCD沿AF折疊，點(diǎn)B的折疊點(diǎn)E落在長方形ABCD外側(cè)，∴∠BAF＝∠EAF＝∠BAE＝×118°＝59°，∴∠DAF＝∠BAF∠EAD＝59°28°＝31°，∵ADBC，∴∠DAF+∠AFC＝180°，∴∠AFC＝180°31°＝149°．故答案為：28；149【點(diǎn)撥】本題考查了長方形的定義、平行線的性質(zhì)，熟悉平行線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．22．123【分析】根據(jù)題意結(jié)合圖形得∠ADI+∠AEI＝228°，由折疊的性質(zhì)得∠ADE+∠AED=114°，利用三角形內(nèi)角和定理得出∠A=66°，再由角平分線進(jìn)行計(jì)算即可．解：∵∠1+∠2＝132°，∴∠ADI+∠AEI＝360°-(∠1+∠2)＝228°，∵△ABC折疊，使A點(diǎn)與I點(diǎn)重合∴∠ADE=∠IDE，∠AED=∠IED，∴∠ADE+∠AED=228°÷2=114°，∴∠A=180°-114°=66°，∴∠ABC+∠ACB=180°-66°=114°，∵BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，∴∠IBC+∠ICB=，∴∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=123°，故答案為：123．【點(diǎn)撥】題目主要考查折疊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，角平分線的計(jì)算等，理解題意，找準(zhǔn)各角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．23．（1）見分析；（2）140°【分析】（1）由折疊得：∠AEF＝∠B＝90°，然后根據(jù)平行線的判定定理可進(jìn)行求證；（2）根據(jù)折疊可得∠AFB＝∠AFE，則有∠BFE＝140°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解．解：（1）證明：由折疊得：∠AEF＝∠B＝90°，∵∠D＝90°，∴∠AEF=∠D，∴EF∥CD；（2）解：根據(jù)折疊可得∠AFB＝∠AFE，∵∠AFB＝70°，∴∠BFE＝70°×2＝140°，∵EF∥DC，∴∠C＝∠EFB＝140°．【點(diǎn)撥】本題主要考查折疊的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握折疊的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．24．（1）；（2）22【分析】（1）根據(jù)折疊三角形重合，可得，根據(jù)直角三角的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)AE=BE，BD=AD，化簡即可得到結(jié)果；解：（1）∵三角形ADE與三角形BDE重合，∴，∴，∵∠C=90°，∠A=30°，∴，∴．（2）由（1）得：AE=BE，BD=AD，，∵三角形BCD的周長為12，∴，∴，∵AE=5，∴，∴三角形ABC的周長．【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形的折疊問題，準(zhǔn)確分析是解題的關(guān)鍵．25．（1）；（2）2∠C=1+∠2.【分析】（1）由折疊關(guān)系可得到∠C=∠C′,∠C′DE=∠CDE,∠C′ED=∠CED，在再根據(jù)平角的性質(zhì)，得到∠C′DC+∠C′EC的值，在根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°，即可求出∠C的度數(shù)；（2）根據(jù)（1）問可知，∠C′DC+∠C′EC=360°?(∠1+∠2)，2∠C=360°-（∠C′DC+∠C′EC），聯(lián)立上式即可得到∠1、∠2、∠C三者之間的關(guān)系.解：（1)

∵△C′DE是由△CDE折疊而成，∴∠C=∠C′,∠C′DE=∠CDE,∠C′ED=∠CED，又∠1+∠C′DC=180°,∠2+∠C′EC=180°∴∠C′DC+∠C′EC=360°?(∠1+∠2)=290°，又∵四邊形C′DCE的內(nèi)角和為360°，∴∠C′+∠C=7