解題技巧專題：乘法公式的靈活運用

解題技巧專題：乘法公式的靈活運用【考點一項的位置變換】例題：（2023上·河南商丘·八年級校聯(lián)考階段練習）計算：．【變式訓練】1．（2023上·廣東河源·七年級?？计谥校┯嬎悖海?．（2023下·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）計算．3．（2023下·安徽宿州·七年級校聯(lián)考期末）計算：．4．（2023下·湖南邵陽·七年級統(tǒng)考期末）計算：．【考點二項數(shù)的變換】例題：（2023上·福建莆田·八年級莆田第二十五中學?？茧A段練習）用乘法公式計算：．【變式訓練】1．（2023上·河南信陽·八年級?？茧A段練習）用乘法公式計算(1)(2)2．（2023上·天津和平·八年級天津市第二南開中學?？奸_學考試）運用乘法公式計算：(1)(2)3．（2023上·全國·八年級專題練習）計算題：(1)；(2)．【考點三簡便運算變換】例題：（2023上·全國·八年級專題練習）用簡便方法計算下列各題．(1)；(2)．【變式訓練】1．（2023上·吉林長春·八年級?？计谥校┯煤啽惴椒ㄓ嬎悖?1)(2)2．（2023上·吉林長春·八年級?？计谥校┯煤啽闼惴ㄓ嬎?1)(2)3．（2023上·八年級課時練習）用簡便方法計算：(1)；(2)．【考點四連續(xù)相乘應用】例題：（2023下·湖南常德·七年級統(tǒng)考期中）計算：．【變式訓練】1．（2023下·四川成都·七年級?？计谥校┣蟮闹凳牵?．（2023上·河南新鄉(xiāng)·八年級?？茧A段練習）觀察下面解題過程，解答問題：題目：化簡解：原式問題：化簡．3．（2023上·山東臨沂·八年級?？茧A段練習）如圖，邊長為的大正方形有一個邊長為的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．(1)上述操作能驗證的等式是：______；(2)請利用你根據(jù)（1）中的等式，完成下列各題：①已知，則______；②計算：．4．（2023上·四川內(nèi)江·八年級四川省內(nèi)江市第二中學?？茧A段練習）對于一些較為復雜的問題，可以先從簡單的情形入手，然后歸納出一些方法，再解決復雜問題．【簡單情形】化簡（1）____________；（2）____________；（3）____________；【復雜問題】化簡（4）____________；【總結(jié)規(guī)律】（5）觀察以上各式，可以得到：____________；【方法應用】（6）利用上述規(guī)律，計算，并求出該結(jié)果個位上的數(shù)字．【考點五整體代換應用】例題：（2023上·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）閱讀理解：已知，，求的值．解：∵，∴，即，∵，∴，參考上述過程解答：(1)若，．①___________；②求的值；(2)已知，，求的值．【變式訓練】1．（2023上·甘肅慶陽·八年級統(tǒng)考期末）【教材呈現(xiàn)】人教版八年級上冊數(shù)學教材第112頁的第7題：已知，，求的值．【例題講解】老師講解了解這道題的兩種方法：方法一方法二，，，，．，，，，．【方法運用】請你參照上面兩種解法，解答以下問題：(1)已知，，求的值；(2)已知，求的值．2．（2023上·廣西南寧·八年級廣西大學附屬中學校考期中）閱讀下列材料并解答下面的問題：利用完全平方公式，通過配方可對進行適當?shù)淖冃危纾夯?，從而使某些問題得到解決．例：已知，求的值．解：．通過對例題的理解解決下列問題：(1)已知，求的值；(2)若，求的值；(3)若n滿足，求式子的值．3．（2023上·遼寧撫順·八年級統(tǒng)考期末）【發(fā)現(xiàn)問題】小亮同學把圖①長為、寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀將其平均分為四個小長方形，然后拼成了如圖②所示的正方形．小亮進一步發(fā)現(xiàn)圖②里面的小正方形的面積可以用兩種方法去求，請寫出小亮的兩種方法所得的結(jié)果（結(jié)果用含m，n的代數(shù)式表示）方法一：；方法二：；【提出問題】、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【分析問題】（完成下列填空）分析一：因為上述兩種方法都是求同一個正方形的面積，所以這兩個面積的結(jié)果一定相等．分析二：因為是兩個數(shù)m與n和的完全平方，所①，因為是兩個數(shù)m與n差的完全平方，所以②，由得；類似的，由可得．【解決問題】（1）若，則；（直接寫出結(jié)果）（2）已知，求與的值．

參考答案【考點一項的位置變換】例題：（2023上·河南商丘·八年級校聯(lián)考階段練習）計算：．【答案】/【分析】本題考查平方差公式，運用平方差公式求解即可．【詳解】．故答案為：【變式訓練】1．（2023上·廣東河源·七年級?？计谥校┯嬎悖海敬鸢浮?【分析】本題考查了平方差公式．利用平方差公式即可求解．【詳解】解：．故答案為：．2．（2023下·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）計算．【答案】【分析】根據(jù)平方差公式進行計算即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查平方差公式，此為基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握．3．（2023下·安徽宿州·七年級校聯(lián)考期末）計算：．【答案】/【分析】根據(jù)平方差公式進行求解即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解題的關(guān)鍵：．4．（2023下·湖南邵陽·七年級統(tǒng)考期末）計算：．【答案】【分析】提負號后，利用平方差公式進行計算求解即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了平方差公式．解題的關(guān)鍵在于正確的運算．【考點二項數(shù)的變換】例題：（2023上·福建莆田·八年級莆田第二十五中學?？茧A段練習）用乘法公式計算：．【答案】【分析】本題考查平方差公式和完全平方公式，掌握公式的形式及數(shù)學思想是解題關(guān)鍵．利用平方差公式和完全平方公式，結(jié)合整體思想即可求解．【詳解】解：【變式訓練】1．（2023上·河南信陽·八年級?？茧A段練習）用乘法公式計算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟知是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)完全平方公式進行求解即可；（2）先把看做一個整體利用平方差公式去中括號，再根據(jù)完全平方公式去小括號即可得到答案．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．2．（2023上·天津和平·八年級天津市第二南開中學?？奸_學考試）運用乘法公式計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）本題考查整式的乘法公式，把看成一個整體，然后根據(jù)乘法公式：，即可；（2）本題考查整式的乘法公式，把看成一個整體，然后根據(jù)乘法公式：，即可．【詳解】（1）；（2）．3．（2023上·全國·八年級專題練習）計算題：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了整式的乘法，乘法公式；（1）根據(jù)完全平方公式進行計算即可求解；（2）根據(jù)平方差公式與完全平方公式進行計算即可求解．【詳解】（1）解：原式；（2）原式．【考點三簡便運算變換】例題：（2023上·全國·八年級專題練習）用簡便方法計算下列各題．(1)；(2)．【答案】(1)39991(2)【分析】（1）利用平方差公式進行求解即可；（2）利用完全平方差公式進行求解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題考查了平方差公式，完全平方差公式，解題的關(guān)鍵是掌握相應的公式進行變形．【變式訓練】1．（2023上·吉林長春·八年級校考期中）用簡便方法計算：(1)(2)【答案】(1)1(2)10000【分析】本題考查的是平方差公式及完全平方公式，（1）利用平方差公式進行計算即可；（2）利用完全平方公式進行計算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．2．（2023上·吉林長春·八年級?？计谥校┯煤啽闼惴ㄓ嬎?1)(2)【答案】(1)1(2)90000【分析】（1）將變形為，運用平方差公式計算，即可求解；（2）將變形為，則原式可逆用完全平方公式計算．【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式【點睛】題詞考查利用平方差與完全平方公式進行簡便計算，熟練掌握平方差與完全平方公式是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·八年級課時練習）用簡便方法計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先對變形使其變化為兩數(shù)和與兩數(shù)差的積的形式，然后運用平方差公式簡化運算；（2）利用完全平方公式分解因式，簡便計算即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【點睛】此題考查了利用平方差公式、完全平方公式分解因式進行簡便計算，掌握公式是解題的關(guān)鍵．【考點四連續(xù)相乘應用】例題：（2023下·湖南常德·七年級統(tǒng)考期中）計算：．【答案】4【分析】在前面乘一個，然后再連續(xù)利用平方差公式計算.【詳解】解：．故答案為：4．【點睛】本題考查了平方差公式的運用，添加是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023下·四川成都·七年級?？计谥校┣蟮闹凳牵敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)平方差公式計算即可．【詳解】．故答案為：．【點睛】此題考查了平方差公式，運用平方差公式計算時，關(guān)鍵要找相同項和相反項，其結(jié)果是相同項的平方減去相反項的平方．2．（2023上·河南新鄉(xiāng)·八年級校考階段練習）觀察下面解題過程，解答問題：題目：化簡解：原式問題：化簡．【答案】【分析】本題考查了平方差公式的應用：根據(jù)題干，先整理原式，再模仿算式算法，即可作答．【詳解】解：．3．（2023上·山東臨沂·八年級?？茧A段練習）如圖，邊長為的大正方形有一個邊長為的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．(1)上述操作能驗證的等式是：______；(2)請利用你根據(jù)（1）中的等式，完成下列各題：①已知，則______；②計算：．【答案】(1)(2)①4；②【分析】本題主要考查了平方差公式在幾何圖形中的應用，熟練掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特點是解答此題的關(guān)鍵．（1）分別計算兩個陰影部分的面積即可得到答案；（2）①根據(jù)平方差公式得到，然后再將已知整體代入即可求解；②先利用平方差公式將每一項化成兩個分數(shù)積的形式，然后再利用互為倒數(shù)的兩個分數(shù)的積為1即可計算結(jié)果．【詳解】（1）解：圖1中陰影部分的面積為，圖2中的陰影部分的面積為，∵圖1和圖2中兩陰影部分的面積相等，∴上述操作能驗證的等式是，故答案為：；（2）解：①∵，∴，∵，∴，故答案為：4；②．4．（2023上·四川內(nèi)江·八年級四川省內(nèi)江市第二中學?？茧A段練習）對于一些較為復雜的問題，可以先從簡單的情形入手，然后歸納出一些方法，再解決復雜問題．【簡單情形】化簡（1）____________；（2）____________；（3）____________；【復雜問題】化簡（4）____________；【總結(jié)規(guī)律】（5）觀察以上各式，可以得到：____________；【方法應用】（6）利用上述規(guī)律，計算，并求出該結(jié)果個位上的數(shù)字．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），個位上的數(shù)字是5【分析】（1）利用平方差公式求解即可；（2）利用多項式乘以多項式運算法則求解即可；（3）利用多項式乘以多項式運算法則求解即可；（4）根據(jù)前3個等式的規(guī)律，即可得出結(jié)論；（5）根據(jù)前4個等式的變化規(guī)律，即可得出結(jié)論；（6）利用（5）的結(jié)論，進行計算，然后根據(jù)計算結(jié)果得到個位上的數(shù)字即可．【詳解】解：（1），故答案為；（2），故答案為；（3），故答案為：；（4）根據(jù)前3個等式可得，故答案為：；（5）觀察以上各式，可以得到：，故答案為：；（6），∵，，，，，…，又，∴的個位上的數(shù)字與的個位上數(shù)字相同，∴的個位上的數(shù)字為，【點睛】本題考查平方差公式、多項式乘以多項式、數(shù)字類規(guī)律探究，熟練掌握相關(guān)運算法則并靈活運用是解答的關(guān)鍵．【考點五整體代換應用】例題：（2023上·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）閱讀理解：已知，，求的值．解：∵，∴，即，∵，∴，參考上述過程解答：(1)若，．①___________；②求的值；(2)已知，，求的值．【答案】(1)①5；②1(2)1【分析】本題考查了完全平方公式的應用，熟記公式的形式，掌握整體思想是解題關(guān)鍵．（1）①根據(jù)即可求解；②根據(jù)即可求解；（2）根據(jù)求出即可求解．【詳解】（1）解：①∵，∴，即，∵，∴故答案為：5②（2）解：∵，，∴∵【變式訓練】1．（2023上·甘肅慶陽·八年級統(tǒng)考期末）【教材呈現(xiàn)】人教版八年級上冊數(shù)學教材第112頁的第7題：已知，，求的值．【例題講解】老師講解了解這道題的兩種方法：方法一方法二，，，，．，，，，．【方法運用】請你參照上面兩種解法，解答以下問題：(1)已知，，求的值；(2)已知，求的值．【答案】(1)3(2)12【分析】此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則及完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．（1）把兩邊平方，利用完全平方公式化簡后將代入計算即可求出的值；（2）把已知等式兩邊平方，利用完全平方公式化簡，所求式子化簡后代入計算即可求出值．【詳解】（1），，化簡，得：，將代入得，解得：．（2），，化簡，得，即，則2．（2023上·廣西南寧·八年級廣西大學附屬中學?？计谥校╅喿x下列材料并解答下面的問題：利用完全平方公式，通過配方可對進行適當?shù)淖冃?，如：或，從而使某些問題得到解決．例：已知，求的值．解：．通過對例題的理解解決下列問題：(1)已知，求的值；(2)若，求的值；(3)若n滿足，求式子的值．【答案】(1)10(2)34(3)0【分析】（1）原式利用完全平方公式變形，將已知等式代入計算即可求出值；（2）把已知等式左右兩邊平方，計算即可求出所求；（3）原式利用完全平方公式計算即可求出值．【詳解】（1）解：∵，∴原式；（2）解：把兩邊平方得：，則；（3）解：∵，∴則【點睛】此題考查了完全平方式的應用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．3．（2023上·遼寧撫順·八年級統(tǒng)考期末）【發(fā)現(xiàn)問題】小亮同學把圖①長為、寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀將其平均分為四個小長方形，然后拼成了如圖②所示的正方形．小亮進一步發(fā)現(xiàn)圖②里面的小正方形的面積可以用兩種方法去求，請寫出小亮的兩種方法所得的結(jié)果（結(jié)果用含m，n的代數(shù)式表示）方法一