2020-2021學(xué)年高二年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末仿真模擬必刷卷07（人教A版2019解析版）

2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末仿真必刷模擬卷【人教A版2019】

期末檢測(cè)卷07

注意事項(xiàng):

本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘，試題共23題.答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自

己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置.

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)

1.如圖，PAmABCD,為正方形，且必=AO=2,E、尸分別是南、8的中點(diǎn)，EF與平面A8CD

所成的角為。，點(diǎn)E到C。邊的距離為d,則()

B.〃=泥，tan0=得

D.1=遙，tan0=^^

【解答】解：以A為原點(diǎn)，A8為x軸，為y軸，A8為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則E(0,0,1),F(1,2,0),C(2,2,0),D(0,2,0),

EF=(1,2,-I),平面ABC。的法向量：=(0,0,1),

|EF>n|-1

sin0=cos0=A喘'產(chǎn)啜,

1

VsA/R

?-tan0=7T=5'

五

CE=(-2,-2,1),CD=(-2,0,0),

點(diǎn)E到CO邊的距離為：

d=ICEI-71-[COS<CD,CE>]2

=3,伍分3

故選：D.

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面所成的角

2.如圖，三棱錐。-A8C的三條棱D4、DB、0c兩兩垂直，A］是D4的中點(diǎn)，M,N是48上的點(diǎn)，AM=^-

2

AN=^-AB.記二面角Q-4M-C,D-A1N-C,。-A山-C的平面角分別為a,p,丫，則以下結(jié)論正

4

確是（)

D

C.a>y>PD.p>y>a

【解答】解：???三棱錐。-ABC的三條棱DA、DB、OC兩兩垂直，

???以。為原點(diǎn)，DA為x軸，為y軸，DC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AZ)=8O=CO=2&,則AB=AC=BC=4,AM=1,AN=2,

D(0,0,0),4(V2-0,0),A(2A/2?0,0),B(0,2我，0),

N(V2>V2-0),M*,0),C(0,0,2V2),

DA；=(&'°‘°),DM=唱'0),7ji=(坐'堂'0),

A^C=(-&，。，2亞，幣=(0,如,0),甲=(-V2-2瓜0),

平面AQM的法向量7=(0,0,1),

設(shè)平面A1MC的法向量五=(x,y,z),

——?近近

n]」逆=勺*+^-了=0

則《,取元=2,得丁=（2,-2,1）,

nj-A1C=-V2x+2V2z=0

mF]

..cosa=——=2

|mnl

設(shè)平面4NC的法向量石（X,y,z）,

n??A[C=-&x+2&z=0

則<..,取x=2,得n<7=(2，O,1)，

=:2

n2*A1N=V2y0

.clro'n2I1

??cosp=--———=-=>

|m|*|n2|V5

設(shè)平面AiBC的法向量石=(x,y,z),

=

n3*A1B=-V2x+2V2y0

則，r,,取x=2,得n°=(2,1,1),

n3-A1C=-V2x+2V2z=0

Im-n3|i

cosy=?-=7-

|m|,|n3|V6

/.a>y>p.

故選：C.

【知識(shí)點(diǎn)】二面角的平面角及求法

3.如圖，在正方體4BCO-4BiG。中，點(diǎn)F是線段BG上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

D\

A.無(wú)論點(diǎn)尸在8G上怎么移動(dòng)，異面直線A/與CD所成角都不可能是30°

B.無(wú)論點(diǎn)F在2G上怎么移動(dòng)，都有AIFLBI。

A.E

C.當(dāng)點(diǎn)F移動(dòng)至8。中點(diǎn)時(shí)，才有4尸與相交于一點(diǎn)，記為點(diǎn)E,且」L-=2

EF

D.當(dāng)點(diǎn)尸移動(dòng)至BG中點(diǎn)時(shí)，直線4尸與平面8OG所成角最大且為60°

【解答】

解：對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)點(diǎn)F從B運(yùn)動(dòng)到Ci時(shí)，異面直線4F與CD所成角由大到小再到大，且F

V2

為SC的中點(diǎn)時(shí)最小角的正切值為/_=返＞1,最小角大于30°,故A正確；

123

對(duì)于選項(xiàng)8,在正方形中，。81_1_面48。|,又AiFu面A8G，所以4凡LBQ,故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,尸為8G的中點(diǎn)時(shí)，也是81c的中點(diǎn)，它們共面于平面48ICO,且必相交，設(shè)為

AiEDAi

E,連4。和8C，根據(jù)三角形4DEs三角形F5E,可得」—=―1=2,故選C也正確；

EF

故選：D.

5

【知識(shí)點(diǎn)】異面直線及其所成的角、直線與平面所成的角

4.在直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知A(3,5)是以點(diǎn)C為圓心的圓上的一點(diǎn)，折疊該圓兩次使點(diǎn)A分別與圓上不相

同的兩點(diǎn)(異于點(diǎn)A)重合，兩次的折痕方程分別為x-y+l=O和x+y-7=0,若圓上存在點(diǎn)P,使得

而?(CP-QN)其中點(diǎn)M(-m,0)、N(m,0),則m的最大值為()

A.7B.6C.5D.4

【解答】解：若而?(而-而)二0，

則而?而=0，即而，而，則NMPN=90。，

由題意，，A(3,5)是。C上一點(diǎn)，

折疊該圓兩次使點(diǎn)A分別與圓上不相同的兩點(diǎn)(異于點(diǎn)A)重合，

兩次的折痕方程分別為x-y+l=0和x+y-7=0,

...圓上不相同的兩點(diǎn)為B(2,4),D(4,4),

?.?直線x-y+l=0和x+y-7=0互相垂直，

.\BAJ_DA

.,.BD的中點(diǎn)為圓心C(3,4),半徑為1,

的方程為(x-3)2+(y-4)2=4.

圓上存在點(diǎn)P,使得/MPN=90。，

則過(guò)P,M,N的圓的方程為x2+y2=n?,(設(shè)m>0),與圓C有交點(diǎn),

若兩圓內(nèi)切時(shí)，m取得最大值，

此時(shí)為4(3-0)2+(4-0)2=m-1.

BP5=m-1,

則m=6,

故選：B.

【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系

5.已知圓(x-3)2+y2=9與直線y=x+M交于A,B兩點(diǎn)，過(guò)A,8分別作x軸的垂線，且與x軸分別交于C,

。兩點(diǎn).若|C￡)|=J，，則%=()

A.-7或1B.7或-1C.-7或-1D.7或I

【解答】解：設(shè)月(xi，y。，B(X2，丫2)，

y=x+m,,,

由,99.消去y，得

(x-3)^+y=9

2『+2(w-3)]+川=(),

由韋達(dá)定理知,x#X2二巧@rn2

—3~IDTx?x2-2

所以|CZ)|=|xi-X2|=J(X[+X2)2-4x[X2=J(3F)2-4X勺-11)2-6/9=我，

即-nr-6，〃+9=2,

所以〃P+6/〃-7=0,

解得m=\或-7.

故選：A.

【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系

22

6.如圖，已知B，3分別為雙曲線C：--旨=1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)出的直線與雙曲線C的右支交于P,

。兩點(diǎn)，且點(diǎn)月、8分別為△PQE，△QBF2的內(nèi)心，則|AB|的取值范圍是()

A.[4,+8)B.[5,6)C.[4,6)D.[4,

【解答】解：記邊尸Q、尸尸2、F/2上的切點(diǎn)分別為仞、N、E,

易見(jiàn)A、E橫坐標(biāo)相等，則|PM=|PN|,\FiM\=\FiE\,|F2^]=|F2￡|,

由|尸尸1|-|尸產(chǎn)2|=勿,

即1PMl+IMF1I-(\PN\+\NF2\)=2a,得-|N尸2|=2a,

即/內(nèi)T&￡l=2a,記A的橫坐標(biāo)為xo，則E(xo,0),

于是項(xiàng)+c-(c-%o)=2a,得項(xiàng)=a,

同樣內(nèi)心3的橫坐標(biāo)也為a,則有ABJ_x軸,

Ae

設(shè)直線PQ的傾斜角設(shè)為。，則/ABO=90°

2

0e

AA2

在△ABB中，\AB\=(c-a}[tan----+tan(900-—)]=(c-?)?(--------^~~+-------)

o9D.D

cosr-^-sing

262?

、sin〒+cos丁2

=

(…)9--.....<…“益

cos-^-sirr^-

22______

雙曲線C：--^_=i的”=2,b=2yJ3<c=yj32+^2=4,

可得|A8|=—由于直線PQ為右支上一點(diǎn)，且一條漸近線的斜率為、/5,傾斜角為60°,

sin8

可得60°<0W90°,即返VsinOWl,

2

可得忸8|的范圍是［4,手.

故選：D.

【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì)

22

7.已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，A,8分別是橢圓C：蕓+j=l(a>6>0)的左，右頂點(diǎn)，拋物線E：y2=2px(p

a2b2

>0)與橢圓C在第一象限交于點(diǎn)P,點(diǎn)尸在x軸上的投影為P,且有正?上匚?=。(其中，=層-

I0P/I

b2),AP的連線與y軸交于點(diǎn)M,與尸產(chǎn)的交點(diǎn)N恰為尸產(chǎn)的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為()

【解答】解：由P在x軸上的投影為P',且有而?二1^=c,

|0PzI

可得P的橫坐標(biāo)為c,

?.,拋物線E：y2=2px(p>0)與橢圓C在第一象限交于點(diǎn)P,

卜2

：.P(c,—),

V4(-a,0),B(a,0),

卜2

直線處的方程為丫=J、(x+a),

令x=0,則產(chǎn)二一

卜2

：.M(0,

a+c

直線BM的方程為y=-.b.(x-a),

?.?直線PP'的方程為x=c,

.,.點(diǎn)N（c,匕2卜一：））,

a(a+c)

???N恰為PP的中點(diǎn)，

...2xb2(a-c)b2

a(a+c)a

整理可得〃=3c,

則e=—=—

a3f

故選：D.

【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的性質(zhì)

8.已知函數(shù)/(x)=sin(x-3)+x-1,數(shù)列｛斯｝的公差不為0的等差數(shù)列，若/(S)4/3)+…

+f(a7)=14,則々1+02+43+…+。7=()

A.0B.7C.14D.21

【解答】解：,:f(x)=sin(x-3)+x-1,:.f(x)-2=sin(x-3)+x-3,

令g(x)=f(x)-2,則g(尤)關(guān)于(3,0)對(duì)稱，

V/(flI)4/(42)+-+/(n7)=14,

???/(〃])-24/(42)-2+???4/(〃7)-2=0,

即g(〃])+g(〃2)+…+g(〃7)=0,

(44)為g(x)與x軸的交點(diǎn)，由g(x)關(guān)于(3,0)對(duì)稱，可得出=3,

???。]+〃2+…+〃7=7々4=21.

故選：D.

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

n+1

.已知等比數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為且尸衛(wèi)

9S”S—,若對(duì)任意的〃€N*,(2S,+3)入-27(〃-5)恒成立,

2

則實(shí)數(shù)人的取值范圍是（）

A.[―,+°°)B.[―,+8)C.[―,+8)D.[―,+co)

81276416

【解答】解：由題意可知：G=SI=2"

2

a2=S2-5i=9,?3=53-52=27,

??々2'=0。3,

解得t=-3,

.《一-3

…“-2―

:對(duì)任意的“WN*,(25“+3)入227(n-5)

3n

令7--9(n-5)

3n

則T\-7；=11

n+3^呷1

當(dāng)〃》6時(shí)，T?+l-T?<0,

故當(dāng)〃=6時(shí)，7；取最大值為工,

81

故人學(xué)工

81

故選：A.

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列與不等式的綜合、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

10.已知數(shù)列｛.”｝滿足「工+3-=工,且0=1,則(

an+1+32

B.125C.61D

八4--f

=

【解答】解：數(shù)列｛“”｝滿足—----=—,.,.an+]+32(a,>+3),“i+3=4,

an+1+32

.??數(shù)列｛如+3｝是等比數(shù)列，公比為2,首項(xiàng)為4.

則“5=4X24-3=61.

故選：C.

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)

11.已知函數(shù)f(x)=x2+2ax,g(x)=」，若存在點(diǎn)A(為，f(xi)),B5,g(及))，使得直線AB與兩曲

x

線y=/(x)和尸g(X)都相切，當(dāng)實(shí)數(shù)4取最小值時(shí)，X|+X2=()

A.2^2B.零C我D,當(dāng)

【解答】解：f(x)=2x+2a,g'(x)=-y.

X

：.f'(XI)=2xi+2a,g'(X2)=與.

x2

Q

x,+2ax<-(------)

11x1

由題意可得：---------------9=2A1+2a=4-

x

12x2

化為：=

X1

4

1Xi

A2a=---2xi=—L-2x\=g（xi）.

X24

g，（汨）=x：2=5-版）J；+版制+?。?

可得汨=加時(shí)，。取得極小值即最小值：一季?，

故選：A.

［知識(shí)點(diǎn)］利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

12.已知函數(shù)/(x)=(3x-2)ex+mx-m若有且僅有兩個(gè)整數(shù)使得了（x）W0,則實(shí)數(shù)的取

值范圍是（）

A.(22]B.[5

e

c.i-A,D.|-1,-互)

2言2e

【解答】解：設(shè)g(x)=(3x-2)h(x)=-rnx+rn,

則g'(x)=el(3x+l),

.'.xe(-8,-A),g'a)<o,g(x)單調(diào)遞減,

3

xE(-—,+8),屋(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

3

g(x)取最小值-3e3,

3

直線y=-小+加過(guò)定點(diǎn)（1,0）,

-9

而8(-1,3)，C(-2,胃),e5[__e__8

k

ee2AC=—

要使有且僅有兩個(gè)整數(shù)使得/（x）W0,

則鳥(niǎo)<即--5-W/nV----

22

3e2e2e3e

...實(shí)數(shù)〃，的取值范圍是［-巨

2e

故選：B.

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.不需寫出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上）

13.在正三棱錐P-ABC中，以=2,AB=\,記二面角P-AB-C,A-PC-B的平面角依次為a邛，則3sin2a

-2cosp=

【解答】解：如圖所示,

作POJ_平面ABC,連接CO延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)。，連接PD.

則。為AB的中點(diǎn)，J.ABLPD.

二面角P-A8-C的平面角為NH）O=a.

;PD=02_（工）2=2/lE,CO=逅,OD=LcD=昱,

甘12,2236

二吟/PD2?D2=隼.

作AELPC,垂足為E點(diǎn)，連接8E,

：△/?4c四8c

：.BELPC.

：.NAEB為A-PC-B的平面角仇

l2+22-22

VcosZPCA=

2X1X24

.,.AE=AOsinNPCA=l><

在△4EB中,7

15

3sin2a-2cos0=3X2X4=2.

故答案為：2.

【知識(shí)點(diǎn)】二面角的平面角及求法

14.過(guò)曲線y=2|x-a|+x-a上的點(diǎn)P向圓0：<+尸=1作兩條切線叫PB,切點(diǎn)為A,B,且/AP8=60°,

若這樣的點(diǎn)P有且只有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【解答】解：根據(jù)題意，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)P作圓0：1+/=1的兩條切線，切點(diǎn)為4,B,且/APB=6(T,

則NOB4=30",則有|PO|=2|AO|=2,

則P的軌跡為x2+y2=4,

f3x-3a,x〉a

y=2\x-a|+x-ci=<

-x+a,x<Ca

當(dāng)xWa時(shí)，曲線為;i+y-a=0,(xWa),

當(dāng)時(shí)，曲線為3%-y-3a=0,(x2〃),

必有」3a|<2,

當(dāng)aVO時(shí)，若這樣的點(diǎn)尸有且只有兩個(gè),

V1+9

即解可得〃>-a叵,

V103

當(dāng)。=0時(shí)，曲線為y=2R+x=J';,符合題意,

-X,x<0

當(dāng)a>0時(shí)，若這樣的點(diǎn)P有且只有兩個(gè)，必有JiL<2,解可得“<2遍,

V1+1

則〃的取值范圍為（鏟，2圾）；

故答案為：（-筆0,2近）,

【知識(shí)點(diǎn)】直線和圓的方程的應(yīng)用、分段函數(shù)的應(yīng)用

22

15.如圖，設(shè)橢圓三+，=1的左右焦點(diǎn)分別為外、尸2,過(guò)焦點(diǎn)H的直線交橢圓于4、3兩點(diǎn)，若△48F2

164

的內(nèi)切圓的面積為4,設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（xi，>'i）,3（x2,”），則|凹-詞值為.

【解答】解：???橢圓中，/=16且〃=4,

：.a=4,b=2,C=-16-4=2?，可得橢圓的焦點(diǎn)分別為尸I（-273-0）、&（2?,0）,

設(shè)△423的內(nèi)切圓半徑為r,

,.?△48尸2的內(nèi)切圓面積為S=n/=4,兀，

根據(jù)橢圓的定義,得|A8|+|AB|+|8&I=(|AFI|+|AF2|)+(IBF1HBF2D=4o=16.

.?.△48巳的面積5=工(\AB\+\AF-,\+\BF2\)Xr=_lx16X型兀=弛叵，

22兀兀

又AABF2的面積S=SAAF\F2+S/\BF\F2=^X|V1|X/向吟X\y2\X下周

=^X(|加+伙|)*尸周=2口，2-川(48在x軸的兩側(cè))，

-力|=-16尹,解之得|)，2-y尸繚R

rvJPQ

故答案為：生巨兀.

3兀

【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的性質(zhì)

16.設(shè)"6N”,用A”表示所有形如2%+2r2…+2「*的正整數(shù)集合，其中0Wn<r2V-且r,eN(/'eN*),

力為集合4中的所有元素之和.則出“｝的通項(xiàng)公式為b“=-.

【解答】解：由題意可知，八、2…、%是0、1、2、…、〃的一個(gè)排列，

且集合4中共有n+1個(gè)數(shù)，若把集合4中每個(gè)數(shù)表示為211+2r2+…+2J的形式，

則2°、2\22、…、2"每個(gè)數(shù)都出現(xiàn)〃次，

因此，b=n(2°+21+22+-+2n)=n，1(i-^n^n(2n+1-l)-

n1-Z

故答案為:n'(2n+1-1).

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

三、解答題(本大題共7小題，共70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程

或演算步驟)

17.如圖，在三棱柱ABC-4SG中，各個(gè)側(cè)面均是邊長(zhǎng)為2的正方形，。為線段AC的中點(diǎn).

(1)求證：直線A8i〃平面2GD；

(2)求直線CiB與平面ACG4所成角的余弦值;

(3)設(shè)M為線段G3上任意一點(diǎn)，在內(nèi)的平面區(qū)域(包括邊界)是否存在點(diǎn)E,使CELZMf,

并說(shuō)明理由.

【解答】解：(1)證明：設(shè)8G與8C的交點(diǎn)為0,

由題意得。為81c中點(diǎn)，

又點(diǎn)。為線段AC的中點(diǎn)，

平面8GD,平面5C。，

...ABi〃平面BC\D.

(2)解：：CC|J_平面4CB,BDu平面ACB,：.CC\LBD,

'：BD±AC,ACu平面ACG4，CQu平面ACGA”

平面ACG4，點(diǎn)B在平面ACC,Ai上的投影為點(diǎn)D,

直線CiB與平面ACC\A\所成角的為/8G。，

,

vBD=V3，BC1=2V25D;灰，

?/R0―8+5T-'屈

,,COSZBC1D-2X^5X2V2~4-

直線C\B與平面4CG4所成角的余弦值為國(guó).

4

(3)解：過(guò)點(diǎn)C作CElDCi，

又平面ACG4，CEu平面ACG4，：.CE1BD,

?.?8￡>u平面8c|。，G。平面BG。，

二CEL平面BC\D,：.CELDM,

存在點(diǎn)￡,使CELOM.

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面垂宜、直線與平面平行、直線與平面所成的角

18.如圖，在平行六面體ABC。-AiBCQi中，底面A2CD是菱形，四邊形80。出是矩形.

(1)求證：BD±A|C；

(2)若福力BD=2,AA[=A]C=2&，點(diǎn)E在棱班1上，且SB=48E,求二面角E-AC-G的

余弦值.

【解答】證明：(1)連結(jié)AC,交BD于點(diǎn)0,

?.?底面ABC。是菱形，...ACLBQ,且。為AC的中點(diǎn)，

?四邊形8。。歸|是矩形，.?.BCQQi，

在平行六面體A8CQ-A1B1CQ1中，AAtZ/DDf,

：.BD±AAt,

VA4i，ACu平面ACCIAI，A41nAe=A,

，8。_1平面4(??4，

：4。<=平面4(7。4，：.BDVA\C.

解：(2)；A4|=4C,且。為AC的中點(diǎn)，：.A\OLAC,

平面ACCIAI，.?.面A8CDJL面4CG4，

?面A8coe面ACG4=AC,：.At0L^ABCD,

：.Ay010A,AQJ_08,

.'.0A,OB,04兩兩互相垂直，

分別以。4,0B,。4所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

,.?44=4《=2我，BD=2,AB=^,

：.OB=\,OA=2,OA)=2,

(2,0,0),B(0,1,0),Ai(0,0,2),C(-2,0,0),B\(-2,1,2),

,4=「2,0,-2),取=(2,0,-2),不=A.；+率=('y>1，

設(shè)平面4CE的一個(gè)法向量n=(x，y，z),

，---31

A.E'n^^yx+y—z=0一

叫_2____22取x=l,得片(1，1，-1).

AjC'n=-2x-2z=0

平面ACG的一個(gè)法向量為五=（0,1,0）,

平面ACG的一個(gè)法向量為五=（0,1,0）,

_OB-n

?'cocV0g

IOBIwInI3

，二面角E-AC-G的余弦值為返

3

【知識(shí)點(diǎn)】二面角的平面角及求法、直線與平面垂直

19.已知圓心為C的圓過(guò)點(diǎn)（“，3）,且與直線y=2相切于點(diǎn)（0,2）.

（1）求圓C的方程；

（2）已知點(diǎn)M（-3,4）,且對(duì)于圓C上任一點(diǎn)尸，線段MC上存在異于點(diǎn)M的一點(diǎn)N,使得|PM|=RPN|

（人為常數(shù)），試判斷使aOPN的面積等于4的點(diǎn)尸有幾個(gè)，并說(shuō)明理由.

【解答】解：（1）依題意可設(shè)圓心C坐標(biāo)為（0,f）,則半徑為|L2|,

圓C的方程可寫成r+(y-r)2=(r-2)2,

因?yàn)閳AC過(guò)點(diǎn)(正，3),

A(V3)2+(3-t)2=(t-2)2>

/.r=4,

則圓C的方程為1+(y-4)2=4.

(2)由題知，直線例C的方程為y=4,設(shè)N(b,4)滿足題意，

設(shè)P(x,必則|PM『=M|pN|2,

所以(x+3)2+(y-4)2=入22+A2(y-4)2,

則(6+2feA2)x-(入2b2+422-13)=0,

因?yàn)樯鲜綄?duì)任意x￡[-2,2]恒成立,

所以6+2以2=0,且入2冉4入2-13=0

解得人二?或入=1(舍去，與M重合)，

2

所以點(diǎn)N(一上，4)，則ON=2叵，k0N=-3,直線CW方程為3x+y=0,

33

點(diǎn)C到直線ON的距離國(guó).

技5

若存在點(diǎn)P使△OPN的面積等于4,則S.OPN=Lx&石BXd=4，

23

."=誣

5

①當(dāng)點(diǎn)尸在直線ON的上方時(shí)，點(diǎn)P到直線ON的距離的取值范圍為(0,2叵+2],

5

..3775/2后

,M、—T"+2

...當(dāng)點(diǎn)P在直線ON的上方時(shí)，使△OPN的面積等于4的點(diǎn)有2個(gè).

②當(dāng)點(diǎn)P在直線ON的下方時(shí)，點(diǎn)P到直線ON的距離的取值范圍為(0,2心叵1，

5

..37102V10

，當(dāng)點(diǎn)P在直線ON的下方時(shí)，使△OPN的面積等于4的點(diǎn)有0個(gè).

綜上可知，使的面積等于4的點(diǎn)P有2個(gè).

【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(-4,3),點(diǎn)B(8,0),C、。分別為線段OA、OB上的動(dòng)

點(diǎn)，且滿足AC=5D

(I)若|8。|=3,求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-4m,3m)(0＜小小1),求△(%：￡＞的外接圓的一般方程，并求△OC￡＞的外接圓

所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).

【解答】解：(1)當(dāng)|8。|=3時(shí)，|AC|=3,|OA|=116+9=5,|OC|=5-3=2,

由直線04的方程為丫=-1x，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-4/,3/)(/＞0),

有116t2+九2=2,解得，=2，故點(diǎn)C的坐標(biāo)為(衛(wèi)，2)：

555

(2)由點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-4m3/n)(1),可得HC|=y(44)2+(3111-2)2=51m-11=5-5ir，

|OD|=8-(5-5m)=5m+3,可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5/n+3,0),

設(shè)點(diǎn)△OCD的外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,

r=up=-5m-3

2

代入點(diǎn)。、C、力的坐標(biāo)可得，(5m+3)+(5m+3)D+F=0,解得<E=-15m-4>

25m2-4mD+3inE+F=0F=0

可得△OCO的外接圓的一般方程為f+.y2-（5m+3）x-（15m+4）y=0,

可化為（*+），-3x-4y）-5fn（x+3y）=0,

jx盤

令（x2+y2-3x-4y=0,解得卜=0或乂2,

x+3y=0Iy=。V=A

I2

故△OC￡＞的外接圓所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,0）和（3,」）.

22

【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系

22rz

21.在平面直角坐標(biāo)系X。），中，已知橢圓2-+J=l匕＞0）的右頂點(diǎn)為（2,0）,離心率為尸是

a2b22

直線x=4上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)用（1,0）且與PM垂直的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若P點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,3）,求弦AB的長(zhǎng)度；

（3）設(shè)直線B4,PM,的斜率分別為心，k2,心，問(wèn)：是否存在常數(shù)入，使得所+依=入心？若存在，

求出入的值；若不存在，說(shuō)明理由.

【解答】解：(1)由題知a=2,e=￡=返，

a2

，c=?/lr=a2-(^=1,

2

工楠圓方程為午+y2=]

(2)VM(1,0),P(4,3)

kMP=1，

?.?直線AB與直線尸M垂直，

:?kAB=~1，

，直線A8方程y-0=-(x-1),即y=-x+l,

ry=-x+l

聯(lián)立J/,得5f-8x=0

『2=1

.*.x=0或反

5

(0,I),B(a,3,

55

/.\AB\=^^2,

(3)假設(shè)存在常數(shù)入，使得依=衣3.

當(dāng)直線A8的斜率不存在時(shí)，其方程為x=l,代入橢圓方程得A(1,返)，B(1,「巨)，此

22

時(shí)尸(4,0),易得舟+-=0=后

當(dāng)直線A8的斜率存在時(shí)，設(shè)直線A8的方程為y=A(x-1),A(x”“)，B(x2)”)

代入橢圓方程得(1+軟2)『-8七+4M-4=0,

?…?8k24k2-4

■?人]十九2-----3,Xix9=------天，

1+41?l+4k<

直線PM方程為尸（x-1）,則P（4,二）

kk

21+23=入攵2>

33

yiVy2Ti

77廣’7?屋口(-￡>

叩@1—)62-4)+(丫2+)但「4).

(x1-4)(X2~4)k

xly2+x2yl+7(Xl+X2)4rX

化簡(jiǎn)得:-----------------------------------------------1

x]>2-4(乂]+乂2)+16k

22

將即+犬2=-xx（笛-i），y=k（M-1）,

8kJ