【經(jīng)典含解析及考點卡片】2017-2021年廣東中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之二次函數(shù)

2017-2021年廣東中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之二次函數(shù)

一.選擇題（共8小題）

1.（2018?深圳）二次函數(shù)y=a，+&x+c（“#0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）

A.abc>0

B.2a+b<0

C.3iz+c<0

D.a^+bx+c-3=0有兩個不相等的實數(shù)根

2.（2021?深圳）二次函數(shù)y="W+bx+l的圖象與一次函數(shù)），=2or+〃在同一平面直角坐標(biāo)系

3.（2020?廣東）如圖，拋物線y=o?+/zr+c的對稱軸是直線x=l,下列結(jié)論:

①abc>0；②川-4ac>0；③8a+cV0；④5a+>2c>0,

正確的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

4.（2020?深圳）二次函數(shù)y=o?+bx+c（aWO）的頂點坐標(biāo)為（-1,〃）,其部分圖象如圖

所示.以下結(jié)論錯誤的是（）

B.4ac-b2<0

C.3〃+c>0

D.關(guān)于x的方程ax2+bx+c=n+l無實數(shù)根

5.（2020?廣東）把函數(shù)y=（x-1）2+2圖象向右平移1個單位長度，平移后圖象的函數(shù)解

析式為（）

A.y=/+2B.y—（x-1）2+1C.y—Cx-2）2+2D.y—（x-1）2+3

6.（2021?廣州）拋物線y=o?+bx+c經(jīng)過點（-1,0）、（3,0）,且與y軸交于點（0,-5）,

則當(dāng)x=2時，y的值為（）

A.-5B.-3C.-1D.5

7.（2021?廣東）我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公

式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為①b,c,記p

=”產(chǎn)，則其面積s=4p（p-a）（p-b）（p-c）這個公式也被稱為海倫-秦九韶公

式.若p=5,c=4,則此三角形面積的最大值為（）

A.娓B.4C.2粕D.5

8.（2021?廣東）設(shè)。為坐標(biāo)原點，點A、B為拋物線y=/上的兩個動點，且OALOB.連

接點A、B,過。作OCLAB于點C,則點C到y(tǒng)軸距離的最大值（）

A.AB.返C.返D.1

222

二.填空題（共4小題）

9.（2018?廣州）已知二次函數(shù)y=/,當(dāng)x>0時，y隨x的增大而（填“增大”或

“減小”）.

10.（2017?廣州）當(dāng)》=時，二次函數(shù)了=/-2%+6有最小值_______.

11.（2021?廣東）把拋物線），=2?+1向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度,

得到的拋物線的解析式為.

12.（2020?廣州）對某條線段的長度進(jìn)行了3次測量，得至IJ3個結(jié)果（單位：mm~）9.9,10.1,

10.0,若用。作為這條線段長度的近似值，當(dāng)“=mm時，（a-9.9）2+（a-10.1）

2+（a-10.0）2最小.對另一條線段的長度進(jìn)行了"次測量，得到"個結(jié)果（單位：mm）

XI,XI,Xn,若用X作為這條線段長度的近似值，當(dāng)X=時，（X-XI）~+

（X-X2）2+-"+（X-Xn）2最小.

三.解答題（共8小題）

13.（2021?深圳）某科技公司銷售高新科技產(chǎn)品，該產(chǎn)品成本為8萬元，銷售單價x（萬元）

與銷售量y（件）的關(guān)系如表所示：

x（萬元）10121416

y（件）40302010

（1）求），與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)銷售單價為多少時，有最大利潤，最大利潤為多少？

14.（2021?廣東）端午節(jié)是我國入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華

民族的傳統(tǒng)習(xí)俗.市場上豆沙粽的進(jìn)價比豬肉粽的進(jìn)價每盒便宜10元，某商家用8000

元購進(jìn)的豬肉粽和用6000元購進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同.在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒

售價50元時，每天可售出100盒；每盒售價提高1元時，每天少售出2盒.

（1）求豬肉粽和豆沙粽每盒的進(jìn)價；

（2）設(shè)豬肉粽每盒售價x元（50WxW65）,y表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤（單位:

元），求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并求最大利潤.

15.（2018?廣東）如圖，已知頂點為C（0,-3）的拋物線》二/十方（QWO）與x軸交于A,

B兩點，直線y=x+m過頂點C和點B.

（1）求加的值；

（2）求函數(shù)（aWO）的解析式；

（3）拋物線上是否存在點M,使得NMCB=150?若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存

在，請說明理由.

16.(2017?廣州)已知拋物線yi=-7+MU+〃，直線*=丘+6,yi的對稱軸與"交于點A

(-1,5),點A與川的頂點B的距離是4.

(1)求yi的解析式；

(2)若”隨著x的增大而增大，且yi與"都經(jīng)過x軸上的同一點，求"的解析式.

17.(2017?深圳)如圖，拋物線3>=/+笈+2經(jīng)過點4(-1,0),B(4,0),交y軸于點C：

(1)求拋物線的解析式(用一般式表示)；

(2)點。為)，軸右側(cè)拋物線上一點，是否存在點。使SAABC=>|S"B。？若存在請直接

給出點。坐標(biāo)；若不存在請說明理由；

(3)將直線BC繞點8順時針旋轉(zhuǎn)45°,與拋物線交于另一點￡,求BE的長.

18.(2021?廣州)已知拋物線y=7-(m+l)x+2,〃+3.

(1)當(dāng)膽=0時，請判斷點(2,4)是否在該拋物線上；

(2)該拋物線的頂點隨著心的變化而移動，當(dāng)頂點移動到最高處時、求該拋物線的頂點

坐標(biāo)；

(3)已知點E(-l,-1)、F(3,7),若該拋物線與線段EF只有一個交點，求該拋物

線頂點橫坐標(biāo)的取值范圍.

19.(2020?廣東)如圖，拋物線丫=支返?+以+(;?與x軸交于A,8兩點，點A,B分別位

6

于原點的左、右兩側(cè)，BO=3AO=3,過點8的直線與y軸正半軸和拋物線的交點分別為

C,D,BC=y]"^CD.

（1）求6,c的值;

（2）求直線8。的函數(shù)解析式；

（3）點P在拋物線的對稱軸上且在x軸下方，點Q在射線BA上.當(dāng)△AB。與△8PQ

相似時，請直接寫出所有滿足條件的點。的坐標(biāo).

20.（2018?廣州）已知拋物線-4（〃〉0）.

（1）證明：該拋物線與x軸總有兩個不同的交點；

（2）設(shè)該拋物線與x軸的兩個交點分別為A,8（點A在點B的右側(cè)），與），軸交于點C,

4,B,C三點都在。尸上.

①試判斷：不論加取任何正數(shù)，OP是否經(jīng)過），軸上某個定點？若是，求出該定點的坐

標(biāo)；若不是，說明理由；

②若點C關(guān)于直線x=-四的對稱點為點E,點。（0,1）,連接BE,BD,DE,ABDE

2

的周長記為/,。尸的半徑記為〃求工的值.

2017-2021年廣東中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之二次函數(shù)

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

1.（2018?深圳）二次函數(shù)），=/+fcv+c（a/0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）

A.ahc>0

B.2〃+Z?V0

C.3〃+cV0

D.ax^+hx+c-3=0有兩個不相等的實數(shù)根

【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；拋物線與x軸的交點.

【專題】函數(shù)及其圖象.

【分析】根據(jù)拋物線開口方向得“V0,由拋物線對稱軸為直線》=一旦，得到6>0,由

2a

拋物線與>■軸的交點位置得到c>0,進(jìn)而解答即可.

【解答】解：；拋物線開口方向得。<0,由拋物線對稱軸為直線彳=-應(yīng)，得到b>0,

2a

由拋物線與y軸的交點位置得到c>0,

A、abc<0,錯誤；

B、2a+b=0f不是2a+b<0,錯誤；

C、當(dāng)x=-l時，y—a-Z?+c<0,.\3a+c=a-b+c<0f所以C正確；

D、由圖可知，拋物線y=a/+Zu+c與直線y=3有一個交點，可得：a^+bx+c-3=0,

此方程有一個實數(shù)根，錯誤；

故選：C.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=4+6x+c（aWO）,二次

項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小：當(dāng)a>0時，拋物線開口向上；當(dāng)“VO時，拋

物線開口向下；一次項系數(shù)6和二次項系數(shù)“共同決定對稱軸的位置，當(dāng)a與b同號時

（即加>0）,對稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)。與人異號時（即HV0）,對稱軸在y軸右側(cè)；常

數(shù)項C決定拋物線與y軸交點.拋物線與y軸交于（0,C）；拋物線與X軸交點個數(shù)由△

決定，△=廿-4收>0時，拋物線與x軸有2個交點；A=b2-4qc=0時，拋物線與x

軸有1個交點；△=/-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.

2.（2021?深圳）二次函數(shù)），=/+云+1的圖象與一次函數(shù)），=2以+6在同一平面直角坐標(biāo)系

【考點】二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；幾何直觀.

【分析】由二次函數(shù)），=以2+或+c的圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)以及對稱軸，與一次函數(shù)y

=2"+b的圖象得到的字母系數(shù)的正負(fù)以及與x軸的交點相比較看是否一致.

【解答】解：A、由拋物線可知，b<Q,c=l,對稱軸為直線x=-互，由直線

2a

可知，a>0,b<0,直線經(jīng)過點（-旦，0）,故本選項符合題意；

2a

B、由拋物線可知，對稱軸為直線x=-且，直線不經(jīng)過點（一旦，0）,故本選項不符

2a2a

合題意；

C、由拋物線可知,對稱軸為直線x=一旦,直線不經(jīng)過點0),故本選項不符

2a

合題意;

。、由拋物線可知，對稱軸為直線x=-也，直線不經(jīng)過點-旦，0）,故本選項不符

2a2a

合題意;

故選：A.

【點評】本題考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是明確一次函數(shù)和二次函數(shù)

性質(zhì).

3.（2020?廣東）如圖，拋物線y=a?+法+c的對稱軸是直線x=l,下列結(jié)論:

①a〃c>0；②*-4ac>0；（3）8a+c<0；④5a+H2c>0,

正確的有（）

【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；拋物線與x軸的交點.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力.

【分析】根據(jù)拋物線的開口方向、對稱軸、與坐標(biāo)軸的交點判定系數(shù)符號及運(yùn)用一些特

殊點解答問題.

【解答】解：由拋物線的開口向下可得：a<0,

根據(jù)拋物線的對稱軸在y軸右邊可得：a,b異號,所以6>0,

根據(jù)拋物線與v軸的交點在正半軸可得：c>0,

abc<0,故①錯誤；

?.?拋物線與x軸有兩個交點，

.'.b2-4ac>0,故②正確；

；直線x=l是拋物線yuaf+匕x+c（。￡0）的對稱軸，所以-上_=1,可得Z?=-2a,

2a

由圖象可知，當(dāng)x=-2時，y<0,HP4a-2h+c<0,

：.4a-2X（-2a）+c<0,

即8a+c<0,故③正確；

由圖象可知，當(dāng)x=2時，y=4a+2b+c>0；當(dāng)x=-l時，y=a-b+c>0,

兩式相加得，5a+b+2c>0,故④正確；

結(jié)論正確的是②③④3個，

故選：B.

【點評】本題考查的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、靈活運(yùn)用數(shù)

形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵，解答時，要熟練運(yùn)用拋物線上的點的坐標(biāo)滿足拋物線的解析

式.

4.（2020?深圳）二次函數(shù)y=o?+bx+c（aWO）的頂點坐標(biāo)為（-1,〃）,其部分圖象如圖

所示.以下結(jié)論錯誤的是（）

B.4ac-b2<0

C.3a+c>0

D.關(guān)于x的方程ax2+Z?x+c=〃+l無實數(shù)根

【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；拋物線與x軸的交點；根的判別式.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力.

【分析】根據(jù)拋物線開口方向，對稱軸的位置以及與y軸的交點可以對A進(jìn)行判斷；根

據(jù)拋物線與x軸的交點情況可對B進(jìn)行判斷；x=l時，y<0,可對C進(jìn)行判斷；根據(jù)拋

物線y=ax2+bx+c與直線y—n+\無交點，可對D進(jìn)行判斷.

【解答】解：人???拋物線開口向下，

."<0,

?.?對稱軸為直線》=-且=-1,

2a

：.b=2a<0,

?.?拋物線與y軸交于正半軸，

/.c>0,

abc>Of

故A正確；

艮：拋物線與x軸有兩個交點，

.'.b2-4ac>0,BP4ac-b2<0,

故B正確；

C.???拋物線的對稱軸為直線x=-1,拋物線與x軸的一個交點在（-3,0）和（-2,

0）之間，

...拋物線與x軸的另一個交點在（0,0）和（1,0）之間，

；.x=l時，y<0,

即a+b+c<0,

b=2a,

3a+c<0,

故C錯誤；

?拋物線開口向下，頂點為（-1,〃），

，函數(shù)有最大值〃，

...拋物線y=ax2+fef+c與直線）,=〃+1無交點，

一元二次方程”/+法+，=〃+1無實數(shù)根，

故。正確.

故選：C.

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=/+云+c（a,b,c是常數(shù),

aWO）與x軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程.也考查了二次函數(shù)的性

質(zhì).

5.（2020?廣東）把函數(shù)），=（x-1）2+2圖象向右平移1個單位長度，平移后圖象的函數(shù)解

析式為（）

A.y=7+2B.y—（x-1）2+1C.y—（x-2）2+2D.y—（x-1）2+3

【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力.

【分析】先求出y=（x-1）2+2的頂點坐標(biāo)，再根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)加，求出平移后的

二次函數(shù)圖象頂點坐標(biāo)，然后利用頂點式解析式寫出即可.

【解答】解：二次函數(shù)、=（x-1）2+2的圖象的頂點坐標(biāo)為（1,2）,

二向右平移1個單位長度后的函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為（2,2）,

所得的圖象解析式為y=（x-2）2+2.

故選：C.

【點評】本題主要考查的是函數(shù)圖象的平移，求出平移后的函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)直接代

入函數(shù)解析式求得平移后的函數(shù)解析式.

6.（2021?廣州）拋物線yuG?+fex+c經(jīng)過點（-1,0）、（3,0）,且與y軸交于點（0,-5）,

則當(dāng)x=2時，y的值為（)

A.-5B.-3C.-1D.5

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；幾何直觀.

【分析】根據(jù)拋物線與x軸兩交點，及與y軸交點可畫出大致圖象，根據(jù)拋物線的對稱

性可求），=-5.

【解答】解：如圖

,拋物線y=or2+bx+c經(jīng)過點（-1,0）、（3,0）,且與）,軸交于點（0,-5）,

可畫出上圖，

；拋物線對稱軸x=~1+3=1,

2

.?.點（0,-5）的對稱點是（2,-5）,

.?.當(dāng)x=2時，y的值為-5.

故選：A.

【點評】本題考查了拋物線的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征等知識，畫出

圖象利用對稱性是解題的關(guān)鍵.

7.（2021?廣東）我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公

式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為“，b,c,記p

=*工，則其面積S=Mp（p-a）（p-b）（p-c）.這個公式也被稱為海倫-秦九韶公

式.若p=5,c=4,則此三角形面積的最大值為（）

A.75B.4C.275D.5

【考點】二次函數(shù)的最值；代數(shù)式求值.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【分析】根據(jù)公式算出"+匕的值，代入公式即可求出解.

【解答】解：?.?〃=史也，p=5,c=4,

2

???qj—a-+--b-+4f

2

**?〃+b=6,

??〃=6-b,

?\S=A/P(p-a)(p-b)(p-c)

=5/5(5-a)(5-b)(5-4)

=，5(5-a)(5-b)

=V5ab-25

=V5b(6-b)-25

"V-5b2+30b-25

=V-5(b-3)2+20(

當(dāng)匕=3時，S有最大值為技=2泥.

故選：C.

【點評】本題考查二次根式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，表示出相應(yīng)的三角形

的面積.

8.(2021?廣東)設(shè)。為坐標(biāo)原點，點A、8為拋物線y=)上的兩個動點，且Q4_LO8.連

接點A、B,過。作OCL4B于點C,則點C到y(tǒng)軸距離的最大值()

A.AB.返C.返D.1

222

【考點】二次函數(shù)的最值；二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；圖形的相似；推理能力；應(yīng)用

意識.

【分析】分別作4E、BF垂直于x軸于點E、F,設(shè)OE=“，OF=b,由拋物線解析式可

得AE=J,BF=序,作AHJ_8H于”，交y軸于點G,連接A2交y軸于點￡>,設(shè)點。

2

(0,加)，易證△AQGS/IAB”，所以幽望，即m-a=」_.可得m=ah再證

BHAHb2_a2a+b

2

明△AEOS/XOFB,所以迪工，B|ja_a,可得曲=1.即得點。為定點，坐標(biāo)為

OFBFbb2

(0,1),得。。=1.進(jìn)而可推出點C是在以。O為直徑的圓上運(yùn)動，則當(dāng)點C到y(tǒng)軸

距離為此圓的直徑的一半，即工時最大.

2

【解答】解：如圖，分別作AE、BF垂直于x軸于點E、F,

設(shè)。OF=b,由拋物線解析式為y=f,

則AE=a1,BF=b1,

作b于H,交），軸于點G,連接48交丁軸于點。，

設(shè)點。（0,加，

?:DG〃BH,

：.AADGsRABH,

2

.?.理即

BHAHb2_a2a+b

化簡得：m—ab.

'：ZAOB=90°,

：.ZAOE+ZBOF=90a,

又NAOE+NE4O=90°,

：.ZBOF=ZEAO,

又NAEO=NBFO=90°,

AAEOS^OFB.

?AEE0

??麗■

2

即3_=，_,

bb2

化簡得cib=1.

則）2="=1,說明直線A8過定點￡）,。點坐標(biāo)為（0,1）.

VZDCO=90°,DO=1,

???點C是在以。0為直徑的圓上運(yùn)動，

...當(dāng)點C到y(tǒng)軸距離為￡?0=*時，點C到y(tǒng)軸的距離最大.

故選：A.

【點評】本題考查了二次函數(shù)結(jié)合動點問題背景下的最值求法，涉及相似三角形，圓周

角定理，此題難度較大，關(guān)鍵是要找出點。為定點，確定出點C的軌跡為一段優(yōu)弧，再

求最值.

二.填空題（共4小題）

9.（2018?廣州）已知二次函數(shù)y=/,當(dāng)x>0時，y隨x的增大而增大（填“增大”

或“減小”）.

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).

【專題】常規(guī)題型.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的二次項系數(shù)。以及對稱軸即可判斷出函數(shù)的增減性.

【解答】解：?.?二次函數(shù)y=/,開口向上，對稱軸為），軸，

.?.當(dāng)x>0時，隨x的增大而增大.

故答案為：增大.

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出二次函數(shù)的對稱軸為y

軸，開口向上，此題難度不大.

10.（2017?廣州）當(dāng)工=1時,二次函數(shù)v=f-2x+6有最小值5.

【考點】二次函數(shù)的最值.

【專題】推理填空題.

【分析】把7-21-+6化成（x-1）2+5,即可求出二次函數(shù)），=7-2x+6的最小值是多少.

【解答】解：Tyd-2x+6=（x-1）2+5,

，當(dāng)x=l時，二次函數(shù)y=/-2x+6有最小值5.

故答案為：1、5.

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的最值，要熟練掌握，確定一個二次函數(shù)的最值，首

先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實數(shù)時，其最值為拋物線頂點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；

當(dāng)自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從

而獲得最值.

11.(2021?廣東)把拋物線y=2/+i向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，

得到的拋物線的解析式為尸2f+4x.

【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；應(yīng)用意識.

【分析】可根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進(jìn)行解答.

【解答】解：把拋物線y=2?+l向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，得

到的拋物線的解析式為：y=2(x+1)2+1-3,即y=2x2+4x

故答案為y=2x2+4x.

【點評】本題考查的是函數(shù)圖象的平移，用平移規(guī)律“左加右減，上加下減”直接代入

函數(shù)解析式求得平移后的函數(shù)解析式.

12.(2020?廣州)對某條線段的長度進(jìn)行了3次測量，得到3個結(jié)果(單位：〃〃〃)9.9,10.1,

10.0,若用a作為這條線段長度的近似值，當(dāng)a=10.0時,(a-9.9)2+(?-10.1)

2+(a-10.0)2最小.對另一條線段的長度進(jìn)行了“次測量，得到"個結(jié)果(單位：〃師)

XI,必…，X"，若用x作為這條線段長度的近似值，當(dāng)尸_」__2——論一如〃時，

n

(X-XI)2+(X-X2)2+…+(x-Xn')2最小.

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；應(yīng)用意識.

【分析】構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】解：設(shè)丫=(a-9.9)2+ka-10.1)2+(a-10.0)2=3a2-60.0a+300.02,

'：a=3>0,

?,.當(dāng)尸_-60?0=10.0時,y有最小值，

6

設(shè)w=(x-xi)2+(x-%2)…+(%-物)2=/-2(工1+也+?,?+即?)),

Vn>0,

,-2(Xi+x+'"+x?)Xi+X+'"+XML4口―

???當(dāng)x=--------1__29-----------_2-----------9---------巴時，w有最小值.

2nn

,,心…，Xi+x尹…+Xn

故答案為］Q0,」_------巴.

n

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題.

三.解答題（共8小題）

13.（2021?深圳）某科技公司銷售高新科技產(chǎn)品，該產(chǎn)品成本為8萬元，銷售單價x（萬元）

與銷售量y（件）的關(guān)系如表所示：

X（萬元）10121416

y（件）40302010

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)銷售單價為多少時;有最大利潤，最大利潤為多少？

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【分析】（1）通過表格數(shù)據(jù)可以判斷y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)出函

數(shù)解析式用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

（2）根據(jù)銷售利潤等于單件的利潤與銷售件數(shù)的乘積列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的

性質(zhì)求最值即可.

【解答】解：（1）由表格中數(shù)據(jù)可知，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為一次函數(shù)關(guān)系，

設(shè)曠=履+〃（ZW0）,

則［10k+b=40,

I12k+b=30

解得：上5,

lb=90

.'.y與x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-5A+90；

（2）設(shè)該產(chǎn)品的銷售利潤為w,

由題意得：w=y（x-8）=（-5x+90）（x-8）=-5?+130x-720=-5（x-13）2+125,

：-5<0,

...當(dāng)x=13時，w最大，最大值為125（萬元），

答：當(dāng)銷售單價為13萬元時，有最大利潤，最大利潤為125萬元.

【點評】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，關(guān)鍵是根據(jù)銷售利潤等

于單件的利潤與銷售件數(shù)的乘積，列出函數(shù)關(guān)系式.

14.（2021?廣東）端午節(jié)是我國入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華

民族的傳統(tǒng)習(xí)俗.市場上豆沙粽的進(jìn)價比豬肉粽的進(jìn)價每盒便宜10元，某商家用8000

元購進(jìn)的豬肉粽和用6000元購進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同.在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒

售價50元時，每天可售出100盒；每盒售價提高1元時，每天少售出2盒.

(1)求豬肉粽和豆沙粽每盒的進(jìn)價；

(2)設(shè)豬肉粽每盒售價x元(50WxW65),y表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤(單位：

元)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并求最大利潤.

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用；分式方程的應(yīng)用.

【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【分析】(1)設(shè)豬肉粽每盒進(jìn)價a元，則豆沙粽每盒進(jìn)價(a-10)元，根據(jù)商家用8000

元購進(jìn)的豬肉粽和用6000元購進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同列出方程，解方程即可；

(2)由題意得，當(dāng)x=50時，每天可售出100盒，當(dāng)豬肉粽每盒售價x元(50WxW65)

時，每天可售[100-2(x-50)]盒，列出每天銷售豬肉粽的利潤y與豬肉粽每盒售價x

元的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及x的取值范圍求利潤的最大值.

【解答】解：(1)設(shè)豬肉粽每盒進(jìn)價”元，則豆沙粽每盒進(jìn)價(a-10)元，

則80006000

aa-10

解得：a=40,經(jīng)檢驗a=40是方程的解，

.?.豬肉粽每盒進(jìn)價40元，豆沙粽每盒進(jìn)價30元，

(2)由題意得，當(dāng)x=50時，每天可售出100盒，

當(dāng)豬肉粽每盒售價x元(50WxW65)時，每天可售[100-2(x-50)]盒，

.-.y=x[100-2(x-50)]-40X[100-2(x-50)]=-2?+280x-8000,

配方，得:y=-2(x-70)2+1800,

：x<70時，y隨x的增大而增大，

...當(dāng)x=65時，y取最大值，最大值為：-2X(65-70)2+1800=1750(元).

答：y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=-2』+28(k-8000(50WxW65),且最大利潤為1750元.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及分式方程的解法，關(guān)鍵是根據(jù)題意列出每天銷

售豬肉粽的利潤y與豬肉粽每盒售價x元的函數(shù)關(guān)系式.

15.(2018?廣東)如圖，已知頂點為C(0,-3)的拋物線(“/o)與x軸交于4,

B兩點，直線y=x+m過頂點C和點B.

(1)求相的值；

(2)求函數(shù)(aWO)的解析式；

(3)拋物線上是否存在點使得/MCB=15°?若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存

在，請說明理由.

【考點】二次函數(shù)綜合題.

【專題】函數(shù)及其圖象.

【分析】(1)把C(0,-3)代入直線丫=工+加中解答即可；

(2)把y=0代入直線解析式得出點8的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式即可;

(3)分例在BC上方和下方兩種情況進(jìn)行解答即可.

【解答】解：(1)將(0，-3)代入y=x+〃?，

可得：m=-3；

(2)將y=0代入y=x-3得：x=3,

所以點8的坐標(biāo)為(3,0),

將(0,-3)、(3,0)代入中，

可得：尸3,

l9a+b=0

，二

解得：a=7,

b=-3

所以二次函數(shù)的解析式為：y=l^-3；

3

①若M在3上方，設(shè)MC交x軸于點。，則NO￡)C=45°+15°=60°,

OD=OC?tan30°=遍,

設(shè)。。為）=日-3,代入（?,0）,可得：k=a，

'y=V^x-3

聯(lián)立兩個方程可得：11,

y=T-x2-3

O

y1=-3y2=6

所以Mi(3Vs-6)；

②若M在B下方，設(shè)MC交x軸于點E,則/OEC=45°-15°=30°,

AZ0C￡=60°,

：.OE=OC?tan60°=3“,

設(shè)EC為y=H-3,代入（3^3，0）可得：k=返

3

聯(lián)立兩個方程可得:

所以“2（V3>-2）,

綜上所述M的坐標(biāo)為（3遙，6）或（遍，-2）.

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，需要掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,

待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識是解題關(guān)鍵.

16.（2017?廣州）已知拋物線yi=-f+mx+zi,直線*=fcr+6,yi的對稱軸與中交于點A

（-1,5）,點A與yi的頂點B的距離是4.

（1）求）”的解析式；

（2）若”隨著x的增大而增大，且yi與”都經(jīng)過x軸上的同一點，求”的解析式.

【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；一次函數(shù)的性質(zhì)；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析

式：二次函數(shù)的性質(zhì).

【分析】（1）根據(jù)題意求得頂點B的坐標(biāo)，然后根據(jù)頂點公式即可求得，”、小從而求得

）-1的解析式；

（2）分兩種情況討論：當(dāng)yi的解析式為戶=-/-2x時，拋物線與x軸的交點（0,0）

或（-2,0）,y2經(jīng)過（-2,0）和A,符合題意;

當(dāng)），1=-/-2x+8時，解-/-2x+8=0求得拋物線與x軸的交點坐標(biāo)，然后根據(jù)A的

坐標(biāo)和"隨著x的增大而增大，求得yi與”都經(jīng)過x軸上的同一點（-4,0）,然后根

據(jù)待定系數(shù)法求得即可.

【解答】解：（1）?.?拋物線yi=-直線＞2=fcr+b,yi的對稱軸與＞2交于點A

（-1,5）,點A與yi的頂點B的距離是4.

：.B（-1,1）或（-1,9）,

/.-------------=-],-4.x（二DL二總_,=1或9,

2X（-1）4X（-1）

解得m=-2,〃=0或8,

Ayi的解析式為yi=-/-2r或yi=-/-2r+8；

（2）①當(dāng)）"的解析式為yi=-/-2x時，拋物線與x軸交點是（0,0）和（-2,0）,

的對稱軸與”交于點4（-1,5）,

與”都經(jīng)過x軸上的同一點（-2,0）.

把（-I,5）,（-2,0）代入得]-k+b=5,

I-2k+b=0

解得fk=5,

lb=10

.?.）?=5x+10.

②當(dāng)y\=-f-2x+S時，解-/-2計8=0得x=-4或2,

???”隨著x的增大而增大，且過點A（-1,5）,

與"都經(jīng)過x軸上的同一點（-4,0）,

把（-1,5）.（-4,0）代入得1k+b=5,

I-4k+b=0

"=尹學(xué)

【點評】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次

函數(shù)的解析式，根據(jù)題意求得頂點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

17.（2017?深圳）如圖，拋物線y=af+/?x+2經(jīng)過點A（-1,0）,B（4,0）,交），軸于點C；

（1）求拋物線的解析式（用一般式表示）；

（2）點。為），軸右側(cè)拋物線上一點，是否存在點。使S“BC=2^4BD?若存在請直接

3

給出點。坐標(biāo)；若不存在請說明理由；

(3)將直線8c繞點3順時針旋轉(zhuǎn)45。，與拋物線交于另一點E,求BE的長.

【考點】二次函數(shù)綜合題.

【分析】(1)由A、8的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

(2)由條件可求得點。到x軸的距離，即可求得。點的縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式可

求得D點坐標(biāo)；

(3)由條件可證得8CLAC,設(shè)直線AC和BE交于點尸，過F作尸軸于點則

可得BF=BC,利用平行線分線段成比例可求得F點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直

線BE解析式，聯(lián)立直線BE和拋物線解析式可求得E點坐標(biāo)，則可求得BE的長.

【解答】解：

(1)I?拋物線>=4』+云+2經(jīng)過點4(-L0),B(4,0),

../a-b+2=0,解得「

I16a+4b+2=0h且

|b-2

.?.拋物線解析式為y=-￥+*+2；

(2)由題意可知C(0,2),A(-1,0),B(4,0),

：.AB=5,OC=2,

：.SAABC=』A8?OC=_1X5義2=5,

22

Sj\ABC——S^ABD<

3

S&ABD=2x5=15,

22

設(shè)D(x,y),

A_lABe|y|=Ax5|y|=—,解得|y|=3,

222

當(dāng)y=3時，由-+2=3,解得工=1或x=2,此時D點坐標(biāo)為（1,3）或（2,3）；

22

當(dāng)y=-3時，由--+2=-3,解得％=-2（舍去）或x=5,此時D點坐標(biāo)為（5,

22

■3）；

綜上可知存在滿足條件的點。，其坐標(biāo)為（1,3）或（2,3）或（5,-3）；

（3）：AO=1,0C=2,0B=4,AB=5,

?''AC—yj|2+22=5/5,8c=422+42=2泥,

：.AC2+BC2=AB2,

...△ABC為直角三角形，即BCJ_AC,

如圖，設(shè)直線AC與直線8E交于點F,過/作FMLx軸于點

由題意可知NFBC=45°,

.,.ZCFB=45°,

:.CF=BC=2娓,

.?.迫=3￡,即j_=1竺，解得0M=2,匹=￡￡,即2=1星，解得FM=6,

ONCFOM2V5FMAFFM375

：.F(2,6),且B(4,0),

2k+m=6,解得k=-3

設(shè)直線BE解析式為y-kx+m,則可得

4ktm=0m=12

直線BE解析式為丫=-3x+12,

y=-3x+12

聯(lián)立直線BE和拋物線解析式可得4y=-p4x+2，解得

：.E(5,-3),

；?B￡=V(5-4)2+(-3)2=VIO-

【點評】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、三角形面積、勾股定理及其逆

定理、平行線分線段成比例、函數(shù)圖象的交點、等腰直角三角形的性質(zhì)、方程思想及分

類討論思想等知識.在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中求得O點的縱坐標(biāo)是

解題的關(guān)鍵，在（3）中由條件求得直線BE的解析式是解題的關(guān)鍵.本題考查知識點較

多，綜合性較強(qiáng)，特別是最后一問，有一定的難度.

18.（2021?廣州）已知拋物線y=7-（m+1）x+2m+3.

（1）當(dāng)"?=0時，請判斷點（2,4）是否在該拋物線上；

（2）該拋物線的頂點隨著機(jī)的變化而移動，當(dāng)頂點移動到最高處時，求該拋物線的頂點

坐標(biāo)；

（3）已知點E（-l,-1）、F（3,7）,若該拋物線與線段EF只有一個交點，求該拋物

線頂點橫坐標(biāo)的取值范圍.

【考點】二次函數(shù)綜合題.

【專題】綜合題；函數(shù)思想；待定系數(shù)法：函數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識.

【分析】（1）當(dāng)m=0時，拋物線為y=7-x+3,將x=2代入得y=5,故點（2,4）不

在拋物線上；

22

（2）拋物線y=W-（〃?+1）x+2〃?+3的頂點為（三包，口飛處以）,而H+§咽］

244

=-1（nz-3）2+5,即得〃?=3時，縱坐標(biāo)最大，此時頂點移動到了最高處，頂點坐標(biāo)

4

為：（2,5）；

v=2x+1

⑶求出直線EF的解析式為產(chǎn)2x+l,由|得直線y=2x+l與

y=x2-（m+l）x+2m+3

拋物線y=7-5+1）x+2m+3的交點為：（2,5）和（加+1,2m+3）,因（2,5）在線

段E尸上，由已知可得（機(jī)+1,2m+3）不在線段EF上，即是機(jī)+1<-1或機(jī)+1>3,或

（2,5）與（血+1,2,什3）重合，可得拋物線頂點橫坐標(biāo)x頂點=空1<或x項點=空1

222

>莖或X項點=1.

2

【解答】解：（1）當(dāng)加=0時，拋物線為y=/-x+3,

將x=2代入得y=4-2+3=5,

?,?點（2,4）不在拋物線上；

（2）拋物線y=/-（w+1）x+2祖+3的頂點為（處且，4（2m+3）-［-（m+l）］）,

24

2

化簡得(Wtl,.Zjn+6m+U..),

24

頂點移動到最高處，即是頂點縱坐標(biāo)最大，

2

而-m+6m+ll=-工(S-3)2+5,

44

；.皿=3時，縱坐標(biāo)最大，即是頂點移動到了最高處，

此時頂點坐標(biāo)為：(2,5)；

(3)設(shè)直線E/解析式為將E(-1,-1)、尸(3,7)代入得：

卜卜-k+b,解得卜=2,

l7=3k+bIb=l

直線EF的解析式為y=2x+\,

由F=2x：l得"x=2或ym+1,

,y=x2-(m+l)x+2m+3Iy=5ly=2m+3

二直線y=2x+l與拋物線丫=/-(加+1)x+2,"+3的交點為：(2,5)和(m+\,2m+3),

而(2,5)在線段EF上，

若該拋物線與線段EF只有一個交點，則(〃計1,2〃?+3)不在線段EF上，或(2,5)

與(m+1,2m+3)重合，

：.m+]<-1或〃?+1>3或〃?+1=2(止匕時2"+3=5),

，此時拋物線頂點橫坐標(biāo)'頂點=三包<-』或工頂點=三包>3或》頂點=三包=上旦=1.

222222

【點評】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及圖象上點坐標(biāo)特征，頂點坐標(biāo)，拋物線與

線段交點等知識，解題的關(guān)鍵是用m的代數(shù)式表示拋物線與直線交點的坐標(biāo).

19.(2020?廣東)如圖，拋物線曠=老返岸+以+。與x軸交于A,B兩點，點A,B分別位

6

于原點的左、右兩側(cè)，BO=3AO=3,過點8的直線與y軸正半軸和拋物線的交點分別為

C,D,BC=^CD.

(1)求b,c的值；

(2)求直線BQ的函數(shù)解析式；

(3)點P在拋物線的對稱軸上且在x軸下方，點。在射線84上.當(dāng)△A8O與△BPQ

相似時，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標(biāo).

y

【考點】二次函數(shù)綜合題.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；推理能力;

應(yīng)用意識.

【分析】(1)先求出點A,點8坐標(biāo)，代入交點式，可求拋物線