2020-2021學年新人教A版（2019）高一數(shù)學暑假作業(yè)綜合十三（含解析）

綜合十三-【新教材】人教A版(2019)

高一數(shù)學暑假作業(yè)(含解析)

一、單選題

1.有下列關(guān)系式：①{a,b}=(b,a);@{a,b}Q{b,a}；③0={。}；④{0}=。；⑤。些

{0}；⑥0e{0}.其中不正確的是()

A.①③B.②④⑤C.①②⑤⑥D(zhuǎn).③④

2.下列說法不正確的是()

A.%+;（%>0）的最小值是2

B.罌的最小值是2

VX2+4

C.簾的最小值是應

VX2+2

D.若x>0,貝1|2—3%—:的最大值是2—4^/3

3.下列命題中正確的是()

A.若函數(shù)/(%)的定義域為(1,4),則函數(shù)/(/)的定義域為(_2,—l)U(l,2)

B.y=%+1和y=J(x+1)2表示同一函數(shù)

C.定義在R上的偶函數(shù)"X)在(0,+8)和(-8,0)上具有相反的單調(diào)性

D.若不等式a/+bx+2>0恒成立，則爐—8a<0且a>0

sing?

4.已知而乎，則tanx的值為()

A.一3B.漁C.-叵D.在

2288

5.已知向量。"滿足方4=0,|研=\b\=24,若t6[0,1],則|t@一五）+初+

|（1-力0一加）+3|的最小值為（）

A.2V193B.24V2C.24D.26

若復數(shù)Z=j2019+等，則2的虛部為（）

A.-iB.iC.-|iD.9

7.如圖，矩形A8CQ中，AB=2AD,E為邊45的中點，將440E沿直線￡>E折起至

4&DE,若點M、。分別為線段為C、DE的中點，則在2L4CE翻折的過程中，下列

說法錯誤的是()

.1/

A.與平面&0E垂直的直線必與BM垂直

B.異面直線8M與4E所成角是定值

C.一定存在某個位置，使

D.三棱錐&-4DE的外接球的半徑與棱A。的長之比為定值

8.隨著互聯(lián)網(wǎng)和物流行業(yè)的快速發(fā)展，快遞業(yè)務已經(jīng)成為人們?nèi)粘Ｉ町斨胁豢苫蛉?/p>

的重要組成部分,下圖是2012-2020年我國快遞業(yè)務量變化情況統(tǒng)計圖，則關(guān)于這

9年的統(tǒng)計信息，下列說法正確的是（）

2012?2020年我國快遞業(yè)務最變化情況

90090.0%

828.9

一80.0%

70.0%

60.0駕

—50.0%

「40.0%

_20.0%

_10.0%

TO.O%

201220132014201520162017201820192020

f1快遞業(yè)務量（億件）—同比增速

A.這9年我國快遞業(yè)務量有增有減

B.這9年我國快遞業(yè)務量同比增速的中位數(shù)為51.4%

C.這9年我國快遞業(yè)務量同比增速的極差未超過36%

D.這9年我國快遞業(yè)務量的平均數(shù)超過210億件

二、多選題

9.三棱錐V-48c中，△4BC是等邊三角形，頂點V在底面ABC的投影是底面的中心,

側(cè)面VAB1側(cè)面VAC,貝女）

TT

A.二面角V-BC-A的大小為飛-

B.此三棱錐的側(cè)面積與其底面面積之比為?

C.點V到平面4BC的距離與VC的長之比為返

3

D.此三棱錐的體積與其外接球的體積之比為逅

9兀

第2頁，共27頁

10.下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是()

A.a=b=(fc,8).若胃〃弓，則k=6

B.向量7=(1,0),7=(0,1)，貝—4力=5

C.若點G為△ABC的重心，則3而+通+前=6

D.若五c=b-下且^40>則日=b

11.給出下列結(jié)論，其中不正確的結(jié)論是()

A.函數(shù)y=G)-/+i的最大值為之

B.已知函數(shù)丫=1。8￡1(2-。町(￡1>0且￡1M1)在(0,1)上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值

范圍是(1,2)

C.在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y=2'與y=log2》的圖象關(guān)于直線丫=尤對稱

D.已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)在(-8,0)內(nèi)有1010個零點，則函數(shù)/(%)的零點

個數(shù)為2021

12.關(guān)于函數(shù)〃x)=ln三，下列選項中正確的有()

A.f(x)的定義域為(―8,—1)u(1,+8)

B.f(x)為奇函數(shù)

C.f(x)在定義域上是增函數(shù)

D.函數(shù)/'(x)與y=In(1-%)-In(1+x)是同一個函數(shù)

三、填空題

13.下列結(jié)論中正確的是.(填序號)①如果P(4)=0.99999,那么A為必然事件；

②燈泡的合格率是99%,從一批燈泡中任取一只，是合格品的可能性為99%；

③概率是隨機的，在試驗前不能確定；

④頻率是客觀存在的，與試驗次數(shù)無關(guān)；

⑤若事件A與3是對立事件，則A與B一定是互斥事件：

14.設函數(shù)/(%)=a，^(x)=ax+5—2a(a>0),若對任意的與6[0,1],存在冷€

[0,1]使得/(與)？9(小)，則實數(shù)a的取值范圍為_；若對任意的與e[0,1],存在

x26[。,1]使得f(xi)=/冷)，則實數(shù)a的取值范圍為.

15.在△ABC中，若sin4(sinB+cosB)-sinC=0,則角A的值為,當sin2B+

2sin2c取得最大值時，tan2B的值為.

16.如圖，在三棱錐S—ABC中，若底面4BC是正三角形，側(cè)棱長SA=SB=SC=V3,

M、N分別為棱SC、BC的中點，并且4M1MN,則異面直線MN與AC所成角為

三棱錐S—4BC的外接球的體積為.

四、解答題

17.已知函數(shù)/'(X)=1+a(|)x+(J、，g(x)=log號詈

(1)若g(x)為奇函數(shù)，求實數(shù)。的值；

(2)在(1)的條件下，當xe［-3,2］時，函數(shù)y=/(x)+m存在零點，求實數(shù)，"的取

值范圍；

(3)定義在。上的函數(shù)f(x),如果滿足:對任意xeD,存在常數(shù)M>0,都有|/(x)|<

M成立，則稱/(%)是。上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)/(x)的一個上界.若函數(shù)/"(X)

在［0,+8)上是以5為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍.

18.已知/(x)=sinx+cosx,g(x)=V2sin.

(1)若y=/2(x)-1+af(x)g(x)的圖象關(guān)于直線x=一彳對稱，求實數(shù)a的值;

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⑵在L中，已知日記=acosB+bcosA，c=E4ABe的面積為苧，求

2MBe的周長.

19.已知平面直角坐標系內(nèi)三點A,B,C在一條直線上，滿足面=(-3,爪+1)，南=

(加3),0C=(7,4).且瓦？1.話，其中。為坐標原點.

(1)求實數(shù)〃?，〃的值；

(2)設△AOC的重心為G,且而=|話，求cos乙40c的值.

20.如圖，在直角梯形ABC。中，AB//CD,ABA.AD,且AB=力。=2C0=1.現(xiàn)以4。

為?邊向梯形外作正方形4DEF,然后沿邊AD將正方形ADE尸折疊，使ED1DC,

例為E。的中點，如圖2.

圖1圖2

(1)求證：AM〃平面BEC;

(2)求證：平面BCD1平面BDE；

(3)若DE=1,求點。到平面BCE的距離。

21.今年是中國共產(chǎn)黨成立100周年，為了普及黨史知識，加強愛國主義教育，某校舉

辦了黨史知識競賽.經(jīng)過激烈角逐選拔，甲、乙、丙三名選手進入決賽，決賽由必

答和搶答兩個環(huán)節(jié)，必答環(huán)節(jié)每人必須回答隨機抽簽的3道題目，全部答對者進入

搶答環(huán)節(jié)，否則被淘汰；在搶答環(huán)節(jié)中采用積分制，共有3道題目，每人是否搶到

試題機會均等，搶到試題者必須作答，最后得分最高者獲得一等獎.若答對則得

100分，其他選手得0分；若答錯則得0分，其他選手得100分.設甲、乙、丙在

必答環(huán)節(jié)中每道題答對的概率都是5在搶答環(huán)節(jié)中每道題答對的概率都是右且三

名選手每道題是否答對互不影響.

(1)求甲、乙進入搶答環(huán)節(jié)，且丙未進入搶答環(huán)節(jié)的概率；

(2)若甲、乙、丙都進入搶答環(huán)節(jié)，

①求在一次搶答中，甲得100分的概率；

②求丙以滿分獲得一等獎的概率.

22.南京地鐵項目正在如火如荼地進行中，全部通車后將給市民帶來很大的便利.已知

地鐵7號線通車后，列車的發(fā)車時間間隔t(單位：分鐘)滿足2WtS20,經(jīng)市場調(diào)

研測算，地鐵的載客量與發(fā)車的時間間隔r相關(guān)，當104tW20時，地鐵為滿載狀

第6頁，共27頁

態(tài)，載客量為500人；當2st<10時，載客量會減少，減少的人數(shù)與(10-t)2成

正比，且發(fā)車時間間隔為2分鐘時的載客量為372人，記地鐵的載客量為s(t).

(1)求s(t)的表達式，并求發(fā)車時間間隔為5分鐘時列車的載客量；

(2)若該線路每分鐘的凈收益為Q=8s*2656_60(元).問：當列車發(fā)車時間間隔為

多少時，該線路每分鐘的凈收益最大？

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查元素與集合，集合與集合之間的關(guān)系，空集和集合的關(guān)系，屬于基礎題.

根據(jù)集合元素的無序性判斷①；根據(jù)子集的定義判斷②；根據(jù)集合及空集的定義判斷

③④⑤；利用元素與集合的關(guān)系判斷⑥.

【解答】

對①：因為集合元素具有無序性，顯然①正確；

對②：因為集合｛a,b｝=｛b,a｝,故｛a,b｝U｛瓦a｝正確,即②正確；

對③：空集。是一個集合，而集合｛。｝是以空集為元素的一個集合，因此。=｛。｝不正確；

對④：｛0｝是一個集合，僅有一個元素0,但是空集不含任何元素，于是｛0｝力。，故④不

正確；

對⑤：由④可知，｛0｝非空，于是有。些｛0｝,因此⑤正確；

對⑥：顯然06｛0｝成立，因此⑥正確.

綜上，本題不正確的有③④，于是本題選項為D

故選D.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了基本不等式的應用，掌握利用基本不等式的條件是關(guān)鍵，屬于中檔題.

對于48。根據(jù)基本不等式即可判斷，對于C根據(jù)不等式的性質(zhì)即判斷.

【解答】

解：對于A,?；x>0,.?.%+乙22=工=2,當且僅當x=l時取等號，故A正確；

對于8,空=1等=后不4+J=N2,當且僅當/+4=1時取等號，顯然x

VX2+4VX2+4VX2+4

的值不存在，故B錯誤；

對于C,=V^+2>y/2,當且僅當x=0時取等號，故C正確；

VX2+2

對于D,■：x>0,2-3x--<2-2)3x--=2-4痘,當且僅當x=2時取等號，

xylx3

第8頁，共27頁

故。正確.

故選：B.

3.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)基本概念，函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性,考查不等式恒成立問題,屬于中檔題.

逐一對選項進行分析，討論其正確性，即可得到答案.

【解答】

4.由題意可知1</<4=x6(-2,-1)U(1,2),

???函數(shù)/(M)的定義域為(一2,—1)U(1,2),故A正確；

A兩個函數(shù)的值域不同，前者為R，后者為［0,+8),故B錯誤；

C.舉反例，如函數(shù)y=l,符合條件，但結(jié)論不成立，故C錯誤；

￡>.當。=b=0時，符合條件，不符合結(jié)論，故。錯誤.

故選A.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式，二倍角公式，誘導公式以及三角函數(shù)的化簡求

值，屬于基礎題.

根據(jù)誘導公式和二倍角公式對原式分母進行化解，利用兩角和的三角函數(shù)公式對原式分

子進行化簡，得到5shM+，再根據(jù)—=tann,得到Itanx+逛=力包，

--------g---------COSO991

cosjr

即可得到答案.

【解答】

'K發(fā)7~,7T工、7T工、

2sm（彳-（彳+5）2sm（彳-Z--）

*4ZTN

1.、61.、瓜

-S1HJTH---------COtUT-SULTH----------COfrJX

22_22

所以tanz=.

2

故選B.

5.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查平面向量運算以及向量共線，模，數(shù)量積的意義，考查坐標法思想的應用，考

查點關(guān)于直線的對稱點的求法，考查創(chuàng)新意識，考查運算能力，屬于難題.

根據(jù)已知條件的特征，可考慮利用坐標法來處理，建立平面直角坐標系，在坐標平面上，

找出與t(B-Z)以及磊石+(1-t)值-石)對應的向量，將問題等價轉(zhuǎn)換成在直線(線段)

上找一點，使得它到直線外兩定點的距離之和最小問題.然后根據(jù)平面解析幾何的基礎

知識容易解決問題.

【解答】

解:在如圖所示的平面直角坐標系中,4(24,0),5(0,24),C(0,14),

記2-OA—(24,0)>b-OB-(0,24)>~b=CB=(0,10).

設宿一砂，則的=(1一t6[0,1],

.-.OM=a+t(K-a),CM=^K+(l-t)(a-K),

\t(b-a)+a\+|(1-t)(a-b)+-^b\=\OM\+|CM|.

.??問題等價于當點M在線段AB：y=-x+24上運動時，求同歸|+「祈|的最小值.

易知點C(0,14)關(guān)于直線AB；y=-x+24的對稱點D的坐標為(10,24),

第10頁，共27頁

|0M|+|CM|=|0M|+\DM\>\0D\=V(10-0)2+(24-0)2=26.

當且僅當M成為直線OD與線段AB的交點N(詈，譽)時取得最小值.

這時由祠=麗=(-瑞，詈)=t(-24,24),知￡=與符合條件.

故答案為：D.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

利用虛數(shù)單位i的性質(zhì)及復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，進一步求得W得答案.

本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，是基礎題.

【解答】

解：?:Z=i2019+答=i504x4+3+士

..5(3+4i)..3.4.31.

=T+/14而：45=7+g+g'=g_gL

-3,1.

??-Z=5+5l-

二復數(shù)￡的虛部為

故選：B.

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查了線面，面面平行與垂直的判定和性質(zhì)定理以及線面角，二面角的定義及

求法是解題的關(guān)鍵.

對于A,運用中位線定理和線面平行的判定定理，可得〃平面&DE,即可判斷A；

對于B,運用平行線的性質(zhì)和解三角形的余弦定理，以及異面直線所成角的定義，即可

判斷B；

對于C,連接公0,運用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，即可判斷C；

對于力，由直角三角形的性質(zhì)，可得三棱錐外接球球心為。，即可判斷D

【解答】

解：對于A,延長CB,DE交于H,連接&H,由E為A8表、U

的中點，

可得B為C”的中點，又M為&C的中點，可得BM〃&H,瀉

BMC平面&DE,?

n

ArHu平面&DE,則8M〃平面&DE,故與平面4DE垂直的直線必與直線BM垂直，故

A正確；

對于8,設AB=2AD=2a,過E作EG//BM,GW平面AiDC,^\^EG=/.EA^H,

22

在^EA1H<^,EA1=a,EH=DE=?a,AXH=la+2a-2-a-V2a-(-y)=任a，

則為定值，即乙4]EG為定值，故8正確；

對于C,連接Ai。，可得。E141。，若DE1M0,即有。E_L平面41M0,即有。E1ArC,

由&C在平面ABC。中的射影為4C,可得AC與。E垂直，但4c與。E不垂直.

則不存在某個位置，使。E1M0,故C錯誤；

對于C，連接。4,由直角三角形斜邊的中線長為斜邊的一半，可得三棱錐A1-4DE外

接球球心為。，半徑為號內(nèi)即有三棱錐4-ADE外接球半徑與棱AO的長之比為定值，

故。正確.

故選C.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查了條形圖，中位數(shù)，是基礎題.

根據(jù)統(tǒng)計圖逐個分析選項即可.

【解答】

解：由條形圖可知，這9年我國快遞業(yè)務量逐年增加，故A錯誤；

將各年我國快遞業(yè)務量同比增速按從小到大排列得：25.3%,26.6%,28.0%,30.5%,

48.0%,51.4%,51.9%,54.8%,61.6%,故中位數(shù)為第5個數(shù)48.0%,故8錯誤；

這9年我國快遞業(yè)務量同比增速的極差為61.6%-25.3%=36.3%>36%,故C錯誤;

由條形圖可知，自2016年起，各年的快遞業(yè)務量遠超過210億件，故快遞業(yè)務量的平

均數(shù)超過210億件，。正確.

第12頁，共27頁

故選D.

9.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本題考查三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，二面角，側(cè)（底）面面積，點到直線的距離以及三棱錐及其

外接球體積的計算，屬于較難題.

數(shù)形結(jié)合，記等邊三角形△力BC的中心為尸，取8C,A8的中點M,。連結(jié)VP,VM,

AM,V。過點8作BN于M

連結(jié)CM立足題中三棱錐結(jié)構(gòu)特征結(jié)合題設條件運用直線與平面垂直的性質(zhì)定理證得

VP_L平面ABC,;運用二面角的定義證得WM4為二面角IZ-BC-4的平面角;運用三角

形的全等結(jié)合平面與平面垂直的性質(zhì)定理，直線與平面垂直的性質(zhì)定理證得BN1CN,

BN=CN;然后BC=2,1177=%求得^。=或，最后結(jié)合各選項逐一展開計算即可得到

結(jié)論.

【解答】

解：如圖不，

在三棱錐一ABC中，記等邊三角形△力BC的中心為P,取BC,AB的中點M,。連結(jié)VP,

VM,AM,V。過點B作BN14U于N,

連結(jié)CN.

???頂點丫在底面ABC的投影是底面的中心，

VP，平面ABC,①且UA=VB=VC.

又,：M,。是BC,AB的中點.

???VM1BC,AM1BC,VQ1AB

故NVM4為二面角V-BC-4的平面角②，

■■■ABAC,VB=VC,公用.

■-?△VBAVCA.

???平面1MB1平面VAC,平面匕4BCI平面匕4c=VA,

BN1AV,BNu平面VAB,

???BNJ"平面VAC,

?：CNu平面VAC

BN1CN.

又???△VBASAVCA,

???BN=CN.

設BC=2,VC=x.

貝lj：PM=-AM=->JAB2-BM2y，VQ=VM=y/VA2-AQ2=Vx2-1.

33

21V

???ShVAB=^xABxVQ=Vx-1=；xVAxBN=；BN.

22

故BN=CN=空三1

X

又???BN1CNf

BC=V2BWBPV2X2-2=x.

解得％=V2

即h?=V2

故VQ=KM=1,

11后

VP=y/VM2-PM2=1—=——

33

V6

VPTV3?

9=正。③

三棱錐1/-ABC的側(cè)面積S^=3X1XV2XV2=3,底面積S族=1x2x2xsin60°=

V3.

?卷=2題

故A,由②，在直角三角形VPM中

PM孚國

cosWPM=-=-=-

???二面角V—BC—4的余弦值為出，選項A錯誤;

3

B,由④知此三棱錐的側(cè)面積與其底面面積之比為值，選項3正確;

C,由③知點V到平面A8C的距離與VC的長之比為手，選項C正確;

第14頁，共27頁

D,,:VA=VB=VC=AB=BC=AC=2,.

???三棱錐U-ABC為正三棱錐，且MA,VB,VC三者兩兩垂直.

故其體積為U=-x-xVAxVBxVC=-x-x>/2xy/2xV2=—.

32323

、3

外接球半徑R=WA2+VBZ+VC2=漁，體積為(坐］=瓜

2233\2/

瓜

???此三棱錐的體積與其外接球的體積之比為二匚9.

V/6TT9TT

選項。正確.

故選BCD.

10.【答案】BC

【解析】

【分析】

本題考查向量的線性運算，向量的平行、垂直和向量的數(shù)量積，三角形重心的性質(zhì)，屬

于中檔題.

利用向量平行得出關(guān)于％的方程，求解％的值判斷4利用向量的坐標運算以及求模公

式判斷B；利用三角形的重心性質(zhì)結(jié)合向量的加法運算判斷C；利用向量的數(shù)量積的運

算法則得出五=石或不1(3-9)判斷D.

【解答】

解：A.a=(-,/c),b=(k,8)，

故不正確；

B.單位向量i=(1,0)>j=(0,1)，

則3；-4，=(3,-4),

則|3：-4力=J32+(—4)2=5,故正確；

C.若點G為△ABC的重心，設。為BC的中點，

由重心的性質(zhì)得：GA=-2GD，

則3/+超+左=—3x|同+2初=6,故正確;

D若五-c=b-ciLc*0,

WJc-(a-h)=0,

則五=B或口1(a—b),故不正確;

故選8c.

11.【答案】AB

【解析】

【分析】

本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點個數(shù)以及復合函數(shù)的單

調(diào)性，屬于中等題.

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷4;由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及復合函數(shù)的單調(diào)性可判斷8；由反函

數(shù)的定義可判斷C；由奇函數(shù)的性質(zhì)可判斷D

【解答】

解：對于A,令t=-/+i,則r的最大值為1,

...y=的最小值為點故4錯誤；

對于B,?.,函數(shù)y：log,,(2-ar)在(0,1)上是減函數(shù)，

?.?g>l、n，解得l<aW2,8錯誤；

對于C,?.?函數(shù)y=2'與y=log2X互為反函數(shù)，

二函數(shù)y=2*與y=log2%的圖像關(guān)于直線y=x對稱，故C正確；

對于。，???定義在R上的奇函數(shù)/(x)在(-x.O)內(nèi)有1010個零點，

.,.“萬)在(0,+8)在內(nèi)有1010個零點，又???/(())=0,

二函數(shù)/(x)的零點個數(shù)為2x1010+1=2021,故。正確.

故選AB.

12.【答案】BD

【解析】

【分析】

本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的判斷和運用，屬于中檔題.

求函數(shù)的定義域，根據(jù)函數(shù)奇偶性，復合函數(shù)的單調(diào)性，同一函數(shù)的概念依次判斷各選

項即可.

【解答】

解：由>0，得(1—x)(l+x)>0,解得：-1<x<1,

第16頁，共27頁

???定義域為(-1,1),

二4不正確；

函數(shù)的定義域為(―1,1)關(guān)于原點對稱，且/x)==In=—ln|^=

-fix),是奇函數(shù)，

正確；

函數(shù)y=￡=-1+W在上是減函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性，同增異減，

1一1

〃工)=在定義域上是減函數(shù)，

1+工

C不正確；

當％C(-1,1)時，f(x)=114J==ln(lJ-)-ln(14-x)；

1+J-

由｛:;得一1<X<1，故V的定義域為(―L1).

二f(x)與y丁hi(i-1)-皿1+工)的定義域相同,解析式相同,是同一個函數(shù).

正確.

故選BD.

13.【答案】②⑤

【解析】

【分析】

本題考查隨機事件，概率的基本性質(zhì)和概率的意義，事件的互斥和對立，屬于拔高題.

根據(jù)必然事件的概念判定①錯誤；

根據(jù)概率的基本性質(zhì)和概率的意義判定②正確；

概率是具有確定性的不依賴于試驗次數(shù)的理論值，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率一般會越

來越接近概率，判定③,④錯誤；

根據(jù)互斥事件不一定是對立事件，但對立事件一定是互斥事件，判定⑤正確.

【解答】

解：必然事件的概率為1,故①錯誤.

燈泡的合格率是99%,所以從一批燈泡中任取一只，是合格品的可能性為99%,故②正

確.

概率是確定的，與試驗無關(guān)，故③錯誤.

隨著試驗次數(shù)的增加，頻率一般會越來越接近概率，故④錯誤.

對立事件一定是互斥事件，故⑤正確;

故答案為②⑤.

14.【答案】［|,+8)

5

弓，旬

【解析】

【分析】

本題主要考查函數(shù)定義域與值域、函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的最值問題以及集合

關(guān)系中的參數(shù)取值問題，屬于中檔題.

由題意，分析得知要使得對任意的G［0,1］,存在刀2e［0,1］使得>g(%2)，則g(X)

在［0,1］上的最小值g(X)min《/O)min，利用單調(diào)性可求解。的取值范圍：要使得對任意

的與e［0,1］,存在小e［0,1］使得"%)=9(X2)，得到八X)在［0,1］上值域是gQ)在［0,1］上

值域的子集，利用單調(diào)性與集合的包含關(guān)系可求出。的取值范圍.

【解答】

解：由題意，要使得對任意的/e［0,1］,存在%2e［0,1］使得f(xi)>g(%2)，則g(x)在［0,1］

上的最小值9(X)min《f(x)min(/(x)min是/'(%)在f(x)在［。，1］上的最小值)，下面求出函

數(shù)f(久)在［0,1］上的最小值，

因為/(x)=Sl=*F2(%+1)4------4,

利用y=%+；函數(shù)圖像性質(zhì)可知f(x)在［0,1］上單調(diào)遞增,

于是/(%)在X=0處取得最小值，即f(%)min=f(0)=0,

因為。(久)="+5-2a,注意到Q>0,則g(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，

于是。(久)在％=0處取得最小值,即g(%)min=。(0)=5-2fl,

故5—2a40,即得aG[1,4-oo)；

由上述分析可知，f(%)在％=1處取得最大值，即f(X)max=/(I)=1，

于是當％e[0,1]時，/(%)eA=[0,1],

g(x)在％=1處取得最小值,即g(%)max=g(l)=5_a,

于是當%6[0,1]時，g(x)eB=[5—2a,5-a],

第18頁，共27頁

要使得對任意的%ie[0,1],存在%2G[0,1]使得f(%i)=趴皿)，

根據(jù)/(x)與g(x)的連續(xù)性可知4GB成立,

55L7O'解得。6串包.

故答案為[|,+8);[|,4].

15.【答案】:

1

~2

【解析】

【分析】

本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應用，兩角和與差公式，以及輔助角公式，是

中等題.

整理si九4(sinB+cosB)—sinC=0得sinB(sbiA-cosA)=0,進而判斷出cosA=sinA

求得A；進而得8+C,利用輔助角公式化簡s譏2B+2sin2C,結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得

何時sin2B+2sin2c取得最大值，最后利用誘導公式求得tan2B.

【解答】

解：sinA(sinB+cosB)—sinC=0,

：,sinAsinB4-sinAcosB-sin(4+8)=0,

???sinAsinB+sinAcosB—sinAcosB—cosAsinB=0,

???sinB^sinA-cosA)=0.

因為B6所以sinB。0,從而cosA=sinA,

?,.tanA=1,

由/E(0,yr),知4=

???8+C=二兀，

4

???sinZB+2sin2C

=sin2B+2sin^n—2B)

=sin2B—2cos2B

=V5(gsin2B一雪cos2B)(設cosp=，，sincp=雪)

V5sin(2B—(p).

由題意，當2打一,=：,2B尸+；時，sin2B+2sin2c取得最大值遍,

sin23=皿W+.）

COSW

此時tan2B

cos2B0K（夕+^）-siii夕

故答案為，—

16.【答案】I

97r

【解析】

【分析】

本題主要考查了線面垂直的性質(zhì)與判定、異面直線所成的角、正三棱錐的外接球的體積.

根據(jù)三棱錐的底面為正三角形且側(cè)棱長相等得到正三棱錐，得到$。_1面48^接著根

據(jù)線面垂直的性質(zhì)、正三角形的性質(zhì)及線面垂直的判定得到AC_L面SBE,進而得到SB1

AC,最后根據(jù)中位線的性質(zhì)證明出4c1MN;根據(jù)已知及線面垂直的判定得到SB1面

SAC,從而結(jié)合正三棱錐得到其為相應正方體的一部分，求出球的半徑及球的體積.

【解答】

解：如圖所示,

在三棱錐S—ABC中，若底面ABC是正三角形,

側(cè)棱長SA=SB=SC=遮知，三棱錐S—ABC

是正三棱錐，

則點S在底面A8C中的投影為底面的中心0,

所以SOJL面ABC,

因止匕S。J.4C,又E為AC中點，AC1BE,SOn

BE=0,所以AC_L平面SBE,SBu平面S8E,

???SB1AC,

又M、N分別為棱SC、BC的中點，則MN〃SB,

因此MN1AC,異面直線MN與4c所成角為今

???AM1.MN,MN1AC,AMnAC=A,

???MNJL平面SAC,又MN//SB,貝USB_L平面SAC,

又三棱錐S—ABC是正三棱錐，因此三棱錐S—ABC可以看成正方體的一部分且S,A,

第20頁，共27頁

B,C為正方體的四個頂點，故球的直徑為J(遍產(chǎn)+(苗產(chǎn)+(V3)2=3-

則球的體積為廣(|)3=等.

故答案為：丁管.

17.【答案】解：(1)因為g(x)為奇函數(shù)，所以g(-x)=-g(x)恒成立，即log：翳

.1-ax

一㈣百，

即得弋=產(chǎn)_,解得。=±1,

-x-11-ax

經(jīng)檢驗，Q=1不合題意，故。=一1;

(2)由(1)得，=1一?尸+(;尸，令1=?尸，

因為X€[—3,2],所以t6

因此/(x)化為/i(t)=t2-t+1,其對稱軸為t=1,

使用t=:時，九min(。=蛇)=%

當￡=8時，hmax(t)=/i(8)=57,

所以f(x)值域為[|,57],

又因為函數(shù)y=/(x)+?n存在零點，等價于方程m=-/(x)有解，

所以實數(shù)，”的取值范圍是[—57,一》

(3)由已知,|f(x)|W5在[0,+8)上恒成立，即一5W/(%)45,

化簡得一6?2、一士。式4?2》一G尸在[0,+8)上恒成立，

所以[-6-2*-G)x]max<a<[4-2--(ir]min,

設t=2方,因為工€[0,+8),即得t21,記F(t)=-6t-G(t)=4t-

易得G(t)=4t-:在［1,+8)上單調(diào)遞增，所以Gmin(t)=G(l)=4-1=3,

設1Wti<t2,則FG)-FQ=(y(:tf)>o

所以F(t)在［l,+8)上單調(diào)遞減，故&ax(t)=F⑴=—7，

因此實數(shù)a的取值范圍是［-7,3］.

【解析】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的最值，函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系以及不

等式的恒成立問題，屬于中檔題.

(1)利用g(x)為奇函數(shù)，得到2=^檢驗得知a=—1：

—X-lL—CLX

(2)由⑴，令"G尸將/(X)化為W)=t2一t+1,利用二次函數(shù)知識求得/(X)的值域，

再利用函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系可求得實數(shù)用的取值范圍；

(3)利用題設條件，得到一5</(%)<5,化簡得到關(guān)于a的不等式組[-6.X-

G尸]maxWaS[4-2X—C)x]min，令t=2》，構(gòu)造函數(shù)F(t)=-6t-[G(t)=4t-%

利用函數(shù)單調(diào)性，可求得實數(shù)a的取值范圍.

18.【答案】解：(1)因為g(x)=&sin(x—^)=V2xsinxx孝—夜xcosxx曰=

sinx—cos%.

所以y=產(chǎn)(%)-1+af(x)g(x)

=(sinx+cos%)2—1+a(sinx+cosx)(sinx—cosx)

=14-2sinxcosx-14-a(sin2x—cos2x)

=sin2x-acos2x=V14-a2sin(2%—(p)，其中tanp=a,

由題意得:2(d)-3=/而,kez,

解得0=3,即a=l.

(2)因為正言面=acosB+bcosA,

c

maacaw134-bcosA

所XsinC+8KC-sin(C—二)，

4

即'=acosB+bcosA,

2cosC

第22頁，共27頁

HPsinC=sin/cosB+sinBcosA,

2cosC

即see=sin(?l+B)=sinC,

2cosC'7

又sinCH0,所以cosC=：,所以sinC=血;

由余弦定理得，17=a2+b2-QM0,

又S=-absinC=所以ab=6②，

22J，

由①②解得0+8=回，

則周長C=Q+b+c=V35+>/17.

【解析】本題主要考查三角函數(shù)的化簡，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式及輔助

角公式的應用，余弦定理及三角形面積公式的應用，屬于中檔題.

（1）先化簡函數(shù)得y=Vl+a2sin（2x—口）再根據(jù)題意得2-W=1+々兀，kEZ,

解得0=%即Q=1；

（2）將已知條件化簡得cosC=±由余弦定理得到17=。2+爐-ab,由三角形面積公式

得ab=6進而得a+b=V35,即可得周長.

19.【答案】解：（1）因為三點A,B,C在一條直線上，所以而〃灰，

又荏=05-01=（n+3,2-m）,

---?，?---?

BC=0C-0B=（7-珥1），

所以幾+3=（7—九）（2—m）,①

因為。A_LOB，所以-3?i+3（ni+1）=0,即?1=771+1,（2）

由①、②解得｛。二:或｛【二21.

（2）因為記=|麗，

所以B為AC的中點，

所以m=1,n=2,

所以瓦5=(-3,2)，OC=(7,4).

oAod-21+8底

因此――

\/13x5?

【解析】本題考查向量平行與垂直的判定，考查向量的坐標運算，考查向量夾角的求解，

注意向量數(shù)量積的運算與性質(zhì)，屬于中檔題.

(1)根據(jù)三點A,B,C在一條直線上，可得荏〃而，結(jié)合瓦？1而，根據(jù)向量平行與

垂直的條件分別建立關(guān)于m〃的方程，聯(lián)立解得結(jié)果；

(2)根據(jù)布=：08,可得m=l,n=2,進而可知瓦？=(-3,2)，將cosZTlOC轉(zhuǎn)化為向

量所成角的余弦值求得結(jié)果.

20.【答案】(1)證明：取EC中點N,連結(jié)MMBN,

在△￡■/)(；中，M,N分別為ED,EC的中點,

所以MN〃CD,且MN=：CD,

由已知AB〃CD,力B=^CD,

所以MN〃4B,且MN=AB,

所以四邊形ABMW為平行四邊形，

所以BN〃/1M,

又因為BNu平面BEC,且2M,平面BEC,

所以4M〃平面BEC.

(2)證明：在正方形AZJEF中，EDLAD,

因為ED_LDC,ADODC=D,AD,DCu平面ABC。,

所以EDJ_平面ABCD,BCu平面ABCD,

所以ED1BC.

又在直角梯形ABC。中，AB=AD=1,CD=2,Z.BDC=45°,

第24頁，共27頁

所以BC=V2.

在△BCD中，BD=BC=V2,CD=2,

所以BO?+BC2=CD2,

所以BC1BD,

因為ECC\BD=D,ED,BDu平面BDE,

所以BC_L平面BDE.

因為BCu平面BCD,

所以平面BCO1平面8OE.

(3)解：設點D到平面BCE的距離為h,

由(2)BC_L平面8DE,可知BC1BE,

因為DE=1,AB=AD=\CD=1,所以BO=a,BC=V2,BE=a,

所以S^BDC=JxV2xV2=1,SABEC=；xV3xy/2=當，

n22

根據(jù)VQ-BCE=^E-BCD,即］SABEC,九=3^t^BCD'DE,

ix^.h=-xlxl,解得/!=在，

3233

即點D到平面BCE的距離為在.

3

【解析】本題考查簡單多面體及其結(jié)構(gòu)特征，線面平行的判定與性質(zhì)，面面垂直的判定，

利用三棱錐的體積求空間中點到平面的距離，是中檔題.

(1)取EC的中點N,連結(jié)MN,BN