2020-2021學(xué)年新人教A版（2019）高一數(shù)學(xué)暑假作業(yè)綜合六（含解析）

綜合六-【新教材】人教A版（2019）

高一數(shù)學(xué)暑假作業(yè)（含解析）

一.單選題

1.設(shè)i-z=4—32為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

A.—4B.4C.—4iD.4/

2.已知在〃?、，?、小O表示直線，a、/?表示平面，若mca,nca,lrc/?,l2c/?,

S2=M,貝Ua〃夕的一個(gè)充分條件是（）

A.他〃夕且k〃aB.m///3S.n//pC.且n〃%D.m//l^n//l2

3.在AaBC中，已知AB=AC,D為8c邊中點(diǎn)，點(diǎn)。在直線AD上，且庶.詼=3,

則3c邊的長度為（）

A.V6B.2V3C.2V6D.6

4.函數(shù)/。）=譚3的圖象大致是（）

A

-?-7'

5.ZkABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、c,已知bs譏C+csinB=4QS譏8s譏C,

b2+c2—a2=8,則△力BC的面積為（）

A.遮B.延C.V3D.更

334

6.如圖，在透明塑料制成的長方體/BCD-aB1CiA容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，將容器底面

一邊BC固定于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四個(gè)說法：

①水的部分始終呈棱柱狀；

②水面四邊形E尸GH的面積不改變;

③棱&Di始終與水面EFGH平行;

④當(dāng)441時(shí)，AE+BF是定值.

其中正確說法的是（）

A.②③④B.①②④c.①③④D.①②③

7.已知平面向量五萬片均為單位向量，且了大=0,則|五+9一碼的取值范圍是（）

A.[V2—1,>/2+1]B.[1,V2]

C.[V2-1,1]D.[V2,V3]

Inx-~,x>0

X則函數(shù)y=/l/（x）+l]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）

{%2+2x,x<0

A.2B.3C.4D.5

在斜三棱柱中，乙。，則在底面上的射影

9.4BC-4B1G4cB=90ABr1BC,ABC

“必在（）

A.直線AC上B.直線BC上C.直線48上D.AABC內(nèi)部

多選題

10.如圖所示，為正方體，給出以下四個(gè)結(jié)

論中，正確結(jié)論的序號為（）

A.4cl1平面CBiDi

B.ZG與底面ABC。所成角的正切值是企

C.二面角C-B1D1-C1的正切值是企

第2頁，共21頁

D.若點(diǎn)。是8。的中點(diǎn)，則。力J/平面C&D1

11.下列說法中錯(cuò)誤的為()

A.已知3=(1,2),方=(1,1)且方與五+4方的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是

(-|,+8)

B.向量可=(2,-3),逐=G,一》不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底

C.非零向量落K，滿足|磯＞|方|且有與嗣向,則-

D.非零向量方和B，滿足|五|=|方|=|弓—石則有與五+四的夾角為30。

12.已知人b是兩條不重合的直線，a、￡是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題正確的是

()

A.若a_La,Q±H，貝ija///?

B.若a_La,h1a,則a//b

C.若a_Lb,bLa,a///?,則

D.若?！ㄊ?。與a所成的角和b與/?所成的角相等，貝ija〃匕

三.填空題

13.已知復(fù)數(shù)z=7；^%,則zi=____.

(1-V302

14.在44BC中，角A,8,C的對邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積為質(zhì),c-a=2,

cosB=:，則b的值為__.

4

15.海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后

遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞.若要測量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A,B兩

點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C,D,測得CO=45m,^ADB=135。,NBOC=

^DCA=15°,乙ACB=120°,則43兩點(diǎn)的距離為m.

16.已知五=(2,3),b=(-2,4).向量五在方上的投影向量____.

17.已知函數(shù)/(%)=gsinx+4cosx,x&R,則函數(shù)/(x)的最大值是,且取到

最大值時(shí)x的集合是.

18.在邊長為2的正方體ABCD-4B1GD1中，點(diǎn)M是該正方體

表面及其內(nèi)部的一動(dòng)點(diǎn)，且BM〃平面ADiC,則動(dòng)點(diǎn)M的軌

跡所形成區(qū)域的面積是.

19.已知/(%)是定義在R上的偶函數(shù)，且在[0,+8)上單調(diào)遞增.若對任意xeR,不等式

f(a+k-b|)2/(|x|-2|x-l|)(a,beR)恒成立，則2a2+爐的最小值是

20.仇章算術(shù)少是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中將四個(gè)面均為

直角三角形的三棱錐稱為鱉腌.如圖，三棱錐P-ABC為

鱉嚅，且PA平面ABC,AC=BC=1,PA=y[2,則該

鱉席外接球的表面積為.

四.解答題

21.如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)E是8c邊上中點(diǎn)，點(diǎn)尸

在邊CD上.

(1)若點(diǎn)尸是8上靠近C的三等分點(diǎn)，設(shè)前=4四+

求4+〃的值.

(2)若4B=2,當(dāng)荏.喬=1時(shí)，求。尸的長.

22.在△ABC中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,csinA+y/Sasin^C+^)=0,

c=6.

(1)求△48C外接圓的面積；

(2)若°=g》AM=^AB,求△ACM的周長.

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23.設(shè)函數(shù)/(x)=4sina)xcos(^a)x-g)-1的最小正周期為兀，其中3>0.

O

(1)求函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)+nt在xe哈印上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x2>求實(shí)數(shù)”的取

值范圍.

24.已知四棱錐P—ABCD,PA1PB,PA=PB=V2,4。_L平

面PAB,BC//AD,BC=3AD,直線CD與平面PA3所成

角的大小為%M是線段AB的中點(diǎn).

(1)求證：。。，平面/5/*/；

(2)求點(diǎn)例到平面PCD的距離.

25.如圖所示，摩天輪的半徑為40〃?，。點(diǎn)距地面的高度為50〃?，摩天輪按逆時(shí)針方向

作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，且每2min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點(diǎn)P的起始位置在最高點(diǎn).

(I)試確定點(diǎn)P距離地面的高度做單位：m)關(guān)于旋轉(zhuǎn)時(shí)間t(單位：m譏)的函數(shù)關(guān)系

式；

(口)在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈內(nèi)，有多長時(shí)間P點(diǎn)距離地面超過70m?

26.如圖所示，將一副三角板拼接，使它們有公共邊BC,且使

兩個(gè)三角形所在的平面互相垂直，若NB4C=90°,AB=AC,

乙CBD=90°,乙BDC=60°,BC=6.

(1)求證：平面ABDJ■平面ACD；

(2)求二面角4-CD-B的平面角的正切值；

(3)求異面直線AD與BC間的距離.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：:i-z=4-3i,

_4-3i_(4-3i)i_4i-3i2

Z—"","—"——-3—43

復(fù)數(shù)Z的虛部為-4,

故選：A.

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，然后利用復(fù)數(shù)的虛部概念得答案.

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的虛部的概念，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查兩個(gè)平面平行的判定定理的應(yīng)用，明確已知條件的含義是解題的關(guān)鍵，屬于基

礎(chǔ)題.

根據(jù)題意，要使a〃夕，只要一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線和另一個(gè)平面平行即可.

【解答】

解：由題意得，加、力是平面a內(nèi)的兩條直線，

人、%是平面夕內(nèi)的兩條相交直線，要使

只要一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線和另一個(gè)平面平行即可，

故選。.

3.【答案】3

【解析】解：在MBC中，由4B=4C,。為BC邊中點(diǎn)，點(diǎn)。在入

直線AO上，且瓦;.布=3，/\

結(jié)合圖象可得|而|?|布|cos＜就，前＞=3，/

即9后?2=3,所以|BC|=詫./|',

故選：A.

畫出圖形，利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義求出結(jié)果.

本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，數(shù)量積公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：函數(shù)的定義域?yàn)镽,7'(-%)=需品=曲=—f(x)，

即函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故可排除選項(xiàng)8,C；

2

當(dāng)XT0+時(shí)，sinx>0,ln(x+2)>0)?^^>0,故可排除選項(xiàng)D

故選:A.

由函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)BC,由函數(shù)值的正負(fù)排除選項(xiàng)D,進(jìn)而得解.

本題考查根據(jù)函數(shù)解析式確定函數(shù)圖象，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：由正弦定理知，金=急

sinC

???bsinC+csinB=4asinBsinC,

：?sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,§\^2sinBsinC=4sinAsinBsinC,

i

vsinBsinCW0,八sinA=

由余弦定理知，COSA=b2+尸

:-cosA=V1—sin2/l=--

2

...3=立,即be=這，

be23

??.△ABC的面積S=-besinA=-xx-=亞

22323

故選：B.

利用正弦定理化邊為角，可得sin/=g由余弦定理知，cos4=f>0,再結(jié)合同角三

2be

角函數(shù)的關(guān)系式，可得松的值，最后由S=[bcs譏4得解.

本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵，

考查轉(zhuǎn)化思想、邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

①水的部分始終呈棱柱狀；從棱柱的特征平面判斷即可；

②水面四邊形EFGH的面積改不改變；可以通過EF的變化EH不變判斷正誤;

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③棱4D1始終與水面EFG”平行；利用直線與平面平行的判斷定理，推出結(jié)論；

④當(dāng)EC441時(shí)，4E+BF是定值.通過水的體積判斷即可.

本題屬于中檔題，考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，直線與平面平行的判斷，棱柱的體積等知識.

【解答】

解：①水的部分始終呈棱柱狀；從棱柱的特征平面44&B平行平面CGDiD即可判斷①

正確；

②水面四邊形EFGH的面積不改變；EF是可以變化的，EH是不變的，所以面積是改

變的，②是不正確的；

③棱AD1始終與水面EFGH平行；由直線與平面平行的判斷定理，可知所

以結(jié)論正確；

④當(dāng)EC時(shí)，4E+BF是定值.水的體積是定值，高不變，所以底面面積不變，所

以正確.

故選：C.

7.【答案】A

???設(shè)五=(1,0),b=(0,1)，C=(x,y),則五+加一蕓=(l-x,l-y)，

若下為單位向量，則好+72=1,表示單位圓上的任意一點(diǎn)，

?.\a+b-c\2=7(l-x)2+(l-y)2.

它表示單位圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)P(l,l)的距離，

其最大值是PM=r+\OP\=1+&，

最小值是|OP|-r=&-1.

的取值范圍是[挖一1,好+1].

故選：A.

根據(jù)題意，求出丘+石-m的表達(dá)式，分析可得表示單位圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)P(l,l)的距離,

由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系分析可得答案.

本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，關(guān)鍵是涉及向量的坐標(biāo)，分析向量模的幾何意義.

8.【答案】。

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

令t=/(%)+1,結(jié)合零點(diǎn)存在定理得出函數(shù)/(t)的零點(diǎn)匕€(1,2),母=-2,1=0,

然后作出函數(shù)t=/(%)+1,直線t=t］、t=—2、t=0的圖象，觀察三條直線與函數(shù)

t=/(%)+1的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由此得出結(jié)論.

【解答】

Inx--+1,x>0

{(X+1)2,X<0

①當(dāng)t>o時(shí)，f(t)=mt則函數(shù)y(t)在(o,+8)上單調(diào)遞增，

由于/(I)=-1<0,/(2)=Zn2-i1>0,

由零點(diǎn)存在定理可知，存在“€(1,2),使得/(ti)=0；

2

②當(dāng)tSO時(shí)，/(t)=t+2t,由/'(t)=#+2t=0,解得t2=-2,t3=0,

作出函數(shù)t=/0)+1,直線1=匕、t=—2、t=0的圖象如下圖所示：

由圖象可知，直線t=0與函數(shù)t=/(%)+1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),

直線t=0與函數(shù)t=f(x)+1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

直線t=-2與函數(shù)t=/(x)+1的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，

綜上所述，函數(shù)丫=/丁0)+1］的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5.

故選：D.

9【答案】A

第10頁，共21頁

【解析】解：?.?在斜三棱柱4BC-4/G中，

AACB=90°,ABr1BC,

BCLAC,又ACn4當(dāng)=4,

???BC1平面ACBi，BCu平面ABC,

二平面ZCBiJ_平面ABC,

?.Bi在底面ABC上的射影H必在兩平面的交線

AC上.

故選：A.

由題意知要判斷當(dāng)在底面ABC上的射影H,需要看過這個(gè)點(diǎn)向底面做射影，觀察射影

的位置，根據(jù)BC與一個(gè)平面上的兩條直線垂直，得到BC與兩條直線組成的面垂直，

根據(jù)面面垂直的判斷和性質(zhì)，得到結(jié)果.

本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查直線與平面垂直的判定，考查平面與平面垂直的判定,

考查平面與平面垂直的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

10.【答案】ACD

【解析】解：對于A,連結(jié)&C],因?yàn)锽1D114C1，

九51AAlt

又&Cin/M]=&,A1C1,u平面"心，

故_L平面44道1，因?yàn)?Qu平面4&G，

所以AC11Bn，

同理可證AGLB1C,

又BW1nB]C=B1，B1D1,BrCu平面

所以4G_L平面CB/i，

故選項(xiàng)4正確；

對于B,連結(jié)AC,因?yàn)镃G1平面A8C￡>,則4GAe即為直線AR與平面A8C￡>所成的

角，

故tan/C]4c=筌=乎，

故選項(xiàng)8錯(cuò)誤：

對于C,設(shè)AiCiCBiA=。「連結(jié)0傳,則NCOiG為二面角。一當(dāng)。[-6的平面角,

所以tan"。?=能=迎，

故選項(xiàng)C正確;

對于。，因?yàn)?0J/0C,且4O1=OC,

所以四邊形401。。為平行四邊形，

則04"/C0i，又。4<t平面CO]U平面CBM，

所以04〃平面CBiDi，

故選項(xiàng)D正確.

故選：ACD

利用線面垂直的性質(zhì)定理證明4cli當(dāng)久，AC,1BtC,即可判斷選項(xiàng)A；利用異面直

線所成角的定義得到NC1AC即為直線4C1與平面A8C。所成的角，求解即可判斷選項(xiàng)8；

利用二面角的平面角的定義得到4coic1為二面角C-&D1-G的平面角，求解即可判

斷選項(xiàng)C；利用線面平行的判定定理即可判斷選項(xiàng)D

本題以命題的真假判斷為載體，考查了空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的

位置關(guān)系，空間角的計(jì)算等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能

力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等，屬于中檔題.

11.【答案】AC

【解析】解：對于A,0+4區(qū))=34+5>0，且440，所以A不正確；

對于8,向量可=(2,—3),宅=?,_$,滿足國=4石，兩個(gè)向量共線，所以不能作

為平面內(nèi)所有向量的一組基底，所以8正確；

對于C,向量是有方向的量，不能比較大小，所以C不正確；

對于。，非零向量五和石，滿足|五|=|石|=同—石所以以向量五和石的長度為邊，構(gòu)

造菱形，滿足日與3+方的夾角為30。，所以。正確；

故選：AC.

利用斜率的數(shù)量積，求解實(shí)數(shù)4的取值范圍判斷4判斷斜率是否共線，判斷以利用

向量的定義判斷C；利用向量的平行四邊形法則判斷D即可.

本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，向量的基本定理以及向量共線，平行四邊形法則的

應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

12.【答案】AB

【解析】解：對于A,若ala,alB，由直線與平面垂直的性質(zhì)可得0〃，故A正確；

對于B,若a，a,bla,由直線與平面垂直的性質(zhì)可得a〃山故8正確；

對于C,若aJLb,a〃B，則〃與0不一定垂直，而bJ.a,則a與6不一定平行，故C錯(cuò)

誤；

第12頁，共21頁

對于，若a〃氏a與a所成的角和6與0所成的角相等，可得。與a所成的角和〃與a所

成的角相等，

則。與b的位置關(guān)系可能平行、可能相交、也可能異面，故。錯(cuò)誤.

故選:AB.

由直線與平面垂直的性質(zhì)判斷A與B；由空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系判

斷C；由直線與平面所成角判斷D

本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定，考查空間想象

能力與思維能力，是中檔題.

13.【答案】；

4

|遙+甲

【解析】解：Z-Z=\z\2=6+i__4__1

(1一倔/|-2-2廚2—16-4

故答案為：

4

利用復(fù)數(shù)與共粗復(fù)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

本題考查了復(fù)數(shù)與共扼復(fù)數(shù)的應(yīng)用，復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，考查了運(yùn)算能力與轉(zhuǎn)化

化歸能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】4

【解析】解：因?yàn)閏osB=；,

4

所以sinB=V1—cos2B=—?

4

因?yàn)椤?BC的面積為■/記=jacsinB=|acx等，解得ac=8,

又c—a=2,

由余弦定理可得臺(tái)2=a2+c2-2accosB=a24-c2—^CLC=(c—a)2+2ac—|ac=

4+16-4=16,

解得b=4.

故答案為：4.

由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB的值，根據(jù)三角形的面積公式可求ac的

值，結(jié)合已知利用余弦定理可求b的值.

本題主要考查了余弦定理，三角形的面積公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解三角形中

的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】45V5

【解析】解：如圖所示:

D

△BCD中,CD=45,^BDC=15°,/.BCD=/.ACB+Z.DCA=120°+15°=135°,

Z.CBD=30°,由正弦定理，得一^=等；；，解得BD=45位，

snil3505171300

△2CD中，CD=45,^DCA=15°,

^ADC=^ADB+乙BDC=135°+15°=150°,

/.CAD=15°,AAD=CD=45,

△ABD中，由余弓玄定理，^AB2=AD2+BD2-2AD-BD-cos^ADB

=452+（45aA-2x45x4572xcosl35°

=452x5,

：.AB=45V5，即A,B兩點(diǎn)間的距離為45遍，

故答案為：45V5.

根據(jù)題意畫出圖形，△BCD中利用正弦定理求出8。的值，△4CZ）中利用等角對等邊求

出AD的值，再在△48。中由余弦定理求出AB的值.

本題考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查學(xué)生邏輯推理能力和運(yùn)算求解

能力，屬于中檔題.

16.【答案】（一級）

【解析］解：N與石的夾角仇向量方在石上的投影向量為噌.總=（—2,4）=

網(wǎng)\b\（-2），+4，

（-?!）■

故答案為：（―3，》.

有與石的夾角0,向量行在了上的投影向量計(jì)算方法為噌?親，依據(jù)此法可解決此題.

網(wǎng)網(wǎng)

本題考查平面向量數(shù)量積性質(zhì)及運(yùn)算、投影向量計(jì)算方法，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

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17.【答案】1[x\x=2kn+1,k&Z}

o

【解析】解：/(%)=[sin%+,cosx=sin(%+》

則當(dāng)sin(%+$=l時(shí),函數(shù)取得最大值1,此時(shí)％+”2"+今kEZf

即x=2/czr+m，kGZ,即對應(yīng)集合為{久|%=2/CTT+￡,/c￡Z},

6o

故答案為：1，{x|x=2/OT+%keZ}.

o

利用輔助角公式結(jié)合兩角和差的三角公式，結(jié)合三角函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

本題主要考查三角函數(shù)值的求解，利用輔助角公式結(jié)合三角函數(shù)的最值性質(zhì)是解決本題

的關(guān)鍵.是基礎(chǔ)題.

18.【答案】2V3

【解析】解：因?yàn)槠矫?41cl〃平面AC/,點(diǎn)M是該正方體表面

及其內(nèi)部的一動(dòng)點(diǎn)，且BM〃平面4￡>iC,

所以點(diǎn)M的軌跡是A&GB三角形及其內(nèi)部，

所以△4BG的面積為S=弓x(2近產(chǎn)=2V5.

故答案為：2V

根據(jù)平面B4C1〃平面4CD1，可得點(diǎn)"的軌跡是AAiCiB三角形及其內(nèi)部，然后利用正

三角形的面積公式進(jìn)行求解即可.

本題主要考查了面面平行的性質(zhì)，以及三角形的面積公式，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算

求解的能力，屬于中檔題.

19.【答案】I

【解析[解：如圖，作出函數(shù)y=||x|—

的圖象,

???/(X)是定義在R上的偶函數(shù)，且在

[0,+8)上單調(diào)遞增,f(a+\x-b[)>

f[\x\-2|x-l|)(a,6eR)恒成立，

y=|cz+|x-的圖象始終在y=

|閔-2|尤-1||的上方,

??.x=0時(shí)，。+聞22且620,所以{￡：力'2,

2a2+b2>2(2-b)2+爐=3爐—8b+8=3(b-1)2+1>|,當(dāng)且僅當(dāng)“a=

|,b=g”時(shí)取等號.

故答案為：|.

由題意，y=|a+|x—b||的圖象始終在y=||x|-2|久一1||的上方，結(jié)合圖象可知，

{￡；歸2,進(jìn)而得解.

本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

20.【答案】4兀

【解析】解：PA1平面ABC,AB,BCu平面ABC,AB1PA,BC1PA,

又△ABC是直角三角形，AC=BC=1,BC1AC,又P4n4C=4

PA,ACu平面PAC,：.BC_L平面PAC,又PCu平面PAC,：.BC1PC,

???該鱉腌外接球的球心為PB的中點(diǎn)，則(2R)2=PA2+AC2+BC2,

4R2=1+1+2=4,

二該鱉喘外接球的表面積為4TTR2=47r.

故答案為：47r.

利用已知條件求出幾何體的外接球的位置，求解外接球的半徑，然后求解外接球表面積.

本題考查幾何體的外接球的表面積的求法，判斷幾何體的形狀，求解外接球的半徑是解

題的關(guān)鍵，是中檔題.

21.【答案】解：(I)、?點(diǎn)E是8c邊上中點(diǎn)，點(diǎn)尸是8上靠近C的三等分點(diǎn)，

—111，1If,-i—f1,1一

ACF=--DC=--AB,EC=-BC=-AD,

3322

^EF=EC^~CF=--AB^-AD,

32

AA=—R=L

3^2

故a+M=~~+1=

oZO

⑵設(shè)加=4而，則/=就+#=而-;l而，又近=荏+爐=而+：而，AB-

而=0，

—一■—?1…―一-一—?一一〉—■—>21——?2

/.AE-BF=(AB+?(AD-XAB)=-XAB=—42+2=1,

故a=p

4

第16頁，共21頁

2

???OF=(1-A)x2=p

【解析】(1)用而,而表示出品，得出;I,〃的值即可得出4+〃的值；

(2)設(shè)方=入而,用荏，而表示出荏，前,根據(jù)荏-BF=1計(jì)算九從而可得DF的長.

本題考查平面向量的基本定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

22.【答案】解：⑴"csinA+Hasin(C+^)=0,

???csinA+\[3acosC=0-

???sinCsinA+\/3sinAcosC=0>

vsinA00,

???tanC=一遮，

v0<C<7T,

??.C=季

zBc外接圓的半徑R=r^=lxi=2A

2

ABC外接圓的面積為127r.

(2)由正弦定理得，§/8=史處=強(qiáng)=匕

c\[3b2

V0<B<P

D

??A=TI—B—C=-

6f

.?.在△4CM中，由余弦定理得，CM2=AM2+AC2-2AM-AC-cosA,解得CM=2,

則△ACM的周長為4+2V3.

【解析】(1)利用誘導(dǎo)公式，正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡已知等式可得tanC

的值，結(jié)合0<C<TT,可求C的值，利用正弦定理，圓的面積公式即可求解.

(2)由已知利用正弦定理可求sinB的值，結(jié)合0<8<不可求B,利用三角形內(nèi)角和定

理可求A,在AACM中，由余弦定理可求CM的值，即可求出△ACM的周長的值.

本題主要考查了誘導(dǎo)公式，正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形內(nèi)角和定理，

余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

23.【答案】解:(1)依題意,/(%)=\[3sin2cox-cos2a)x=2sin(2(ox-》

???/(%)的最小正周期為江，且3>0,??.茄=7T,解得3=1,

???f(x)=2sin(2x—^),設(shè)“=2x—

?.?函數(shù)y=sirm的遞增區(qū)間是[2k7r-]2/CTT+WZ),

由2/czr—W2x—2W2/CTTH—(kGZ),

262

63

???函數(shù)/(%)的遞增區(qū)間是[而一/時(shí)+白(k€Z)；

(2)當(dāng)x6玲時(shí)，u=2x-|e[0,刑.令尸(a)=2sinu,則%)=F督)=1,

???F(u)=2sinu^Eu&[0,自上遞增，在uG生中上遞減.

???FMmax=尸?=2,

?.?函數(shù)g(x)=f(x)+ni在x6吟，自上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

?函數(shù)y=/(x)與y=-ni兩圖像在xG哈，勺上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

二函數(shù)y=F(a)與y=-m兩圖像在“6[0,1]上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

6

:.1<—m<2,解得一2<znS-1

二實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(一2,—1].

【解析】本題考查了三角函數(shù)的解析式，單調(diào)性以及圖像性質(zhì)，涉及到倍角公式以及輔

助角公式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算推理能力，屬于中檔題.

(1)根據(jù)余弦的差角公式以及倍角公式，輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，利用周期求出3

的值，然后利用整體代換思想以及正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解；

(2)先求出函數(shù)/(x)在已知定義域上的值域，然后將己知問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)與y=

-譏兩圖像在xG[卷，自上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)fQ)的值域即可求解.

24.【答案】解：⑴因?yàn)?。1■平面PAB,PMu平面PAB,

所以ZD1PM,

因?yàn)镻4=PB=夜,M是線段AB的中點(diǎn)，所以PM1AB,

又4。CAB=4,40u平面ABC￡>,4Bu平面ABC。，

所以PM1平面ABC。，

又CDu平面ABCCD,所以PM1CD.

第18頁，共21頁

取CB上點(diǎn)E,使得CE=)B,連接AE,所以4D〃CE且4。=CE,

所以四邊形4EC。為平行四邊形，所以CD〃4E,

所以直線CD與平面PAB所成角的大小等于直線AE與平面PAB所成角的大小,

又4D1平面尸48,BC//AD,所以BC1平面PA8,

所以4EAB為直線AE與平面PAB所成的角，

所以NE4B=f,所以BE=AB,

因?yàn)镻4=PB=&，PA1PB,所以AB=2=BE,

所以4。=1,BC=3,CD=2V2,

所以DM=VLCM=VlO.

所以+。。2=c“2,所以CDIOM,

因?yàn)镈MClPM=M,DM,PMu平面POM,

所以C。_L平面PDM.

⑵由⑴可知CDJ?平面PDM,所以△COM和ACDP均為直角三角形，

又PD=V3.設(shè)點(diǎn)M到平面PCD的距離為d,

則%-CDM=VM-PCD>BpiCDDM-PM=^CDDP-d,

化簡得-PM=DP-d,解得

DMd=—3,

所以點(diǎn)M到平面PCD的距離為在.

3

【解析】⑴根據(jù)